6. Euklidische und nichteuklidische Geometrien

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1 6. Euklidische und nichteuklidische Geometrien 6.1 Axiomensystem der ebenen euklidischen Geometrie 62 Euklids Elemente bestehen aus 13 Büchern. Sie haben kein Vorwort, keine Einleitung. Es werden keine Ziele formuliert, keine Motivation, kein Kommentar. Das Werk beginnt abrupt mit 23 "Definitionen". Definition 1: Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Wie gross ist ein Punkt? Euklids Elemente unterscheiden sich von den heutigen axiomatischen Theorien wesentlich. Euklid definiert auch die Grundbegriffe: Punkte, Geraden, Ebenen. Heute verzichtet man meist auf solch exakte Definitionen der Grundbegriffe. Seit David Hilbert( ) werden in Axiomensystemen die Grundbegriffe nicht näher definiert, erhalten also keine inhaltliche bedeuting. Dafür werden Eigenschaften gewisser Relationen zwischen den Grundbegriffen postuliert. Euklids Modell hat sich über mehr als 2000 Jahre bewährt in Naturwissenschaft, Technik und Kultur. Es wurde auch für andere Wissenschaften zum Vorbild wissenschaftlicher Darstellung von Theorien. Die sogenannte Euklidische Geometrie kann als die abstrakte Beschreibung unserer ebenen und räumlichen Erfahrung aufgefasst werden. Der Abdruck eines Axiomensystems ist dem folgenden Buch entnommen. H: Scheid, W. Schwarz: Elemente der Geometrie, Elsevier Spektrum akademischer Verlag, 4. Auflage, 2007, p

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6 Modelle nichteuklidischer Geometrien Der Anstoss zur weiteren Entwicklung der Geometrie hat das Parallelenaxiom gegeben, das besagt, dass es zu jeder Geraden durch jeden Punkt genau eine Parallele gibt. Man hat lange geglaubt, dass dieses Axiom aus den ersten vier hergeleitet werden kann. Erst als man Ende des 18. Jahrhunderts die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms nachweisen konnte, war der Weg frei zu anderen Geometrien, den sogenannten nichteuklidischen Geometrien. Als erster erkannte Carl Friedrich Gauss ( ), dass eine in sich widerspruchsfreie Geometrie entsteht, wenn man annimmt, dass zu einer Geraden durch einen nicht auf ihr gelegenen Punkt mehrere Parallelen gezogen werden können. Das war die "Geburt" der nichteuklidischen Geometrie. Aus Furcht vor dem Geschrei engstirniger Philosophen hat Gauss seine Überlegungen nicht veröffentlicht. Gauss, dann aber auch Janos Bolyai ( ) und Nicolai Lobatschewsky ( ) begründeten mit diesen neuen Gedanken die erste nichteuklidische Geometrie. Felix Klein ( ) kreierte dafür den Namen hyperbolische Geometrie. (hyperbole heisst griechisch der Überschuss: in der neuen Geometrie gibt es einen Überschuss an parallelen zu einer Gerade durch einen Punkt!). Eine Geometrie ohne Parallelen heisst elliptisch und die Euklidische Geometrie parabolisch.

7 Beispiel einer elliptischen Geometrie Definieren wir auf der Kugeloberfläche die Grundbegriffe folgendernassen: PUNKT: Paar diametral entgegengesetzter Punkte GERADE: Grosskreis auf der Kugel Damit bestimmen 2 PUNKTE genau eine GERADE und 2 GERADEN genau einen PUNKT. Zu einer gegebenen Gerade gibt es durch einen PUNKT ausserhalb der GERADEN keine Parallele! Dies ist ein Beispiel einer Geometrie ohne Parallelen. Bemerkungen zur Krümmung Eine elliptische Geometrie ist auf einer Fläche mit positiver Krümmung lokalisiert (z.b. Kugeloberfläche). Einsteins allgemeine Relativitätstheorie (1916) gilt in einer elliptischen Geometrie. Die Geometrie des Universums ist elliptisch., da dem Weltraum wegen der Verteilung der Massen im Gravitationsfeld eine positive Krümmung zugeschrieben wird. Nach Einstein ist der Krümmungsradius mindestens Lichtjahre. Die euklidische Geometrie als parabolische Geometrie hat die Krümmung null. Eine hyperbolische Geometrie ist auf einer Fläche mit negativer Krümmung lokalisiert (z.b. Pseudosphäre).

