Faktorisieren von Sumen. Üben. Faktorisieren von Summen. Lösung. Faktorisiere durch Ausklammern oder mit den binomischen Formeln: b) x + 3y + xy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Faktorisieren von Sumen. Üben. Faktorisieren von Summen. Lösung. Faktorisiere durch Ausklammern oder mit den binomischen Formeln: b) x + 3y + xy"

Transkript

1 X Faktorisieren von Sumen 1 Faktorisiere durch Ausklammern oder mit den binomischen Formeln: a) 3xy + xy b) 1 + 4x + 3y + xy c) 9u 49v d) x 4ax + 4a e) 4b + 0bc + 5c X 1 a) 3xy + xy = 3 xy +xy y = xy (3+y) b) 1 + 4x + 3y + xy = x + 3y + xy = 4(3+x) +y(3+x) = (4+y)(3+x) c) 9u 49v = (3u) (7v) = (3u + 7v)(3u 7v) (3. BF) d) x 4ax + 4a = x. x. a + (a) = (x a) (. BF) e) 4b + 0bc + 5c = (b) +. b. 5c + (5c) = (b + 5c) (1. BF)

2 X Faktorisieren von Sumen a Faktorisiere soweit wie möglich: a) a + b b) 14 a + 7 c) u u d) ax a e) xz z f) a - ab 3ac + 3bc g) zx 3 xy z yx z + zy 3 X a a) a + b = (a+b) b) 14 a + 7 = 7(a + 1) c) u u = u(u - 4) d) ax a = a(x 1) e) xz z = z(x z) f) a - ab 3ac + 3bc = a(a b) 3c (a b) = (a-b)(a 3c ) g) zx 3 xy z yx z + zy 3 = xz(x y ) yz(x y ) = (x y )(xz yz) = (x y) z(x-y) = (x-y)(x+y)z(x-y) = z(x-y) (x+y)

3 X b Faktorisiere soweit wie möglich: a) x 4x b) by b c) 3v 6v d) 5ax - 3abx e) 1x y 4xy f) 0p q 3 10p 3 q X Faktorisierung von Summen b a) x 4x = x(x 4) b) by b = b( y 1) c) 3v 6v = 3v( v ) d) 5ax - 3abx = ax( 5x 3b) e) 1x y 4xy = 4xy( 3x y) f) 0p q 3 10p 3 q = 10p q (q p)

4 X Faktorisierung von Summen 3 Klammere den Faktor 1 aus : a) x y b) x y c) x + y d) a+ b e) mr s f) b a g) 1x + 4y 5z h) 3u + uv 4 i) a b + c j) 0,5x 3x + X Faktorisierung von Summen 3 a) x y = -( y x) b) x y = -(x + y) c) x + y = -( -x y) d) a+ b = -(a b) e) mr s = -(s - mr) f) b a = -( a b) g) 1x + 4y 5z = -(1x 4y + 5z) h) 3u + uv 4 = -(3u -uv + 4) i) a b + c = -(a + b c) j) 0,5x 3x + = -(0,5x +3x )

5 X Faktorisierung von Summen 4a Faktorisiere soweit wie möglich: a) 7x + 1xy b) a + 1b c) x 4 d) d 4 - d e) 5abc 10abv f) 36d 60d 3 g) 35z + 7z h) 44a b a 3 b X Faktorisierung von Summen 4a a) 7x + 1xy = 7x(1 + 3y) b) a + 1b = 4(a + 3b) c) x 4 (x 1) d) d 4 - d = d (d 1) = d (d-1)(d+1) e) 5abc 10abv = 5ab(c v) f) 36d 60d 3 = 1d (3 5d) g) 35z + 7z = 7z(5z + 1) h) 44a b a 3 b = a b (44b a)

6 X Faktorisierung von Summen 4b a),5a x 3,5abx b) 1,x y 0,4xy c),4p q 0,7p 3 q d) 4,ab 3 3,6 a 3 b e) 6az 3az + 9az f) 5b b 5b g),4c 4 1,6c 3 0,c X Faktorisierung von Summe 4b a),5a x 3,5abx = 0,5ax(5a 7b) b) 1,x y 0,4xy = -0,4xy(3x + y) c),4p q 0,7p 3 q = 0,1p q (4q 7p) d) 4,ab 3 3,6 a 3 b = 1,ab(4b 3a ) e) 6az 3az + 9az = 3az(z z +3) f) 5b b 5b = 5b(b + b 5) g),4c 4 1,6c 3 0,c = 0,c (3c c 1)

7 X Faktorisierung von Summen 4c a) 4x y 5x 3 y + 16x y b) x y! x y + x y 4 c) 9a 3a b 3 6ab d) u v! u v + u v e),s t 5 1,1s 7 t 9 3,3t 5 X Faktorisierung von Summen 4c a) 4x y 5x 3 y + 16x y = 0 x y 5x 3 y = 5x y(4 xy) b) x y! x y + x y = x y(! 4 + 3y) 4 4 c) 9a 3a b 3 6ab = 3a(3a ab 3 b ) d) u v! u v + u v = u v (v! 3 + 3u ) e),s t 5 1,1s 7 t 9 3,3t 5 = 1,1t 5 (s s 7 t 4 3)

8 Faktorisierung von Summen 5a a) 57x 6x 15bx b) ab + ac + bc c) 4xy 1yz 4xz d) 1abx 6by 15bz e) 6az 3-3az +9az f) 5b 3 +10b -5b Faktorisierung von Summen 5a a) 57x 6x 15bx = x(17-5b) b) ab + ac + bc = (ab + ac + bc) c) 4xy 1yz 4xz = 1(xy yz 4xz) d) 1abx 6by 15bz = 3b( 7ax y 5z) e) 6az 3-3az +9az = 3az( z z + 3) f) 5b 3 +10b -5b = 5b(b + b 5)

9 X X 5b a) 4c 4 16c 3 c b) 4x y 1xy - 16xy c) 9a 3a b 3 6ab d) 5s 4 5s 3 t + 30s t 3 e) 4ab c 6a b c a b c + 6ab c X X 5b a) 4c 4 16c 3 c = c (3c c 1) b) 4x y 1xy - 16xy = 4xy(x 3y 4) c) 9a 3a b 3 6ab = 3a( 3a ab 3 b ) d) 5s 4 5s 3 t + 30s t 3 = 5s ( s 5st + 6t 3 ) e) 4ab c 6a b c a b c + 6ab c = ab c( c 3ac 4a + 3)

