F Rück. F r Rück. Mechanische Schwingungen. Größen zur quantitativen Beschreibung :

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Linus Busch
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1 Mechaniche chwingungen F r Rück Gleichgewichlage r F Rück F r Rück F r Rück Gleichgewichlage Größen zur quaniaiven Bechreibung : chwingungdauer oder Periode T, Einhei: Frequenz υ /T, Einhei: / oder Hz Aulenkung oder Elongaion au der Ruhelage (), Einhei: m Ampliude oder chwingungweie Rückellkraf F r Rück. ie nimm mi wachender Aulenkung zu.

2 Harmoniche ungedämpfe chwingungen Die Rückellkraf i der Aulenkung proporional und e zur Gleichgewichlage hin geriche. Beipiele: Federpendel Fadenpendel al mahemaiche Pendel Hookeche Geez: Die Dehnung einer Feder i der wirkenden Kraf proporional. Drie Newonche Aiom: Die Kraf, die die Feder auf den Körper auüb, d.h. die Rückellkraf i ebenfall der Aulenkung proporional. r F D Rück Negaive Vorzeichen: Rückellkraf und Aulenkung ind engegengeez geriche. l F Rück α F G mg F FG inα mg inα mg Rück α Für kleine Winkel l

3 Aufellen der Bewegunggleichung: Beipiele: Fadenpendel Federpendel l g d d d d m ma l mg F Rück Ein Löunganaz für die Bewegunggleichung/Differenialgleichung: ) in( ) co( ) in( ) ( d d d d Einezen: g l T l g l g π π ) in( ) in( m D d d d d m ma D D m T m D π m D π υ oder

4 Fadenpendel (ewa genauer): Änderung de Drehimpule wirkende Drehmomen dl d J d F d l inα mgl inα Näherungen: - Faden ha keine Mae - Mae Punkmae - kleine Winkel α J ml inα α α d d g Bewegunggleichung: ml mgl α α d d l Ein Löunganaz: α ( ) α in( ) α Allgemeine Löung: umme au linear unabhängigen Löungen α ( ) ain( ) bco( ), a und b werden durch Anfangbedingungen fegeleg.

5 Vergleich: Gleichmäßige Kreibewegung Lich Auf den Maenpunk wirk die Zenripealkraf: F r ZP r F ZP ma ZP mv r chirm Komponene parallel zum chirm: F F ZP in mi in r F F ZP r F r ZP D F r ZP F r Die zur Bewegung de chaen gehörige Krafkomponene i der jeweiligen Aulenkung proporional, der chaen führ eine harmoniche chwingung au.

6 Für die Ampliude der chwingung gil: r Für die Aulenkung de chaen al Funkion der Zei ergib ich: ( ) r in in( ) in(πυ) Phae der chwingung: π in( ) T Weg-Zei Diagramm der harmonichen chwingung: ()

7 Die Gechwindigkei de chaen al Funkion der Zei: v r v r Die Bechleunigung de chaen al Funkion der Zei: a r ZP a r v r v r v ( ) v co r co v ( ) co( ) Gechwindigkei-Zei-Diagramm: v r v () v r v r a a a a ZP r azp in ( ) r in( ) ( ) in( ) ( ) Bechleunigung-Zei-Diagramm: 3 F 4 ma D / m m D a () 3 4

8 Energieumwandlungen beim Federpendel ohne Reibung: Kineiche Energie: E E kin kin kin ( ) ( ) mv( ) D co m ( co) E wird imal für co ±, d.h. für Durchgänge durch die Gleichgewichlage: m co, π, π E kin, D Poenielle Energie: ( ) D( ) E po 3 E po wird imal für in ±, d.h. für π, π,... Erreichen der Endauchläge: E po, D E po ( ) D( in ) D in Geamenergie: E E kin ( ) E po ( ) D (co in ) D

9 Phikaliche Pendel: Trägheimomen meen D α d F G mg d α J d mgd inα Näherung für kleine Winkel α : d α J mgd α d d α d T π mgd J α J mgd

10 Übungen ind die Bechleunigung und die Aulenkung au dem Gleichgewich eine harmonichen Ozillaor gleichgeriche? immer manchmal nie ind die Bechleunigung und die Gechwindigkei eine harmonichen Ozillaor gleichgeriche? immer manchmal nie ind die Gechwindigkei und die Aulenkung au dem Gleichgewich eine harmonichen Ozillaor gleichgeriche? immer manchmal nie

11 Ein Gegenand an einer Feder führ eine harmoniche chwingung mi einer Ampliude von 4 cm au. Wenn der Gegenand von der Gleichgewichlage cm enfern i, welchen Brucheil der Geamenergie mach dann die poenzielle Energie au? /4 /3 / /3 Zwei eme A und B, die jeweil au einer Mae und einer Feder beehen, chwingen o, da ihre Energien gleich ind. Welche Beziehung gil für die chwingungampliuden und wenn m m i? A B A B, A, B, A, B, A, B / Die oben genannen Informaionen reichen nich au, um eine Encheidung zu reffen.

12 Überlagerung von chwingungen Die chwingungrichungen liegen in einer Ebene chwingung : chwingung : Phaenunerchied: Beipiele für 3 mi in in( ) Δ ( ) Δ Δ 8 Δ 9 in in( ) in( 3) Umformen: iehe z. B. Bergmann-chäfer, Band, Mechanik Reulierende chwingung 3: Harmoniche chwingung derelben chwingungrichung und Frequenz.

13 Anknüpfen an die gleichmäßige Kreibewegung: Zeigerdarellung r in Wenn ein Maenpunk zwei harmoniche chwingungen gleichzeiig auführ, o erfolg eine ungeöre Überlagerung der Wege, Gechwindigkeien und Bechleunigungen. Die Größen dürfen dehalb vekoriell addier werden. 3,3,,

14 Δ Zuammenezung zweier inuchwingungen ungleicher Frequenz 3 Frequenzverhälni: : Δ Die Frequenzen der beiden harmonichen chwingungen unercheiden ich nur wenig voneinander: chwebung 3 3 (in in) co in 3 3 Δ Frequenzverhälni: 9: 3 T π π T T υ υ υ υ υ

15 Zerlegung eine beliebigen periodichen Vorgang in harmoniche chwingungen: Fourieranale f ( ) A A co A co A 3 co3... B in B in B 3 in 3... Beipiel: Fourieranale einer Dreieckkurve f() f() f 8b ) (in in 3 in 5 in 7...) π A ( Frequenzpekrum (nich maßabgerech) f() Auch nichperiodiche Vorgänge können in harmoniche chwingungen zerleg werden, an die umme ri dann ein Inegral über eine eige Ampliudenfunkion a(). υ

16 Die chwingungrichungen ehen enkrech aufeinander chwingung : ( ( ) in ) in( chwingung : ) Berechnung der Bahnkurve: in ( ) co ( ) ( ) in co co in einezen in: ( ) ( ) ( ) co in co in Lineare chwingung an Ampliude:

17 π co in Die Phaendifferenz variier von bi π < π 4 π 3π 4 π 5π 4 3π 7π 4 π Frequenzverhälni i ungleich : Liajou Kurven

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