Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 2

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1 Prof. J. Esprz Tehnishe Universität Münhen S. Sikert, J. Krämer KEINE ABGABE Einführung in die theoretishe Informtik Sommersemester 2017 Üungsltt 2 Üungsltt Wir untersheiden zishen Üungs- und Agelättern. Auf diesem Üungsltt finden Sie eine Üersiht üer die Kernspekte, die Sie in Klenderohe 19 in den Tutorien diskutieren, üen und vertiefen. Die Aufgen uf diesem Bltt dienen dem Üen und Verstehen des Vorlesungsstoffes, soie dem eigenständigen Erreiten der Kernspekte. Außerdem sollen Ihnen diese Aufgen uh helfen, ein Gefühl dfür zu ekommen, s Sie inhltlih in der Klusur errtet. Klusurufgen können jedoh deutlih von den hier gestellten Aufgen eihen. Ashreien und Ausendiglernen von Lösungen ird Ihnen dher keinen duerhften Erfolg in der Vorlesung ringen. Frgen zu den Üungslättern können Sie montgs is donnerstgs von 12 Uhr is 14 Uhr in der THEO-Sprehstunde in Rum stellen. Kernspekte K2.1 folgende Definitionen korrekt iedergeen DFA NFA kzeptierte Sprhe Zustndsgrph Akeptnzedingung von DFAs/NFAs K2.2 die Potenzmengenkonstruktion in eigenen Worten eshreien K2.3 Beispiele ngeen, die zeigen, dss vershiedene Arten von Automten untershiedlih kompkte Drstellungen von Sprhen erluen K2.4 für eine ntürlih-sprhlih eshrieene Sprhe L einen DFA/NFA A ngeen, so dss L(A) = L K2.5 eine rehtlinere Grmmtik G in einen NFA N üersetzen, so dss L(G) = L(N) K2.6 einen NFA N in einen DFA D mit Potenzmengenkonstruktion üersetzen, so dss L(N) = L(D) K2.7 einen DFA D in eine rehtslinere Grmmtik G üersetzen, so dss L(G) = L(D) K2.8 Aussgen üer die Ausdruksfähigkeit vershiedener Automtenmodelle eeisen oder iderlegen K2.9 egründet entsheiden, o gegeene Beispiele neu eingeführte Definitionen erfüllen K2.10 Aussgen, mit neu eingeführten Definitionen eeisen oder iderlegen AUFGABE 2.1. Geen Sie für jede der folgenden Sprhen üer dem Alphet = {,, } einen NFA n, der genu die jeeilige Sprhe erkennt: () Alle Wörter, die enthlten. () Alle Wörter, deren 3-letzter Buhste ein ist, z.b.. Der Automt sollte niht mehr ls 4 Zustände hen. Vergleihen Sie Ihre NFAs mit den entsprehenden DFAs us Aufge 2.2 Stufe B Die n finden Sie unter zip. AUFGABE 2.2. Geen Sie für jede der folgenden Sprhen üer dem Alphet = {,, } einen DFA (grphish) n, der genu die jeeilige Sprhe erkennt: () Alle Wörter, die mit einem eginnen. () Alle Wörter gerder Länge. () Alle Wörter ungerder Länge, die uf ein enden. (d) Die Sprhe, die nur ds leere Wort enthält. (e) Alle Wörter, die enthlten. (f) Alle Wörter, die eine durh drei teilre Anzhl von enthlten. (g) L = {,, } (h) Alle Wörter, deren 3-letzter Buhste ein ist, z.b.. Beshreien Sie dnn in eigenen Worten, ie mn im Allgemeinen einen Automten konstruiert, der eine Sprhe erkennt, die... Stufe B Bei Frgen oder Prolemen shreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 1/7

