3.1 Extensive Form, Spielbaum und Teilspiele

Transkript

1 3. Spele n extensver Form 3.1 Extensve Form, Spelbaum und Telspele 3.2 Strategen n extensven Spelen 4. Spele mt vollkommener Informaton 4.1 Telspelperfekte Nash-Glechgewchte 4.2 Das chan-store -Paradox 4.3 Vorwärtsndukton Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp

2 3.1 Extensve Form, Spelbaum und Telspele Spel n extensver Form Wer?! Lste der Speler Was?! Lste von möglchen Strategen s für alle Speler Wevel?! Auszahlungen U (s,s - ), de jeder Strategekombnaton (s,s - ) enen Wert zuordnen Wann?! Zet- und Informatonsstruktur, d.h. -) wann hat en Speler über was zu entscheden und -) über welche vorhergen Entschedungen st er zu desem Zetpunkt nformert Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp

3 DEF Spelbaum En Spelbaum st ene Menge von Knoten und Kanten (Graph) mt endeutgem Startpunkt (Wurzelknoten), ohne Zykel (es st ncht möglch, enen Knoten, den man berets verlassen hat, noch enmal zu errechen! endeutg gerchtete Zetachse), mt endeutgen Vorgängerknoten für jeden Knoten (jeder Knoten kann nur von genau enem anderen Knoten aus errecht werden). Knoten abgehende Kanten Entschedungspunkt für genau enen Speler Entschedungsalternatven für desen Speler Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp

4 DEF Spel n extensver Form enen Spelbaum mt endeutgem Startknoten (Wurzel/Ursprung), ene Zerlegung der Knotenmenge, de jeden Knoten genau enem Speler zuwest (zusätzl. Speler Natur repräsentert den Zufall), ene wetere Zerlegung n sog. Informatonsmengen, so dass (a) jede Zugfolge durch den Spelbaum von Ursprung bs Endpunkt höchstens enmal durch ene Informatonsmenge geht, (b) von jedem Knoten ener Informatonsmenge de gleche Anzahl Kanten abgeht und (c) de Informatonsmengen des Spelers Natur enelementg snd, ggf. ene W vtlg. für den Speler Natur ene Auszahlungsfunkton U(z)=(U 1 (z),..., U n (z)), de jedem Endpunkt z enen Auszahlungsvektor zuordnet; U (z): Auszahlung von Speler Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp

5 3.2 Strategen n extensven Spelen DEF rene Stratege Ene rene Stratege für enen Speler legt für jede sener Informatonsmengen ene Handlungsalternatve fest. Dese wrd dann und nur dann ausgeführt, wenn de Informatonsmenge tatsächlch m Spelverlauf errecht wrd. Bemerkungen " Anzahl rener Strategen " Zusammenhang zwschen extensver und Normalform Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp

6 DEF perfekte Ernnerung En Spel hat perfekte Ernnerung, wenn sch jeder Speler an sene bshergen Entschedungen ernnern kann. DEF gemschte Stratege Ene gemschte Stratege für enen Speler st ene W vtlg. über der Menge sener renen Strategen. DEF Verhaltensstratege Ene Verhaltensstratege für enen Speler legt für jede sener Informatonsmengen ene W vtlg. über de Menge der zur Informatonsmenge gehörenden Handlungsalternatven fest. Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp

7 DEF realsatonsäquvalente Strategen Ene gemschte Stratege und ene Verhaltensstratege heßen realsatonsäquvalent, wenn se deselbe W vtlg. über der Menge der Endpunkte mplzeren. Satz (Kuhn, 1953) In enem Spel mt perfekter Ernnerung gbt es zu jeder gemschten Stratege ene realsatonsäquvalente Verhaltensstratege. Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp

8 DEF Gemschte Stratege (Verhaltensstratege) Ene gemschte Stratege q für Speler ordnet jeder sener Informatonsmengen h H ene Wahrschenlchketsvertelung über de an h zulässgen Züge (Aktonen) zu: q : H h q (a) = (q (a 1 ), K, q (a k ( h ) )), mt wobe A (h ) { a, K,a } k(h ) j = 1 q (a ) j = 1, = 1 k(h ) de Menge der an h zulässgen Züge und k(h ) deren Anzahl bezechnet. De gemschte Stratege q heßt vollständg gemscht, falls q (a j )>0 für alle j und alle h. Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp

9 Gemschte Strategen und Nash-Glechgewcht DEF Ene Stratege q * von Speler heßt beste Antwort für Speler auf de Strategewahl q - der anderen Speler, falls Ũ (q *, q - ) Ũ (q, q - ), für alle q. * Schrebwese: q b (q ). DEF Ene Strategenkombnaton (q * 1,...,q * n) heßt Nash-Glechgewcht, falls Ũ (q *, q * -) Ũ (q, q * -), für alle Strategen q von Speler und alle Speler, * * d.h. falls q b (q ) für alle Speler. Enführung n de Speltheore (für Betrebs- und Volkswrte) 2003 Dr. B. Hehenkamp