Übung zur Vorlesung PC I Chemische Thermodynamik B.Sc. Blatt 2

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1 Prof. Dr. Norbert Ha Soerseester Übung zur orlesung PC I Cheische Therodynaik B.Sc. Blatt. Abweichungen o idealen erhalten bei Gasen lassen sich durch Angabe des Koressionsfaktors Z = / RT charakterisieren, der für ideale Gase beträgt. Für reale Gase kann an ihn durch eine Potenzreihe i inersen olaren oluen angeben (irialentwicklung): B C Z = Bestien Sie Werte für den zweiten und dritten irialkoeffizienten B bzw. C, für die die irialgleichung der an der Waals Gleichung entsricht. Hinweis: erwenden Sie die Taylorreihenentwicklung: x x... x = Aus der an der Waals Gleichung RT a = ( b) RT wird ausgeklaert RT a = b RT Für die Taylorreihenentwicklung it b x = ergibt sich: RT b b a b für < RT Ordnen nach steigender Potenz on und ausklaern on RT a + b + b + RT... führt zu: Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regeläßigen Besuch der Übungsgruen! Seite on 6

2 Prof. Dr. Norbert Ha Soerseester Soit ergibt sich für den Koressionsfaktor Z: a Z = + b + b + RT RT... Die iralkoeffizienten sind soit: a B= b und C = b RT. Welchen Wert besitzt der Koressionsfaktor on Ethan bei 7 C für einen Behälter on 4,86 l der 0 ol des Gases enthält? Hinweis: erwenden sie die in. hergeleiteten rialkoeffizienten B und C. (Für Ethan: a = 5,507 at d 6 ol b = 0,065 d ol ) a Z = + b + b RT 4,86l it = = = 0,486l ol n 0ol ol 5,507at d K ol ol Z = + 0,065d ol + 0,065 d ol 0,486l 0,080574d at 00K ol 0,486 l Z = 0, Leiten sie aus der Maxwell schen Geschwindigkeitserteilung, a) die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, b) den ittleren Iuls, c) die ittlere kinetische Energie ab und berechnen Sie für Argon und Stickstoff bei 5 C bzw. 50 C die jeweiligen Werte. Gehen Sie daon aus das sich die Gase ideal erhalten. Die Maxwell sche Geschwindigkeitserteilung oder auch Maxwell Boltzann erteilung ist eine Wahrscheinlichkeitserteilung der statistischen Physik und sielt in der Therodynaik, seziell der kinetischen Gastheorie, eine wichtige Rolle. Sie beschreibt die erteilung der Teilchengeschwindigkeiten in eine idealen Gas. Sie wurde 860 on Jaes Clerk Maxwell und Ludwig Boltzann abgeleitet. Sie lautet: M M kt RT f () = 4π e = 4π e πkt πrt Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regeläßigen Besuch der Übungsgruen! Seite on 6

3 Prof. Dr. Norbert Ha Soerseester In eine idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen it der gleichen Geschwindigkeit, sondern statistisch erteilt it erschiedenen Geschwindigkeiten. Es wird hierbei keine Raurichtung beorzugt, die Bewegungsrichtung ist also rein zufällig (Brown sche Molekularbewegung). Die ereinfachende oraussetzung eines idealen Gases innerhalb der Maxwell schen Geschwindigkeitserteilung führt zu Abweichungen, falls an diese auf reale Gase anwendet. Die Aroxiation der Maxwell sche Geschwindigkeitserteilung auf reale Gase ist hierbei uso besser, je schwächer der reale Charakter des Gases ist. I Falle eines niedrigen Druckes und einer hohen Teeratur ist die Abweichung für die eisten Betrachtungen ernachlässigbar gering. Mit steigender Teeratur T nit die durchschnittliche Geschwindigkeit zu und die erteilung wird gleichzeitig breiter. Mit steigender Teilchenasse hingegen nit die durchschnittliche Geschwindigkeit ab und die Geschwindigkeitserteilung wird gleichzeitig schaler. Man kann in realistischen Fällen daon ausgehen, dass die Geschwindigkeitserteilung raktisch kontinuierlich ist. Die Suen werden daher durch Integrale ersetzt. a) Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ˆ ist die Geschwindigkeit a Maxiu der erteilungsfunktion. Wir erhalten ˆ daher durch Differenzieren on f() nach it Hilfe der Produktregel und Nullsetzen der ersten Ableitung. Die Produktregel lautet: wenn fx () = ux () x () dann ist f () x= u () x x () + ux () () x für die Maxwell'sche Geschwingigkeitserteilung: f () = 4π e π kt kt kt folgt it ux () = 4 π und x () = e π kt f ( ) = 4π e + e π kt kt kt f ( ) = 4π e πkt kt kt kt Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus = 0 kt = 0; Miniu für die Nullstelle ( f(0) = 0) Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regeläßigen Besuch der Übungsgruen! Seite on 6

