Diskrete Zufallsvariablen

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1 Erste Beispiele diskreter Verteiluge Diskrete Zufallsvariable Beroulli-Verteilug Eie diskrete Zufallsvariable heißt beroulliverteilt mit arameter p, falls sie die Wahrscheilichkeitsfuktio p,, f ( ) ( ) p, 0, 0, sost besitzt. Bedeutug? Beispiel? Bemerkug Bei eiem Zufallsvorgag oft vo Iteresse ob ei Ereigis A eitritt oder icht Kodierug durch Beroulli-Variable Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 407

2 Diskrete Zufallsvariable Diskrete Gleichverteilug Eie diskrete Zufallsvariable heißt gleichverteilt auf dem Träger T { a, a, K, a }, k falls sie die Wahrscheilichkeitsfuktio f, k ( ) ( a ),, K k besitzt. Bedeutug? Beispiel? Geometrische Verteilug Eie diskrete Zufallsvariable heißt geometrisch verteilt mit arameter p, kurz ~ G(p), falls sie die Wahrscheilichkeitsfuktio f ( ) ( ) ( p) p, 0, sost,, K, besitzt. Wie lautet die Summe aller Wahrscheilichkeite? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 408

3 Modell der geometrische Verteilug Diskrete Zufallsvariable Bei eiem Zufallsvorgag sei ur vo Iteresse, ob ei bestimmtes Ereigis A eitritt oder icht, wobei (A) p mit 0 < p <. Der Zufallsvorgag wird u uabhägig voeiader so oft wiederholt, bis zum erste Mal A eitritt. Defiiere Zufallsvariable Azahl der Versuche bis zum erste Mal A eitritt! Gelegetlich auch alterative Defiitio: Azahl der Fehlerversuche bis zum erste Mal A eitritt ( ) ( A ) p, ( ) ( A A ) ( A) ( A) ( A) A ( 3) ( A A A ) ( A) ( A) ( A) ( A) Warum geht das? ( ) ( ) ( p), ( ) ( A) ( p), p 3 p M k A K A A A K k ( ) ( ) ( ) ( A) ( A) ( p). k k p Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 409

4 Diskrete Zufallsvariable Geometrische Verteilug mit p 0. Geometrische Verteilug mit p 0.5 Träger? Awedugsmöglichkeite: Lebesdauer- ud Wartezeitmodelle Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 40

5 Diskrete Zufallsvariable Uabhägigkeit vo diskrete Zufallsvariable Zur Erierug: ostulat der empirische Uabhägigkeit zweier Merkmale (vgl. S. 4): f f i i f f i f fi für i,..., k ud,..., l Übertragug auf Zufallsvariable Uabhägigkeit vo zwei diskrete Zufallsvariable Zwei diskrete Zufallsvariable ud Y mit Träger T {,, a a K, ak,k} { b, b, K, b,k} T T heiße uabhägig, falls für beliebige Y l (, Y y) ( ) ( Y y) ud ud y TY gilt. Aalogie zur Uabhägigkeit vo zwei Ereigisse? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 4

6 Diskrete Zufallsvariable Bemerkug: Sid zwei Zufallsvariable ud Y gemäß dieser Defiitio uabhägig, so folgt sogar allgemeier die Uabhägigkeit vo zwei Ereigisse der Form { A } ud { Y B }, sid (vgl. S. 399). wobei A ud B zulässige Bereiche auf der Mege der reelle Zahle Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf Augezahl im erste Wurf, Y Augezahl im zweite Wurf Klar: (, Y ) ( ) ( Y ) / / / 3. Es gilt aber auch (, Y ) ( ) ( Y ) / 3 / /8, (, Y ) (, Y ) + (, Y ) ( ) ( Y ) + ( ) ( Y ) [ ( ) + ( ) ] ( Y ) ( ) ( Y ). da Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 4