10 X X 6a a) xp + yp + xq+yq b) ax-bx + ay-by c) mx+nx + m+n d) 3rp 3rq + sp pq e) 3xa 3xb + a b X X 6a a) xp + yp + xq+yq = (x+y)p + (x+y)q = (x+y)(p+q) b) ax-bx + ay-by = (a - b)x + (a - b)y = (a - b)(x+y) c) mx+nx + m+n = (m+n)x + (m+n) = (m+n)(x+1) d) 3rp 3rq + sp sq = 3r(p - q) + s(p - q) = (3r + s)(p - q) e) 3xa 3xb + a b = 3x(a - b) + (a - b) = (a - b)(3x + 1)

11 X X 6b a) 3r + s 4as - 1ar b) ax + ay x y c) 4ac +1ad c 3d d) ax bx + ay by e) ax + ay + 3bx + 3by x X X 6b a) 3r + s 4as - 1ar = (3r + s ) - 4a(3r + s) = (3r + s)(1 4a) b) ax + ay x y = a(x + y) (x + y) = (x + y)(a 1) c) 4ac +1ad c 3d = 4a(c + 3d) (c + 3d) = (4a - 1)(c + 3d) d) ax bx + ay by = (a b)x + (a - b)y = (a - b)(x+y) e) ax + ay + 3bx + 3by = a(x + y) + 3b(x + y) = (a + 3b)(x + y)

12 X X 6c a) 1 + 4x + 3y + xy b) mr ms ns + nr c) 1mx my + 30nx 0ny d) r + rs + y + sy e) 4a r + 1a s 3b r 9b s X X 6c a) 1 + 4x + 3y + xy = 4(3 + x) + y(3 + x) = (4 + y)( 3 + x) b) mr ms ns + nr = m(r s) + n(r s ) = (m + n)(r s) c) 1mx my + 30nx 0ny = 4m(3x y) + 10n(3x y) = (4m + 10n)(3x y) d) r + rs + y + sy = r(1+s) + y(1 + s) = (r +y)(1 + s) e) 4a r + 1a s 3b r 9b s = 4a (r + s) 3b (r + s) = (4a 3b )(r + s)

13 a) 5x y! x y! x y 4 b) 4ab c 6a bc a b c c) 0,4s 4 t u 3 1,s 3 t 9 u 0,s 5 t 7 u 4 7 a) & 5 3 # 5x y ' x y ' x y = x y$ 5x ' x ' y! 4 % 4 " b) 4ab c 6a bc a b c = abc(b c 3ac 4ab) c) 0,4s 4 t u 3 1,s 3 t 9 u 0,s 5 t 7 u 4 = 0,4s 3 t 7 u (stu 3t s u )

14 a) x y + y x + x y b) xy + 6x y + x 3 y 3 c) 7d s + 4s d 1sd d) x yz + 7xy z 6x y 3 z + 5xy z 3 a) x y + y x + x y = xy(x + y + xy) b) xy + 6x y + x 3 y 3 = xy( 1 + 3xy + 4x y ) c) 7d s + 4s d 1sd = 3ds (9ds + s 6d) d) x yz + 7xy z 6x y 3 z + 5xy z 3 = xyz(xz + 7y 6xy z + 5yz )

15 9 a) (a+b)x + (a+b)y b) 3x 4 + 5(3x 4) c) a(k t) t + k d) (tz er)t + (tz er)s e) 6r(4+i) + i a) (a+b)x + (a+b)y = (a+b)(x +y) b) 3x 4 + 5(3x 4) = (3x + 4)(1 + 5) = 6(3x +4) c) a(k t) t + k = a(k t) + (k t) = (k t)(a + 1) d) (tz er)t + (tz er)s = (tz er)(t + s) = (tz er)(t + s) e) 6r(4+i) + i + 4 = 6r(4 + i) + (4 + i) = (6r + 1)(4 + i)

16 10a a) ax ay + dc dv b) w + e + 5e + 10w c) rs rt + ps pt d) ux + uy vx vy e) wz w z + 10a a) ax ay + dc dv = a(x y) + d(c v) b) w + e + 5e + 10w = 1w + 6e = 6(ew + e) c) rs rt + ps pt = r(s t) + p(s t) = (r + p)(s t) d) ux + uy vx vy = (u v)x + (u v)y = (u v)(x + y) e) wz w z + = w(z ) (z - ) = (w 1)(z )

17 10b a) ax + ay bx by b) uv + 3u v 6 c) xy + z yz x d) a c b c a d + b d e) a c b c + a d b d 10b a) ax + ay bx by = a(x + y) b(x + y) = (a b)(x + y) b) uv + 3u v 6 = u(v + 3) (v + 3) = (u )(v + 3) c) xy + z yz x = x(y 1) + z(1 y) = x(y 1) z(y 1) = (x z)(y 1) d) a c b c a d + b d = (a b )c (a b )d = (a b )(c d) = (a + b)(a b)(c d) e) a c b c + a d b d = (a b )c (a b )d = (a b )(c d ) = (a b)(a + b)(c d)(c + d)

18 11 g) a ab + b ab h) x + xy + 4y + xy i) ax ay + bx by j) 9u uv + 16v 1 uv k) 16r 0rs + 5s 0rs l) x 4 + x 3 x 11 a) a ab + b ab = a ab + b = (a b) b) x + xy + 4y + xy = x + 4xy + 4y = (x + y) c) ax ay + bx by = a(x y) + b(x y) = (a + b)(x y) d) 9u uv + 16v 1 uv = 9u 14uv + 16v nicht faktorisierbar e) 16r 0rs + 5s 0rs = 16r 40rs + 5s = (4r 5s) f) x 4 + x 3 x = x 3 (x +1) (x + 1) = (x 3 )(x + 1)

19 1a f) 4m 4 n 4 1 g) 144 u 4 v 4 64 u v h) a 4 x + x x a i) p 4 q 4 r 4 - p q r + 1 j) 16 4a + 0,5a 1a a) 4m 4 n 4 1 = (m n 1)(m n +1) b) 144 u 4 v 4 64 u v = (1u v uv) (1u v + uv) = 16u v (3uv )(3uv + ) c) a 4 x + x x a = x (a 4 a + 1) = x (a 1) = x [(a-1)(a+1)] = x (a 1) (a+1) d) p 4 q 4 r 4 - p q r + 1= (p q r - 1) = [(pqr 1)(pqr + 1)] = (pqr 1) (pqr + 1) e) 16 4a + 0,5a = (4 0,5a)

20 1b x a) + xy + 9y 9 b) z 3! 1 3 c) 1 x! d) ab abc + ac uz e)! u 1b x a) + xy + 9y = ( x + 1xy + 1y ) = ( x + 9y) z b)! = ( z! 1) = ( z! 1)( z + 1) c) x! = (16x! 1) = (4x! 1)(4x + 1) d) ab abc + ac = a(b bc + c ) = a(b c) uz u u e)! u = ( z! 4) = ( z! )( z + ) 1 9