4 Prof. Dr. Norbert Ha Soerseester zwei weitere Nullstellen ergeben sich aus: = 0 kt = kt kt / =± Für die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ˆ ist nur der Betrag releant und es ergibt sich: kt RT ˆ = = M 8,447J 98,5K ol ˆ Ar,98,5K = 0,099kg ol K ˆ Ar,98,5K = 5, s ˆ = 8,9 s Ar,,5K 8,447J 98,5K ol ˆ N,98,5K = 0,08kg ol K ˆ N,98,5K = 40,8 s ˆ = 457, s N,,5K b) Zur Berechnung der ittleren Geschwindigkeit gehen wir i Prinzi wie in Aufgabe or. Wir ultilizieren jede Geschwindigkeit it der Anzahl der Moleküle, auf die dieser Wert zutrifft und addieren diese Produkte. Wir ersetzten nur die Sue durch ein Integral, da die Geschwindigkeitserteilung quasi kontinuierlich ist. Der Anteil der Moleküle it einer Geschwindigkeit i Bereich + d ist f() d. Multilikation it der Geschwindigkeit ergibt also f() d. U die ittlere Geschwindigkeit zu erhalten üssen wir also folgendes Integral lösen: kt kt = f() d = 4π e d = 4π e d kt kt 0 0 π π 0 Zu lösen des Integrals erweitern wir it kt 4 kt kt π kt kt kt 0 = 4π e d Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regeläßigen Besuch der Übungsgruen! Seite 4 on 6

5 Prof. Dr. Norbert Ha Soerseester Durch Substitution on x xe 0 dx kt = x erhalten wir ein Integral der allg. For: Mit Hilfe einer Forelsalung ergibt sich für ein solches Integral der Wert. soit ergibt sich: 4 kt = 4π π kt 8kT 8RT = = π πm Der ittlere Iuls ergibt sich aus = Ar,98,5K Ar,,5K N,98,5K N,,5K M 8RT 0,099kg ol 8 8,447J 98,5K ol = = =,6 0 kg s π π NA M 6,0 0 ol 0,099kg ol K =,74 0 kg s =,4 0 kg s =,7 0 kg s c) Die Berechnung des ittleren Geschwindigkeitsquadrats erläuft analog zu Aufgabenteil b). Wir üssen jetzt nur über das Produkt f() d integrieren. 4 kt 4 kt = f() d = 4π e d = 4π e d πkt πkt Zu lösen des Integrals erweitern wir it kt 5 4 kt kt = 4π e d π kt kt kt 0 Durch Substitution on kt 4 x xe 0 dx = x erhalten wir ein Integral der allg. For: Mit Hilfe einer Forelsalung ergibt sich für ein solches Integral der Wert π. 8 Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regeläßigen Besuch der Übungsgruen! Seite 5 on 6

6 Prof. Dr. Norbert Ha Soerseester soit ergibt sich: 4 kt = 4π π kt 8 kt RT = = M π Die ittlere kinetische Energie ergibt sich aus: E E E kin M RT = = kt N M A kin, Ar / N,98,5K kin, Ar / N,,5K = 6,7 0 = 6,69 0 J J Ekin =. Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regeläßigen Besuch der Übungsgruen! Seite 6 on 6