7 Diskrete Zufallsvariable Uabhägigkeit vo mehrere diskrete Zufallsvariable Die diskrete Zufallsvariable,,..., heiße uabhägig, falls für beliebige Werte,,..., aus de eweilige Träger (,,, ) ( ) ( ) K ( ) K gilt. Aalogie zur Uabhägigkeit vo mehrere Ereigisse? Bemerkug: Beachte: Aus der Uabhägigkeit gemäß dieser Defiitio lässt sich wiederum die Uabhägigkeit vo mehrere Ereigisse ableite. Beispiel: Dreimaliger Würfelwurf i Augezahl im i-te Wurf, i,, 3. Da gilt z.b.: (, ) ( ) ( ) / 3 / /8, da Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 43

8 Diskrete Zufallsvariable ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,, i i i i i i i i i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) + Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 44 ( ) ( ) [ ] ( ) + ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) + Uabhägige Zufallsvariable erzeuge uabhägige Ereigisse.

9 Berechug vo Lageparameter Berechug vo Erwartugswerte Diskrete Zufallsvariable Erwartugswert eier diskrete Zufallsvariable Der Erwartugswert E( ) E Astelle vo eier diskrete Zufallsvariable ist gegebe durch ( ) a p + K + a + ( ) ( ). k pk K a p a a a f a E( ) wird auch häufig das Symbol µ oder eifach µ verwedet. Aalogie i deskriptiver Statistik? Iterpretatio?! Erwartugswert ka bereits vor Ablauf des Zufallsvorgags berechet werde. Die Berechug beruht also icht auf vorliegede Date!! Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 45

10 Wie ist der Erwartugswert zu iterpretiere? 4

11 Was uterscheidet arithmetisches Mittel ud Erwartugswert? 47

12 Diskrete Zufallsvariable Beispiel: Würfelwurf Sei Augezahl beim eimalige Würfelwurf. E a p + K+ a p ( ) 3. 5 Ageomme, ei Würfel werde füfmal uabhägig voeiader geworfe. i Sei u die Augezahl beim i-te Würfelwurf für i,..., 5. Da sid die Zufallsvariable,, K stochastisch uabhägig ud idetisch, verteilt wie. Laute die Ergebisse der Zufallseperimete (Realisatioe) 4, 3, 3, 4 3, 5, so ergibt sich für das arithmetische Mittel der Realisatioe (Beobachtugswerte) 5 i i 3.. Was ist bei eier 000-malige Wiederholug des Eperimets zu erwarte? 5! Beachte: Zufallsvariable werde i.d.r. groß, Realisatioe klei geschriebe. Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 48

13 Diskrete Zufallsvariable Trasformatiosregel für Erwartugswerte Sei eie diskrete Zufallsvariable ud g() eie reelle Fuktio. Da gilt für Y g(): ( ) E g( ) E Y ( ) g( a ) p g( a ) f ( a ). Beispiel: Sei Augezahl beim eimalige Würfelwurf E ( ) Erwartugswert bei Lieartrasformatio Sei eie diskrete Zufallsvariable. Da gilt für Y a + b: ( Y ) a b E( ). E + Aalogie i deskriptiver Statistik? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 49

14 Diskrete Zufallsvariable Beachte: ( ) b p ( a + ba ) E Y a p + be p ( ) a + be( ) ap + b a p für b a +. ba Erwartugswert der Summe vo Zufallsvariable Für zwei diskrete Zufallsvariable ud Y gilt: Für diskrete Zufallsvariable ( + Y ) E( ) E( Y ). E +,,, K ud Kostate ( c + c + K+ c ) c E( ) + c E( ) + K c E( ). E + c, c, K, c gilt: Ohe formale Beweis Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 40

15 Diskrete Zufallsvariable roduktregel für uabhägige Zufallsvariable Für zwei uabhägige(!) diskrete Zufallsvariable ud Y gilt: ( Y ) E( ) E( Y ). E Ohe formale Beweis Beispiel: Beim zweimalige Würfel gilt für das rodukt der Augezahl ud Y E ( Y ) ( ) Wie würde Sie ohe roduktregel E Y bereche? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 4