21 1c a) a b 4 a x b) a 4 x + a 3 xb + a b c) 1 + a + a d) x x! 4 4 e) u u y! u y + 4 1c a) a b 4 a x = a (4b 4 x ) = a (b 1)(b + 1) b) a 4 x + a 3 xb + a b = a (a x + axb + b ) = a (ax + b) c) 1 + a + a nicht faktorisierbar 1 x x d) +! = ( x! x + ) = ( x! ) u 4 4 u 4 u e) u y! u y + = u ( y! uy + ) = u ( y! ) 4 4

22 13a Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) x - 6x + b) y 3y + c) z + z + d) u + 1,6u + 13a a) x - 6x + 9 = (x 3) b) y 3y + & 3 # 3 $!" = (y - ) % c) z + z + 0,5 = (z + 0,5) d) u + 1,6u + 0, = (u + 0,)

23 13b Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) a x - abx + b) 9u v + 1uv + c) r s rs + d) r 4 s 4 r s + 13b a) a x - abx + b = (ax b) b) 9u v + 1uv + 4 = (3uv + ) c) r s rs + 0,5 = (rs 0,5) d) r 4 s 4 r s + 0,5 = (r s 0,5)

24 14a Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) e + + f b) x x + y c) x - x + 16 d) a e) - 4bc + b 14a a) e + ef + f = ( e + f) b) x xy + y = (x y) c) x - x + 16 = (x 4) d) 9 6a + a = (3 a) e) 4c - 4bc + b = (c - b)

25 14b Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) - 1h + h b) 4 + 4y + c) i d) 9k 6k + e) i + m - 14b a) 36-1h + h = ( 6 - h) b) 4 + 4y + y = ( + y) c) i i = ( i 5) d) 9k 6k + 1 = (3k 1) e) i + m im = (i m)

26 X 15a Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) + x + 16 b) 64n + + 9c c) x 4 x + d) + 6x e) 4d e 4 X 15a a) x + x + 16 = ( x +4) b) 64n + 4nc + 9c = (n + 3c) c) x 4 x + 1 = (x 1) d) 9x 6 + 6x = ( 3x 3 + 1) e) 4d 6-16d 3 e + 16e 4 = (d 3 4e )

27 X 15b Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: e) 16at + + 4t f) 1n - + 9m g) a h) e X 15b a) 16at + 64a + 4t = ( a + t) b) 1n 54nm + 9m = (9n + 3m) c) a a = ( 4 + a) d) 5 + e - 10e = (5 e)

28 X 15c Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) p 4 b) - k k 6 c) 6b v + b 4 + d) f 6f 4 + X 15c a) 10p p 4 = ( 1 + 5p ) b) 1 - k k 6 = (1-4k 3 ) c) 6b v + b 4 + 9v 4 = ( 3v + b ) d) f 6f = (f 4 3)

29 X 16 Beispiel: a 5a + 6 = (a-)(a-3) mit (-) + (-3) = -5 und (-). (-3) = 6 Zerlege ebenso: a) a + 9a + 0 b) s - 9s + 0 c) f + f 0 d) h! h! 3 4 X 16 a) a + 9a + 0 = (a + 4)(a + 5) b) s - 9s + 0 = (s 4)(s - 5) c) f + f 0 = (s 4)(s + 5) d) 3 h! h! = (h + 0,5)(h - 1,5) 4

Üben. Binomische Formeln. Lösung. Binomische Formeln. Wende die binomischen Formeln an: c) (b + c)(b c) f) (a x)(a + x) a) (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Üben. Binomische Formeln. Lösung. Binomische Formeln. Wende die binomischen Formeln an: c) (b + c)(b c) f) (a x)(a + x) a) (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 X 1a a) (x + y) b) (u v) c) (b + c)(b c) d) (r + s) e) (g f) f) (a x)(a + x) X 1a a) (x + y) = x + xy + y b) (u v) = u uv + v c) (b + c)(b c) = b c d) (r + s) = r + rs + s e) (g f) = g gf + f f) (a x)(a

Mehr

Repetitionsaufgaben Termumformungen

Repetitionsaufgaben Termumformungen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben Termumformungen Zusammengestellt von der Fachschaft Mathematik der Kantonsschule Willisau Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkung... 1 B) Lernziele... 1 C)

Mehr

Wiederholung der Grundlagen

Wiederholung der Grundlagen Terme Schon wieder! Terme nerven viele von euch, aber sie kommen immer wieder. Daher ist es wichtig, dass man besonders die Grundlagen drauf hat. Bevor es also mit der richtigen Arbeit los geht solltest

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkommen zur der Um sich schnell innerhalb der ca. 350.000 Mathematikaufgaben zu orientieren, benutzen Sie unbedingt das Lesezeichen Ihres Acrobat Readers: Das Icon finden Sie in der links stehenden

Mehr

Terme und Formeln Grundoperationen

Terme und Formeln Grundoperationen Terme und Formeln Grundoperationen Die Vollständige Anleitung zur Algebra vom Mathematiker Leonhard Euler (*1707 in Basel, 1783 in Petersburg) prägte den Unterricht und die Lehrmittel für lange Zeit. Euler

Mehr

Selbständiges Arbeiten. Mittelstufe - (SprachProfil) Faktorzerlegungen. Klasse 3v

Selbständiges Arbeiten. Mittelstufe - (SprachProfil) Faktorzerlegungen. Klasse 3v Selbständiges Arbeiten Mittelstufe - (SprachProfil) Faktorzerlegungen Klasse 3v 14. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Ziele, Arbeitsauftrag & Zeiteinteilung 2 1.1 Ziele..................................

Mehr

15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3

15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3 4 4.1 Einführung Haben alle Summanden einer algebraischen Summe einen gemeinsamen Faktor, so kann man diesen gemeinsamen Faktor ausklammern. Die Summe wird dadurch in ein Produkt umgewandelt. Tipp: Kontrolle

Mehr

b) 5xu + 15xv 10xz = 5x( u 3v + 2z) c) 26xy 13xz = 13x ( 2y z)

b) 5xu + 15xv 10xz = 5x( u 3v + 2z) c) 26xy 13xz = 13x ( 2y z) R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.09.01 Lösungen Terme II : E1 E E3 x y = x y a) b) 5xu + 15xv 10xz = 5x( u 3v + z) c) 6xy 13xz = 13x ( y z) bx by + bz = b( x y + z) 4 4 4 4 e) 7x 7y + 7z

Mehr

c) 10k + 6m 8n + 5k m 2n = 5 ( 3k + m 2n)

c) 10k + 6m 8n + 5k m 2n = 5 ( 3k + m 2n) R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.09.01 Lösungen Terme I Ergebnisse: E1 E E Ergebnisse a) 5x + 7y x + 1y = 4( x + 5y) b) 1 a+ 4 b+ 5 a+ 11 b+ 1 a = 1 ( 4a+ 5b) 9 6 9 6 c) 10k + 6m 8n + 5k

Mehr

Terme. Kein Term, da sich eine Division durch Null ergibt

Terme. Kein Term, da sich eine Division durch Null ergibt Allgemeines Terme Definition: Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. In der Regel verwendet man für Variablen Kleinbuchstaben, z.b.: x, y, a,... Definition: Ein Term ist eine sinnvolle Kombination

Mehr

Berufliches Gymnasium Gelnhausen

Berufliches Gymnasium Gelnhausen Berufliches Gymnasium Gelnhausen Fachbereich Mathematik Die inhaltlichen Anforderungen für das Fach Mathematik für Schülerinnen und Schüler, die in die Einführungsphase (E) des Beruflichen Gymnasiums eintreten

Mehr

Download. Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen. Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen.

