Anwendungsbeispiele für LGS in der Sek II

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1 Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Wintersemester 2013/2014 Dozent: Prof. Dr. Filler Fachdidaktisches Hauptseminar Anwendungsbeispiele für LGS in der Sek II Marek Mandel Stephanie Schindler Stefanie Walter

2 2 Gliederung 1. Einstieg 2. Zahlenmauern 3. Gruppenarbeitsphase 4. Besprechung der Ergebnisse 5. Die Computer-Tomographie (C.T.) 6. Die Kryptographie 7. Zusammenfassung

3 3 Einstieg zwei verschiedene Herangehensweisen an LGS: Schwerpunkt auf (analytischer) Geometrie, oder auf (linearer) Algebra geometrische Auffassung im Vordergrund: LGS u. Lösungsmengen als geom. Schnitte von Geraden und Ebenen Lösungsmenge von LGS mit 2 oder 3 Lösungsvariablen führen zur Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen Arithmetisch-algebraische Sicht im Vordergrund: Anwendungen durchaus reichhaltig und interessant Vom Modellbildungskreislauf bleibt nur Mathematisieren Quelle: Filler, Henn (2014); S. 20 f

4 4 Zahlenmauern allgemein erfolgreiches Übungsformat aus der Grundschule auch in Sek II bewährt Spiralprinzip nach Bruner einfache dreireihige Zahlenmauern: Summe zweier nebeneinanderliegender Steine ergibt darüberlegenden Stein kann beliebig erweitert werden Quelle: Filler, Henn (2014); S.56

5 5 Zahlenmauern Beispiel Zahlenmauer lässt sich auch als LGS angeben: x y z x Zugehöriges LGS: Lösung: x + y = 36 x = 25 y + z = 20 y = 11 z + x = 34 z = 9 Quelle: Filler, Henn (2014); S. 57

6 6 Zahlenmauern Verallgemeinerung allgemeiner LGS-Ansatz: a b c x y z x Zugehöriges LGS: Lösung: x + y = a x = ½ (a - b + c) y + z = b y = ½ (a + b - c) z + x = c z = ½ (-a + b + c) Quelle: Filler, Henn (2014); S. 57

7 7 Didaktische/Methodische Überlegungen Operative Prinzipien: Transitivität, Reversibilität attraktiv, da bereits bekannt, niedrige Schwelle Sachrechnen (n. Winter): Lernprinzip innere Differenzierung gut möglich (z.b.: unterschiedliche Ebenenwahl) prozessbezogene Kompetenzen: Problemlösen, Mathematisieren eignet sich auch für Gruppenarbeit Zahlenmauern eignen sich zum Einstieg ins Thema

8 8 Gruppenarbeitsphase Untersuchen Sie nun die Aufgaben hinsichtlich der Kriterien des Thesenpapiers und ergänzen Sie sie um weitere, wenn nötig.

9 9 Ströme in Netzen Die Aufgabe: Eine Verteilerstation eines Wasserversorgungsnetzes besteht aus 4 Knoten. Gegeben sind die Volumenströme der Zu- und Abflüsse (in m 3 /s). Welchen Durchmesser müssen die einzelnen Rohrabschnitte zwischen den Knoten besitzen, wenn zugleich die Baukosten minimal gehalten werden sollen? Der Abschnitt zwischen den Knoten B und C soll für Reparaturarbeiten stillgelegt werden. Wie müssen nun die Rohre dimensioniert werden? Quelle: Tietze, Klika, Wolpers (2000); S. 57, S. 172

10 10 Ströme in Netzen didaktische Überlegungen Sachrechnen als Lernziel: Modellierung von Strömungen, insb. Interpretation der Daten geeignet für GK und LK Innere Differenzierung: Vorgabe und Bezeichnung der Strömungsrichtungen in den Rohrabschnitten Kompetenzen: Modellieren, Argumentieren, Darstellen, Problemlösen operatives Üben: Zerlegung in Teilschritte, Übertragung der Strategien auf andere Sachverhalte, Variationsfähigkeit Attraktivität: kann übertragen werden auf Stromkreise, Verkehrsnetze aller Art (Straße, Pipeline ), Geld- und Warenbewegungen Physik, Logistik

