Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 3

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1 Prof. J. Esprz Technische Universität München S. Sickert, J. Krämer KEINE ABGABE Einführung in die theoretische Informtik Sommersemester 27 Üungsltt 3 Üungsltt Wir unterscheiden zwischen Üungs- und Agelättern. Auf diesem Üungsltt finden Sie eine Üersicht üer die Kernspekte, die Sie in Klenderwoche 2 in den Tutorien diskutieren, üen und vertiefen. Die Aufgen uf diesem Bltt dienen dem Üen und Verstehen des Vorlesungsstoffes, sowie dem eigenständigen Erreiten der Kernspekte. Außerdem sollen Ihnen diese Aufgen uch helfen, ein Gefühl dfür zu ekommen, ws Sie inhltlich in der Klusur erwrtet. Klusurufgen können jedoch deutlich von den hier gestellten Aufgen weichen. Aschreien und Auswendiglernen von Lösungen wird Ihnen dher keinen duerhften Erfolg in der Vorlesung ringen. Frgen zu den Üungslättern können Sie montgs is donnerstgs von 2 Uhr is 4 Uhr in der THEO-Sprechstunde in Rum stellen. Kernspekte K3. korrektes Wiedergeen der folgenden Definitionen regulärer Ausdruck sternfreier Ausdruck -NFA Produktkonstruktion K3.2 eine (ntürlichsprchlich) gegeene Sprche ls regulären Ausdruck drstellen K3.3 strukturelle Induktion üer Grmmtiken und reguläre Ausdrücke führen, um Eigenschften der eschrieenen Sprche zu eweisen K3.4 Funktionen üer reguläre Ausdrücke definieren K3.5 einen regulären Ausdruck r in einen NFA N üersetzen, so dss L(r) = L(N) K3.6 einen -NFA N mittels Potenzmengenkonstruktion in einen DFA D üersetzen, so dss L(N) = L(D) K3.7 den Schnitt zweier regulärer Sprchen mithilfe der Produktkonstruktion ilden K3.8 egründet entscheiden, o gegeene Beispiele neu eingeführte Definitionen erfüllen K3.9 Aussgen, mit neu eingeführten Definitionen eweisen oder widerlegen Die folgende Aufge knn uch online gelöst werden. Melden Sie sich uf http: // utomttutor. com n und schreien Sie sich in den Kurs 3THEO2 mit dem Psswort IJDDLKQ ein. Wir empfehlen die Benutzung von Mozill Firefox, d mit nderen Browsern die Drstellung teilweise inkorrekt sein knn. AUFGABE 3.. Geen Sie für jede der folgenden Sprchen einen regulären Ausdruck n, der genu die Sprche eschreit. Verwenden Sie für die ersten drei Aufgen ds Alphet Σ = {,, c} und für die letzten eiden Σ = {, }. () Wörter gerder Länge. () Wörter, die mit einem eginnen und enden, sowie Wörter, die mit einem eginnen und enden. (c) Wörter, in denen kein neen einem steht. (d) Zhlen in Binärdrstellung (most-significnt-it-first), die durch 2 teilr sind. (e) Zhlen in Binärdrstellung (most-significnt-it-first), die nicht durch 4 teilr sind. Stufe B () (( c)( c)) () ( c) ( c) (c) (( )cc ) ( ) (d) ( ) (e) ( ) ( ) AUFGABE 3.2. Sei Σ = {, }. Geen Sie einen regulären Ausdruck mit möglichst wenigen Zeichen für die Sprche n, in der lle Wörter gleich oft die Zeichenketten und enthlten. Beispiel: Ds Wort enthält zweiml, er nur einml und soll somit kein Element der Sprche sein. Stufe C ( ) ( ) Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n /7

