Martingale. Kapitel Martingale in diskreter Zeit Definition und Beispiele

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1 Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer Prozesse, insbesondere auch für Zählprozesse (Kapitel 7). 6.1 Martingale in diskreter Zeit Definition und Beispiele Sei X = (Ω, A, P, {X t, t N}) ein SP bzw. eine Folge von ZV. Mit F X t = {X t, X t 1,..., X 1 } = {X s, s t} bezeichnen wir die t-vergangenheit von X. Ist {Z t, t N} ein weiterer SP, z.b. eine Folge von Kovariablen(-vektoren) zu {X t, t N}, dann bezeichnet F X,Z t = {X s, Z s, s t} die t-vergangenheit von X und Z. Offensichtlich gilt in beiden Fällen F 1... F t F t+1... Definition 6.1 Diskrete Martingale X = {X t, t N} heißt Martingal bezüglich {F t, t N} : 1. E( X t ) <, t N 2. E(X t+1 F t ) = E(X t+1 X t,..., X 1 ; Z t,..., Z 1 ) = X t Oft wird auch ohne direkten Bezug auf {F t } definiert: X heißt Martingal : Es existiert eine Folge {F t, t N}, so dass X Martingal bezüglich {F t } ist. 124

2 KAPITEL 6. MARTINGALE 125 Während 1. die Existenz der Erwartungswerte sichert, charakterisiert 2. die Martingaleigenschaft. Interpretation: Sei X t das Kapital eines Spielers nach dem t-ten Spiel, F t die Vergangenheitsinformation über den Spielverlauf bis t. 2. besagt: Das erwartete Kapital nach dem nächsten Spiel ist gleich dem gegenwärtigen Kapital. In diesem Sinn ist das Spiel fair. Folgerungen: 1. E(X t+k F t ) = X t 2. E(X 1 ) = E(X 2 ) =... = E(X t ) Beweis: Die Beweise benutzen Regeln zu bedingten Erwartungswerten: 1. für k = 2 für k > 2: Induktion. E(X t+2 X t,..., X } {{ } 1 ) = E Xt+1 F t (E(X t+2 X t+1, X t,..., X 1 ) } {{ } F t 2. E(X 2 ) = E(E(X 2 X 1 )), } {{ } =X 1 usw. durch vollständige Induktion = E(X t+1 F t ) = X t =X t+1 ) Die Definition von Martingalen kann äquivalent durch Martingaldifferenzen (Zuwächse) t = X t X t 1, 1 = X 1 erklärt werden, da 2. in Definition 6.1. äquivalent ist zu

3 KAPITEL 6. MARTINGALE E( t+1 F t ) = 0. Dabei ist F t äquivalent zu { t, t 1,..., 1 }. Eine Folge mit Eigenschaft 3. heißt Martingaldifferenz-Folge. Mit ist dann {X t, t N} ein Martingal. X t = t Definition 6.2 Semimartingale (unfaire Spiele) X = {X t, t N} heißt Sub- bzw. Supermartingal : 1. E( X t ) <, t N 2. E(X t+1 F t ) X t (Sub) bzw. E(X t+1 F t ) X t (Super) X heißt Semimartingal, wenn X entweder ein Sub- oder Supermartingal ist. Bemerkung: Die Definition von (Semi-)Martingalen wird oft abstrakter mit Hilfe einer aufsteigenden Folge F 0... F t F t+1... A von σ-algebren eingeführt. Eine solche Folge von σ-algebren heißt Filtration. In Anwendungen ist F t sehr oft F t = F X t = σ(x 1,..., X t ) bzw. F X,Z t = σ(x 1,..., X t ; Z 1,..., Z t ) die von {X 1,..., X t } bzw. {X 1,..., X t ; Z 1,..., Z t } erzeugte σ-algebra. Man fordert, dass X t F t -messbar ist und versteht unter E(X t+1 F t ) die bedingte Erwartung von X t+1 gegeben die σ-algebra F t.