2 m Anfng/Ende jedes Wortes eine estimmte Seuenz von Buhsten fordert nur Worte gerder/ungerder Länge enthält von jedem Wort verlngt, eine estimmte Anzhl n Buhsten zu enthlten die nur Worte enthält, die eine estimmte Seuenz von Buhsten enthält deren Worte n einer fixierten Position einen eigenen estimmten Buhsten hen müssen. Die Lösungenskizzen finden Sie unter zip. AUFGABE 2.3. Sei = {, } und A k = { 1... l l k = } die Sprhe ller Wörter üer, die n der (k + 1)-ten Stelle von rehts ein stehen hen. Insesondere ist A 0 die Menge ller Wörter, die uf enden. Versuhen Sie in eiden Aufgenteilen NFAs und DFAs mit möglihst enigen Zuständen nzugeen. () Geen Sie jeeils einen NFA für A 0, A 1 und A 2 n. () Geen Sie jeeils einen DFA für A 0 und A 1 n. () Beshreien Sie in eigenen Worten, ie der DFA A n und der NFA A n für elieige n N ussehen. (d) Beurteilen Sie die folgende Aussge: Es git einen NFA für A n mit O(n)-vielen Zuständen, er jeder DFA zu A n ht mindestens O(2 n )-viele Zustände. Hineis: Bereiten Sie diese Aufge uh für die Sprhe B n := { i : i = i+n }, um die us der Vorlesung eknnten Konzepte uf eine neue Sprhe nzuenden (A k findet sih ereits in den Vorlesungsfolien!). Stufe B / C A.) Für die Sprhe A k (),() Die NFAs uf der linken und die DFAs im Vergleih dzu uf der rehten Seite:, () NFA für A 0 () DFA für A 0,, () NFA für A 1, (d) DFA für A 1,, (e) NFA für A 2 () Der NFA rät, nn ds ds k-letzte Zeihen gelesen ird, der DFA muss sih merken, nn er ds letzte gesehen ht und muss für jedes ds er liest nh k Shritten in einem kzeptierenden Zustnd sein und für jeden Buhsten ußer k Shritte später in einem niht-kzeptierenden Zustnd. (d) Diese Aussge gilt, der Beeis dzu findet sih in den Vorlesungsfolien. B.) Für die Sprhe B k (),() Die NFAs uf der linken und die DFAs im Vergleih dzu uf der rehten Seite: () Der NFA rät, o jetzt i-te Zeihen gelesen ird, elhes die Bedingung erfüllt. Der DFA muss sih hingegen immer merken, s er vor n Zeihen gelesen ht, um zu üerprüfen, o die Bedingung i = i+n erfüllt ist. (d) Der Beeis ist ähnlih zu dem Beeis in den Vorlesungsfolien. Bei Frgen oder Prolemen shreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 2/7

3 ,, 0,, 0 () NFA für B 0 () DFA für B 0,, 0 () NFA für B 1, 0 (d) DFA für B 1,,, 0 5, (e) NFA für B 2 AUFGABE 2.4. Sei = {,, } und L = { x. x = 0}. () Konstruieren Sie einen NFA N mit genu 4 Zuständen und L(N) = L. () Determinisieren Sie den NFA N us () mittels der Potenzmengenkonstruktion. () Geen Sie eine rehtlinere Grmmtik G (gemäß Stz 3.12) n, so dss L(G) = L(D). (d) Üersetzen Sie die Grmmtik G (gemäß Stz 3.8) in einen NFA N, so dss L(G) = L(N ). (e) Vergleihen Sie die NFAs N und N ezüglih Zustnds- und Trnsitionszhl. Diskutieren Sie dnn, iniefern Sie Ihre Beohtung verllgemeinern können. Hineis: Wir ezeihnen mit x die Anzhl der Vorkommen des Buhstens x in. Stufe C Bei Frgen oder Prolemen shreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 3/7

4 () Der folgende NFA rät im initilen Zustnd elhe eiden Buhsten im Wort uftuhen:,,,,,, () Anendung der Potenzmengenkonstruktion:,,,,,,,, () Jeder Zustnd entspriht einem Niht-Terminl, die Terminle sind gerde ds Alphet, der initile Zustnd ird zum Strtsymol. Zur Vereinfhung enennen ir die Zustände von oen nh unten und links nh rehts von A is C 3, ie oen gezeihnet. Dnn ergit sih folgende Grmmtik S B 1 B 2 B 3 ε B 1 B 1 C 1 C 2 B 2 B 2 C 1 C 3 B 3 B 3 C 2 C 3 C 1 C 1 C 1 D C 2 C 2 C 2 D C 3 C 3 C 3 D D D D D (d) Wir erhlten folgenden Automten: Bei Frgen oder Prolemen shreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 4/7