2 AUFGABE 3.3. Wir üersetzen den regulären Ausdruck r = ( ) in zwei Schritten zu einem DFA. () Geen Sie mit dem Verfhren us der Vorlesung einen -NFA N mit L(N) = L(( ) ) n. Hlten Sie sich strikt n die Konstruktion us den Folien. Als NFA für x Σ verwenden Sie hierfür den (is uf Knotenenennung) knonischen -NFA ({q, q }, {, }, {(q, x, q ) x Σ}, q, {q }). () Die Potenzmengenkonstruktion lässt sich uf -NFAs wie folgt erweitern: Gegeen ein -NFA N = (Q, Σ, δ, q, F) sei D = (Q, Σ, δ, I, F ) wie folgt definiert: I := i δ(q, i ). Q und δ : Q Σ Q sind induktiv wie folgt definiert: I Q. Flls S Q, dnn δ (S, x) := δ(q, i x j ) q S,i N,j N für jedes x Σ und δ (S, x) Q. Ansonsten enthält Q keine weiteren Elemente. F := {S Q S F }. Determinisieren Sie mithilfe dieser Konstruktion den -NFA us Aufgenteil (), um einen DFA mit gleicher Sprche zu erhlten. Stufe C () NFA gemäß Vorlesung s 2 s 5 s s 3 s 4 s s 6 s 7 () Potenzmengenkonstruktion für -NFA s s s 2 AUFGABE 3.4. Gegeen seien zwei DFAs D und D 2 üer dem gleichen Eingelphet Σ = {, }. Verwenden Sie ds Verfhren us der Vorlesung um einen DFA D nzugeen, so dss L(D) = L(D ) L(D 2 ). Stufe C, D : q q q 2 D 2 : r r r 2 Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n 2/7

3 Wir konstruieren den Schnittutomten us D und D 2 durch Ausnutzen der Tellennottion: r r r 2 D 2 q q, r q, r q, r 2 q q, r q, r q, r 2, q 2 q 2, r q 2, r q 2, r 2 D M Definition (Suffix-Sprche) Sei L Σ eine Sprche üer dem Alphet Σ. Wir definieren L sf := {v Σ u Σ. uv L} und ezeichnen L sf ls die Sprche der Suffixe von L. AUFGABE 3.5. Sei Σ = {,, c, d}. Wir zeigen nun, dss wenn L regulär ist, dnn ist uch L sf regulär. () Geen Sie die Sprche der Suffixe für L = {c, d} n. () Sei L regulär. Beweisen Sie, dss uch L sf regulär ist, indem Sie us einem NFA N = (Q, Σ, δ, q, F) mit L = L(N) einen -NFA N mit L sf = L(N ) ngeen. (c) Geen Sie direkt, d.h. ohne den Umweg üer NFAs einen regulären Ausdruck r mit L(r) = L(( ) cd) sf n. (d) Beschreien Sie eine rekursive Prozedur, die einen gegeenen regulären Ausdruck r direkt in einen regulären Ausdruck r mit L(r ) = L(r) sf umschreit. Stufe D Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n 3/7