4 KAPITEL 6. MARTINGALE 127 Beispiel: (a) Irrfahrten Sei { t, t N} iid Folge mit E( t ) = µ X t = t bzw. X t+1 = X t + t+1. {X t } Martingal für µ = 0 E(X t+1 X 1,..., X t ) = E(X t + t+1 X t, t,..., 1 ) {X t } Submartingal für µ 0 {X t } Supermartingal für µ 0 z.b. Diskrete Irrfahrt mit p = q ist Martingal. = X t + E( t+1 ) = X t + µ; (b) Score-Funktion bei Logit-Modell für binäre MK Logit-Modell: Score-Funktion für Beobachtung Y 0, Y 1,..., Y t : P (Y t = 1 X t, Y t 1 ) = h(x t β X + β Y Y t 1 ) = π t S t (β) = t Z s (Y s π s ), } {{ } Z s = (X s, Y s 1 ), s N. = s(β) s=1 Es gilt: da E(Y s F s 1 ) = π s. E( s (β) Y 1,..., Y s 1 ; X s,..., X } {{ } 1 ) = 0, F s 1 { t (β), t N} bildet Martingaldifferenzenfolge, {S t (β), t N} Martingal. Diese Eigenschaft bildet die Grundlage für asymptotische Likelihoodtheorie bei abhängigen Beobachtungen Y 1,..., Y t,..., da starkes Gesetz großer Zahlen und zentrale Grenzwertsätze für Martingale existieren. Diese Bemerkung gilt auch für Likelihood-Inferenz in allgemeineren SP.

5 KAPITEL 6. MARTINGALE Spielsysteme und das Optional Stopping Theorem Der Martingalbegriff ist historisch mit Spielsystemen verknüpft. Zur Vorbereitung benötigen wir den Begriff einer Stoppzeit. Definition 6.3 Stoppzeit Sei {F t } eine Filtration, z.b. F t = σ(x 1,..., X t ). Eine ZV τ mit Werten in {0, 1, 2,..., + } heißt Stoppzeit : {τ t} = {ω : τ(ω) t} F t für alle t ( {τ = t} F t {τ t} F t 1 ). Die Definition besagt: Ob das Ereignis {τ = t} eintritt oder nicht, hängt nur von der Vorgeschichte (bis einschließlich t) ab, jedoch nicht von der Zukunft. Beispielsweise soll die Entscheidung zum Zeitpunkt t ein Spiel zu beenden, nur von den bis t eingetretenen Ereignissen, nicht aber von zukünftigen Ereignisssen abhängen (keine Präkognition). Definition 6.4 Spielsystem Unter einem Spielsystem verstehen wir eine Folge von ZV {X t, t N}, die folgendermaßen konstruiert wird: X 1 = W 1 1, X t+1 = X t + W t+1 t+1. Dabei bedeutet t unabhängige ZV mit E( t ) = 0. Diese ZV repräsentieren eine unabhängige Folge von (fairen) Spielen, deren Ausgang vom Spieler nicht beeinflusst werden kann. X t kumulierter Spielgewinn nach dem t-ten Spiel. W t Einsatz, den der Spieler für das t-te Spiel leistet. Die Spieleinsätze W t 0 können in Abhängigkeit vom bisherigen Spielverlauf gewählt werden. Formal: (W t, Ft X = {X t,..., X 1 }), t N, ist eine vorhersagbare Folge : W t = g t (X t 1,..., X 1 ) W t ist Ft 1-messbar. X Dabei ist g t eine deterministische, messbare Funktion. Satz 6.1 Der SP X = {X t, t N} der kumulierten Spielgewinne bildet ein Martingal.

