Entwurf von FIR-Filtern

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1 Kapitel Entwurf von FIR-Filtern. Einleitung.. Darstellung von FIR-Filtern im Zeitbereich y[n] = b x[n] + b x[n ] + b 2 x[n 2] b L x[n (L )] = L b k x[n k] k= = b T x b = [b, b,..., b L ] x = {x[n], x[n ],..., x[n (L )} = L h[k]x[n k] k= L wird Filterlänge genannt und ist gleich der Zahl der Koeffi zienten, (L ) = N ist die Ordnung des Filters...2 Darstellung von FIR-Filtern im z Bereich L Y (z) = b X(z) + b z X(z) b L z (L ) X(z) = X(z) b k z k H(z) = Y (z) L X(z) = b + b z b L z (L ) = b k z k = b z L + b z L b L z L H(z) ist die Systemfunktion des FIR-Filters, sie hat (L ) Nullstellen und (L ) Polstellen. Die Polstellen liegen im Punkt z =. k= k=

2 2 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN Abbildung.: FIR-Filter im z und Frequenzbereich..3 Frequenzgang von FIR-Filtern L H(ω) = H(z) z=jω = b k e jωk = H(jω) e jϕ(ω) H(ω) ist der Frequenzgang des FIR-Filters. Der Betrag des Frequenzgangs ist eine gerade Funktion H(ω) = H( ω), die Phase des Frequenzgangs ist eine ungerade Funktion ϕ (ω) = ϕ ( ω). Abbildung. fasst die Darstellung im z Bereich und im Frequnezberiech zusammen. k=..4 Stabilität von FIR-Filtern Die Impulsantwort des FIR-Filters ist absolut summierbar h[n] <, daher sind FIR-Filter BIBO-stabil. Die Pole des FIR-Filters liegen innerhalb des Einheitskreises der z Ebene, daher sind FIR-Filter BIBO-stabil..2 Filterstrukturen.2. Direkte Form Bei der direkten Form können die Koeffi zienten der Multiplizierer direkt aus der Übertragungsfunktion abgeleitet werden. Abbildung.2 zeigt die direkte Form, Abbildung.3 zeigt die transponierte direkte Form. Die transponierte direkte Form ist empfindlicher für Rundungsfehler als die direkte Form, da Teilsummen in nachfolgende Stufen gespeist werden.

3 .2. FILTERSTRUKTUREN 3 Abbildung.2: FIR-Filter in Direktform Abbildung.3: FIR-Filter in transponierter Direktform.2.2 Kaskadierte Sektionen 2. Ordnung Die Systemfunktion H(z) = L k= werden und als Kaskadenschaltung realisiert werden b k z k kann ist Subsysteme 2. Ordnung zerlegt H(z) = K H k (z) k= H k (z) = b ko + b k z + b k2 z 2, k =, 2,..., K b kann entweder auf alle Subsystem aufgetielt werden, d.h. b = b b 2 b 3... b K, oder nur einem Subsystem zugewiesen werden. Konjugiert komplexe Nullstellen werden zusammengefasst, um reelle Koefizienten in den Subsystemen 2. Ordnung zu erhalten. Abbildung.4 zeigt ein Subsystem 2. Ordnung und die Kaskadenschaltung von Subsystemen..2.3 Kaskadierte Kettenleiter (Lattice-Filter) Kettenleiter werden aus Grundelementen, wie in Abbildung.5 gezeigt, aufgebaut. Der Begriff Kettenleiter bzw. Lattice-Filter kommt aus der Theorie der elektrischen Leitungen bzw. elektrischen (analogen) Filter und wurde für die digitalen Filter übernommen. Abbildung.4: FIR-Subsystem 2. Ordnung, Kaskadenschaltung

