Bijektive, geradentreue und winkeltreue Abbildungen der Ebene heißen Ähnlichkeitsabbildungen.

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1 Vergrößerungen entrische Streckung 1 Kapitel 4: Ähnlichkeitsabbildungen Beispiele Verkleinerungen Vergrößerungen Bijektive, geradentreue und winkeltreue bbildungen der Ebene heißen Ähnlichkeitsabbildungen. Mathematische räzisierung, aber auch Verengung der umgangssprachlichen Redeweise Die zwei sehen ganz ähnlich aus 4.1 entrische Streckungen ' k = -0,5 k = +3 '

2 entrische Streckung 2 entrische Streckung 3 ufgabe 1 Definition 4.1 Es sei ein unkt der Ebene E; k \{0}. Eine bbildung E E heißt zentrische Streckung mit (Streck-)entrum und Streckfaktor k für jeden unkt und seinen Bildpunkt gilt: ' = k Beispiel: Strecken von Dreiecken k = +2 ' = 2 ' ' k = -0,5 ' = 2 1 ufgabe Führen Sie mit dem Viereck je eine zentrische Streckung durch mit a) k = 2 b) k= - 3 c) k= -1 3 cm 2 cm 4 cm Was bedeutet Streckung mit k=-1? Wie lässt sich die Streckung mit k=-3 deuten? Was würde eine Streckung mit Faktor k=0 bedeuten?

3 entrische Streckung 4 entrische Streckung 5 Eigenschaften einer zentrischen Streckung Umkehrabbildung ist die zentrische Streckung mit demselben entrum und dem Streckfaktor 1/k. Fixelemente einer zentrischen Streckung: - Fixpunkt: - Fixgeraden: alle Geraden durch Invarianten einer zentrischen Streckung Geradentreu (Beweis ausgelassen) Bildgerade Originalgerade parallelentreu winkelmaßtreu umlaufsinntreu teilverhältnistreu längenverhältnistreu Im allgemeinen nicht flächeninhaltstreu Einige Beweise Bildgerade Originalgerade: g : g =g und g g. g aber g g= {} : Fixpunkt. lso auch hier g g. g g arallelentreue, Winkelmaßtreue: Folgen aus der vorangehenden Eigenschaft. Umlaufsinntreue: Offensichtlich Teilverhältnistreue: Satz 4.3 oder Folgerung aus Satz 4.1. Längenverhältnistreue: Folgerung aus Satz 4.1.

4 entrische Streckung 6 entrische Streckung 7 Was wir schon immer geglaubt haben: Ist das nicht genau die Definition einer zentrischen Streckung??? Satz 4.1 Bei einer zentrischen Streckung mit Faktor k gilt für jede Strecke B : 'B' = k B Beweis 1.Fall:,B liegen auf einer Geraden g durch B B ' B' = B' ' = k B k = k( B ) = k B 2.Fall:,B liegen nicht auf einer Geraden g durch. Hier sei k= Teilstücke ' 7 Teilstücke 4 Teilstücke 4 Teilstücke B B'

5 entrische Streckung 8 ufgabe 2 entrische Streckung 9 ufgabe 3 ufgabe Eine zentrische Streckung wird festgelegt durch ngabe des Streckzentrums und des Streckfaktors k. Kann eine zentrische Streckung auch auf andere rt eindeutig festgelegt werden? f sei eine zentrische Streckung. rüfen Sie, was zutrifft und begründen oder widerlegen Sie. f wird eindeutig festgelegt durch Ein unktepaar (, ),, entrum und ein unktepaar (, ),, zwei unktepaare (, ), (Q,Q ), Q, drei unktepaare (, ), (Q,Q ), (R,R ),, Q, R nicht auf einer Geraden. ufgabe In der Schule wird zur Einführung der zentrischen Streckung oft das Beispiel eines rojektors zur Vergrößerung von Bildern herangezogen. Der Vergrößerungsprozess spielt sich im Raum ab. Erklären sie, wie dieser rozess funktioniert. Erklären sie, wie man daraus eine zentrische Streckung in der Ebene erhält. Wie kommt man zur bbildungsvorschrift in der Ebene? Welche rten von zentrischen Streckungen ergeben sich dabei? Kennen Sie andere Vorrichtungen im Raum, bei denen solche Vergrößerungen/Verkleinerungen eine Rolle spielen?