Download. Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen. Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen. Download Michael Franck Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Basics Mathe Gleichungen

Mehr

Sammlung von 10 Tests

Sammlung von 10 Tests ALGEBRA Potenzen und Wurzeln Sammlung von 0 Tests Die hier gezeigten Aufgen sind thematisch geordnet alle in der Datei 00 enthalten. Hier nur die Gruppierung zu Tests. Datei Nr. 0 September 00 Friedrich

Mehr

Mathematik. FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli Kontakt und weitere Infos:

Mathematik. FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli Kontakt und weitere Infos: FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli 2004 Kontakt und weitere Infos: www.schule.barmetler.de Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung 5 1.1 Bruchrechnen.............................

Mehr

v 5 v 4 v 3 v 1 x v = y A(x a /y a ) x a y a A = OA = x v = y ( A(x a /y a ) B(x ( b /y b ) x b x a x c = y c = x 2 c + yc

v 5 v 4 v 3 v 1 x v = y A(x a /y a ) x a y a A = OA = x v = y ( A(x a /y a ) B(x ( b /y b ) x b x a x c = y c = x 2 c + yc v v v M v v 6 v x v y v Ax a /y a A OA x a y a v x v y AB v v v A v B v v Ax a /y a Bx b /y b AB x b x a x c y b y a y c A / B/ AB + AB x c + yc AB AB + AB xb x a + y b y a AB 9 AB, 9 AB x y m m y x α

Mehr

15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3

15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3 4 4.1 Einführung Haben alle Summanden einer algebraischen Summe einen gemeinsamen Faktor, so kann man diesen gemeinsamen Faktor ausklammern. Die Summe wird dadurch in ein Produkt umgewandelt. Tipp: Kontrolle

Mehr

Termumformungen. ALGEBRA Terme 2. Binomische Formeln. INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr Friedrich W.

Termumformungen. ALGEBRA Terme 2. Binomische Formeln.  INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr Friedrich W. ALGEBRA Terme Termumformungen Binomische Formeln Meistens in Klasse 8 Datei Nr. 110 Friedrich W. Buckel Stand: 4. November 008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de Inhalt DATEI 1101 1

Mehr

Rechnen mit Klammern

Rechnen mit Klammern Rechnen mit Klammern W. Kippels 28. Juli 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Gesetze und Formeln zum Rechnen mit Klammern 3 1.1 Kommutativgesetze.............................. 3 1.2 Assoziativgesetze...............................

Mehr

Gleichungen auflösen Verpackte Zahlen

Gleichungen auflösen Verpackte Zahlen 0 rmaüb8 Gleichungen auflösen Verpackte Zahlen 18 LU 4 Gleichungen auflösen 1) 13lOx+1 11x3x+48 1x 159x 84x+8 75x+8 9x 18=3x ) 5x+8=53 7x 3=3 5x±31 56 4x+1=0 6x 14=4 19x 19=95 3) 13z 80=96 3z 49+736 11

Mehr

Termumformungen. 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA. Ronald Balestra CH St. Peter

Termumformungen. 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA. Ronald Balestra CH St. Peter Termumformungen 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch e-mail: theorie@ronaldbalestra.ch 11. Oktober 2009 Überblick über die bisherigen ALGEBRA

Mehr

Vorschau reiseführer

Vorschau reiseführer V ü üj 0 ä, ä, ö Z Z U v T T v V ö üzv (v ) VIT ü U v V V V ä z v jz v, äi, z vä v zü I z: ä T V ü ü, ü z z T Iv z ö, ü I z D ü ü ä D Z ä,, jz z ü z : D z Cy, v ä I ü z zäz v v U 0 äü I z I z v,, vä T

Mehr

1.2 Rechnen mit Termen II

1.2 Rechnen mit Termen II 1.2 Rechnen mit Termen II (Thema aus dem Gebiet Algebra) Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen, bei denen der Exponent negativ oder 0 ist 2 2 Potenzregeln 2 3 Terme mit Wurzelausdrücken 4 4 Wurzelgesetze 4 5 Das

Mehr

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Fortgeschrittene Die Aufgaben auf diesem Arbeitsblatt haben alle eine elegante Lösungsidee. Bei vielen Gleichungen ist nach Anwenden

Mehr

Endgültige Gruppeneinteilung Kohorte Innere-BP Sommersemester 2016 (Stand: )

Endgültige Gruppeneinteilung Kohorte Innere-BP Sommersemester 2016 (Stand: ) A A1a 2197120 on on A A1a 2311330 on on on on on on on A A1a 2316420 on on A A1a 2332345 on on on on on on on A A1a 2371324 on on on on on on on A A1a 2382962 on on A A1a 2384710 on on on on on on on A

Mehr

Mathematik, Klasse 7, Terme und Termwerte

Mathematik, Klasse 7, Terme und Termwerte Mathematik, Klasse 7, Terme und Termwerte. Finde den Term und berechne dann den Termwert für x = - 5 und x = 00. x = x = x = 3 x = 4 x = 5 x = - 5 x =00 T (x) = 5 8 4 7 T (x) = 3 6 9-5 T 3 (x) = 0 3 8

Mehr

Rechnen mit Klammern

Rechnen mit Klammern Rechnen mit Klammern W. Kippels 22. August 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Gesetze und Formeln zum Rechnen mit Klammern 3 1.1 Kommutativgesetze.............................. 3 1.2 Assoziativgesetze...............................