16 Berechug vo Quatile Diskrete Zufallsvariable Quatile ud Media eier diskrete Zufallsvariable Sei eie diskrete Zufallsvariable mit Verteilugsfuktio F(). Da heißt q mit 0 <α < α α-quatil vo, falls F( q ) ( q ) α ud F( q ε ) < α α α Aalogie i deskriptiver Statistik? α für ε > 0. Iterpretatio? Für α 0.5 heißt q0. 5 Media. Beispiel: Eimaliger Würfelwurf a f ( a ) F( a ) / / / / / / / / 3/ 4/ 5/ Fortsetzug auf Folgeseite... Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 4

17 Diskrete Zufallsvariable Übug: Zeiche Sie die Verteilugsfuktio der diskrete Zufallsvariable, wobei Augesumme beim eimalige Würfelwurf. Bestimme Sie aschließed das 0.5-, das 0.5- ud das 0.75-Quatil vo. Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 43

18 Diskrete Zufallsvariable Aufgabe 48 Gegebe sei die Situatio des viermalige Müzwurfs (vgl. S. 395 ud 405). Die Zufallsvariable gebe die Azahl vo Zahl a. R F Der Erwartugswert vo ist gleich. Der Media vo ist gleich.5. Das 0.5-Quatil ist gleich.5. Das 0.75-Quatil ist gleich 3. Der Erwartugswert vo 3 ist gleich 8. Der Erwartugswert vo Y mit Y - 8 ist gleich 0. Würde die Müze 5 mal geworfe, so wäre der Erwartugswert für die Azahl vo Zahl gleich.5. Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 44

19 Berechug vo Streuugsparameter Diskrete Zufallsvariable Variaz ud Stadardabweichug eier diskrete Zufallsvariable Die Variaz Var( ) Var eier diskrete Zufallsvariable ist gegebe durch ( ) E( ) ( ) E ( µ ) µ Astelle vo Var( ) ( a µ ) f ( a ) a f ( a ) ( ) a f a. wird auch häufig das Symbol σ σ σ Die Stadardabweichug ist Var( ). oder eifach σ verwedet. Aalogie i deskriptiver Statistik? Iterpretatio? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 45

20 Diskrete Zufallsvariable Beachte: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ µ µ µ µ E E E E E E E Die adere Gleichuge i der Defiitio folge aus de Recheregel für Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 4 Erwartugswerte. Beispiel: Würfelwurf ( ) ( ) µ E Var Sei Augezahl beim eimalige Würfelwurf.

21 Diskrete Zufallsvariable Ageomme, ei Würfel werde füfmal uabhägig voeiader geworfe. Sei u i die Augezahl beim i-te Würfelwurf für i,..., 5. Da sid die Zufallsvariable,, K stochastisch uabhägig ud idetisch verteilt wie. Laute die Ergebisse der Zufallseperimete (Realisatioe) 4, 3, 3, 4 3, 5, so ergibt sich für die (empirische) Variaz der Realisatioe (Beobachtugswerte) s 5 5 i i i, ( ) i Was ist bei eier 000-malige Wiederholug des Eperimets zu erwarte? Weitaus schwierigere Frage: Ageomme, der füfmalige Würfelwurf werde 000 mal wiederholt ud edes mal die empirische Variaz berechet. Würde das arithmetische Mittel der eizele Variaze da der Variaz vo (ahezu) etspreche? roblemfeld der schließede Statistik: Erwartugstreue Schätzug der arameter vo Verteiluge durch edliche Stichprobe. 5 Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 47

22 Diskrete Zufallsvariable Variaz bei Lieartrasformatio Sei eie diskrete Zufallsvariable. Da gilt für Y a + b: Var ( Y ) b Var( ) ud σ Y bσ. Beweis: Var( Y ) σy Var( a + b ) E ( a + b E( a + b )) E b ( µ ) b E µ b Var Aalogie i deskriptiver Statistik? ( ) E( a + b a bµ ) ) ( ) ( ) ) ( ) b σ Variaz der Summe vo uabhägige Zufallsvariable Für uabhägige diskrete Zufallsvariable ud Y bzw. ud mit beliebige Kostate ( + Y ) Var( ) Var( Y ) Var + c, c,, K,,, K ( c + c + K+ c ) c Var( ) + c Var( ) + K c Var( ). Var + c gilt: Ohe formale Beweis Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 48