4 () L sf = {, c, c, c, d}. () Konstruktion: O.B.d.A. nehmen wir n, dss N keine von q unerreichren Zustände ht. Sei q / Q ein neuer Zustnd, von dem mn zu einer elieigen Zustnd in N springen knn und somit u üerspringen knn. Wir definieren: N = (Q {q }, Σ, δ {(q,, q) q Q}, q, F) Korrektheit: Um die Gleichheit der eiden Mengen zu zeigen, eweisen wir eide Inklusionen: (i) L sf L(N ): Sei v L sf. Dnn existiert ein u Σ mit uv L. Somit git einen kzeptierenden Luf uf N: u q () q... u( u ) v q () u q... v( v ) u + q uv F Wir konstruieren nun us dem kzeptierendem Luf uf N für uv einen kzeptierenden Luf uf N für v, in dem us dem Zustnd q direkt zu q u springen: q v q () u q u +... v( v ) q uv F (ii) L sf L(N ): Anlog. (c) r = d cd ( )( ) cd (d) Konstruktion: Wir definieren folgende rekursive Prozedur, die reguläre Ausdrücke uf reguläre Ausdrücke ildet: suff ( ) = suff (αβ) = suff () = { suff (β) suff (α)β L(α) = L(α) suff (α β) = { suff (α) suff (β) suff (α L(α) = ) = suff (α)α L(α) suff () = Korrektheit: Wir zeigen L(suff (γ)) = (L(γ)) sf mit struktureller Induktion üer den regulären Ausdruck γ: γ = : L(suff ( )) = = sf = (L( )) sf γ = : L(suff ()) = {} = {} sf = (L()) sf γ = : L(suff ()) = {, } = {} sf = (L()) sf. γ = αβ: Wir ruchen eine zusätzliche Fllunterscheidung üer die Sprche L(α): L(α) : L(suff (αβ)) = L(suff (β)) L(suff (α))l(β) IH = (L(β)) sf (L(α)) sf L(β) = (L(αβ)) sf L(α) = : L(suff (αβ)) = L( ) = = sf = L( ) sf γ = α β: L(suff (α β)) = L(suff (α)) L(suff (β)) IH = (L(α)) sf (L(β)) sf = (L(α β)) sf γ = α : Wir ruchen eine zusätzliche Fllunterscheidung üer die Sprche L(α): L(α) : L(suff (α )) = L(suff (α))l(α ) IH = (L(α)) sf L(α ) = (L(α )) sf L(α) = : L(suff (α )) = L() = {} = {} sf = (L()) sf Hinweis: Seien A und B Sprchen üer dem Alphet Σ. Für den Korrektheitseweis verwenden wir die folgenden eiden Gesetze. (A B) sf = A sf B sf A (AB) sf = B sf A sf B AUFGABE 3.6. Sei Σ ein endliches Alphet. Ein sternfreier Ausdruck ist wie folgt definiert: Stufe D Syntx: Die Grmmtik mit folgender Produktion git die Menge ller gültigen sternfreien Ausdrücke n: S x SS S S S x Σ Wir ezeichnen mit Vereinigung, mit SS Konktention und mit S Komplement. Semntik L( ) := L() := {} L() := {} L(αβ) := L(α)L(β) L(α) := Σ \ L(α) L(α β) := L(α) L(β) () Zeigen Sie mittels struktureller Induktion, dss L(α) eine reguläre Sprche üer Σ ist, flls α ein sternfreier Ausdruck üer Σ ist. Pssen Sie hierfür den Beweis us den Folien, dss jeder reguläre Ausdruck sich in einen NFA üersetzen lässt, entsprechend n. Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n 4/7