4 4 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN Abbildung.5: Basiselement eines Kettenleiter-Filters Abbildung.6: Kettenleiter-FIR-Filter Die Filterstruktur entsteht durch Hintereinanderschaltung der Grundelemente, wie in Abbildung.6 gezeigt. Die Systemfunktion des Kettenleiters der Abbildung.6 hat die Form H N (z) = X N(z) X (z) = k Nz N Die Koeffi zienten k, k 2,..., k N dieser Gleichung bestimmen wir durch Koeffi zientenvergleich mit der Systemfunktion des gewünschten FIR-Filters. Diese lautet H m (z) = N h[n]z n. Um leichter vergleichen zu können bringen wir H m n= durch herausheben von h[] in die normierte Form 2 und schreiben H N = + p n z n (.) Für die erste Stufe des Kettenleiters erhalten wir aus Abbildung.5 folgende Beziehungen n= X (z) = X (z) + k z X (z) Y (z) = k X (z) + z X (z) mit den zugehörigen Systemfunktionen 2 Schaltungstechnisch muss ein Multiplizierer h[], dem Eingang der Struktur, die H N m (z) realisiert, vorgeschaltet werden.

5 .2. FILTERSTRUKTUREN 5 H (z) = X (z) X (z) = + k z G (z) = Y (z) X (z) = k + z = z H(z ) Das Verhältnis H(z) G = +kz (z) k +z beschreibt einen Allpass. Ordnung. Entsprechend erhalten wir für die zweite Stufe X 2 (z) = X (z) + k 2 z Y (z) Y 2 (z) = k 2 X (z) + z Y (z) H 2 (z) = X 2(z) X (z) = H (z) + k 2 z G (z) G 2 (z) = Y 2(z) X (z) = k 2H (z) + z G (z) = z 2 H(z ) für Stufe i wird allgemein X i (z) = X i (z) + k i z Y i (z) Y i (z) = k i X i (z) + z Y i (z) H i (z) = X i(z) X (z) = H i (z) + k i z G i (z) G i (z) = Y i(z) X (z) = k ih i (z) + z G i (z) G i (z) = z i H i (z ) (.2a) (.2b) (.2c) (.2d) (.2e) Setzen wir Gleichung (.2e) in Gleichung (.2c) ein, dann erhalten wir H i (z) = H i (z) + k i z i H i (z ) (.3) Zur Bestimmung der Koeffi zienten gehen wir vom Ausgang zum Eingang des Kettenleiters. Wir setzen i = N in Gleichung (.2c) ein und erhalten H N (z) = H N (z) + k N z G N (z) (.4a) G N (z) = k N H N (z) + z G N (z) (.4b) Multiplizieren wir Gleichung (.4b) mit k N und subtrahieren von Gleichung (.4a), dann erhalten wir H N (z) = kn 2 [H N (z) k N G N (z)] (.5) Wir setzen Gleichung (.2e) in Gleichung (.5) ein und erhalten schließlich [ H N (z) = kn 2 HN (z) k N z N H N (z ) ] (4) (.6)

6 6 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN Ersetzen wir in Gleichung (.6) H N aus Gleichung (.) ein, dann wird H N (z) = = kn 2 [ ( + p z + p 2 z p N z N) ( k N p N + p N z + p N 2 z p kn 2 [ ( kn p N ) + (p k N p N ) z + (p 2 k N p N 2 ) z (p N k N ) z N Obiger Ausdruck ist von der Ordnung N. Das bedeutet, dass der Term z N verschwinden muss, woraus folgt, dass k N = p N. Wir berechnen nur die weiteren Koeffi zienten H N (z) = k 2 N [ ( kn p N ) + (p k N p N ) z + (p 2 k N p N 2 ) z ] (.7a) = + p z + p 2z p N z (N ) (.7b) p i = p i k N p N i k 2 N (.7c) k N = p N (.7d) Damit haben wir k N und k N berechnet. Wir setzen mit H N 2 (z) fort und erhalten k N 2. Wir setzen fort, bis wir alle Koeffi zienten für das Lattice-Filter ermittelt haben. Als Beispiel berechnen wir das Filter H 3 (z) = +.75z +.5z z 3. Matlab stellt uns dafür die Funktion tf2latc zur Verfügung 3. b = [ ]; k = tf2latc(b) k = [.5 /3.25] Aus Gleichung (.5) sehen wir, dass k 2 N berechnet werden muss. Wenn k N = (oder k N = k N 2 =... = ) wird durch Null dividiert und wir erhalten kein Ergebnis. Bei Linear-Phasen-Filtern kann diese Situation vorliegen, wie am Beispiel eines FIR-Filters Typ zeigen. H 5 (z) = + h z + h 2 z 2 + h 2 z 3 + h z 4 + z 5 k 5 = (.8) Mit Hilfe der Beziehung Gleichung (.3) H i (z) = H i (z) + k i z i H i (z ) können wir umformen H 5 (z) = H 4 (z) + z 5 H 4 (z ) (.9) Wir schreiben Gleichung (.8) um und erhalten mit Gleichung (.9) H 5 (z) = + h z + h 2 z }{{ 2 } + z 5 + h z + h 2 z 2 }{{} H 4(z) H 2(z) H 4(z) H 4 (z) ist vierter Ordnung, die Koeffi zienten h 3 und h 4 sind aber Null, d.h. k 3 = k 4 =. Aus H 2 (z) = + h z + h 2 z 2 folgt k 2 = h 2. Aus Gleichung (.7c) finden wir k = h +h 2 3 Wenn Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen, liefert tf2latc eine Fehlermeldung.