Mehr

Übungen zu dem Mathe-Fit Kurs

Übungen zu dem Mathe-Fit Kurs Hochschule Darmstadt Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften WS 00/ Übungen zu dem Mathe-Fit Kurs Thema : Mengen A.. Durch welche charakterisierenden Eigenschaften können die folgenden Mengen beschrieben

Mehr

1.2 Rechnen mit Termen II

1.2 Rechnen mit Termen II 1.2 Rechnen mit Termen II Inhaltsverzeichnis 1 Ziele 2 2 Potenzen, bei denen der Exponent negativ oder 0 ist 2 3 Potenzregeln 3 4 Terme mit Wurzelausdrücken 4 5 Wurzelgesetze 4 6 Distributivgesetz 5 7

Mehr

Kubische und quartische Gleichungen:

Kubische und quartische Gleichungen: Kubische und quartische Gleichungen: Die ersten Mathematiker, die allgemeine Lösungswege für kubische und quartische Gleichungen gefunden haben, waren die italienischen Mathematiker der Renaissance (ca.

Mehr

Mathematik-Übungssammlung für die Studienrichtung Facility Management

Mathematik-Übungssammlung für die Studienrichtung Facility Management Mathematik-Übungssammlung für die Studienrichtung Facility Management Auf den nachfolgenden Seiten finden Sie Übungen zum Stoff, welcher bei Studienbeginn vorausgesetzt wird. Der dazugehörige Stoff wird

Mehr

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3 2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................

Mehr

Binome multiplizieren. g) (2b +c2d) h) (4a + bc) i) (d ef) h) (-5u 7v) i) (-3c + 4d)(-3c m) (-3z + 5x)(-5x 3z) f) (5 z2)2 m) (-6s 8t) 7)2

Binome multiplizieren. g) (2b +c2d) h) (4a + bc) i) (d ef) h) (-5u 7v) i) (-3c + 4d)(-3c m) (-3z + 5x)(-5x 3z) f) (5 z2)2 m) (-6s 8t) 7)2 t) (7q n)(mn h) Ty)(7y mathüb 8 Binome für den Profi Binome multiplizieren 1 LU Binome für den Profi 01 Multipliziere aus: a) (d + e)(d + e) (g h)(g e) (e f)(e + f) g) (7t + )(7t ) (r+ s)(r+ s) (5pq)(5pq)

Mehr

Grundwissen Mathematik

Grundwissen Mathematik Grundwissen Mathematik Algebra Terme und Gleichungen Jeder Abschnitt weist einen und einen teil auf. Der teil sollte gleichzeitig mit dem bearbeitet werden. Während die bearbeitet werden, sollte man den

Mehr

Realschule. 1. Schulaufgabe aus der Mathematik. Klasse 8 / I ; B 1, 1,5(

Realschule. 1. Schulaufgabe aus der Mathematik. Klasse 8 / I ; B 1, 1,5( 1. Schulaufgabe aus der Mathematik 1. Gegeben sind die Punkte A,, ( ; B, 0,5( und C 0,5 ( 1.1 Konstruiere den Umkreis k des Dreiecks mit Mittelpunkt M. 1. Kennzeichne die Lösungsmenge mit grüner Farbe:

Mehr

Realschule. 1. Schulaufgabe aus der Mathematik. Klasse 8 / I ; B( 1 1,5)

Realschule. 1. Schulaufgabe aus der Mathematik. Klasse 8 / I ; B( 1 1,5) 1. Schulaufgabe aus der Mathematik 1. Gegeben sind die Punkte A( ) ; B( 0,5) und C( 0,5 ) 1.1 Konstruiere den Umkreis k des Dreiecks mit Mittelpunkt M. 1. Kennzeichne die Lösungsmenge mit grüner Farbe:

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

Aufgabe Multiplizieren Sie nacheinander schrittweise folgende Terme aus und vereinfachen Sie diese so weit wie möglich!

Aufgabe Multiplizieren Sie nacheinander schrittweise folgende Terme aus und vereinfachen Sie diese so weit wie möglich! Kapitel 1 Rechengesetze 1.1 Körperaxiome und Rechenregeln 1.1.1 Binomische Formeln Aufgabe 1.1.1.1. 1. Multiplizieren Sie nacheinander schrittweise folgende Terme aus und vereinfachen Sie diese so weit

Mehr

Vorkurs für das Fach Mathematik am beruflichen Gymnasium, Bildungsgang Technik, der BBS Neustadt

Vorkurs für das Fach Mathematik am beruflichen Gymnasium, Bildungsgang Technik, der BBS Neustadt Berufsbildende Schule Neustadt an der Weinstraße Vorkurs für das Fach Mathematik am beruflichen Gymnasium, Bildungsgang Technik, der BBS Neustadt Liebe Schülerinnen und Schüler, wir freuen uns, dass Sie

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05 . Mengen

Mehr

2 x = 4. f(x) = ± f(x) = 1. x = x 0. (x 4) (x + 2)(x 4) x 4 + f(x) 1 6. x 2 + (x + 2)(x 4) = 3, , (x 4) (x + 2)(x 4) =

2 x = 4. f(x) = ± f(x) = 1. x = x 0. (x 4) (x + 2)(x 4) x 4 + f(x) 1 6. x 2 + (x + 2)(x 4) = 3, , (x 4) (x + 2)(x 4) = (x ) f (x) = (x + )(x ) f (x) = (x ) + f (x) = e x + x = x = y = 0 y = x = f(x) = a f(x) = a x x 0 x x < 0 f(x) = a f(x) = a x x + 0 x x > 0 = f(x) = f(x) = a x x 0 x x + 0 f(x) = a x x 0 f(x) = ± x x

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden

Mehr

Druckfedern. Alle Federn werden nach DIN produziert. Hier finden Sie auch alle technischen Angaben.

Druckfedern. Alle Federn werden nach DIN produziert. Hier finden Sie auch alle technischen Angaben. Alle Federn werden nach DIN produziert. Hier finden Sie auch alle technischen Angaben. Jede Feder hat ihre Katalognummer. Bei der Bestellung geben Sie bitte diese Nummer an. Material Federstahl gemäß EN

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am 23.1.2015 Bearbeiten Sie bitte zwei der drei folgenden Aufgaben! Falls Sie alle drei Aufgaben bearbeitet haben sollten, kennzeichnen

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengang Bauingenieurwesen Dresden 2005 . Mengen Kenntnisse

Mehr

! "#$%&'#( ) *!(!#+#,,!! -.&/ +0! : ; ) <+#,+,/,!&&! ; )) = ++%!! * )) <(#+&AB+' AC! ))) <.!%+&! C! >+%'#( ))D C!!&'

! #$%&'#( ) *!(!#+#,,!! -.&/ +0! : ; ) <+#,+,/,!&&! ; )) = ++%!! * )) <(#+&AB+' AC! ))) <.!%+&! C! >+%'#( ))D C!!&' ! "# $#%&!! '()*+*,* -.,/ 01)*2.3/41/456)+2 7841/+9 1(*:;456)+2 (+?1/)+*.:* @:/9)*:A* BCD C! EFGHIGFHHJ ! "#$%&'#( ) *!(!#+#,,!! -.&/ +0! 1 2 34 5678856 9 847: ; )

Mehr

1.1 Rechnen mit Termen (Thema aus dem Bereich Algebra)

1.1 Rechnen mit Termen (Thema aus dem Bereich Algebra) 1.1 Rechnen mit Termen (Thema aus dem Bereich Algebra) Inhaltsverzeichnis 1 Terme 2 1.1 Definition des Begriffs..................................... 2 1.2 Vorzeichen von Termen.....................................

