Ausgewählte Kapitel Diskreter Mathematik mit Anwendungen
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- Beate Franke
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1 Wahlpflichtfach Bachelor Informatik 4. Semester Ausgewählte Kapitel Diskreter Mathematik mit Anwendungen Lektion 6: utm- und Kurt-Ulrich Witt Sommersemester 2011 Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 1/28
2 Inhaltsverzeichnis Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 2/28
3 Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht (1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 3/28
4 Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht (1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion (2) Möglichkeit der Parametrisierung (effektive Programmierung) Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 3/28
5 Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht (1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion (2) Möglichkeit der Parametrisierung (effektive Programmierung) Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 3/28
6 Codierung σ der Nullfunktionen und Projektionen (Code-) Alphabet: Σ = {, #, O, π, ν, C, PRK, µ, [, ], ;,, } Codierung: σ : µr Σ + mit σ(o k ) = O k, k 0 σ(πi k ) = π k # i, 1 i k, k 1 Beispiele: σ(o 3 ) = O σ(π2 5 ) = π # Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 4/28
7 Codierung σ der µ-rekursiven Funktionen sowie und für σ(x) = x für x { ν, C, PRK, µ, [, ], ;,, } σ(x 1 x 2... x n ) = σ(x 1 )σ(x 2 )... σ(x n ) x i = O k, k 0 x i = π k i, 1 i k, k 1 x i { ν, C, PRK, µ, [, ], ;,, } Beispiel add: Codierung: PRK [ π1, 1 C [ ν; π3 3 ]] σ(prk [ π 1 1, C [ ν; π 3 3]] ) = PRK [π #, C [ν; π # ]] Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 5/28
8 Nummerierung von µr definiert durch ρ : Σ { 1, 2,..., 12 } ρ( ) = 1 ρ(π) = 4 ρ(prk) = 7 ρ(]) = 10 ρ(#) = 2 ρ(ν) = 5 ρ(µ) = 8 ρ(; ) = 11 ρ(o) = 3 ρ(c) = 6 ρ([) = 9 ρ(, ) = 12 Es sei p i P die i-te Primzahl, dann sei die Abbildung definiert durch g : Σ + N g(x 1... x n ) = p ρ(x 1) 1... p ρ(xn) n Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 6/28
9 Beispiele Es gilt und id = π 1 1 σ(id) = π # g(π # ) = = d.h. der (µ-rekursiven Implementierung der) Funktion id wird die Nummer zugeordnet. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 7/28
10 Beispiele Es gilt und 1 = C [ν; O 0] σ(1) = C [ν; O] g (C [ν; O]) = = d.h. der (µ-rekursiven Implementierung der) Funktion 1 wird die Nummer zugeordnet Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 8/28
11 Nummerierung von µr Durch die Funktion definiert durch τ : µr N τ = g ρ werden den µ-rekursiven Funktionen (sehr große) Nummern zugeordnet. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 9/28
12 Umkehrung von τ Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar. Berechne zu einer Zahl n N, die die Nummer einer µ-rekursiven Funktion f ist, f = τ 1 (n): (1) Zerlege n in seine Primfaktoren (2) Ordne diese der Größe nach Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 10/28
13 Umkehrung von τ Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar. Berechne zu einer Zahl n N, die die Nummer einer µ-rekursiven Funktion f ist, f = τ 1 (n): (1) Zerlege n in seine Primfaktoren (2) Ordne diese der Größe nach (3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 10/28
14 Umkehrung von τ Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar. Berechne zu einer Zahl n N, die die Nummer einer µ-rekursiven Funktion f ist, f = τ 1 (n): (1) Zerlege n in seine Primfaktoren (2) Ordne diese der Größe nach (3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen (4) Decodiere die Potenzen gemäß Codetabelle Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 10/28
15 Umkehrung von τ Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar. Berechne zu einer Zahl n N, die die Nummer einer µ-rekursiven Funktion f ist, f = τ 1 (n): (1) Zerlege n in seine Primfaktoren (2) Ordne diese der Größe nach (3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen (4) Decodiere die Potenzen gemäß Codetabelle Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 10/28
16 Beispiel Beispiel: Kanonische Faktorisierung: woraus sich mithilfe der Codetabelle die µ-rekursive Funktion C [ν; ν] ergibt. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 11/28
17 Totalisierung von τ 1 Die Funktion τ ist nicht surjektiv, d.h. ihre Umkehrung τ 1 ist nicht total, d.h. es gibt Zahlen n N, die nicht Nummer einer µ-rekursiven Funktion sind. Beispiele: alle Primzahlen größer als 5 30 hat die Faktorisierung , woraus sich gemäß Codetabelle die Zeichenkette ergibt, die keine µ-rekursive Funktion darstellt. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 12/28
