Dr. Johannes Bauer Institut für Soziologie, LMU München. Directed Acyclic Graphs (DAG)

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1 Dr. Institut für Soziologie, LMU München Directed Acyclic Graphs (DAG)

2 Wie ist der Zusammenhang von und Z blockiert den Pfad Mediator 50% = 1 50% = 0 Z Z if =0: 20% if =1: 80% Gegenwsk if Z=0: 20% if Z=1: 80% Gegenwsk aktiver Pfad Z und Ohne Kontrolle auf Z unter Kontrolle auf Z Unter Kontrolle auf Z Wenn Z = 0 Wenn Z = # 2

3 Wie ist der Zusammenhang von und unter Kontrolle auf Z. Z blockiert den Pfad Mediator Z aktiver Pfad und Ohne Kontrolle auf Z const % = 1 50% = 0 Unter Kontrolle auf Z Z if =0: 20% if =1: 80% Gegenwsk if Z=0: 20% if Z=1: 80% Gegenwsk Z const Z 03 # 3

4 Wie ist der Zusammenhang von und unter Kontrolle auf Z. Mediator Z und Ohne Kontrolle auf Z const % = 1 50% = 0 Unter Kontrolle auf Z Z if =0: 20% if =1: 80% Gegenwsk if Z=0: 20% if Z=1: 80% Gegenwsk Z const Z 96 # 4

5 Wie ist der Zusammenhang von und unter Kontrolle auf Z. Confounder Z 50% = 1 50% = 0 aktiver Pfad und Ohne Kontrolle auf Z const Unter Kontrolle auf Z Z Z if Z=0: 20% if Z=1: 80% Gegenwsk if Z=0: 20% if Z=1: 80% Gegenwsk const Z 03 # 5

6 Wie ist der Zusammenhang von und unter Kontrolle auf Z. Z aktiviert den Pfad Collider 50% = 1 50% = 0 Z + + blockierter Pfad 50% = 1 50% = 0 if =1: Wsk + if =1: Wsk + 1 und Ohne Kontrolle auf Z Unter Kontrolle auf Z Wenn Z = 0 Wenn Z = # 6

7 Wie ist der Zusammenhang von und unter Kontrolle auf Z. Z aktiviert den Pfad Collider Z + + blockierter Pfad und Ohne Kontrolle auf Z const % = 1 50% = 0 50% = 1 50% = 0 Unter Kontrolle auf Z if =1: Wsk + if =1: Wsk + 1 const Z 65 # 7

8 Wie ist der Kausaleffekt von und unter Kontrolle auf alle. 50% = 1 50% = 0 und Ohne Kontrolle auf const if =0: 20% if =1: 80% if =1: Wsk+ if =1: Wsk+ 1 1 Unter Kontrolle auf const # 8

9 Wie ist der Kausaleffekt von und unter Kontrolle auf alle Z 2. Z 2 und Ohne Kontrolle auf Z 2 const if Var=0: 20% if Var=1: 80% if Z 2 =1: Wsk+ if =1: Wsk+ 1 1 Unter Kontrolle auf Z 2 const Z 2 00 # 9

10 D-Seperation Z 2 Pfad A Fragestellung: Auf welche Kovariablen Z muss kontrolliert werden, um Unabhängigkeit zwischen und herzustellen? Z Pfad B Pfad C Z 3 Z 4 Blockieren der Pfade: (1) Pfad A kann blockiert werden durch Z 2 (2) Pfad B kann blockiert werden durch Z 3 (3) Pfad C ist blockiert durch Z 4. Daher darf auf Z 4 nicht kontrolliert werden. # 10

11 D-Seperation und Ohne Kontrolle auf ein Z Z 2 Pfad A const Pfad B Z 3 Unter Kontrolle auf Z s const const Pfad C Z Z Z Z 3 06 Z Z 4 46 # 11

12 Back Door Kriterium Back Door Kriterium Fragestellung: Wie wirkt auf, direkt aber auch vermittelt über andere Variablen? Z 2 Nicht Teil des Back Door Kriterium (2) verletzt Daher: Blockiere alle Pfade von nach. Z 3 Z 4 Ein Set von Kovariablen entspricht dem Back-Door Kriterium, wenn (1) die Kovariablen alle aktiven Pfade von zu blockieren (2) wobei keine der Kovariablen ein Nachfahre von sein darf. Nicht Teil des Back Door Kriterium, da (1) verletzt # 12