Mehr

Kapitel 4: Variable und Term

Kapitel 4: Variable und Term 1. Klammerregeln Steht ein Plus -Zeichen vor einer Klammer, so bleiben beim Auflösen der Klammern die Vorzeichen erhalten. Bei einem Minus -Zeichen werden die Vorzeichen gewechselt. a + ( b + c ) = a +

Mehr

, 2 f N, f M f n f m dx 0 sin xx x3 3! x 5 5! a n x n n0 N f N x a n x n n0 a,ba * x b x a * y b y a * z b z aa x 2 a y 2 a z 2, * r,tr,td 3 r, * d 3 r * * d 3 r, *, * d 3 r * d 3 r, * d 3 r * * d 3 r

Mehr

Termumformungen. ALGEBRA Terme 2. Binomische Formeln. INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr. 12102. Friedrich W.

Termumformungen. ALGEBRA Terme 2. Binomische Formeln.  INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr. 12102. Friedrich W. ALGEBRA Terme Termumformungen Binomische Formeln Meistens in Klasse 8 Datei Nr. 0 Friedrich W. Buckel Stand: 4. November 008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Inhalt DATEI 0 Was sind und was leisten

Mehr

24 Wolf g. 3 I ms Studium Plus zurückgreifen.

24 Wolf g. 3 I ms Studium Plus zurückgreifen. B I - P- S /M Z R V yü Pj D D S D F D I ) B y S, B ( ) z T, I E B z V j G - H 2 Z - R B - - -, ( _ ) H, E S - A B ö P x A Z I Z z B _ T j P S B S Z K z N-P E - - ( ) P-U, A Az y B E P P y B Z, Nz - Z B:

Mehr

Polynome Teil V: Elementarsymmetrische Funktionen.

Polynome Teil V: Elementarsymmetrische Funktionen. Die WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil V: Elementarsymmetrische Funktionen. Es gibt Gleichungssysteme, die lassen sich mit schulischen Mitteln nicht bzw. nur sehr mühsam knacken. So musste etwa

Mehr

2 Rechnen mit Termen. 2.1 Grundrechenarten mit Termen

2 Rechnen mit Termen. 2.1 Grundrechenarten mit Termen 9 2 Rechnen mit Termen Die Einführung von Buchstaben als Variable 1 und deren Verknüpfung durch Rechenzeichen führt zu dem Begriff des Terms (von lat. terminare = bestimmen). 2.1 Grundrechenarten mit Termen

Mehr

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften

Mehr

Berufliches Schulzentrum Waldkirch Stihl Information zur Aufnahmeprüfung WO. Welche mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten sollten Sie mitbringen?

Berufliches Schulzentrum Waldkirch Stihl Information zur Aufnahmeprüfung WO. Welche mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten sollten Sie mitbringen? Information zur Aufnahmeprüfung WO Mathematik Welche mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten sollten Sie mitbringen? Musterprüfung: Lösen von linearen Gleichungen Aufgabe 1 Lösen von quadratischen Gleichungen

Mehr

Damit kann die Kantenlänge s berechnet werden: s = s=17cm ; 3s = 51cm; 5s = 85 cm d) Volumen des Würfels: 2197cm 3

Damit kann die Kantenlänge s berechnet werden: s = s=17cm ; 3s = 51cm; 5s = 85 cm d) Volumen des Würfels: 2197cm 3 1 a) b) c) d) 3 59.57 3.905493027 3.905 (mit TR lösen) 3 656.589 8.691562701 8.692 (mit TR lösen) 3 125.125 5.001666111 5.002 (mit TR lösen) 3 30.8994 3.137978874 3.138 (mit TR lösen) e) 3 30 1256 0.287989866

Mehr

Gastgeberverzeichnis. Hotels Gasthöfe Pensionen Privatzimmer Ferienwohnungen.

Gastgeberverzeichnis. Hotels Gasthöfe Pensionen Privatzimmer Ferienwohnungen. vz ö P Pvz 2016 2 y, K, p y, K, p 3 800 ö! v D, k, pk V y D D, Vk ü z, Nä z T Ö k N, z zj ü, D Pz p, D z N v ök z v Kö N, y pä D ö kk ü, Tü, ä äz, z k Ny,, Nz I, Tp D, ü z k D Kö (), v U v y k ü ä Kü vü,

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkommen zur der Um sich schnell innerhl der c. 50.000 Mthemtikufgen zu orientieren, enutzen Sie unedingt ds Lesezeichen Ihres Acrot Reders: Ds Icon finden Sie in der links stehenden Leiste.

Mehr

Vortrag 4 - Primärzerlegung

Vortrag 4 - Primärzerlegung Vortrag 4 - Primärzerlegung von Christian Straßberger Beispiel 4.1: Primfaktorzerlegung als Primärzerlegung Sei n Z : n = ±p d1 1 pd2 2 pdr r, wobei p i Primzahlen, d i N. Dann ist (n) = (p d1 1 ) (pdr

Mehr

Vorbereitungsmappe. Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS

Vorbereitungsmappe. Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS Vorbereitungsmappe Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS Liebe Schülerinnen und Schüler, vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS stellt sich vor allem im Fach

Mehr

8. Schuljahr Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel

8. Schuljahr Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel ELEMENTE DER MATHEMATIK 8. Schuljahr Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel ELEMENTE DER MATHEMATIK 8 Lösungen Herausgegeben von Prof. Dr. Heinz Griesel, Prof.