5 , B 1 C 1,,,, S B 2 f, C 2 D,, B 3 C 3 (e) Diese Üersetzung induziert eine Normlform, in der es mximl 2 Endzustände git. Die Anzhl der Zustände entspriht die Anzhl der Vrilen in der Grmmtik (plus den dedizierten f Zustnd). AUFGABE 2.5. Entsheiden Sie, o die folgenden Aussgen korrekt sind oder niht und egründen Sie Ihre Behuptung, indem Sie enteder ein Gegeneispiel oder einen pssenden Beeis ngeen. Stufe D Für jeden NFA N = (Q,, δ, 0, F) git es einen NFA N = (Q,, δ, 0, F ) mit L(N) = L(N ) und... () der Strtzustnd ht keine eingehenden Knten. () kein Endzustnd ht eine usgehende Knte. () für jeden Zustnd gilt: lle eingehenden Knten sind mit demselen Zeihen eshriftet. (d) für jeden Zustnd gilt: lle usgehenden Knten sind mit demselen Zeihen eshriftet. () J: Mn erstellt von jedem Strtzustnd eine Kopie ˆ, die nur die usgehenden Knten von ert. Dnh ird zu einem normlen Zustnd, ährend ˆ zu einem Strtzustnd ird. Forml: N = (Q,, δ, 0, F ), oei Q = Q {ˆ I}, δ = δ {(ˆ, x, ) (, x, ) δ} und lle nderen Komponenten ie in N. () Nein: Betrhte einen NFA N für L = {ε, }. () J: mn spltet jeden Zustnd Q nh dem Buhsten der eingehenden Knten uf, d.h. us mht mn die Zustände (, x) für jedes x. Dnh setzt mn δ ((, x), y, (, y)) := δ(, y, ). (d) Nein: Betrhte einen NFA N mit L(N) = {, } =. Dnn gilt δ( 0, ) F und δ( 0, ) F. AUFGABE 2.6. Wir ereitern NFAs um die Möglihkeit, mehrere Strtzustände I Q zu esitzen. Ein NFA N = (Q,, δ, I, F) kzeptiert ein Wort genu dnn, enn = F ˆδ( 0, ), 0 I Stufe D d.h. enn es mindestens einen kzeptierenden Aluf von irgendeinem Strtzustnd us git. () Geen Sie einen NFA N = (Q,, δ, 0, F) und einen NFA N = (Q,, δ, I, F ) n, die die Sprhe L us Aufge 2.4 erkennen, er Q < Q. () Entsheiden Sie, o die folgenden Aussgen korrekt sind oder niht und egründen Sie Ihre Behuptung, indem Sie enteder ein Gegeneispiel oder einen pssenden Beeis ngeen. Für jeden NFA N = (Q,, δ, I, F) existiert ein NFA N = (Q,, δ, I, F ) mit L(N) = L(N ), so dss (i) I = 1. (ii) F = 1. (iii) I = 1 und F = 1. Bei Frgen oder Prolemen shreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 5/7

6 () Einen NFA für diese Sprhe findet sih in der Lösung zu Aufge 2.4. Mit einer Menge von Initilzuständen sttt nur einem einzelnen können ir die Zustände, und ls initil mrkieren und eglssen. Dmit hen ir seprte Initilzustände, um die Sprhen {, }, {, } und {, } zu erkennen. () (i) Kurzversion: J, z.b. Potenzmengenkonstruktion einfh uf den von I us erreihren Teil nenden. Resultierender DFA N kzeptiert diesele Sprhe ie N und jeder DFA ist gleihzeitig uh ein NFA. Lnge Version: Mn muss erstml zeigen, dss ein NFA mit mehreren Strtzuständen immer noh eine reguläre Sprhe kzeptiert. Ds ist, siehe Kurzversion, ziemlih offensihtlih, er eeisen muss mn es trotzdem, dher: Potenzmengenkonstruktion uf den NFA N nenden. GANZ WICHTIG: intelligent die Konstruktion nenden, d.h. Tiefen- oder Breitensuhen usgehend von I usführen; NIE, NIEMALS und nohml NIE lle 2 Q möglihen Teilmengen konstruieren und dnn fröhlih Pfeilhen dzishen zeihnen. Sei lso N = (Q,, δ, 0, F ) mit Q 2 Q, δ : Q Q, I = I und F = {S Q S F }, oei Q und δ die kleinsten Mengen 1 sind, elhe folgenden eiden Bedingungen erfüllen: (1) I Q (2) Flls S Q, dnn uh S δ(, ) =: S Q und δ (S, ) S für jedes. Anlog zur Vorlesung zeigt mn nun, dss δ (I, ) F gd. 0 Q : δ( 0, ) F : Flls L(N ), dnn I l Sl mit S l F, lso nh Def. F : S l F. Sei l S l F. Dnn git es nh Def. von δ ein l 1 S l 1, sodss l δ( l 1, l ). Induktiv findet so für lle 0 i l ein i S i mit i+1 δ( i, i), omit L(N) folgt. Flls L(N) folgt vollkommen nlog, dss uh L(N ), einfh die oige Argumenttion rükärts lesen. (ii) Konstruktion: Aus dem NFA N = (Q,, δ, I, F) für L konstruieren ir einen NFA N = (Q,, δ, I, F ) mit Q = Q { f }, F = { f }, =, δ (, ) = δ(, ) { f δ(, ) F } für lle und Q, δ ( f, ) = für lle und I = I { f I F } Nh Konstruktion ist der neue Zustnd f der einzige Endzustnd von N. L(N) L(N ): Flls ε L(N), dnn uh ε L(N ), d f dnn nh Konstruktion ein Strtzustnd ist. Sei dher L(N) \ {ε}. Dnn existiert eine kzeptierende Berehnung l l 1 l l mit l F und i+1 δ( i, i+1) und 0 I für = 1... l mit i. Nh Konstruktion existiert in N dmit die kzeptierende Berehnung l l 1 l f d.h. L(N ). L(N ) L(N): Sei nun ε L(N ): Dmit muss f, d einziger Endzustnd, uh Strtzustnd sein, s nh Konstruktion edeutet, dss ε L(N). Sei dher L(N ) \ {ε}, d.h. es existiert eine kzeptierende Berehnung l l l 1 f. Nh Konstruktion (1. Shritt) gilt somit δ( l 1, ) F, omit sih die Berehnung uh zu einem kzeptierenden Berehnung in N üersetzen lässt. (iii) Nein. Sei L = {ε, }. Angenommen es existiert sein NFA N = (Q,, δ, 0, F) für L mit F = { f }. D ε L und N ein NFA, gilt 0 = f. D L, gilt somit δ( 0, ) = f = 0. Dher git es eine -Shleife m Zustnd 0 und somit uh L(N) = L. Widerspruh. 1 Die kleinsten Mengen hier forml zu definieren ist tehnish ufendig, er n dieser Stelle niht so interessnt... Bei Frgen oder Prolemen shreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 6/7