8 Kleinsches Modell Das Kleinsche Modell einer hyperbolischen Geometrie heisst auch "Bierdeckelgeometrie". Unter einer "Ebene" versteht man das Innere eines Kreises. Eine "Gerade" ist jede durch den Rand des Kreises begrenzte Strecke. P Ein "Punkt" ist ein euklidischer Punkt im Kreisinnern. A g B Dann ist jede Gerade, die nicht durch das Innere des Winkels APB geht, eine "Parallele" zu g durch P. Die Bewegungen sind Spiegelungen, die durch Polarenspiegelungen definiert sind. (gewöhnliche Geradenspiegelung, falls g durch den Kreismittelpunkt geht.) Die Spiegelung ist involutorisch, d.h. S g! S g = id. Die Axiome (13) bis (16) gelten. Die Verknüpfung von Spiegelungen sind invertierbar, damit ist Axiom (13) erfüllt, d.h. die Bewegungen bilden eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung. Auch Axiom (14) ist erfüllt: Die Abbildung einer Strecke ist die Strecke der abgebildeten Endpunkte. (Axiome 15 und 16 nicht erklärt) Die Länge einer Strecke AB im Kleinschen Modell wird folgendermassen definiert: Zuerst betrachtet man die Gerade (Sehne), auf der die beiden Punkte liegen. Diese Gerade hat die euklidischen Endpunkte U, V.

9 70 U A B V Länge der Strecke AB im KleinschenModell:! l( AB) = ln# " AU BU : AV BV $ & % Dabei wird der natürliche Logarithmus genommen und AU (usw) sind die euklidischen Längen der entsprechenden Strecken. Ist dies eine vernünftige Längendefinition? 1. l( AA) = 0, denn log1 = 0 2. l( AB) = l(ba). 3. Nähert sich A dem (euklidischen) Punkt U, so wird lim l( AB) = ". A!U 4. l( AB) = l( AC) + l(cb) für einen Punkt C auf AB. 5. Bei einer Spiegelung ändert sich die Länge nicht. Was heisst wohl orthogonal in diesem Modell? Der Mittelpunkt des die Kleinsche Ebene definierenden Kreises sei M. Warum ist die Menge der Punkte X in der Kleinschen Ebene mit der Eigenschaft l( XM ) = c,c > 0 ein euklidischer Kreis?

10 Poincaré- Modell Henri Poincaré ( ) war ein berühmter französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph, der wesentliche Beiträge zur Himmelsmechanik, Thermodynamik, Elektrizitätslehre und Optik veröffentlichte. Henri Poincaré und Felix Klein haben beide die wesentlichen Theorien, die im 19. Und anfangs 20. Jahrhundert entstanden, zu einem krönenden Abschlussgebracht und sich in ihren späten Jahren mit allgemeinen Fragen beschäftigt, Poincaré mit philosophischen, Klein mit pädagogischen. Das Poincaré-Modell für eine hyperbolische Geometrie nimmt Ebene eine sehr grosse Kreisfläche oder eine Halbebene, wobei die Trennlinie der Halbebene der Kreislinie und die Halbebene dem Kreisinneren entspricht. Ebene Inneres C eines sehr grossen Kreises k Halbebene Σ, durch euklidische Gerade s begrenzt Punkt Euklidischer Punkt Euklidischer Punkt Gerade Geradenspiegelung an g - Kreisdurchmesser - Kreisteile, die k orthogonal schneiden - gewöhnliche Geradenspiegelung, wenn g Kreisdurchmesser - Inversion am Kreis, wenn g Kreisteil - zu s orthogonale Halbgeraden - auf s orthogonale Halbkreise - gewöhnliche Geradenspiegelung, wenn g zu s orthogonale Halbgerade - Inversion am Kreis, wenn g Halbkreis

11 72 Dieses Modell kann auch in Form einer Geschichte erzählt werden Dadurch kann man technische Schwierigkeiten vertuschen und erhält trotzdem eine Idee einer nichteuklidischer Geometrie (La science et l hypothèse, 1902) Die folgende Geschichte stammt aus dem Buch von Trudeau (siehe Literaturliste)

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13 Künstlerischer Abschluss Das Poincaré-Modell einer hyperbolischen Geometrie ist im Buch von Coxeter illustriert. M. C. Escher, der bekannte niederländische Künstler, hat darin neue Möglichkeiten für seine Annäherungen an die Unendlichkeit gefunden.

14 75 Zum Abschluss noch etwas Poetisches von Christian Morgenstern ( ) Die zwei Parallelen Es gingen zwei Parallelen Ins Endlose hinaus, zwei kerzengerade Seelen und aus solidem Haus. Sie wollten sich nicht scheiden Bis an ihr seliges Grab; Das war nun einmal der beiden Geheimer Stolz und Stab. Doch als sie zehn Lichtjahre gewandert neben sich hin, da ward s dem einsamen Paare nicht irdisch mehr zu Sinn. War n sie noch Parallelen? Sie wussten s selber nicht, sie flossen wie zwei Seelen zusammen durch ewiges Licht. Das ewige Licht durchdrang sie, da wurden sie eins in ihm; die Ewigkeit verschlang sie, als zwei Seraphim.