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1 Kantonsschule Zofingen Matura 014 Mathematik schriftlich Abteilungen 4ABCD Hilfsmittel: Formelsammlung Taschenrechner TI84 Zeit: vier Stunden, d.h. 40 Minuten Bewertung: Aufgabe 1 16 Punkte ( ) Aufgabe 17 Punkte ( ) Aufgabe 3 8 Punkte (+1++3) Aufgabe 4 7 Punkte (+1++) Aufgabe 5 9 Punkte ( ) Aufgabe 6 9 Punkte (++5) Aufgabe 7 9 Punkte (+1+3+3) Total 75 Punkte Für 64 oder mehr Punkte wird die Note 6 erteilt. Der Lösungsweg wird mitbewertet. Numerische Resultate sind mit vernünftiger Genauigkeit anzugeben. Viel Erfolg!

2 Aufgabe 1 1 _ a) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Parabel p : y = x 1. b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises k:x + y + 6y 11= 0. c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Parabel p und des Kreises k. d) Zeigen Sie, dass sich Kreis und Parabel senkrecht schneiden. e) Berechnen Sie die Inhalte der Flächen A, B und C. _ Aufgabe Gegeben seien die Punkte A(4/14/17), B(16/11/14), C(16//3) und U(-10/4/16). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. b) Wie lauten die Koordinaten jenes Punktes D, der das Dreieck ABC zum Quadrat ABCD ergänzt? c) Wie lauten die Koordinaten des Quadratmittelpunktes M? d) Eine gerade quadratische Pyramide mit dem Volumen V = 34 wird über dem Quadrat ABCD errichtet. Wie lauten die Koordinaten der Spitze S dieser Pyramide? Es sind alle möglichen Lösungen zu berechnen. e) Ein Lichtstrahl geht vom Punkt U aus und wird im Punkt M an der Quadratebene reflektiert. Unter welchem Winkel α trifft er auf die Ebene? f) Der gespiegelte Lichtstrahl trifft im Punkt Z auf die xy-ebene auf. Wir lauten die Koordinaten des Punktes Z?

3 Aufgabe 3 Im Mittel sind 4% der Tramfahrer einer Stadt Schwarzfahrer. a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Tram mit 80 Personen mindestens ein Schwarzfahrer befindet? b) Ein Kontrolleur überprüft pro Tag 300 Personen. Wie viele Schwarzfahrer wird er im Mittel pro Tag ertappen? c) Ein Ticket kostet.50 Fr. Im Falle einer Kontrolle muss der Schwarzfahrer das Ticket kaufen und zusätzlich 50 Fr. Busse bezahlen. Wie viel Franken spart ein Schwarzfahrer gegenüber einem ehrlichen Fahrer auf lange Sicht pro Fahrt? Gehen Sie davon aus, dass ein Fahrgast mit % Wahrscheinlichkeit in eine Kontrolle gerät. d) An einem bestimmten Tag sind 150'000 Personen mit dem Tram gefahren (der Einfachheit halber gehen wir von je einer einfachen Fahrt aus). Geben Sie ein 95% - Vertrauensintervall für die Anzahl Schwarzfahrer an, die an diesem Tag unterwegs waren. Aufgabe 4 Eine Person empfindet t Stunden nach Empfang einer Neuigkeit in f( t) =100 e das Bedürfnis, diese weiterzuerzählen. _ kt Prozent der Fälle a) Drei Stunden nach Empfang der Neuigkeit betrage dieses Mitteilungsbedürfnis f(t) noch 80 Prozent. Bestimmen Sie k. b) Wie gross ist das Mitteilungsbedürfnis sechs Stunden nach Empfang der Neuigkeit? c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Mitteilungsbedürfnis im Verlauf der Zeit monoton abnimmt. d) Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Mitteilungsbedürfnis im Verlauf der Zeit immer langsamer abnimmt.

4 Aufgabe 5 Ein Lotse an Land beobachtet auf einer elektronischen Seekarte mit einem Koordinatensystem in Seemeilen den Schiffsverkehr. Wird die Annäherung zweier Schiffe registriert, rechnet das System die Möglichkeit einer Kollision hoch. Dazu nimmt es eine geradlinige, gleichmässige Fahrt an. An einem Abend werden zwei Schnellboote beobachtet. Um.15 zeigt das System folgende Informationen: Schnellboot A: Positionspunkt A 0 (1/1) Schnellboot B: Positionspunkt B 0 (14/10) Eine Minute später ergeben sich folgende Daten: Schnellboot A: Positionspunkt A 1 (1.5/11) Schnellboot B: Positionspunkt B 1 (13/9) a) Bestimmen Sie die Position A t des Schnellboots A t Minuten nach.15 Uhr. b) Bestimmen Sie die Position B t des Schnellboots B t Minuten nach.15 Uhr. c) Berechnen Sie den Abstand zwischen den beiden Booten t Minuten nach.15 Uhr. d) Um welche Zeit (auf die Sekunde genau) ist der Abstand zwischen den beiden Booten am kleinsten? Nach den Regeln für den Schiffsverkehr soll bei Schiffsbegegnungen ein Abstand von mindestens 0,5 Seemeilen eingehalten werden. e) Berechnen Sie den minimalen Abstand zwischen den zwei Schnellbooten. Wird das System vor einer gefährlichen Begegnung der Schiffe warnen? Aufgabe 6 Zwei Spieler A und B werfen mit einem Kieselstein auf eine Flasche. Der Spieler A trifft die Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von 40%, der Spieler B mit einer Wahrscheinlichkeit von 65%. a) Die beiden Spieler werfen nacheinander je zweimal auf die Flasche. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleich oft treffen? b) Der Spieler B will die Flasche mit mindestens 99.5% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal treffen. Wie viele Würfe muss er einplanen? Zwei Spieler A und C spielen ein Spiel: Zuerst wirft der Spieler A, dann der Spieler C, dann wieder der Spieler A und zum Schluss noch einmal der Spieler C. Der Spieler A trifft die Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% (s.o.); der Spieler C trifft sie mit der Wahrscheinlichkeit p. Wer die Flasche zuerst trifft, gewinnt das Spiel. Das Spiel soll fair sein wir gehen daher davon aus, dass beide Spieler mit derselben Wahrscheinlichkeit w gewinnen. Es sei k die Wahrscheinlichkeit, dass keiner das Spiel gewinnt. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten k, p und w.

5 Aufgabe 7 Gegeben sei die Funktion f ( x) =cos( x). a) Wie sieht die Funktionsgleichung aller Stammfunktionen F der Funktion f aus? b) Wie lautet die Gleichung jener Stammfunktion F 1, deren Tiefpunkte auf der x-achse liegen? 1 1 G = + eine Stammfunktion der 4 c) Beweisen Sie, dass die Funktion ( x) sin( x) cos ( x) x Funktion g( x) = cos( x) ( ) =cos ( x) ist. d) Der Graph der Funktion f schliesst im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation dieses Flächenstücks um die x-achse entsteht.

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