Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)

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1 Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug der Messwerte auftrtt. Be lksschefe Verteluge sd ud Meda größer als das arthmetsche Mttel, be rechtsschefe kleer. AM legt lks vom Md AM<Md<Mo Begrffssyoyme: rechtsgpflg rechtsstel Vertelug mt egatver Schefe ( de Dfferez AM-Md st egatv ) AM Md Mo* * Es gbt symmetrsche Verteluge dee MoAM bzw. Md AM legt rechts vom Md Mo<Md<AM lksgpflg lksstel Vertelug mt postver Schefe ( de Dfferez AM-Md st postv ) Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug () - Schefe (skewess): Defto II - Der Kewert der Schefe (skewess) st defert als der Durchschttswert der drtte Potez z-trasformerter Messwerte (drttes Momet der Vertelug). Skewess 3 1 AM ( z ) z 3 Be symmetrsche Verteluge st de Schefe = 0. Be leare Trasformatoe (y=bx+a) kommt es zu Rechts- bzw. Lks- Verschebuge auf der X-Achse um de Kostate a ud zu Stauchuge (0<b<1) bzw. Verbreteruge (b>1) der Vertelug, cht aber zu eer Veräderug der Schefe. Be egatver Kostate b (b<0), sprcht ma vo eer Umpolug. I desem Fall ädert sch ledglch das Vorzeche der Schefe.

2 - Wölbug (kurtoss): Defto - De Wölbug (auch Exzess geat) st e Maß für de Stelgpflgket eer Vertelug. Es gbt zwe Formel für de Wölbug. Am häufgste wrd de ute agegebee Formel beutzt, be der vom Durchschtt der verte Potez der z-trasformerte Werte (vertes Momet der Vertelug) der Wert 3 subtrahert wrd (des etfällt be der adere Formel): Da glt: Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (3) z 1 Kurtoss AM ( z ) 3 3 Be eer postve Wölbug st de Vertelug schmalgpflger als ee Normalvertelug. Be eer egatve Wölbug st de Vertelug bretgpflger (plateauartger) als de Normalvertelug. Für bede Formel glt: Glechverteluge habe ee edrge Wölbug. Be leare Skaletrasformatoe ädert sch de Wölbug cht. Uterschedlche Vertelugsforme (1) Wahrschelchketsdchte % µ = 0.0 ² = % 95 % 0.5 % - De Stadardormalvertelug ud hre Flächeatelex

3 Uterschedlche Vertelugsforme () - Dre Normalverteluge mt uterschedlche Varaze - Wahrschelchketsdchte ² = 0.5 ² = 1.0 ² =.0 Uterschedlche Vertelugsforme (3) - Illustrato postver ud egatver Kurtoss (Wölbug) - Kurtoss > 0 Wahrschelchketsdchte Kurtoss < 0 x

4 Zusammefassug Vertelugsforme (1) Amerkug: Im Folgede wrd mmer vo der obe agegebee Formel (mt-3) für de kurtoss ausgegage. Kezffer der Vertelugsform sd Schefe (skewess) ud Wölbug (kurtoss). De Maße der skewess ud der kurtoss äder sch be Leartrasformatoe der Werte cht. Ist das Maß der skewess postv, wrd de Vertelug als rechtsschef (oder lksstel) bezechet. Dabe glt: < Meda < arthmetsches Mttel. Ist das Maß der skewess egatv, wrd de Vertelug als lksschef (oder rechtsstel) bezechet. Dabe glt: arthmetsches Mttel < Meda <. De Flächeatele uter der Kurve der Stadardormalvertelug = 0.0, = 1.0) sd: [-1.00, ] = 68.3% [-1.96, ] = 95.0% [-.58, +.58 ] = 99.0% Vertelugskurve ormalvertelter Werte mt Stadardabwechuge <> 1.0 schede de Kurve der Stadardormalvertelug auf jeder Sete ur a eer Stelle. Durch z-stadardserug der Werte lässt sch jede Normalvertelug de Stadardormalvertelug überführe. Zusammefassug Vertelugsforme () Kurtoss ud Varaz sd uabhägg vo eader. Ist das Maß der kurtoss <> 0, schedet de Vertelugskurve de Kurve der Stadardormalvertelug auf jeder Sete (lks ud rechts) a zwe Stelle. Ist das Maß der kurtoss postv, verläuft de Vertelugskurve steler als de Kurve der Stadardormalvertelug, dabe hat de Vertelugskurve schwächere Schulter : Es legt mehr Masse m Zetrum ud a de Ede der Vertelug. Ist das Maß der kurtoss egatv, verläuft de Vertelugskurve flacher als de Kurve der Stadardormalvertelug, dabe hat de Vertelugskurve stärkere Schulter : Es legt weger Masse m Zetrum ud a de Ede der Vertelug. Normalvertelte Werte habe ee kurtoss vo 0.0, glechvertelte ee kurtoss vo -1.; zwegpflg vertelte ee kurtoss < -1.. Be cht ormalvertelte Werte (skewess <> 0 ud/oder kurtoss <> 0) st de gägge Iterpretato der Flächeatele ahad der Stadardabwechug ud des arthmetsche Mttels als Maß der zetrale Tedez möglcherwese uagemesse!

5 De bsher dargestellte Formel der Schefe (skewess) ud Wölbug (kurtoss) beschrebe de Vertelugsform der Stchprobe, ud de he beutzte z-werte werde ahad der Stadardabwechug der Stchprobewerte berechet, wobe glt: x x z s Nachtrag (1) - Stchprobestatstke ud geschätzte Populatosparameter - Gebräuchlcher (ud de meste Statstkprogramme verwedet) sd allerdgs Formel zur Berechug der geschätzte Populatosparameter der Schefe ud der Wölbug (de Schätzer werde auch als uverzerrt bzw. ubased bezechet), wobe de Populatosparameter aus de Stchprobedate geschätzt werde. Der wesetlche Utersched besteht Korrekturfaktore, dee de Zahl für de Stchprobegröße korrgert wrd. Deshalb werde auch de de Formel beutzte z-werte ahad der geschätzte Populatosstadardabwechug berechet, wobe glt: x x z ˆ mt mt s 1 1 ˆ ( x x ) ( x x ) ( 1) Nachtrag () - Stchprobestatstke ud geschätzte Populatosparameter - De Formel für de aus de Stchprobedate geschätzte Populatosparameter der Schefe (skewess, ubased) uter Verwedug der ahad der geschätzte Populatosstadardabwechug berechete z-werte st: Skewess ( 1) ( ) 3 ubased z 1 De Formel für de aus de Stchprobedate geschätzte Populatosparameter der Wölbug (kurtoss, ubased) uter Verwedug der ahad der geschätzte Populatosstadardabwechug berechete z-werte st: Kurtoss ubased ( 1) ( 1) ( ) ( 3) 1 z ( 1) 3 ( ) ( 3) Je größer de Stchprobe st, um so weger uterschede sch de Werte der Stchprobestatstke ud der geschätzte Populatosparameter.

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