18 Totalisierung von τ 1 Surjektive Ergänzung von τ 1 : Wähle irgendeine Funktion aus µr, z.b. definiert durch Es gilt Def (ω) = ω ist µ-rekursiv, denn für gilt f = C (Übliche Notation: f (x, y) = ν(y) + x.) ω : N 0 N 0 ω(n) = [ [ ] ] add; C ν; π2 2, π1 2 ω = µ [f ] Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 13/28
19 Totalisierung von τ 1 Total definierte Umkehrung der Funktion τ 1 : mit h(i) = { f, h : N µr µ [ C [ add; C [ ν; π 2 2], π 2 1 ]], sonst falls i W (τ) und τ(f ) = i Die Funktion τ stellt eine sogenannte dar. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 14/28
20 Gödelisierung Mit Gödelisierung (Gödelnummerierung) bezeichnet man eine effektive Codierung von Wörtern durch natürliche Zahlen. Im Allgemeinen ist für ein Alphabet A eine Gödelnummerierung gegeben durch eine Abbildung (Gödelabbildung) g : A N 0 mit folgenden Eigenschaften: (i) g ist injektiv, d.h. für x 1, x 2 A mit x 1 x 2 ist g(x 1 ) g(x 2 ). (ii) g ist berechenbar. (iii) Die Funktion χ g : N 0 { 0, 1 } definiert durch ( 1, falls ein x A existiert mit g(x) = n χ g(n) = 0, sonst ist berechenbar. (iv) g 1 ist berechenbar. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 15/28
21 Nummerierung ϕ : N 0 P der partiell berechenbaren Funktionen: ϕ(i) = f genau dann, wenn h(i) die Funktion f berechnet Es ist also ϕ(i) = f genau dann, wenn f von der µ-rekursiven Funktion berechnet wird, die durch die Nummer i codiert ist. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 16/28
22 Σ + σ µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 17/28
23 N 0 g Σ + σ µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 17/28
24 N 0 g τ Σ + σ µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 17/28
25 N 0 h τ g Σ + σ µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 17/28
26 N 0 ϕ g P h τ Σ + σ µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 17/28
27 N 0 ϕ g P h τ Σ + σ µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 17/28
28 N 0 ϕ g P h τ Σ + σ µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 17/28
29 id wird von h(8400) berechnet: τ(π1 1 ) = 8400 h(8400) = π1 1 ϕ(8400) = id ϕ 8400 P id N 0 h τ π1 1 µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 18/28
30 1 wird von h( ) berechnet: τ(c [ν; O]) = h( ) = τ(c [ν; ν]) ϕ( ) = 1 ϕ P 1 N 0 h τ C [ν; O] µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 19/28
31 [ [ [ ] ]] h(30) = µ C add; C ν; π2 2, π1 2 ϕ(30) = ω ϕ 30 P ω N 0 h τ µ [ C [ add; C [ ν; π 2 ]] 2], π 2 1 µr Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 20/28
32 Schreibweise: ϕ i = f anstelle von ϕ(i) = f um doppelte Argumente zu vermeiden: ϕ i (x 1,..., x k ) = f (x 1,..., x k ) anstelle von ϕ(i)(x 1,..., x k ) = f (x 1,..., x k ) Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 21/28
33 Abstrakte Programmiersprache (N 0, P, ϕ): N 0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 22/28
34 Abstrakte Programmiersprache (N 0, P, ϕ): N 0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache. P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieser Programmiersprache berechnet werden können. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 22/28
35 Abstrakte Programmiersprache (N 0, P, ϕ): N 0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache. P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieser Programmiersprache berechnet werden können. ϕ ordnet jedem Programm (Syntax) seine Bedeutung (Semantik) zu. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 22/28
36 Abstrakte Programmiersprache (N 0, P, ϕ): N 0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache. P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieser Programmiersprache berechnet werden können. ϕ ordnet jedem Programm (Syntax) seine Bedeutung (Semantik) zu. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 22/28
37 Existenz einer universellen Funktion Es sei (N 0, P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine berechenbare Funktion u ϕ P mit u ϕ (i, x) = ϕ i (x) u ϕ heißt universelle Funktion von (N 0, P, ϕ). Da u ϕ P ist, Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 23/28
38 Existenz einer universellen Funktion Es sei (N 0, P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine berechenbare Funktion u ϕ P mit u ϕ (i, x) = ϕ i (x) u ϕ heißt universelle Funktion von (N 0, P, ϕ). Da u ϕ P ist, existiert Funktion U ϕ µr, die alle µ-rekursiven Funktionen f µr berechnet: U ϕ (f, x) = f (x); Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 23/28