7 .2. FILTERSTRUKTUREN 7 Abbildung.7: FIR Typ-Filter in Lattice-Realisierung Beispiel h = [ ] H 2 (z) = +2z +3z 2 k = 2 +3, k 2 = 3 Mit Hilfe der Matlab-Funktion latc2tf können wir die Lattice-Form in die Transfer-Funktion umrechnen latc2tf([.5 3 ], fir ) und erhalten wieder h = [ ]. Abbildung.7 zeigt die Lattice-Realisierung unseres Beispiels. Als zweites Beispiel wenden wir diese Vorgangsweise für ein FIR-Filter Typ 2 an: H 4 (z) = + h z + h 2 z }{{ 2 + h } z 3 + z 4 = H 3 (z) + k 4 z 4 H 3 (z ( = + h z + h ) ( 2 2 z 2 + z 4 + h z + h ) 2 2 z H 3 (z) = + h z + h 2 2 z 2 H 2 (z) k 3 =, k 2 = h 2 2, k = h + h2 2 Für h = [ ] erhalten wir k 2 = 3 2, k = 4 5. Die Transferfunktion dafür ermitteln wir mit latc2tf([4/5 3/2 ], fir ) und erhalten wieder h = [ ]. Die Schaltungsrealisierung zeigt Abbildung. Die Umformung, wie für FIR Typ und 2 gezeigt, kann in entsprechender Weise auch für Typ 3 und 4. angewendet werden und damit Lattice-Filter realisiert werden. Bei FIR-Filtern ohne lineare Phase aber mit Filterkoeffi zient für die höchste Ordnung, können wir die Systemfunktion in einer Funktion mit lienarer Phase und Rest umwandeln. Das wir an Hand eines Beispiels gezeigt. H 4 (z) = + h z + h 2 z 2 + h 3 z 3 + z 4 = + h 3 z 3 + h 2 z 2 + h 3 z 3 + z 4 (Linearphasen-FIlter) +(h h 3 )z (Rest)

8 8 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN Abbildung.8: FIR Typ2-Filter in Lattice-Realisierung Abbildung.9: Lattice-Realisierung eines allgemeinen FIR-Filters Die Realisierung des Linearphasen-Filters haben wir bereits behandelt. In der Realiseirung muss lediglich der Rest, das zusätzliche FIR-Filter verwirklicht werden. Abbildung.9 zeigt die dazu gehörige Schaltung..2.4 Vorteile und Nachteile von FIR-Filtern FIR-Filter können exakt lineare Phase haben, eine wichtige Eigenschaft für Anwendungen, in denen keine Phasenverzerung zulässig ist. Die Eigenschaft der linearen Phase ist ein Alleinstellungsmerkmal der FIR-Filter. Daher werden FIR-Filter in der Regel als als Linear-Phasen-Filter realisiert. FIR-Filter sind garantiert stabil. 4 FIR-Filter sind einfach zu implementieren. Der Einfluss endlicher Wortlänge auf Rundungs- und Quantisierungsfehler ist geringer als bei IIR-Filtern. FIR-Filter können auf einfache Art beliebige Frequenzgänge realisieren. Bei gleicher Selektivität als IIR-Filter brauchen die FIR-Filter mehr Koeffi zienten, der Implementierungsaufwand ist daher höher. 4 Wenn sie nicht-rekursiv implementiert werden, was in der Regel der Fall ist.

