9 Anhang. 9.1 Verhältnisgleichungen. 9.2 Strahlensätze. Elemente der Geometrie 22

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1 Elemente der Geometrie 9 Anang 9.1 Verältnisgleicungen Verältnisgleicungen sind spezielle Formen von Gleicungen. Es a werden zwei Quotienten gleic gesetzt. Die Gleicung! b = c d kann man auc screiben als!a:b = c :d. In dieser verwendeten, speziellen Screibweise kann man innere und äußere Zalen untersceiden. Satz Für abcd,,, 0 gelten a : b = c : d ad = bc (1) In einer Verältnisgleicung ist das Produkt der Innenglieder gleic dem Produkt der Außenglieder. a: b= c: d a: c= b: d () In einer Verältnisgleicung kann ic die Innenglieder vertauscen. a: b= c: d d : b= c: a (3) In einer Verältnisgleicung kann ic die Außenglieder vertauscen. a c a c Zu (1) a: b= c: d = bd = bd ad = bc b d b d Zu (),(3) Die Verältnisgleicungen aben dieselbe Produktgleicung. 9. Stralensätze Dies ist ein Stralenbüscel, das von parallelen Geraden gescnitten wird. Die Stralensätze untersucen, wie sic die Strecken solc einer Figur zueinander veralten. Der erste Stralensatz mact Aussagen über das Veralten von Strecken auf den Stralen. Der zweite Stralensatz nimmt die Strecken auf den Parallelen inzu. Der dritte Stralensatz andelt von Strecken, die auf den Parallelen liegen.

2 Elemente der Geometrie 3 Erster Stralensatz Wird ein Stralenbüscel von Parallelen gescnitten, so veralten sic die Strecken auf einem Stral wie die entsprecenden Strecken auf irgendeinem anderen Stral. (wiederolende Vorbemerkung zum Fläceninalt von Dreiecken) Das gestricelte, das durcgezogene und das gepunktete Dreieck aben den gleicen Fläceninalt; denn der Fläceninalt eines Dreiecks berecnet sic als Grundseite Höe g F Δ = = Und ier aben die Dreiecke dieselbe Grundseite, und - wegen der Parallelität der waagerecten Geraden - sind auc ire Höen gleic lang. Daer sind auc diese beiden Dreiecke - wiederum Parallelität vorausgesetzt - gleic groß. Nun zum eigentlicen Die Beauptungen des ersten Stralensatzes sind, bezogen auf diese Zeicnung: SA : SA = SB : SB (1) und 1 1 SA : A A = SB : B B () In (1) werden zwei Anfangsstücke ins Verältnis gesetzt, in () ein Anfangsstück und das angrenzende Nictanfangsstück.

3 Elemente der Geometrie 4 Zu (1) Die Fläcen sind gleic, also gilt SA1 a = SB1 b. Diese Fläcen sind gleic groß, also gilt SA a = SB b. Beide Gleicungen werden dividiert SA1 a SB1 = SA a SB und gekürzt. Damit ergibt sic SA 1 : SA = SB 1 : SB b b Zu () Wir betracten die Kerwerte der Beauptung. AA SA SA SA (1) SB SB SB BB = = 1= 1= = SA SA SA SB SB SB 1 1 Zweiter Stralensatz Hier gilt p 1 p SA 1 : SA = A 1 B 1 : A B (5)

4 Elemente der Geometrie 5 Man zeicnet eine Parallele zu SB! durc! A und betracte die neue 1 Figur vom neuen Stralungszentrum A aus. Da ier CB und AB als Gegenseiten eines Parallelogramms gleic lang sind, gilt nac (1) SA1 A1S CB A1B 1 = = = SA A S A B A B Dritter Stralensatz p 1 p (6) A 1 B 1 : A B = C 1 D 1 :C D Nac dem ersten und dem zweiten Stralensatz gilt ier AB SA1 SC1 CD = = = AB SA SC CD Umkerung des ersten Stralensatzes SA 1 : SA = SB 1 : SB p 1 p (7) Wenn die Parallele zur Geraden AB durc den Punkt A den anderen Stral im Punkt B * scneidet, dann gilt nac dem ersten Stralensatz * SA1: SA = SB1: SB. Andererseits gilt SA1: SA = SB1: SB laut * Voraussetzung. Daraus folgt SB1: SB = SB1: SB und mitin auc B AB und AB zueinander parallel. * = B. Also sind Der zweite und der dritte Stralensatz sind nict umkerbar.

5 Elemente der Geometrie 6 Gegenbeispiel zum. Straelensatz Hier gilt SA: SA = A1B 1: AB. Dennoc ist die rote Gerade nict zu p parallel. Gegenbeispiel zum 3. Straelensatz Wenn die grauen Geraden parallel zueinander sind, steen nac dem ersten Stralensatz die grünen Strecken in demselben Verältnis wie die roten. Dennoc sind die blauen Halbgeraden nict parallel.

6 Elemente der Geometrie Satzgruppe des Pytagoras Begriffe und Bezeicnungen Facbegriffe Die üblicen, symboliscen Bezeicnungen sind 9.3. Die Satzgruppe Neben dem eigentlicen Satz von Pytagoras gibt es merere Sätze, die ebenfalls mit dem rectwinkligen Dreieck zusammenängen. Zum Teil sind auc die e dieser Sätze eng miteinander verbunden. Daer fasst man diese Sätze zu einer Satzgruppe zusammen. Katetensatz: a = c p b = c q Höensatz: = p q Satz von Pytagoras:!a + b = c Aufgaben als Vorbereitung für die nacfolgenden e 1. Jedes Dreieck at drei Höen. Dennoc sagt man 'Die Höe des rectwinkligen Dreiecks'.. a) In diesem rectwinkligen Dreieck ist α 30 groß. Wie groß sind die anderen Winkel? b) en Sie: Die Höe eines rectwinkligen Dreiecks zerlegt den recten Winkel in die beiden anderen Winkel des Dreiecks. 3. Nemen Sie als Beispiel für ein Recteck ein DinA6 - Papier. Zeicnen Sie eine der beiden Diagonalen des Rectecks. Zeicnen Sie in eines der beiden Dreiecke die Höe. Bescriften sie die Dreiecke mit den Bucstaben a, b, c,, p, q. Scneiden Sie die drei Dreiecke aus.

7 Elemente der Geometrie 8 Die Höe eines rectwinkligen Dreiecks zerlegt dieses in zwei wiederum rectwinklige Teildreiecke. Das Dreieck selbst und seine beiden Teildreiecke aben paarweise gleicgroße Winkel und lassen sic daer zu einer solcen Figur zusammenfügen. Bescriften Sie die Dreiecksseiten und stellen Sie systematisc alle Verältnisgleicungen auf e Nac dem 1. Stralensatz gilt a =, a =, b = q b q c b c b Nac dem.stralensatz gilt a = p, a = p, b = b c a c a und = p, = p, q = q b a b a Unter diesen Verältnisgleicungen fallen diejenigen auf, in denen dieselbe Variable zweimal auftauct. p = Die zugeörige Produktgleicung ist q Höensatz. = p q, also der a p = c a Die zugeörigen Produktgleicungen sind a = c p b q b = c q = c b Katetensätze., also die Aus den beiden Katetensätzen folgt a + b = c p+ c q= c ( p+ q) = c c= c, also gilt c = a + b Anmerkung: Der Satz des Pytagoras ist einer der bekanntesten Sätze der Matematik. Viele versciedene Matematiker aben einen dazu geliefert. Eine ser scöne und umfangreice Sammlung von en findet man unter ttp://

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