6 Strahlensätze 1 Strahlensatz 1 Beweis 4.2 Strahlensätze g h B B g h = {} g j = {} ; g k = {'}; h j = {B}, h k = {B'} j k Satz Strahlensatz: Ist j k, so ist ' B' B = und = B ' BB'. Umkehrung des 1. Strahlensatzes: ' B' B Ist = oder =, so ist j k. B ' BB' Beweis Strahlensatz g h B B j k Beweis Umkehrung ' Durch k = wird eine zentrische Streckung definiert. Das Bild von B unter dieser Streckung sei B ~. Dann ist B ~ B. us B B folgt B B ~, also B =B ~ und damit auch B' k = B ' B' = = k B und B werden durch zentrische Streckung mit Faktor k auf und B abgebildet. B B.

7 Strahlensätze 2 Teilverhältnistreue g g h = {} g j = {} ; g k = {'} ; h j = {B}, h k = {B'} h B B j k Satz Strahlensatz: ' ' B' Ist j k, so ist =. B Der 2. Strahlensatz ist nicht umkehrbar! ' B Teilverhältnistreue Satz 4.3 Drei unkte,b,t einer Geraden g werden durch zentrische Streckung auf die unkte,b,t der Geraden g abgebildet. Dann gilt: Ist T = r TB, so ist auch 'T ' = r T ' B'. T B T B ' T ' T ' T ' B' ' T ' T = = = = r T T TB T ' B' TB

8 Flächeninhalt/Volumen Hintereinanderaus-führung Flächeninhalt und Volumen bei zentrischer Streckung Satz 4.4 Bei einer zentrischen Streckung mit dem Faktor k wird jede Fläche auf eine Fläche mit k² fachem Inhalt abgebildet, jeder Körper auf einen Körper mit k 3 fachem Volumen abgebildet. k 2 nwendung Massiver Körper auf das k-fache vergrößert: Volumen und Gewicht nehmen auf das k 3 -fache zu. Bei massiver Gipsfigur Höhe verdoppelt ohne die Form zu ändern : Gewicht nimmt auf das 8-fache zu. 4.4 Hintereinanderausführen von zentrischen Streckungen (a) Gleiches Streckzentrum Satz 4.5 (a) Das Hintereinanderausführen von zwei zentrischen Streckungen mit gemeinsamem Streckzentrum und den Streckfaktoren k 1 und k 2 lässt sich ersetzen durch eine zentrische Streckung mit Streckzentrum, Streckfaktor k 1 k 2. ' ''

9 Hintereinanderaus-führung 2 Hintereinanderaus-führung 3 (b) Verschiedene Streckzentren Fall 1: k 1 k ' '' 1 Exakter Beweis ausgelassen Fall 2: k 1 k 2 = 1 ' 1 * 2 Satz 4.5 (b) Das Hintereinanderausführen von zwei zentrischen Streckungen mit verschiedenen Streckzentren und den Streckfaktoren k 1 und k 2 lässt sich ersetzen durch eine zentrische Streckung, falls k 1 k 2 1,(entrum auf 1 2 ) durch eine Verschiebung, falls k 1 k 2 =1 (Verschiebung 1 2 )

10 Ähnlichkeit 1 Ähnlichkeit Ähnlichkeitsabbildungen Definition 4.2 Eine bbildung f: E E heißt Ähnlichkeitsabbildung f ist bijektiv, geradentreu und winkeltreu Wie kann man Ähnlichkeitsabbildungen charakterisieren? Satz 4.6 Jede Ähnlichkeitsabbildung kann man als Verkettung einer zentrischen Streckung mit einer Kongruenzabbildung darstellen. Beweisidee: Begründe zuerst wieder, dass bijektive, geradentreue und winkeltreue bbildungen durch die bbildung eines Dreiecks eindeutig festgelegt sind. 4.6 Die Gruppe (Ä, o) aller Ähnlichkeitsabbildungen der Ebene Ä = Menge aller Ähnlichkeitsabbildungen E E; o = Hintereinanderausführung Satz 4.7 (Ä, o) ist eine (unendliche) Gruppe. (K, o) ist eine Untergruppe von (Ä, o). Beweis Ä ist abgeschlossen unter o ssoziativgesetz gilt ( f o g ) o h = f o ( g o h ) id (die identische bbildung) ist neutrales Element; id Ä mit jedem f Ä ist auch das inverse Element f -1 Ä