Einführung der quadratischen Funktionen

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1 R. Brinkmann Seite Einführung der quadratischen Funktionen Jeder, der sich auf die Führerscheinprüfung vorbereitet sollte wissen, dass sich der Anhalteweg eines bremsenden Autos auf trockener asphaltierter Straße aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammensetzt. Nach folgenden Faustregeln lassen sich aus der Geschwindigkeit v in km/h der Reaktionsweg r und der Bremsweg b in Meter berechnen. Achtung: Mitteilung der Rheinischen Post vom..0 Ab. Juli 00 wird der Anhalteweg auf einer trockenen asphaltierten Straße mit einem anderen Bremsweg berechnet. v v Bremsweg: b = Reaktionsweg: r 0 = 0 v Bemerkung: ab Juni 00 gilt für den Bremsweg : b = 0 Bemerkung zu den Einheiten der Faustformel: Der Brems bzw. Reaktionsweg kommt in Meter (m) heraus, wenn die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) eingesetzt wird. a) Bestimmen Sie für beide Fälle die Funktionsgleichung s = f(v), mit der für jede gefahrene Geschwindigkeit der Anhalteweg berechnet werden kann. b) Stellen Sie für beide Fälle in einer Wertetabelle für folgende gefahrene Geschwindigkeiten v = 0, 0, 0, 0, km/h die jeweiligen Anhaltewege s zusammen. c) Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem. d) Kommentieren Sie das Gesamtergebnis. Problemlösung: a) Die Funktionsgleichung v v alte Regelung: f(v) = v v 0 + = v v neue Regelung: f(v) = v v 0 + = b) Die Wertetabelle v (in km/h) f(v) (in m) alt f(v) (in m) 0, 8, 0 7,, 7, 80 neu Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 8

2 R. Brinkmann Seite c) Die Graphen f () := + g () 0 0 := f( ) g( ) Die Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da. Die y Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da. d) Der Kommentar Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer. Bei 0 km/h beträgt der neue Anhalteweg 7, m, das sind etwa 9% des alten Weges von 0 m. Bei 00 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa % des alten Weges von 0 m. Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS) sinnvoll. Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, das es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt. Die Funktionsgleichungen haben die Form: f() = a + a + a0 Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen. Grades. Die Graphen werden Parabeln genannt. Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 8

3 R. Brinkmann Seite Training P0: Zeichnen Sie die Graphen folgender Parabeln. Legen Sie dazu eine Wertetabelle an..) 009 f( ) = +.) 00 ( ) f = + +.) 09 f( ) = + +.) 0 ( ) f =.) 0 f( ) =.) 07 ( ) 9 f f = + + f = ) 080 ( ) = ) 08 ( ) f = ) 09 f( ) = 0.) ( ) Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 8

4 R. Brinkmann Seite Normalparabel, Formfaktor und Verschiebungen. Arbeitsauftrag: Untersuchen Sie für verschiedene Werte von a die Funktion f() = a und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f () f () f () f () = = = = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 Die Funktionsgleichungen der abgebildeten Parabeln unterscheiden sich nur durch den Koeffizienten a von. f() = f() = f() = f() = Dieser Koeffizient a ist für die Form der Parabel verantwortlich und heißt demnach Formfaktor. Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten S ( 0 0 ) Wie beeinflusst der Formfaktor die Gestalt der Parabel? Formfaktor Parabelbezeichnung a = Normalparabel a > gestreckte Parabel 0 < a < gestauchte Parabel a = an der - Achse gespiegelte Normalparabel a < gestreckte Parabel, an der - Achse gespiegelt < a < 0 gestauchte Parabel, an der - Achse gespiegelt Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 8

5 R. Brinkmann Seite Arbeitsauftrag: 0 = + 0 Untersuchen Sie für verschiedene Werte von a die Funktion f() a und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f() = f () = + f () = 8 f ( ) f ( ) f ( ) Es handelt sich dabei um eine verschobene Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um a 0 Einheiten verschoben wurde. f() = f() = + f() = Die Verschiebung erfolgt längs der Ordinatenachse, wobei die Richtung der Verschiebung durch das Vorzeichen von a 0 bestimmt wird. Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten S ( 0 a 0 ). Arbeitsauftrag: ( ) ( ) () = () = + () = ( ) Untersuchen Sie für verschiedene Werte von u die Funktion f() = + u und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f f f Wertetabellen: f 0 f 0 f 0 y 0 y 0 y 0 Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 8

6 R. Brinkmann Seite f ( ) f ( ) f ( ) 0 Es handelt sich um eine verschobene Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um u Einheiten auf der Achse verschoben wurde. Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten S ( -u 0 ) u > 0 Verschiebung nach links; der Scheitelpunkt S liegt links vom Ursprung u < 0 Verschiebung nach rechts; der Scheitelpunkt S liegt rechts vom Ursprung Arbeitsauftrag: Untersuchen Sie für verschiedene Werte von u und a 0 die Funktion f() u a und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. ( ) = ( ) ( ) f () = f () = + f () = f ( ) f ( ) f ( ) 0 Der Graph von f () ist wieder eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um zwei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach oben verschoben ist. Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 8

7 R. Brinkmann Seite Der Graph von f () ist ebenfalls eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um eine Einheit nach links und um zwei Einheiten nach unten verschoben ist. Eine Funktion der Art f() = ( + u) + a 0 nennt man Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. Der Graph der Funktion ist eine Normalparabel, die um den Wert u in Richtung der Abszissenachse und um a 0 in Richtung der Ordinatenachse verschoben ist. ( ) ( ) ( ) ( ) ( s s) ( ) Bezeichnet man den Scheitelpunkt mit S y der quadratischen Funktion: f() = + y s s = s + s In Kurzform: S y f() y Beispiel: S f() = s s, so lautet die Scheitelpunktform Bisher haben wir nur die Normalparabel verschoben. Die gleichen Verschiebungen lassen sich auch mit einer beliebigen Parabel durchführen. Dabei ist dann der Formfaktor a zu berücksichtigen. Allgemein gilt: Ist f() = a + a + a 0 die Funktionsgleichung einer Parabel die den Scheitelpunkt S( s y s) besitzt, so ist f() = a + y die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung. ( ) s s Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung. Wir wissen bereits das gilt: f() = a + a + a a + y S y ( ) ( ) 0 s s s s Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln. Beispiel: f() = + soll in die Scheitelpunktform überführt werden.. Schritt: Der Faktor vor wird ausgeklammert f() = +. Schritt: quadratische Ergänzung in und Umformung [ ] f() = + ( ) ( ) + = ( ) + = ( ) + S( ). Binomische Formel Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : 7 von 8

8 R. Brinkmann Seite Beispiel: f() = + = = + + f() = ( ) = ( ) S Beispiel: 9 9 f() = = + + = f() = + + = + + = + S Training P0: Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung Gegeben ist die Funktionsgleichung f() einer Parabel (ganzrationale Funktion. Grades). Bestimmen Sie für folgende Parabeln die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichnen Sie den Graphen..) 00 f( ) = + +.) 00 ( ) f = + +.) 0 f( ) = +.) 0 ( ) f = +,.) 00 f( ) = +.) 00 ( ) 7.) 0 f( ) = + 8.) 9.) ( ) f = + f = + + f = + + f = + 00 ( ) 0.) 9 ( ) Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : 8 von 8