9 .3. LINEARE PHASE 9 Abbildung.: Gegenüberstellung Magnitude-Amplitude-Response IIR-Filter können aus analogen Filtern abgeleitet werden. FIR-Filter haben kein analoges Gegenstück. Die FIR-Synthese ist algebraisch schwieriger als die Synthese von IIR- Filtern, man ist daher auf CAD-Unterstützung angewiesen..3 Lineare Phase Ein FIR-Filter linearer Phase erkennt man an der symmetrischen bzw. an der antisymetrischen Impulsantwort h[n] = h[n n] h[n] = h[n n] Eine Systemfunktion H(z) hat lineare Phase, wenn gilt H(e jω ) = e j(αω+β) H r (ω) (.) H r ist eine reelle Funktion und wird Amplitudengang oder Null-Phasen- Antwort 5 genannt. H r kann negativ werden und ist nicht identisch mit H(e jω ). Abbildung. zeigt den Betrag des Frequnezgangs im Vergleich zum Ampitudengang. Der Betrag des Frequenzgangs ist eine gerade Funtion von ω. Da H(e jω ) r = H r (ω), ist der Amplitudengang entweder eine gerade oder eine ungerade Funktion von ω, d.h H r ( ω) = ±H r (ω). Aus H(e jω ) = H (e jω ) folgt e j(αω+β) H r (ω) = e j(α( ω)+β) H r ( ω) (.) Wenn H r (ω) eine gerade Funktion ist, dann folgt aus Gl. (.), dass e jβ = e jβ, was nur für β = oder β = π erfüllt ist. Wir erhalten daher aus Gl. (.) 5 Matlab stellt zur Berechnung von H r die Funktion zerophase zur Verfügung.

10 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN H r (ω) = ±e jαω H(e jω ) = ± h[n]e jω(α+n) (.2) H r ( ω) = ± l= h[l]e jω(α+l) Ersetzen wir l = N n und setzen ein, dann wird H r ( ω) = ± h[n n]e jω(α+n n) (.3) n= Aus Gl. (.) und (.3) und H r ( ω) = H r (ω), erhalten wir die Bedingung n= h[n] = h[n n], n N α = N 2 Das bedeutet, dass FIR-Filter mit geradem Amplitudengang (H r gerade) eine lineare Phase haben, wenn die Impulsantwort symmetrisch ist. Wenn H r (ω) eine ungerade Funktion ist, dann folgt aus Gl. (.), dass e jβ = e jβ. Diese Bedingung ist nur erfüllt, wenn β = π/2 oder β = π/2. Eingesetzt in Gl. (.) H(e jω ) = je jαω H r (ω) (.4) H r (ω) = je jαω H(e jω ) = j h[n]e jω(α+n) Für H r (ω) ungerade, ist H r ( ω) = H r ( ω) und wir erhalten H r ( ω) = j h[l]e jω(α+l) (.5) l= n= Wir ersetzen wieder l = N n und erhalten H r ( ω) = j h[n n]e jω(α+n n) n= Aus Gl. (.4) und (.5) erhalten wir schließlich die Bedingung h[n] = h[n n], n N α = N 2 Das bedeutet, dass FIR-Filter mit ungeradem Amplitudengang (H r ungerade) eine lineare Phase haben, wenn die Impulsantwort antisymmetrisch ist.