11 11 Ströme in Netzen methodische Überlegungen Gruppenarbeit als reales Modell nachbauen und messen Einsatz im Unterricht: Vertiefen/ Modellieren/ Interpretation als Prüfungsfrage zu umfangreich

12 12 Lebenswelt Die Aufgabe: Ein Rechenkünstler lässt sich zum gemütlichen Abend eines Mathematiker-Kongresses einladen, er denkt sich einen schwierigen Trick aus und hofft, dabei nicht durchschaut zu werden. Von vier gedachten Zahlen sollen jeweils drei addiert und die vierte subtrahiert werden. Ein Zuschauer ruft ihm die Ergebnisse 2, 4, 8 und 10 zu. Ermittle die vier gedachten Zahlen. Quelle: Kuypers, Lauter (1988); S. 109

13 13 Lebenswelt didaktische Überlegungen Sachrechnen als Lernprinzip als Wiedereinstieg um die bekannten Lösungsverfahren zu üben innere Differenzierung: Aufgabe auf drei Variablen herunter brechen, Finden des eigentlich genannten Tricks, kombinatorische Überlegungen Kompetenzen: Problemlösen, Argumentieren operatives Üben: Assoziativiät (Bilden benachbarter Aufgaben) Aufgabenstellung lehnt sich an Knobelaufgabe an Steigerung des Attraktivitätsgrades

14 14 Lebenswelt methodische Überlegungen Lösen der Aufgabe auf symbolischer Ebene Partnerarbeit mit Ausdenken einer analogen Knobelaufgabe

15 15 Mischungsaufgaben Die Aufgabe: Ein Apotheker bietet ein Desinfektionsmittel in drei unterschiedlichen Wirkstoffkonzentrationen an: 10%-ige, davon hat er 3 Liter, 30%-ige, ebenfalls 3 Liter Vorrat und 90%-ige, von dieser hat er 6 Liter. Ein Kunde bestellt eine Menge von 10 Litern Desinfektionsmittel mit einer Konzentration von 60%. Kann der Apotheker diese Menge in der gewünschten Konzentration durch Mischen aus seinen Vorräten herstellen? Quelle: Bigalke, Köhler (1999); S. 133

16 16 Mischungsaufgaben didaktische Überlegungen Sachrechnen als Lernprinzip eignet sich zum Festigen und Üben, als Klausurfrage geeignet innere Differenzierung: Engpassorientierung Kompetenzen: Argumentieren, Mathematisieren operative Prinzipien: Transitivität, Kompositionsfähigkeit attraktiv, da Mischungsthematik sich übertragen lässt Bezüge zur Chemie

17 17 Mischungsaufgaben methodische Überlegungen selbst Mischen mit Substanzen unterschiedlicher Dichte auch als frontale Arbeitsphase denkbar

18 18 C.T. Grundlage der Computer Tomographie Röntgenstrahlen werden durch den Körper geschickt und schwärzen anschließend Fotopapier je nach Masse des Gegenstands werden sie abgeschwächt unterschiedliche Schwärzung auf dem Fotopapier Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 75

19 19 C.T. Durchführung Strahlenquelle sendet Röntgenstrahl aus, der die gewählte Schicht des Körpers durchquert u. wieder aus dem Körper austritt Röntgenstrahl trifft auf einen Strahlenempfänger misst, wie stark er jetzt noch ist Reale Messung: Aussendung von parallelen Strahlen Drehung der Apparatur für mehrere Messungen Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 76

20 C.T. Aufstellen des LGS Angenommen: Röntgenstrahl hat beim Verlassen der Quelle eine Stärke von 20 Einheiten jedes Quadrat schwächt ihn um einen gewissen Betrag (unbekannt!) 1. Strahl: x 1 + x 2 + x 3 = Strahl: x 4 + x 5 + x 6 = Strahl: x 7 + x 8 + x 9 = 18 Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 80 f 20