39 Existenz einer universellen Funktion Es sei (N 0, P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine berechenbare Funktion u ϕ P mit u ϕ (i, x) = ϕ i (x) u ϕ heißt universelle Funktion von (N 0, P, ϕ). Da u ϕ P ist, existiert Funktion U ϕ µr, die alle µ-rekursiven Funktionen f µr berechnet: U ϕ (f, x) = f (x); existiert k N 0 mit u ϕ = ϕ k, d.h. mit ϕ k (i, x) = u ϕ (i, x) = ϕ i (x) Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 23/28
40 Existenz einer universellen Funktion Es sei (N 0, P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine berechenbare Funktion u ϕ P mit u ϕ (i, x) = ϕ i (x) u ϕ heißt universelle Funktion von (N 0, P, ϕ). Da u ϕ P ist, existiert Funktion U ϕ µr, die alle µ-rekursiven Funktionen f µr berechnet: U ϕ (f, x) = f (x); existiert k N 0 mit u ϕ = ϕ k, d.h. mit ϕ k (i, x) = u ϕ (i, x) = ϕ i (x) Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 23/28
41 Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren) Eingaben als Daten oder als Programme interpretieren : Beispiel: mult : N 0 N 0 N 0 mit mult(x, y) = x y. Dann z.b. x = 5 und y = 3, also mult(3, 5) möglich, aber auch x = (a + b) 2 und y = (c d). Damit ergibt sich die neue Funktion m : N 4 0 N 0 definiert durch m(a, b, c, d) = mult((a + b) 2, (c d)) = (a + b) 2 (c d) bzw. m(a, b, c, d) = mult(sqr(add(a, b)), minus(c, d)) Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 24/28
42 Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren) Durch Funktionen als aktuelle Parameter wird also aus [ [ ]] mult = PRK O 1, C add; π1 3, π3 3 die neue Funktion [ [ [ ]] [ ]] m = C mult; C sqr; C add; π1 4, π4 2, C minus; π3 4, π4 4 generiert. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 25/28
43 Allgemeines Prinzip der Parametrisierung Es sei (N 0, P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es für alle i N 0 sowie für alle (x 1,..., x m ) N m 0 und (y 1,..., y n ) N n 0 eine total berechenbare Funktion s : N m+1 0 N 0, so dass gilt. ϕ i (x 1,..., x m, y 1,..., y n ) = ϕ s(i,x1,...,x m)(y 1,..., y n ) Die Parameter x 1,..., x m können als Programme interpretiert werden. Die Funktion s generiert aus dem Progamm i und den Programmen x 1,..., x m das Programm s(i, x 1,..., x m ). Wichtig: Dieser Generator existiert allgemein, d.h. für alle i und alle (x 1,..., x m ): s R (sogar s PR). Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 26/28
44 Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren) Angewendet auf obiges Beispiel: i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 27/28
45 Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren) Angewendet auf obiges Beispiel: i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult x 1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ sqr; C [ add; π1 4, ]] π4 2 Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 27/28
46 Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren) Angewendet auf obiges Beispiel: i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult x 1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ sqr; C [ add; π1 4, ]] π4 2 x 2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ minus; π3 4, ] π4 4 Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 27/28
47 Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren) Angewendet auf obiges Beispiel: i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult x 1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ sqr; C [ add; π1 4, ]] π4 2 x 2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ minus; π3 4, ] π4 4 y 1 = a, y 2 = b, y 3 = c und y 4 = d Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 27/28
48 Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren) Angewendet auf obiges Beispiel: i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult x 1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ sqr; C [ add; π1 4, ]] π4 2 x 2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ minus; π3 4, ] π4 4 y 1 = a, y 2 = b, y 3 = c und y 4 = d Die Funktion s würde dann aus den Codierungen von mult, C [ sqr; C [ add; π 4 1, π4 2]] und C [ minus; π 4 3, π 4 4] die Codierung von m generieren. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 27/28
49 Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren) Angewendet auf obiges Beispiel: i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult x 1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ sqr; C [ add; π1 4, ]] π4 2 x 2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion für C [ minus; π3 4, ] π4 4 y 1 = a, y 2 = b, y 3 = c und y 4 = d Die Funktion s würde dann aus den Codierungen von mult, C [ sqr; C [ add; π 4 1, π4 2]] und C [ minus; π 4 3, π 4 4] die Codierung von m generieren. Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 27/28
50 Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik Lektion 6 28/28
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