11 .3. LINEARE PHASE.3. Typen von FIR-Filtern mit linearer Phase Da die Filterlänge gerade oder ungerade sein kann, die Impulsantworten symmetrisch oder antisymmetrisch sein können, erhalten wir vier Typen von FIR- Filtern mit linearer Phase. FIR-Filter Typ (h[n] = h[n n], Länge L ungerade, Ordnung N gerade) Wir zeigen die Zusammenhänge am Beispiel für L = 7 : h = [, 2, 3, 4, 3, 2, ] h[] = h[6] = ; h[] = h[5] = 2; h[2] = h[4] = 3; h[3] = 4 H(ω) = 6 k= h[k]e jkω = h[]+h[]e jω +h[2]e jω2 +h[3]e jω3 +h[4]e jω4 + h[5]e jω5 + h[6]e jω6 = e jω3 { h[]e jω3 + h[]e jω2 + h[2]e jω + h[3] + h[4]e jω + h[5]e jω2 + h[6]e jω3} = e jω3 {2h[] cos 3ω + 2h[] cos 2ω + h[2] cos ω + h[3]} Allgemein erhalten wir N/2 [ ] N H r (ω) = h[n/2] + 2 h 2 n cos(ωn) n= Typ ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen (TP, HP, BP, BSp) können realisiert werden. FIR-Filter Typ 2 (h[n] = h[n n], Länge L gerade, Ordnung N ungerade) (N+)/2 [ ] N + H r (ω) = 2 h n cos (ω(n 2 ) 2 ) n= FIR-Filter Typ 2 kann kein Hochpassfilter sein. FIR-Filter Typ 3 (h[n] = h[n n], Länge L ungerade, Ordnung N gerade) N/2 [ ] N H r (ω) = 2 h 2 n sin(ωn) n= FIR-Filter Typ 4 (h[n] = h[n n], Länge L ungerade, Ordnung N gerade) (N+)/2 H r (ω) = +2 h[ N + 2 n= n] sin (ω(n 2 ) )

12 2 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN.3.2 Nullstellen von FIR-Filtern Typ 4 Für symmetrische Impulsantwort ist H(z) = h[n]z n = n= h[n n]z n n= Setzen wir m = N n, so wird aus obiger Gleichung H(z) = h[m]z N+m = z N m= N m= h[m]z m = z N H(z ) Für den Fall der antisymmetrischen Impulsantwort erhalten wir H(z) = h[n]z n = h[n n]z n = z N H(z ) n= n= Aus H(z ) = ±z N H(z ) = folgt, wenn z eine Nullstelle ist, dann ist auch z eine Nullstelle. Da H(z) eine gebrochen rationale Funktion mit reellen Koefizienten ist, sind die Nullstellen entweder reell oder konjugiert komplex. Im allgemeinen Fall erhalten wir bei Filtern ungerader Länge L (gerader Ordnung N) daher folgende Nullstellen ( re jϕ z ) ( re jϕ z ) ( r ejϕ z ) ( r e jϕ z ) Liegt eine Nullstelle auf dem Einheitskreis z = e jϕ, dann ist z = e jϕ, die Nullstellen sind daher ( e jϕ z ) ( e jϕ z ). Haben wir eine reelle Nullstelle, die nicht auf dem Einheitskreis liegt, dann erhalten wir ( ± rz ) ( ± r z ). Wir untersuchen noch die Nullstellen bei ±, H(z) = ± z. Symmetrische Impulsantwort: Wir setzen ein und erhalten H() = N H() bzw. H( ) = ( ) N H( ). Diese beiden Gleichungen sind erfüllt für N gerade, was bedeutet, dass Nullstellen bei ± auftreten können. (Typ FIR-Filter) Für N ungerade ist H() = N H() erfüllt, es können also Nullstellen bei auftreten. Bei einer Nullstelle bei wird H( ) = ( ) N H( ) = H( ). Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn H( ) =. Bei muss also eine Nullstelle sein. (Typ 2 FIR-Filter) Unsymmetrische Impulsantwort: Wir setzen ein und erhalten H() = N H() = H(). Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn H() =. Bei muss also eine Nullstelle sein, und zwar unabhängig davon, ob N gerade oder ungerade ist. (Type 3 und Typ 4 FIR-Filter)