21 21 C.T. Aufstellen des LGS Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 82

22 22 C.T. Aufstellen des LGS So entsteht folgendes LGS Lösung (6, 7, 5, 5, 2, 7, 6, 7, 5) Quelle: Kirchgraber, Hartmann (1995); S. 83

23 23 Didaktische Überlegungen Sachrechnen als Lernziel: schwierig allerdings durch die Verkürzung des Modells viertiefendes Beispiel zur Anwendung von LGS Differenzierung äußere: freie oder vorgegebene Drehung der Strahlen innere: selbstständige Einteilung des Bildes in beliebig viele Quadrate Kompetenzen: Modellieren operative Prinzipien: Transitivität Interesse an der Aufgabe wird durch Lebensnähe gesteigert Bezug zur Physik/Biologie Was sind eigentlich Röntgenstrahlen? Gefahren?

24 24 Methodische Überlegungen ikonische Herangehensweise an die Aufgabe um das Prinzip des C.T. zu verdeutlichen, Übergang zur symbolischen Ebene bei der Rechnung ggf. Bearbeitung der Aufgabe in Gruppen Klärung von Verständnisfragen zum Prinzip des C.T. Absprache über sinnvolle Drehungen

25 25 Vorgehen zur De-/Chiffrierung Chiffrierung: verwende die normale Buchstabenverschlüsslung als Schlüssel wird eine (m x m)-matrix verwendet erstelle aus deinem Text mehrere (m x m)-matrizen (Klartextmatrizen), gehe zeilenweise vor multipliziere die Klartextmatrizen mit dem Schlüssel Dechiffrierung: multipliziere eine Variablenmatrix mit dem Schlüssel, das Ergebnis ist die Geheimtextmatrix löse das LGS nach den Variablen auf forme die entstandenen Klartextmatrizen in einen Text um, gehe zeilenweise vor Quelle: Petsch, 2004; S. 2 f

26 26 Didaktische Überlegungen kritische Auseinandersetzung mit Chiffrierungsverfahren im LK nach Matrizenrechnung einsetzbar innere Differenzierung: kürzere Sätze/Wörter verwenden, einsetzen von Schlüsseln mit m > 3 Kompetenzen: Argumentieren, Kommunizieren operatives Üben: Zerlegung in Teilschritte, Umkehren (Reversibilität), Variationsfähigkeit Attraktivität: Interesse am Ungewissen Bezug zur Informatik

27 27 Methodische Überlegungen Schüler können als HA beliebige Sätze verschlüsseln und anschließend gegenseitig entschlüsseln Matrizenrechnung und Lösen von LGS wird geübt

28 28 Zusammenfassung Besprochene Anwendungen von LGS: Ströme in Netzen Knobelaufgaben Mischungsprobleme Mathematisierungsmuster Weitere Anwendungen (nicht alle für Sek II geeignet): Beschreibung von Geraden, Ebenen, Schnittmengen Verflechtungsaufgaben, innerbetriebliche Leistungsverrechnung Markoff-Ketten lineares Optimieren, Transportprobleme Diskretisierungen v. Differentialgleichungen Quelle: Tietze, Klika, Wolpers (2000); S. 58

29 Literatur Bigalke, A., Köhler, N. (1999): Mathematik Grundkurs; Berlin, Cornelsen Filler, A., Henn, H.-W. (2014): Didaktik der Analytischen Geometire und Linearen Algebra; Heidelberg, Springer-Spektrum Kirchgraber, U., Hartmann, W. (1995): Lineare Gleichungssysteme - Ein Leitprogramm in Mathematik; Eidgenössische Technische Hochschule Zürich ( ) Kuypers, W., Lauter, J. (1988): Mathematik Sekundarstufe II. Analytische Geometrie und lineare Algebra; Bielefeld, Cornelsen Petsch, S. (2004): Einfache Codierverfahren; Technische Universität Darmstadt ( ) Tietze, U.-P., Klika, M., Wolpers, H. (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 2; Braunschweig/Wiesbaden, Vieweg