Mehr

Matrizen und Determinanten, Aufgaben

Matrizen und Determinanten, Aufgaben Matrizen und Determinanten, Aufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikation von Matrizen 1 11 Lösungen 3 2 Determinanten 6 21 Lösungen 7 3 Inverse Matrix 8 31 Lösungen 9 4 Matrizengleichungen 11 41 Lösungen

Mehr

Serie 1. Algebra-Training. Operationen 1. und 2. Stufe, Distributivgesetze. Theorie & Aufgaben. VSGYM / Volksschule Gymnasium

Serie 1. Algebra-Training. Operationen 1. und 2. Stufe, Distributivgesetze. Theorie & Aufgaben. VSGYM / Volksschule Gymnasium Algebra-Training Theorie & Aufgaben Serie 1 Operationen 1. und 2. Stufe, Distributivgesetze Theorie und Aufgaben: Ronald Balestra, Katharina Lapadula VSGYM / Volksschule Gymnasium Liebe Schülerin, lieber

Mehr

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien Automaten und formale prachen Notizen zu den Folien 10 Kontextfreie Grammatiken Beispiele für kontextfreien Grammatiken ei Σ = {a, b}. Beispiel 1 (Folie 233, oben) Geben ie eine kontextfreie Grammatik

Mehr

Seiten 4 / 5. Lösungen Mathematik-Dossier 8 Rechnen mit Variablen

Seiten 4 / 5. Lösungen Mathematik-Dossier 8 Rechnen mit Variablen Seiten 4 / 5 Distributivgesetz Multiplikation Division - Verbindung v. Operationen versch. Stufe 1 a) 15a : 5 = 15 a : 5 = 15 : 5 a = 3a b) 7x 3 = 7 x 3 = 7 3 x = 21x c) 8x 3y = 8 x 3 y = 8 3 x y = 24xy

Mehr

Aufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q1

Aufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q1 Aufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q Vereinfachen Sie nachfolgende Terme soweit wie möglich.. 6 a + 8b + 0c 4a + b c x y + z 7x + y z,8u +,4v 0,8w + 0,6u, v + w r + s t r + 6s + t. ( a + 7 + (9a

Mehr

Vektoren, Tensoren, Operatoren Tensoren Rang 0 Skalar p,ρ,t,... Rang 1 Vektor F, v, I,... Spannungstensor

Vektoren, Tensoren, Operatoren Tensoren Rang 0 Skalar p,ρ,t,... Rang 1 Vektor F, v, I,... Spannungstensor Vektoren, Tensoren, Operatoren Tensoren Rang 0 Skalar p,ρ,t,... Rang 1 Vektor F, v, I,... Rang 2 Dyade }{{} σ, τ,... Spannungstensor Differential-Operatoren Nabla- / x Operator / y in kartesischen / Koordinaten

Mehr

Polynome Teil IV: Hilfspolynome oder Eine Erweiterung des Satzes von VIETA.

Polynome Teil IV: Hilfspolynome oder Eine Erweiterung des Satzes von VIETA. Die WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil IV: Hilfspolynome oder Eine Erweiterung des Satzes von VIETA. Was hat ein Gleichungssystem der Art x + y + z = 5 x 2 + y 2 + z 2 = 29 xyz = 24 mit Polynomen

Mehr

Übungen zum Vorkurs Mathematik

Übungen zum Vorkurs Mathematik Dr. Tatiana Samrowski Institut für Mathematik Universität Zürich Übungen zum Vorkurs Mathematik Mengenlehre Aufgabe : Stellen Sie die folgenden Menge durch Aufzählen ihrer Elemente dar: A = { N : ist Primzahl

Mehr

Polynome. David Willimzig. Wir beschäftigen uns zunächst mit Polynomen in einer Variablen x. Diese haben die Gestalt

Polynome. David Willimzig. Wir beschäftigen uns zunächst mit Polynomen in einer Variablen x. Diese haben die Gestalt Polynome David Willimzig 1 Grundlagen Wir beschäftigen uns zunächst mit Polynomen in einer Variablen x. Diese haben die Gestalt p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = Die Zahlen a 0, a 1,..., a n werden Koezienten

Mehr

Rechnen mit rationalen Zahlen

Rechnen mit rationalen Zahlen Rechnen mit rationalen Zahlen a ist die Gegenzahl von a und ( a) a Subtraktionsregel: Statt eine rationale Zahl zu subtrahieren, addiert man ihre Gegenzahl. ( 8) ( ) ( 8) + ( + ) 8 + 7, (,6) 7, + ( +,6)

Mehr

lsa = (S' A) (SA') (110)

lsa = (S' A) (SA') (110) Mathematics. - Ueber Trivektoren. V. Von R. WEITZENBÖCK. (Communicated at the meeting of February 26. 1938.) 13. Die Syzygien D:~ und E:~. Wir haben im 11 in der Gleichung (98) eine Syzygie dritter Art

Mehr

Aufgabensammlung Klasse 8

Aufgabensammlung Klasse 8 Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen..................... 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...................

Mehr

Aufgaben zum Vorkurs Mathematik: Allgemeine Übungsaufgaben

Aufgaben zum Vorkurs Mathematik: Allgemeine Übungsaufgaben Aufgaben zum Vorkurs Mathematik: Allgemeine Übungsaufgaben Fachbereich Mathematik Vorkurs Mathematik WS 2012/13 Dies ist eine Sammlung von Aufgaben, die hauptsächlich Mittelstufenstoff wiederholen. Dabei

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de April 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik April 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty : Perseverance and

Mehr

Teil 2. Mittelstufen-Algebra. Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 10. Datei Nr

Teil 2. Mittelstufen-Algebra. Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 10. Datei Nr ALGEBRA mit dem CASIO ClassPad 00PLUS Teil Mittelstufen-Algebra Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 0. Datei Nr. 70 Hier nur 5 Seiten als Demo Die Originaldatei gibt es auf der Mathe-CD Friedrich W. Buckel

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Tutorium 12

Grundbegriffe der Informatik Tutorium 12 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 12 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 28. Januar 2015 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum

Mehr

(a+1) = a+12 12(b+6) 36. = 12b (a+4) 12(a-2) = 12a+48. 3a b a. kürzen mit 19 (=ggt) k)

(a+1) = a+12 12(b+6) 36. = 12b (a+4) 12(a-2) = 12a+48. 3a b a. kürzen mit 19 (=ggt) k) Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen a) Erweitern mit Bruch (-) (-) 6 a+ b+6 a+ a- 6 (a+) 6 a+ (b+6) b+ (a+) (a-) a+ a-6 6 0 (a+) a+ (b+6) 6 b+ 6 (a+) (a-) a+ a- (-0) (-0) (-) (-) (-0) (-)(a+)

Mehr

Grundlagen Algebra Aufgaben und Lösungen

Grundlagen Algebra Aufgaben und Lösungen Grundlagen Algebra Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 201 Inhaltsverzeichnis 1 Primfaktoren - ggt - kgv 2 1.1 ggt (a, b) kgv (a, b)...............................................