13 Imaginary Part Imaginary Part Imaginary Part Imaginary Part.3. LINEARE PHASE 3 Typ : h[n] symmetrisch, Ordnung gerade Typ 2: h[n] symmetrisch, Ordnung ungerade Real Part Typ 3: h[n] antisymmetrisch, Ordnung gerade 2 Real Part Typ 4: h[n] antisymmetrisch, Ordnung ungerade Real Part.5.5 Real Part Abbildung.: Nullstellen von FIR-Filtern Typ 4 Schließlich finden wir, dass H( ) = N H( ) = H( ). Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn H( ) =. Bei muss also eine Nullstelle sein. (Typ 3 FIR-Filter) Zusammenfassend halten wir folgende Eigenschaften der FIR-Filter Typ 4 fest. Typ ist der allgemeinste Typ und kann alle Filtertypen (TP, HP, BP, BSp) relisieren. Typ 2 kann kein Hochpass sein. Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein. Typ 4 kann kein Tiefpass sein. Abbildung. zeigt typische Nullstellen-Lagen von FIR-Filtern der Typen bis Realisierung von symetrischen Filtern Die Symmetrieeigenschaften der Linear-Phasen-Filter können bei der Realisierung ausgenützt werden, um die Zahl der Multiplizierer zu reduzieren. Abbildung zeigt ein Beispiel für symmetrische Impulsantwort und Ordnung N = 6, Abbildung.3 zeigt ein Beispiele für symmetrische Impulsantwort und Ordnung N = 5.

14 4 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN x[n] x[n 6] z z b y[n] x[n ] x[n 5] b z z x[n 2] x[n 4] b 2 z z x[n 3] b 3 Typ, L ungerade Abbildung.2: Symmetrisches FIR-Filter Typ x[n] x[n 5] z z b y[n] x[n ] x[n 4] b z z x[n 2] x[n 3] b 2 z Typ 2, L gerade Abbildung.3: Symmetrisches FIR-Filter Typ 2

15 Magnitude.4. ENTWURFSKRITERIEN 5 Magnitude Response.8 N =, 5, Normalized Frequency ( π rad/sample) Abbildung.4: Gibbs sches Phänomen.4 Entwurfskriterien Im Gegensatz zu IIR-Filtern können FIR-Filter nicht aus analogen Filtern abgeleitet werden. Bei FIR-Filtern muss daher der gewünschte Frequenzgang direkt angenähert werden. Die FIR-Synthese ist algebraisch schwieriger als die Synthese von IIR-Filtern, man ist daher auf CAD-Unterstützung angewiesen..4. Fenstermethode Die Impulsantwort eines idealen Tiefpass-Filters ist H T P = {, ω ωc, ω c < ω π h T P [n] = sin ω cn πn, < n < Die Impulsantwort h T P [n] des idealen Tiefpassfilters ist nichtkausal, durch Abschneiden (Multiplikation mit einem Rechteckfenster)und Verschieben erhalten wir die Impulsantwort ĥ eines kausalen Tiefpassfilters ĥ = { sin(ωc(n M)) π(n M), n N, sonst Steigendes M kann das oszillatorische Verhalten der Betragsantwort nicht verhindern, die größte Welligkeit tritt insbesondere an beiden Seiten der Grenzfrequenz auf. Abbildung.4 zeigt das Verhalten für verschiedene Ordnungen des Filters. Die Ursache des stark oszillierenden Verhaltens ist der steilflankige Übergang von Durchlass- zu Sperrbereich. Abhilfe kann ein sanfterer Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich bewirken, allerdings auf Kosten geringerer Flankensteilheit des Filters. Anstelle des Rechteckfensters werden andere Fensterformen eingesetzt.

16 6 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN Blackman Hann Hamming Dreieck Abbildung.5: Vergleich von Fenstern im Zeitbereich Fenster : ĥ real [n] = w[n]h ideal [n] Fensterlänge N = 2M + {, M n M Rechteck : w R =, sonst Dreieck : w D = n M +, M n M [ ( )] 2πn Hann : w Hn =.5 + cos, M n M 2M + ( ) 2πn Hamming : w Hm = cos, M n M M + ( ) ( ) 2πn 4πn Blackmann : w B = cos +.8 cos, M n M M + M + Abbildung vergleicht diese Fenstertypen im Zeitbereich. Abbildung.6 vergleicht diese Fenstertypen im Frequenzbereich. Zur Bewertung der Fenster führt man zwei Größen ein: die Breite der Hauptkeule, gemessen in den Nulldurchgängen, als Maßfür die Flankensteilheit des Fensters die relative Nebenkeulendämpfung,der Unterschied zwischen Hauptkeule und größter Nebenkeule in db Typ Hauptkeulenbreite Rel. Nebenkeule Rechteck 4π/(2M + ) 3.3 db Dreieck 4π/(2M + ) 26.5 db Hann 8π/(2M + ) 3.5 db Hamming 8π/(2M + ) 42.7 db Blackman 2π/(2M + ) 58. db