5 Hinweise: Die Umkehrung von () gilt nicht, z.b. ist L(() ) eine reguläre Sprche üer Σ = {}, welche sich nicht durch einen sternfreien Ausdruck eschreien lässt. Sie dürfen ohne Beweis die folgende Aussge verwenden: Ist D = (Q, Σ, δ, q, F) ein DFA, so kzeptiert der DFA D = (Q, Σ, δ, q, F ), woei Q = Q, Σ = Σ, q = q, δ = δ und F = Q \ F gerde die Sprche L(D ) = Σ \ L(D). () impliziert, dss es für jeden sternfreien Ausdruck α einen regulären Ausdruck α mit L(α) = L(α ) git. () Beweisen Sie die Behuptung L( ) = L ( () ) für Σ = {, }, indem Sie (i) zuerst den sternfreien Ausdruck in einen -NFA üersetzen, (ii) den -NFA gemäß der Vorlesung üer Zwischenschritte in einen regulären Ausdruck üertrgen und (iii) schließlich den erhltenen regulären Ausdruck mittels der Äquivlenzen us der Vorlesung zu () vereinfchen. Hinweis: Vereinfchen Sie den NFA zunächst vor der Üersetzung in einen regulären Ausdruck, indem Sie lle Zustände, die keinen Endzustnd erreichen können, entfernen. Erklären Sie kurz, wrum sich die erknnte Sprche ddurch nicht ändert. () Der Beweis ist nlog zur Vorlesung. Der einzige Unterschied ist, dss mn jetzt nicht nur NFAs verwenden knn, um den Ausdruck in einen Automten zu kompilieren ; jetzt muss mn eim Komplement een erst determinisieren, um dnn komplementieren zu können. Rest läuft wie ei RE. () Wir eweisen die Behuptung wie in der Aufgenstellung ngegeen Konstruktion von -NFA zu : der NFA zu nch Entfernen der -Trnsitionen, s s s 2 s, s s 2, der DFA, der us oigen NFA mittels Potenzmengenkonstruktion entsteht, -, s s, s 2 s 2, Mithilfe des Hinweises komplementieren wir die Sprche, indem wir End- und Nicht-End-Zustände vertuschen, um hier einen DFA zu zu erhlten. Nch dem Vertuschen knn mn prinzipiell die Zustände {, 2} und {2} wieder us dem Automten streichen, d diese keinen Endzustnd erreichen können und somit für eine kzeptierende Berechnung irrelevnt sind. Dmit erhält mn einen kleineren NFA. Verfährt mn entsprechend für die restlichen Anforderungen und ildet entsprechend der Vorlesung die Vereinigung mit -Trnsitionen, so erhält mn für den -NFA: Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n 5/7

6 , s s 2 s s 3 s 4,, s 5 s 6 s 7,, s 8 s 9 s Entfernen von -Trnsition, dnn Potenzmengenkonstruktion, dnn Flippen der Endzuständ, Hinzufügen von und Entfernen der Zustände, die keinen Endzustnd erreichen können, führt zu: s s s 3 s 4 s 2 Mn knn hier den regulären Ausdruck () () + = () lesen. AUFGABE 3.7. Wir etrchten ds dule Model zu NFAs und definieren für diese Aufge UFAs (universelle endliche Automten), die ein Wort w kzeptieren gdw. lle Läufe uf w in einem Endzustnd enden. Sei U = (Q, Σ, δ, q, F) ein UFA. Dnn wird ds Wort w Σ genu dnn kzeptiert, wenn δ(q, w) F. () Entscheiden Sie, o die folgende Aussge gilt und egründen Sie Ihre Antwort, indem Sie einen pssenden Beweis oder ein pssendes Gegeneispiel ngeen: Jeder UFA ohne Endzustände kzeptiert die leere Sprche. () Wir etrchten folgende Sprche L k = {w Σ i w. w i = w i+k = } üer dem Alphet Σ = {, }. Konstruieren Sie einen NFA und einen UFA für k = 2 und k = 3. Vergleichen Sie Ihre eiden Lösung ezüglich der Größe der Automten. (c) Geen Sie eine Üersetzung von UFAs zu DFAs n und eweisen Sie deren Korrektheit. Stufe E () Diese Aussge gilt nicht. Für einen UFA ohne Endzustände gilt F =, d.h. es werden nur Worte kzeptiert, so dss δ(q, w). Nch Definition der Trnsitionsfunktion für NFAs gilt δ(q, w) = gdw. es keinen Luf für w git. Dmit knn ein UFA mit F = Wörter kzeptieren, die keinen Luf im Automten hen. () Ein UFA, der die Sprche für k = 2 zw. k = 3 erkennt, sieht wie folgt us:,,, 2 3 4,,,, Für lle Wörter, die der Definition der Sprche widersprechen, git es einen Luf, der im Zustnd 4 endet. Dmit knn der UFA diese Wörter nicht kzeptieren, d lle Läufe kzeptierend sein müssen, dmit ein UFA ein Wort kzeptiert. Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n 6/7

7 (c) Wir dptieren die Potenzmengenkonstruktion für NFAs und definieren nur die Endzustände um: F := {S 2 Q S F}. Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n 7/7

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