Mehr

Grundlagen und Grundoperationen

Grundlagen und Grundoperationen ZaHlenMenGen und t erme 1 Grundlagen und Grundoperationen 1 Zahlenmengen und t erme Im Zentrum dieses Kapitels stehen die elementaren Zahlenmengen N, Z, Q und R. Weiter werden die Grundlagen für den Umgang

Mehr

3 kontextfreie Sprachen

3 kontextfreie Sprachen Hans U. Simon Bochum, den 7.10.2008 Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretische Informatik WS 08/09 Vorbemerkung: Hier findet sich eine Sammlung von Beispielen und Motivationen zur Vorlesung Theoretische

Mehr

2 Junge Erwerbstätige in einer veränderten Arbeitswelt

2 Junge Erwerbstätige in einer veränderten Arbeitswelt 2 J Ewä vä Aw V w B P v Ewä vä A Aw zü K w Z ä Sw Iv, Ez Sjv v A H A, Ez Kp E w, W A p Wy D Kp E ä ä w, vä A, j Ewä, z ö Dz w zä M Ew p Wy E w Mx W,,D P E Kp" (65) z, z z, w Kp W, Ew, Lü (v W 65, S 2)

Mehr

Kapitel 3. Transformationen

Kapitel 3. Transformationen Oyun Namdag Am 08.11.2007 WS 07/08 Proseminar Numerik: Mathematics for 3D game programming & computer graphics Dozenten: Prof. Dr. V. Schulz, C. Schillings Universität Trier Kapitel 3 Transformationen

Mehr

a) 3a + 4b (5a + 3b) (8a 3b) + ( 3a 5b) = 13a b Probe: 29 b) 5a 2b [3a (3a + 2b) ( 2a + 3b)] (3a + 7b) 4b + 3a = 3a 8b Probe: 18

a) 3a + 4b (5a + 3b) (8a 3b) + ( 3a 5b) = 13a b Probe: 29 b) 5a 2b [3a (3a + 2b) ( 2a + 3b)] (3a + 7b) 4b + 3a = 3a 8b Probe: 18 B Algebra I 4. Addieren und Subtrahieren mit Variablen Lösungen 1 Berechne und mache die Probe mit a und b 3. 3a + 4b (5a + 3 (8a 3 + ( 3a 5 13a b Probe: 9 5a b [3a (3a + ( a + 3] (3a + 7 4b + 3a 3a 8b

Mehr

Mathematik Eingangstest

Mathematik Eingangstest Mathematik Eingangstest Dreisatz Aufgabe Ein Mitarbeiter im Außendienst erhielt im vergangenen Jahr für 24.500 km Geschäftsfahrten einen Kostenersatz von 0.290,00. Mit wie viel Kostenersatz kann er im

Mehr

Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn

Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn Übung 1: Konstruiere ein Dreieck mit Hilfe folgender Angaben: Grundseite c = 10 cm, Höhe h = 4 cm, Winkel γ = 60. 6 Ist die Konstruktion eindeutig? Kann man das Dreieck

Mehr

1 Die Chomsky-Hirachie

1 Die Chomsky-Hirachie Hans U. imon Bochum, den 7.10.2008 Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretische Informatik W 09/10 Vorbemerkung: Hier findet sich eine ammlung von Beispielen und Motivationen zur Vorlesung Theoretische

Mehr

Ältere Aufgaben (bis 1998)

Ältere Aufgaben (bis 1998) Ältere Aufgaben (bis 1998) Es waren in den 4 Stunden jeweils nur 2 Aufgaben zu bearbeiten, die einzelnen Aufgaben waren umfangreicher. September 1998, Aufgabe 1 Sei p eine ungerade Primzahl. a) Beweise:

Mehr

Kapitel II. Vektoren und Matrizen

Kapitel II. Vektoren und Matrizen Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft

Mehr

x + y = a x 3 + y 3 = a x 5 + y 5 = a.

x + y = a x 3 + y 3 = a x 5 + y 5 = a. Lösungen 1. Prüfung 1. Für die rellen Zahlen x, y, a gelten die folgenden Gleichungen: x + y = a x 3 + y 3 = a x 5 + y 5 = a. Bestimme alle möglichen Werte von a. 1. Lösung: Die Polynome auf der linken

Mehr

UE Logik für Wissensrepräsentation WS 2016/17

UE Logik für Wissensrepräsentation WS 2016/17 UE Logik für Wissensrepräsentation WS 2016/17 Aufgabenblatt 2: Prädikatenlogik Beispiel 1: Zeigen Sie mittels Einführungs- und Beseitigungsregeln für die Herleitungsrelation der Prädikatenlogik folgende

Mehr

Keine Angst vor Algebra die Lösungen

Keine Angst vor Algebra die Lösungen Keine Angst vor Algebra die en 1 Rechnen mit Zahlen Aufgabe 1.1 Berechnen Sie 2534 + 19 842, 76 345 59 268, 345 423, 7239 : 19 und 4172 : 17. Die Rechnungen werden schriftlich durchgeführt. Es gilt: 2

Mehr

MISSION UNBEKANNTE BERUFSWELT

MISSION UNBEKANNTE BERUFSWELT MISSION UNBKNNT BUFSWLT B U : D W S U z 201 ä M 1 13 üz W v: IMPSSUM H Sä S ü W V 21 W-B-Sß 2 010 D G S K GH F T: G S K GH F: F Gäz; S 4 : I G; S 4 : K K; S 5 : N L; S 5 : Py T; S 6/: x M T Sxz; S 11:

Mehr

2 Ein Sitzelement hat die Form eines Viertelkreises. Berechne die Sitzfläche, wenn das Element eine Seitenkante von 65 cm aufweist.

2 Ein Sitzelement hat die Form eines Viertelkreises. Berechne die Sitzfläche, wenn das Element eine Seitenkante von 65 cm aufweist. I Körper II 33. Umfang und Flächeninhalt eines Kreises Lösungen Ein Blumenbeet hat die Form eines Viertelkreises mit gegebenem Radius. Fertige eine Skizze an. Berechne den Umfang des Beetes. a) r = 3,9

Mehr

Ausgekocht: Wirte geben Betrieb auf!

Ausgekocht: Wirte geben Betrieb auf! Ö / z V z z : f! : Ö-Vf (z p p p ) z - - -%! V-Ä! V-Ä! Vä z pz fü öä ö & öz - ppz / - z ß / / / Ö Ü f f Q äz z z z pü f f v z p v z -ä ä v f z öff v ä V fü f ö: v z z -ü ä f xp p fü -é v f üz v f f f ß

Mehr

( ) ( ). Dann heißt die Zahl

( ) ( ). Dann heißt die Zahl Der Euklidische Abstand Seite 1 von 6 Der Euklidische Abstand Der Abstand zweier Punkte P und Q in der Modellebene ist eine Zahl, die von den Koordinaten der Punkte abhängt. Der Term, mit dem die Berechnung

Mehr

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen Inhaltsverzeichnis: 2. Termrechnen... 2 2.1. Bedeutung von Termen... 2 2.2. Terme mit Variablen... 4 2.3. Vereinfachen von Termen... 6 2.3.1. Zusammenfassen von gleichartigen Termen... 6 2.3.2. Vereinfachen

Mehr