23 Diskrete Zufallsvariable Übug: Bereche Sie die Variaz für, falls eier Beroulli-Verteilug geügt. Wahrscheilichkeitsfuktio der Beroulli-Verteilug f Var( ) ( ) ( ) p, p, 0,, 0, sost Für welche Wert vo p ist die Variaz vo maimal? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 49

24 Diskrete Zufallsvariable Aufgabe 49 Gegebe sei eie diskrete Zufallsvariable. Da gilt stets: R F Var( ) 0, falls E( ) 0, ( ) E( ) ( ), ( a ) Var ( ) ( ) Var( ). E µ Var + für ede beliebige Kostate a, Var Aufgabe 50 Gegebe sei die Situatio des viermalige Müzwurfs (vgl. S. 395 ud 405). Die Zufallsvariable gebe die Azahl vo Zahl a. R F Die Variaz vo ist gleich. Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 430

25 Diskrete Zufallsvariable Aufgabe 5 Für zwei uabhägige diskrete Zufallsvariable ud Y gilt stets: R F Seie ( Y ) Var( Y ), ( Y ) Var( ) Var( Y ), ( + Y ) 4Var( Y ). Var + Var Aufgabe 5 Var +,,, K E( ) µ ud ( ) i R F Var stochastisch uabhägig ud idetisch verteilt mit i E i µ i σ Var i i σ für i,...,. Da gilt: Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 43

26 Spezielle diskrete Verteilugsmodelle Diskrete Zufallsvariable Ziel: Lösug bestimmter roblemstelluge durch parametrische Verteiluge. arametrische Verteilug: Wahrscheilichkeitsfuktio wird durch eie oder mehrere arameter bestimmt, z.b. Beroulli-Verteilug ud Geometrische Verteilug (eweils eiparametrige Verteiluge mit arameter p) Biomialverteilug Uremodell: Aus eier Ure mit N Kugel, daruter M schwarze ud N-M weiße Kugel, werde Kugel mit Zurücklege gezoge. Die Zufallsvariable gebe gerade die Azahl der schwarze Kugel i der Stichprobe a. Wie sieht die Verteilug vo aus? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 43

27 Diskrete Zufallsvariable Realisatio köte z.b. so aussehe: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für dieses Ergebis? Wahrscheilichkeit für Ereigis A schwarze Kugel ist bei edem Zug p M/N /3. Die Wahrscheilichkeit für dieses spezielle Ergebis errechet sich da durch 4 ( A A A A ) ( A ) ( A ) ( A ) ( A ). Allerdigs folgt daraus icht ( ) 4 /8, da z.b. auch das Ergebis A A A A das Ereigis { } impliziert. 4 Nach kombiatorische Überleguge (vgl. S. 33) gibt es hier geau mögliche Ergebisse (Elemetarereigisse), die das Ereigis impliziere. 4 3 Damit gilt: ( ) { } Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 433

28 Biomialverteilug Diskrete Zufallsvariable Eie Zufallsvariable heißt biomialverteilt mit de arameter ud p, kurz ~ B(, p), we sie die Wahrscheilichkeitsfuktio f ( ) p ( p), 0,, K, 0, sost Bedeutug? besitzt. Die Verteilug heißt Biomialverteilug oder kurz B(, p)-verteilug. Biomialverteilug ud Beroulli-Verteilug Die B(, p)-verteilug etspricht gerade eier Beroulli-Verteilug mit arameter p. Sid,, K, stochastisch uabhägig B(, p)-verteilt, so ist die Summe i i B(, p)-verteilt. Damit folgt umittelbar: Sid ~ B(, p) ud Y ~ B(m, p) uabhägig, so ist + Y ~ B (+ m, p). Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 434