6 KAPITEL 6. MARTINGALE 129 Beweis: E(X t+1 F X t ) = E(X t + W t+1 t+1 F X t ) = E(X t F X t ) + E(W t+1 t+1 F X t ) = X t + W t+1 E( t+1 F X t ) = X t + W t+1 E( t+1 ) } {{ } =0 = X t. Das Verdopplungssystem beim Roulette Der Name Martingal stammt von folgendem Spielsystem: 1. Setze auf Rot. Beginne mit dem Einsatz 1 und verdopple nach jedem Spiel den Einsatz. 2. Verdopple solange, bis zum ersten Mal Rot erscheint. Nach Definition 6.3 entspricht dies: +1, Rot erscheint Gewinn t = 1, Schwarz erscheint Verlust In Phase 1 des Verdopplungssystems ist W t = 2 t 1, t = 1, 2,... X t = t 1 t. Nach Satz 6.1 bilden die kumulierten Spielgewinne nach einer festen Anzahl von Spielen ein Martingal mit E(X t ) = 0. Neu ist Phase 2, welche die Einführung einer Stoppzeit τ bedeutet, mit Die Stoppzeit τ ist geometrisch verteilt: τ(ω) := min{t : t (ω) = 1}. P (τ = t) = 1, t = 1, 2,... P (τ < ) = 1 2t Das Verdopplungssystem wird durch die ZV X τ τ 1 τ, für τ < X τ = undefiniert, für τ = (P (τ = ) = 0) beschrieben. Es gilt X τ(ω) (ω) = τ(ω) τ(ω) 1 = 1

7 KAPITEL 6. MARTINGALE 130 für ω {ω : τ(ω) < }, also P (X τ = 1) = 1. Mit dem Verdopplungssystem kann man daher das Spiel so steuern, dass man mit Wahrscheinlichkeit 1 den Betrag 1 gewinnt. Casino würde bankrott. Deshalb: Casinos begrenzen Anzahl der Verdopplungen durch eine Zahl K nach oben. Das Optional Stopping Theorem Für ein Martingal {X t, F t } gilt E(X 1 ) = E(X t ) für jedes feste t. Frage: Kann man diese Gleichheit durch Einführen einer Stoppzeit überlisten? Beim Spielsystem Verdoppeln ging das: E(X 1 ) = E(X t ) = 0, aber E(X τ ) = 1. Satz 6.2 Optional Stopping Theorem Sei {X t, F t } ein Martingal und τ eine Stoppzeit. Es gelte eine der folgenden Bedingungen 1. τ ist beschränkt (τ(ω) k für alle ω Ω). 2. {X t } ist beschränkt ( X t (ω) k für alle ω Ω) und P (τ < ) = E(τ) < und {X t X t 1 } ist beschränkt. Dann gilt E(X τ ) = E(X 1 ). Also: Falls eine der Bedingungen gilt, so folgt dass ein Martingal auch beim Übergang zu einer Stoppzeit nicht überlistet werden kann. Beim Spielsystem Verdoppeln sind alle drei Bedingungen verletzt: τ ist nicht beschränkt; {X t } und {X t X t 1 } = {2 t 1 } sind nicht beschränkt. Die möglichen Verluste des Spielers sind jedoch auch unbeschränkt; dies macht diese Strategie praktisch selbstmörderisch.

8 KAPITEL 6. MARTINGALE 131 Martingale in der Finanzmarkttheorie W-Raum (Ω, A, P ) {S 1 t, t = 0, 1, 2,..., T } stock ; Aktie mit zufälligen Wert (Preis) S j t, j = 1,..., k. {S k t,...} { B }{{} t,...} =:St 0 S j t = Sj t B t bond ; Sparbuch mit fester Zinsrate r relative (deflationierte) Preise S t = {B t, S 1 t,..., S k t }, S t = {1, S 1 t,..., S k t } Definition 6.5 Handelsstrategie Eine Handelsstrategie (trading strategy) ist ein vorhersagbarer (θ t F t 1 ) Prozess θ = {θ t, t = 1, 2,..., T } mit Komponenten θ j t, j = 0, 1,..., k Wert eines Portefeuilles: Zeit t 1 t Wert des Portefeuilles k j=0 θj t Sj t 1 = θ t S t 1 k j=0 θj t Sj t = θ t S t Gewinn im Intervall [t 1, t[ : θ t S t gesamter Gewinn in [0, t] : G t (θ) = t s=1 θ s S s V t (θ) = θ ts t Vermögensprozess G 0 (θ) = 0; {G t, t 0} Gewinnprozess Definition 6.6 Selbstfinanzierende Handelsstrategie {θ t } heißt selbstfinanzierend : θ ts t = θ t+1s t t = 1, 2,..., T 1 Also: Zu keiner Zeit wird dem Portefeuille Geld zugeführt oder abgezogen. Marktmodell M(S, θ): Menge von Aktien (Bond) und selbstfinanzierenden Handelsstrategien. Definition 6.7 (Handelsstrategie mit) Arbitragemöglichkeit θ Θ mit V 0 (θ) } {{ } = 0 (f.s.), V T (θ) 0 (f.s.) Anfangsvermögen und P {V T (θ) > 0} > 0. ( E(V T (θ)) > 0)