17 .4. ENTWURFSKRITERIEN 7 Abbildung.6: Vergleich der Fenster im Frequenzbereich

18 Magnitude (db) Magnitude (db) 8 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN Magnitude Response (db) 2 Blac k mann 3 4 Hamming Normalized Frequency ( π rad/sample) Abbildung.7: Hamming- und Blackman-Tiefpass 2. Ordnung. Magnitude Response (db) Normalized Frequency ( π rad/sample) Abbildung.8: Hamming-Tiefpass N = 2, 4, 6 Die Auswirkung eines Hamming- und eines Blackman-Fensters auf einen Tiefpass der Ordnung N = 2 ist in Abbildung.7 gezeigt. Man kann erkennen, dass der Hamming-TPr eine größere Flankensteilheit, aber eine geringere Sperrdämpfung aufweist als der Blackman-TP. Die Ordnung hat zwar einen Einfluss auf die Flankensteilheit, aber keinen Einfluss auf die minimale Sperrdämpfung der Fenster-Filter, wie in Abbildung.8 gezeigt Bei Filtern wird die Dämpfung im Durchlassbereich und im Sperrbereich auf Grund der Aufgabenstellung festgelegt. Bei Fenster-Filtern ist die Welligkeit im Durchlass- und Sperrbereich gleich, was zu unnötig kleinen Welligkeiten im Durchlassberich führen kann, um eine gewünschte Welligkeit im Sperrbereich zu erreichen. Kaiser-Fenster Das Kaiser-Fenster ist zum Unterschied von den bisher vorgestellten ein einstellbares Fenster. Seine Fensterfunktion ist

19 .4. ENTWURFSKRITERIEN 9 ( I β ) (n/m) 2 w K =, µµ M n M I (β) ( ) (µ/2) r 2 I (µ) = + r! r= I (µ) ist die modifizierte Besselfunktion. Ordnung und kann mit der Matlab- Funktion besseli berechnet werden. Der Parameter β steuert die minimale Sperrdämpfung. Durch geeignete Wahl von β können die bereits besprochenen Fenstertypen angenähert werden. β Rechteck 5 (Hamming) 6 (Hann) 8.6 (Blackman).4.2 Vor- und Nachteile der Fenstermethode Die Fenstermethode ist einfach zu verstehen und anzuwenden. Der Berechnungsaufwand der Filterkoeffi zienten ist gering, außer beim Kaiser- Fenster. Die Welligkeit im Durchlass- und im Sperrbereich sind gleich. Die Anpassung an Toleranzfleder ist nur sehr eingeschränkt möglich, außer beim Kaiser-Fenster. Die Grenzfrequenz von Durchlass- und Sperrbereich kann nicht angegeben werden, aueßer beim Kaiser-Fenster. Die Sperrdämpfung eines gewählten Fensters (außer beim Kaiser-Fenster) liegt fest..4.3 Entwurf von Linearphasen-FIR-Filtern mit Hilfe der Frequenzabtastung Die Ermittlung der Filterkoeffi zienten eines FIR-Filters aus dem Frequenzgang ist konzeptuell einfach, da Impulsantwort und Frequenzgang über die DFT verknüpft sind. Der gewünschte Frequenzgang (z.b. ein ideales Tiefpassfilter) wird abgetastet, die idft der abgetasteten Punkte liefert die Impulsantwort des FIR-Filters. Der gewünschte Frequenzgang ist periodisch H d (e jω ) = H d (e jω+2π ) und wir tasten in gleichen Intervallen ab H d (e jω ) = H(k), ω k = 2π k, k =,, 2,..., N N Sie abgetasteten Werte sind die DFT von h[n] bzw. h d [n] = idft {H(k)} h d [n] = N N k= H(k)e j 2π N kn (.6)