29 Diskrete Zufallsvariable Betrachte ochmals das vorige Uremodell. Das Ereigis A schwarze Kugel wird u mit der Zahl kodiert ud das Gegeereigis mit 0. Da ist beroulliverteilt mit arameter p /3, falls ur eimal gezoge wird. Da u aber mal uabhägig (mit Zurücklege) gezoge wird, etspricht gerade der Summe vo uabhägige Beroulli-Variable Erwartugswert ud Variaz der Biomialverteilug a) Falls ~ B(, p)-verteilt, so gilt: E( ) p, Var ( ) p ( p). b) Falls ~ B(, p)-verteilt, so gilt: E( ) p, Var ( ) p ( p). Beweis vo a) ist klar (vgl. auch Übug S. 49). Teil b) folgt aus dem Zusammehag vo Biomial- ud Beroulli-Verteilug. Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 435

30 Diskrete Zufallsvariable Beispiele :Wahrscheilichkeitsfuktioe der Biomialverteilug für 0 Schief oder symmetrisch? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 43

31 Diskrete Zufallsvariable Beispiele :Wahrscheilichkeitsfuktioe der Biomialverteilug für p 0. Bedeutug? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 437

32 Hypergeometrische Verteilug Diskrete Zufallsvariable Uremodell: Aus eier Ure mit N Kugel, daruter M schwarze ud N-M weiße Kugel, werde Kugel ohe Zurücklege gezoge. Die Zufallsvariable gebe gerade die Azahl der schwarze Kugel i der Stichprobe a. Wie sieht die Verteilug vo aus? Realisatio köte z.b. so aussehe: 3 5 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für dieses Ergebis? Klar: Die Ergebisse der eizele Züge sid icht mehr uabhägig voeiader. Weshalb? Was passiert, falls /N (Auswahlsatz) sehr klei ist? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 438

33 Diskrete Zufallsvariable Verteilug vo durch rei kombiatorische Überleguge ermittel Wir beachte folgede kombiatorische Fakte für das Ziehe ohe Zurücklege ud ohe Berücksichtigug der Aordug.. Es gibt geau 5 4. Es gibt geau 4 3. Es gibt geau Möglichkeite, 4 Kugel aus Kugel zu ziehe. Möglichkeit, aus de schwarze Kugel zu ziehe. Möglichkeite, aus de 4 weiße Kugel zu ziehe. Die Wahrscheilichkeit aus eier Ure mit 4 weiße ud schwarze Kugel i vier Züge geau schwarze ud weiße Kugel zu ziehe beträgt damit 4 5 ( ) Weshalb? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 439

34 Diskrete Zufallsvariable Hypergeometrische Verteilug Eie Zufallsvariable heißt hypergeometrisch verteilt mit de arameter, M ud N, kurz ~ H(, M, N), falls sie die Wahrscheilichkeitsfuktio f ( ) besitzt. Dabei ist M N M N 0,, T sost Bedeutug? T durch T { ma( 0, ( N M )), K, mi(, M ) } Was soll de das? gegebe. M M M N N N N N Es gilt: E( ), Var( ). Iterpretatio? Beweis? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 440

35 Diskrete Zufallsvariable oisso-verteilug Eie Zufallsvariable, die zählt, wie oft ei relativ seltees Ereigis i eiem feste, vorgegebee Zeititervall auftritt, ka oft als poissoverteilt ageomme werde. Ebeso erhält ma die oisso-verteilug als Grezverteilug der B(, p)-verteilug, falls p sehr klei ud sehr groß ist (vgl. Seite 443). oisso-verteilug Eie Zufallsvariable heißt poissoverteilt mit arameter λ > 0, kurz ~ o(λ), falls sie die Wahrscheilichkeitsfuktio f ( ) λ e! λ, 0, { 0,,, K } sost besitzt. Es gilt: E( ) λ, Var( ) λ. Bedeutug? Sid ~ o(λ ) ud Y ~ o(λ ) uabhägig, so ist + Y ~ o (λ +λ ). Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 44

36 Diskrete Zufallsvariable Beispiele :Wahrscheilichkeitsfuktioe der oisso-verteilug Bedeutug? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 44

37 Diskrete Zufallsvariable Verteilugskovergez der Biomialverteilug gege die oisso-verteilug Sei biomialverteilt mit arameter ud p. Für p λ gilt da: ( ) ( ) ( ) ( ).! p p + λ λ λ λ λ λ K Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 443 Damit folgt für festes ud festes λ für,, + λ ud. λ λ e Daraus folgt. ( ) λ λ e! für Bedeutug?