9 KAPITEL 6. MARTINGALE 132 Satz 6.3 Für einen (endlichen) Markt gilt: M(S, Θ) ist arbitragefrei (d.h. es gibt keine Handelsstrategie mit Arbitragemöglichkeit) Es existiert ein zu P äquivalentes W-Maß Q, so dass der deflationierte Vermögensprozess ein Martingal bezüglich Q ist. Ṽ t (θ) = θ t S t = θ t St B t Beweis: (z.b.) Koller (2000), Ammann (2001), Bingham/Kiesel (1998) Doob-Meyer-Zerlegung in diskreter Zeit Die Doob-Meyer-Zerlegung ist ein wesentliches Hilfsmittel zur statistischen Inferenz von Zählprozessen. Während der Beweis für Martingale in stetiger Zeit tiefliegende Hilfsmittel benützt, ist die Zerlegung in diskreter Zeit sehr einfach zu zeigen. X = {X t, t N} sei Submartingal, d.h. E(X t+1 F t ) X t. Ziel: Zerlegung von X t in vorhersagbaren, wachsenden Trend A t und Rauschen ( = Martingal M t ). Setze: M 1 = X 1, A 1 = 0, dann rekursiv A t = A t 1 + E(X t F t 1 ) X t 1 = t s=2 E(X s X s 1 F s 1 ), M t = X t A t. Dann gilt die Doob-Meyer-Zerlegung X t = A t + M t, wobei {M t } ein Martingal ist und der Kompensatorprozess {A t } wachsend und vorhersagbar ist, d.h. A t ist eine deterministische Funktion von F t 1 = {X 1,..., X t 1 }. Beweis: E(M t M t 1 F t 1 ) = E(X t X t 1 A t + A t 1 F t 1 ) = E(X t F t 1 ) X t 1 A t + A t 1 = 0 nach Definition von A t, d.h. {M t M t 1 } ist eine Martingaldifferenz und {M t } ein Martingal.

10 KAPITEL 6. MARTINGALE Martingale in stetiger Zeit Ziel: Konzepte von diskreter auf stetige Zeit übertragen; Grundlagen für Behandlung von Zählprozessen in Kap Definition und Beispiele Definition 6.8 (Semi-)Martingale in stetiger Zeit Der SP X = {X t, t R + } heißt Martingal : (Existenz von Erwartungswerten wird vorausgesetzt) 1. E(X tn X tn 1,..., X t1 ) = X tn 1 für alle t 1 <... < t n, n 2 2. E(X tn X tn 1 = x n 1,..., X t1 = x 1 ) = x n 1 für alle t 1 <... < t n, x 1,..., x n 1, n 2 Der SP X heißt Sub- bzw. Supermartingal : 3. E(X tn...) X tn 1 bzw. E(X tn...) X tn 1 für alle t 1 <... < t n, n 2 Bemerkungen: (a) Falls zusätzlich ein Kovariablen-Prozess {Z t, t R + } vorliegt, wird dieser in die Bedingung einbezogen. (b) Wie im diskreten Fall lässt sich die Definition auch mit Filtrationen F 0... F s... F t... A, s < t formulieren. Insbesondere kann F t wieder die von {X s, s t} bzw. {X s, Z s, s t} erzeugte σ-algebra sein. Dann ist X ein Martingal, falls E(X t F s ) = X s für alle s < t und ein Sub- bzw. Supermartingal, wenn gilt. E(X t F s ) X s bzw. E(X t F s ) X s

