Über eine besondere Teilung einer Dreieckfläche

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1 Paper-ID: VGI Über ene besondere Telung ener Dreeckfläche Leopold Herzka Hofrat. R., Wen Österrechsche Zetschrft für Vermessungswesen 30 (), S BbT E Ttle = {{\"U}ber ene besondere Telung ener Dreeckfl{\"a}che}, Author = {Herzka, Leopold}, Journal = {{\"O}sterrechsche Zetschrft f{\"u}r Vermessungswesen}, Pages = {3--6}, Number = {}, Year = {932}, Volume = {30} }

2 3 Über ene besondere Telung ener Dreecksfläche*). Von Ing. Leopold H e rz k a, Hofrat. R., Wen. In enem besonderen Falle wurde gefordert, enen Baugrund F von Dreecksfonn ABC (Abb. ) n dre Tele m F, llf und p F so zu zerlegen, daß de Telungslnen von dem erst zu bestmmenden, nnerhalb oder außerhalb F legenden Punkte S senkrecht zu den enzelnen Dreeckseten verlaufen; m, und p = ( - m - ) snd echte Brüche. Es se (Abb. ): Fläche A 2 = m F; B 34 = F. Man erkennt aus der Abb., daß S m Dreeck, n der Sete c oder a u ß er h a b des Dreeckes legt, je nachdem de Bedngung: c A s. Aa ",s/ f y ' / 'ef8 c Abb..,c=n/'c J 8 J erfüllt wrd; nun st: f., + 2c < ; 2 sn o: cos a = m F = ; m b c sn a 2 sn ß cos ß = F = a c sn ß () oder v m b c 2 - a c cos ('/,', - cos ß.,, --- Des n GI. ( ) engeführt, entsteht de Bedngungsglechung: (_!!!_}J_)'/, + ( )'/, >..... c cos ('/, c cos ß < ' aus der sofort über de Lage von S entscheden werden kann. B e s p e : Für en rechtwnklges Dreeck verenfacht sch wegen a... c cos ß, 6 = c cos a obge Bedngung zu: m'f, + n'f, (2') ( ) ' Be Flächenglechhet, also /, m = /3, entsteht daher: 2 3 >. *) Sehe auch Der Baungeneur", 929, H. 46, (2)

3 4 S legt daher n desem Falle n der Dreecksfläche; st z. - B. m = n = /4, so geht de lnke Sete der GI. (2') n de Enhet über; der Telungspunkt S fällt n de Sete c. E Abb. 2. Solange S außerhalb legt, läßt sch de Lösung der gestellten Aufgabe unmttelbar anschreben; umständlcher st se, wenn S ns Dreeck fällt. Nachstehend soll ene enfache und unseres Wssens noch ncht bekannte Konstrukton zur Aufsuchung von S angegeben werden, de rasch und mt belebg großer Genaugket zum Zele führt. In Abb. 2 st durch ADSE das aus dem Dreeck ABC (Abb. 3) herausgeschnttene Sehnenvereck, dessen Inhalt m F betragen möge, dargestellt. Wr legen durch den Eckpunkt A en Achsenkreuz, dessen X-Achse mt der Halberenden des Wnkels o: zusammenfällt und drücken de Fläche m F durch de Koordnaten x und y des Punktes S aus. Mt den Bezechnungen der Abb. 2 erhält man: F ( Cl: c.g) x s 2 + y cos 2 m = 2 X COS 2 - )' S 2 ( Cl: 0:) (. CG o:) (. + 2 X COS 2 + )' S 2 X Sll 2 - )' COS 2 und nach Auswertung de überaus enfache, für Vermessungszwecke sehr geegnete F ä c h e n f o r m e f ü r e n S e h n e n v e r e c k: ' m F = 2 (X2 - y2) sn a... (3)* *) Der Umfang enes Sehnenvereckes läßt sch sofort aus: U = 2 x ( sn + cos ;) berechnen; er st nur von x und a abhängg. a a)