38 Diskrete Zufallsvariable Beispiel: Azahl vo Schadesmelduge bei eier Sachversicherug Die Wahrscheilichkeit für eie Versicherugsfall eies Versicherugsehmers bei eier Sachversicherug bezoge auf eie Zeitraum vo eiem Jahr beträgt p Ageomme, die Azahl der Versicherugsehmer ist Im Falle vo mehr als 30 Versicherugsfälle wäre das Versicherugsuterehme ruiiert. Es iteressiert u die Frage, mit welcher Wahrscheilichkeit mehr als 30 Versicherugsfälle eitrete. Zur Vereifachug sei ageomme, dass die eizele Versicherugsfälle stets uabhägig voeiader eitrete. Für Azahl der Versicherugsfälle gilt ~ B(0000, 0.000). 30 Eakte Lösug wäre also: ( 30) p ( p) 0 robleme? Da u p klei ud groß, ka ~ o(λ) mit λ p ageomme werde. 30 λ! λ Damit gilt: ( 30) e e ! Wa ist p klei ud wa ist groß? e 30 0! Weshalb? Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 444

39 Diskrete Zufallsvariable Diskrete Verteiluge im Überblick Verteilug Wahrscheilichkeitsfuktio E() Var() ~ B( p) f ( ), p ( p), 0,, K, 0, sost p p( p) (, M N ) ~ H, (, M, N sivoll ) f ( ) M N M 0, N, T sost λ ~ o( λ) f ( ) e, { 0,,, K }! ( λ > 0) 0, sost ~ G( λ) f ( ) λ ( p) p, 0, sost,, K,, M N λ p siehe Seite 440 λ p p Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 445

40 Diskrete Zufallsvariable Diskrete Verteilugsmodelle ud Approimatiosregel Azahl des Eitretes vo A i Versuche ( mal Ziehe) B(, p) Modell mit Zurücklege uabhägige Wiederholuge /N klei p M/N H(, M, N) Modell ohe Zurücklege G(p) Azahl der Versuche bis zum Eitrete vo A o(λ) p klei, groß p λ Azahl der beobachtete Ereigisse i eiem Zeititervall /N klei, M/N klei, N groß M/N λ Approimatiosregel /N klei: < 0.05 p bzw. M/N klei: < 0.05 bzw. N groß: > 30 Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 44

41 Diskrete Zufallsvariable Aufgabe 53 Beim Lotto aus 49 (Ziehe ohe Zurücklege ud ohe Berücksichtigug der Aordug) ist die Wahrscheilichkeit R F für gerade Zahle größer als %, für midestes Richtige größer als 50%, für geau Richtige größer als 40%, für midestes 3 Richtige größer als %, Aufgabe 54 Ei Versicherugsvertreter schließt mit 5 Kude, die alle das gleiche Alter besitze, Lebesversicherugsverträge ab. Nach der Sterbetafel beträgt die Wahrscheilichkeit, die ächste 30 Jahre zu überlebe, für ede Versicherugsehmer 0.5. Die Wahrscheilichkeit dafür, dass ach 30 Jahre Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 447

42 Diskrete Zufallsvariable R F alle Kude och lebe, ist größer als 0., weigstes 3 Kude och lebe, ist größer als 0.8, geau Kude och lebe, ist kleier als 0., höchstes Kude och lebt, ist kleier als 0.05, Aufgabe 55 Folgede Verteilugsapproimatioe sid zulässig: R F H(4, 50, 00)-Verteilug durch B(4, 0.5)-Verteilug, B(0.03, 00)-Verteilug durch o(3)-verteilug, H(4, 0, 00)-Verteilug durch o(0.4)-verteilug. Eidimesioale Zufallsvariable - Diskrete Zufallsvariable 448