11 KAPITEL 6. MARTINGALE 134 Beispiel: (a) Wiener Prozess E(W tn W tn 1,..., W t1 ) = E((W tn W tn 1 ) + W tn 1...) = E(W tn W tn 1...) + E(W tn 1 W tn 1,..., W t1 ) = E(W tn W tn 1 W tn 1 W tn 2,..., W t2 W t1, W t1 ) + W tn 1 unabh. Zuwächse = E(W tn W tn 1 ) } {{ } =0 = W tn 1. Also: Wiener-Prozess ist Martingal (b) Poisson-Prozess Für s < t +W tn 1 E(N t F N s ) = E((N t N s ) + N s F N s ) = E(N t N s F N s ) + E(N s F N s ) = E(N t N s ) + N s = λ (t s) +N } {{ } s >0 Also: E(N t F N s ) > N s (für λ > 0), d.h. Poisson-Prozess ist Submartingal. Der kompensierte Prozess N t λt ist Martingal Doob-Meyer-Zerlegung in stetiger Zeit Im folgenden sei {F t } eine Filtration, insbesondere F t = σ(x s, s t) bzw. erweitert um Kovariablen. Die σ-algebra F t + = F s s>t erlaubt einen infinitesimalen Blick in die Zukunft, und ( ) = σ F s F t umfasst alle Ereignisse bis umittelbar vor t. s<t

12 KAPITEL 6. MARTINGALE 135 Im weiteren werden die üblichen Bedingungen vorausgesetzt: 1. {F t } ist rechtsstetig : F t = F + t für alle t 2. {F t } ist vollständig : Für C B A mit P (B) = 0 folgt C F 0 A (und P (C) = 0). Bemerkung: F t = σ(x s, s t) ist rechtsstetig, wenn die Pfade von X rechtsstetig sind. Damit lässt sich die Vorhersagbarkeit eines SP {A t, t R} definieren: Definition 6.9 Vorhersagbarkeit Ein SP A = {A t, t R + } heißt vorhersagbar (bez. {F t }) : für alle t R + gilt 1. A t ist F t -messbar, und 2. A t ist F t -messbar. Bedingung 2 ist erfüllt falls A t = g t (A s, s < t) mit einer messbaren, deterministischen Funktion g t. Hinreichend für die Vorhersagbarkeit ist, dass der SP A linksseitig stetige Pfade besitzt. Interpretation: A t ist bereits kurz vor t bekannt. Satz 6.4 Doob-Meyer-Zerlegung Sei {N t, t R + } ein rechtsstetiges, nichtnegatives oder ein beschränktes Submartingal, und {F t } eine Filtration mit den üblichen Bedingungen. Dann existiert ein vorhersagbarer Prozess {A t, t R + } mit N t = A t + M t für alle t R +, wobei {M t, t R + } ein Martingal ist. Der Prozess A heißt Kompensator von N. Beispiel: (a) Poisson-Prozess: N t λt =: M t N }{{} t = }{{} λt + M }{{} t Subm. Komp. Mart. A t = λt ; N t λt ist Martingal. In diesem Fall ist A t sogar deterministisch. (b) Inhomogener Poisson-Prozess: P (N(t + h) N(t) = 1) = λ(t)h + o(h)

13 KAPITEL 6. MARTINGALE 136 Mit Λ(t) = t 0 λ(u)du gilt E(N(t) Λ(t) F s ) = E(N(t) N(s) + N(s) Λ(t) F s ) d.h. N(t) Λ(t) ist ein Martingal. Somit und Λ(t) ist der Kompensator. = Λ(t) Λ(s) + N(s) Λ(t) = N(s) Λ(s), N(t) = Λ(t) + M(t),