20 Hr(w) Decibels Hr(k) h(n) 2 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN Frequency Samples: N = Frequency in pi units Amplitude Response.5.5 Frequency in pi units.2. Impulse Response. 2 n Magnitude Response Frequency in pi units Abbildung.9: Entwurf eines FIR-Filters durch Frequenzabtastung Da die Impulsantwort reell sein muss, gelten für die Abtastwerte folgende Einschränkungen: H() muss reell sein, die anderen Werte von Gleichung (.6) müssen konjugiert komplex sein, damit h d [n] reell wird. (H(k)e j 2π N kn) H(N k) = H (k) = H (k)e j 2π N kn = H (k)e j 2π N (N k)n Abbildung.9 stellt den gewünschten (idealen) Frequenzgang dem erreichbaren realen Frequenzgang gegenüber. Der Frequenzgang des Filters h d [n] stimmt in den Abtastwerten exakt mit den Abtastwerten H(k) überein, der Frequenzgang zwischen den Abtastpunkten lässt sich aber nicht beeinflussen. Je steiler der Übergang von Durchlass- in den Sperrbereich ist, desto größer ist die Abweichung vom idealen Verhalten. Die Abweichung ist an der Bandgrenze größer als innerhalb der Bänder Durch Einfügen von einem oder mehreren Punkte im Übergang zwischen Durchlass- und Sperrbereich kann ein flacherer Übergang erzwungen werden und die Welligkeit wird geringer.

21 .4. ENTWURFSKRITERIEN 2 Für den Entwurf von FIR-Filtern mit linearer Phase und beliebigem Frequenzgang stellt Matlab die Funktion fir2 zur Verfügung. FIR2 kombiniert die Methode der Frequenzabtastung mit der Fenstermethode. Auf Grund der Fensterung geht aber die Frequenzantwort nicht exakt durch die Abtastpunkte..4.4 Optimale Approximation von FIR-Filtern Die Fenster- und Frequenzabtastungsmethode sind einfach zu verstehen und implementieren, haben aber Nachteile. Die Frequenzen für Durchlass- und Sperrbereich können nicht genau spezifiziert werden. Man muss daher überprüfen, ob das Ergebnis des Entwurfsprozesses zufriedenstellen ist. Die Welligkeit im Durchlass- und Sperrbereich können nichtr unabhängig voneinander festgelegt werden. Der Approximationsfehler, die Abweichung von tatsächlicher zu gewünschter Frequenzantwort, ist über das Frequenzband nicht gleichverteilt. Der Fehler ist an den Bandgrenzen größer als innerhalb der Bänder. Mit dem Parks-Clellan-Algorithmus steht aber ein Entwurfsverfahren für Linear-Phasen-Filter zur Verfügung, das die erwähnten Schwachpunkte beseitigt. Dieses Verfahren ist nicht einfach zu verstehen und kann nur mit Rechnerunterstützung realisiert werden. Der Parks-McClellan-Algorithmus steht in Matlab als Funktion firpm mit mehreren Parametern zur Verfügung. Die Anwendung von firpm soll anhand eines Beispiels gezeigt werden. Tiefpass: Grenzfrequenz Duchlassbereich ω p =.2π, Sperrbereich ω s =.3π Welligkeit im Durchlassbereich R p =.5 db, minimale Sperrdämpfung As = 5 db. h = firpm(n,f,a,w) N... Ordnung, F... Frequenzen DB und SpB (zwischen und ), A... gewünschte Ampitude, W... Gewichtung Durchlass- und Sperrbereich ([δ, δ 2 ]) firmpm verlangt die Welligkeiten in linearem Maß, wir müssen daher erst umrechnen: K = Rp 2, δ = K K+2, δ 2 = ( + δ ) As 2 [δ, δ 2 ] = [ , ] Die erforderliche Ordnung kann mit Hilfe der Funktion firpmord abgeschätzt werden. [N,F,A,W] = firpmord([wp,ws]/pi,[ ],[delta,delta2]) N = 38 h = firpm(n,f,a,w) fvtool(h,) Aus Abbildung.2 sehen wir, dass firpmord eine zu geringe Ordnung abgeschätzt hat.

22 Magnitude (db) 22 KAPITEL. ENTWURF VON FIR-FILTERN Magnitude Response (db) Normalized Frequency ( π rad/sample) Abbildung.2: FIR-Filter mit firpm