4 5 Für F, Abb. 3, den entsprechenden Wert engesetzt, entsteht: m b c sn o: = (x2 - y2) sn a Mt der Abkürzung: f!-a = (m b c)'f, folgt schleßlch: x2 y2. f!-a2 - f!-a2 =. (4) d. h. der geometrsche Ort aller Punkte S g e c h f ä c h g e r Sehnenverecke st ene glechsetge Hyperbel mt den Achsen A; der Halbmesser des durch OA gehenden Schetelkrümmungskreses hat deselbe Größe P,A; der Krümmungsmttelpunkt TA (Abb. 3) steht somt vom Ursprung A um 2 f!-a ab. Ist nun en Dreeck m Snne der engangs gestellten Aufgabe zu telen, so braucht man nur von den dre Hyperbeln, de alle de Form GI. (4) haben und deren Achsen der Rehe nach: ta = (m b c)'i, µ8 = (n a c)'f,, µc = (( - m - n) a b]'f, Abb. 3. snd, zwe zum Schntt zu brngen; da aber der gemensame Schnttpunkt S n der Nähe der Hyperbelschetel OA, Os, Oe legt, Abb. 3, kann man sch velfach de Konstrukton der Hyperbeläste ersparen und unmttelbar mt den dre Schetelkrümmungshalbmessern arbeten; de Lage von S ergbt sch auch her mt wetrechender Genaugket, allenfalls durch Zwschenschaltung von S n das sch etwa ergebende dfferentale Fehlerdreeck. De zechnersche Bestmmung enes µ-wertes st aus der Abb. 3 ohne weteres zu ersehen, der

5 6 auch de konstruktve Festlegung von S entnommen werden kann (Fehlerdreeck konstruktv = Null). Dem n Abb. 3 dargestellten Bespel wurden m 4/2, n = = 5/2 und p 3/2 = zugrunde gelegt. Um de Darstellung ncht unüberschtlch zu machen, wurde darn nur de Konstrukton von µc zur Darstellung gebracht, SD, SE und SF snd de gesuchten Telungslnen. Zur Bestmmung der Ortungszahlen be der Schachtlotung. Von Dr.-Ing. Th. K ap p e s; Beobachtet man be der Schachtlotung ene ungerade Anzahl von aufenander folgenden Lotumkehren, so erhält man de Ortungszahl nach der von K o h l r au s c h *) angegebenen Regel, ndem man das arthmetsc;he Mttel aus dem Mttel der Ablesungen lnks und dem Mttel der Ablesungen rechts bldet. Ba s c h **) hat gezegt, daß dese Regel auch den Gesetzen der Methode der klensten Quadrate genügt. Er erhält be ener ungeraden Anzahl von / Umkehrbeobachtungen l; ( =,... ) für de Ortungszahl a de Formel G=72 l [( +(-l)) t;j: () und n verenfachter Form worn ML das Mttel der Umkehren lnks und MR das Mttel der Umkehren rechts bedeutet. Unter der Annahme, daß de Ampltuden ener Schwngungsrehe um enen konstanten Betrag c abnehmen, entwckelt Basch für c de Formel (2) "-. 6 r(n_')j_l\{_l)/.l" (''\... n(2 -l ) l",.,,,j...,..,, Für de entsprechenden Werte be gerader Anzahl von Umkehrbeobachtungen erhält Basch a= (2_4) [{n 2 -+3(-2+l)(-l)}t;L (4) c= (26_4) [{<n-2+l)(-l)+}z;j:... (5) In der neueren Markschederlteratur fndet sch gelegentlch de Menung, daß auch be gerader Anzahl von Umkehrbeobachtungen de Regel von Kohlrausch zur Berechnung der Ortung benützt werden könne. Dese Menung st rrg, we sch lecht bewesen läßt. *) K o h r a u s c h, Lehrbuch d. prakt. Physk 90, Sete 48.. **) 8 a s c h, Zur Analyse schwach gedämpfter Schwngungen; Stzungsberchte der tnath.-nat. Kl. d. Kas. Akad. d. w CXXIII. Bd. Abt. Ila, Wen 94; vgl. auch de Besprechung deser Arbet von P. W s k n Mtt. a. d. M. 97, Sete 63.