7 Definition (Sustring, Superstring und Superstringsprhe) Sei ein Alphet und seien v, Wörter üer. () v ist ein Sustring von genu dnn, enn es Wörter v 1, v 2 git mit = v 1 vv 2. Wir shreien v für v ist ein Sustring von. () Wir nennen Superstring von v, enn v () Die Superstring-Sprhe für ein Wort v ist definiert ls L v := {u v u} AUFGABE 2.7. Sei = {m, i, } ds Alphet. () Sei = mi und v = mmmmi. (i) Geen Sie einen NFA n, der die Sprhe L kzeptiert. (ii) Geen Sie einen DFA n, der die Sprhe L kzeptiert und niht mehr Zustände ls Ihr NFA us der vorherigen Teilufge ht. (iii) Geen Sie einen NFA n, der die Sprhe L v kzeptiert. (iv) Geen Sie einen DFA n, der die die Sprhe L v kzeptiert und dei niht mehr Zustände ls Ihr NFA us der vorherigen Teilufge ht. () Beshreien Sie die Untershiede und Gemeinsmkeiten der eiden NFAs und DFAs us der vorherigen Teilufge. Erklären Sie in möglihst einfher Sprhe, ie Sie es erreiht hen, dss die NFAs und DFAs jeeils die gleihe Anzhl n Zuständen htten. () Entikeln Sie eine llgemeine Konstruktionsvorshrift für NFAs und DFAs, die die Sprhe L für ein elieiges Wort. Nutzen Sie dfür ihre Beohtungen us den vorherigen Aufgenteilen. Stufe E () (i) NFA, der L kzeptiert: m, i, m, i, m 1 i 2 3 (ii) DFA, der L kzeptiert: i, m m, i, m i 3 i (iii) Der NFA zur Superstring-Sprhe von v ht 9 Zustände und ist ähnlih ufgeut ie der NFA in Aufgenteil (i). Es git eine Seuenz zum Lesen von v und m Anfngs- und m Endzustnd git es eine Shleife zum Lesen von m, i und. (iv) Ähnlih ie Aufgenteil (ii) muss mn sih üerlegen, zu elhem Zustnd mn zurükgehen muss, enn mn einen Buhsten gehört, der niht zu mmmmi gehört. Ht mn zum Beispiel ein m gelesen, so knn enteder mmmmi mit einem fortgesetzt erden, es könnte ein eiteres m gelesen erden, s iederum dnn der Anfng des Worts v sein könnte oder es ird ein i gelesen, elhes zum Strtzustnd zurükführt, d gerde niht ein Teil von v gelesen orden sein knn. () Der NFA rät, nn ds Wort gelesen ird. Wir müssen dher nders ls eim DFA niht siherstellen, dss ir ei Buhsten, die niht unmittelr zum Wort gehörten können, o sie Teil einer nderen Teilseuenz sind. () Die Konstruktionsvorshrift für NFAs N = (Q,, δ, 0, F) zu einem Wort üer dem Alphet lutet: (i) Q = {u v. uv = } (ii) δ = {(ε, x, ε), (, x, ) x } {(u, x, ux) x v. uxv = } (iii) 0 = ε (iv) F = {} Um einen pssenden DFA zu erhlten, knn mn die Potenzmengenkonstruktion nenden. Mn knn er uh den (minimlen) DFA D = (Q,, δ, 0, F) direkt konstruieren: Die Zustände sind lle Präfixe von und die Konstruktion versuht ds nähste Zeihen zu lesen um us dem is jetzt gelesen Präfix ein neues Präfix von zu konstruieren. Flls dies niht möglih ist, springt der DFA zu dem Präfix, ds ds längste Suffix von ktuell gelesenem Wort ist, zurük. Ds Verfhren ird in eshrieen. m Bei Frgen oder Prolemen shreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 7/7