13 Back Door Kriterium Back Door Kriterium und Ohne Kontrolle auf ein Z Z 2 Nicht Teil des Back Door Kriterium (2) verletzt const Z 3 Z 4 Nicht Teil des Back Door Kriterium, da (1) verletzt Unter Kontrolle auf Z s const Z 2 00 # 13

14 Front Door Kriterium Fragestellung: Wie wirkt auf, direkt aber auch vermittelt, aber die Variablen zur Kontrolle der Back Door Pfade sind nicht verfügbar? Z 2 Erfüllt (2) und (3) Erfüllt (1) Daher: Nutze eine Gruppe von Variablen, welche alle direkten Informationen für enthalten. Z 3 Ein Set von Kovariablen entspricht dem Front-Door Kriterium, wenn (1) Die Kovariablen alle direkten Pfade von zu blockieren Z 4 (2) blockiert alle Back-Door Pfade von den Kovariablen nach (3) Keine unbeobachteten Back-Door Pfade von zu den Kovariablen vorliegen # 14

15 Front Door Kriterium und Ohne Kontrolle auf ein Z Z 2 const Z 3 Kontrolle auf Z 3 und Z 3 const Z Z 3 00 const Z = Kausaleffekt von auf # 15

16 Instrumental Variablen Fragestellung: Wie wirkt auf, direkt aber auch vermittelt, aber weder das Front- noch das Back Door Kriterium sind verwendbar? Daher: Nutze eine Variable I, welche, unter Kontrolle von Kovariablen Z, nur durch den Kausaleffekt auf beeinflusst. I Instrument (1) und (2) erfüllt 0.33 Z 2 Ein Instrument liegt vor, wenn (1) Variable I, unter Kontrolle der Kovariablen Z, nicht unabhängig von ist I Z (2) Unter Kontrolle der Kovariablen Z und der Variable ist I unabhängig von I, Z # 16

17 Instrumental Variablen Fragestellung: Wie wirkt auf, direkt aber auch vermittelt, aber weder das Front- noch das Back Door Kriterium sind verwendbar? Daher: Nutze eine Variable I, welche, unter Kontrolle von Kovariablen Z, nur durch den Kausaleffekt auf beeinflusst. I Z 2 Kein Instrument Kontrolle auf Z 2 nicht möglich 0.33 Ein Instrument liegt vor, wenn (1) Variable I, unter Kontrolle der Kovariablen Z, nicht unabhängig von ist I Z (2) Unter Kontrolle der Kovariablen Z und der Variable ist I unabhängig von I, Z # 17

18 Instrumental Variablen und Ohne Kontrolle auf Z oder I 0.33 const I Instrument (1) und (2) erfüllt Z und I mit Kontrolle Z 2 const I Z und I mit Kontrolle Z 2 const /00 = Kausaleffekt von auf # 18

19 Verwenden von Skalen und Propensity Scores Problemstellung: Ist es notwendig auf viele Kovariablen zu kontrollieren, wird die Schätzung sehr aufwendig. Z 2 Z p-1 Reduktion der Variablen: Besteht die Möglichkeit aus den Kovariablen Z einen gemeinsamer Score R zu bilden, so dass gilt Z R Z p kann auf diesen kontrolliert werden (R ist suffizient um mit Z vorherzusagen). # 19

20 Verwenden von Skalen und Propensity Scores Problemstellung: Ist es notwendig auf viele Kovariablen zu kontrollieren, wird die Schätzung sehr aufwendig. Z 2 Z p-1 R Reduktion der Variablen: Besteht die Möglichkeit aus den Kovariablen Z einen gemeinsamer Score R zu bilden, so dass gilt Z R Z p kann auf diesen kontrolliert werden (R ist suffizient um mit Z vorherzusagen). Anforderung: R muss richtig spezifiziert sein # 20

21 Verwenden von Skalen und Propensity Scores und Kontrolle aller Z s Jeder Pfeil 0.10 Z 2 Jeder Pfeil 0.10 const Z Z 8 Z Z 9 Z if Z i =1:Wsk # 21

22 Verwenden von Skalen und Propensity Scores und Kontrolle aller Z s Jeder Pfeil 0.10 Jeder Pfeil 0.10 Z 2 Z 8 Z 9 R const Z Z Z und Kontrolle auf R 0.10 R-Score: R = 9 i=1 9 Z i const R # 22

23 Aufdecken kausaler Zusammenhänge anhand der Daten Z 2 PC-Algorithmus: 1. Starte mit einem vollkommend ungerichtetem Graphen 2. Teste alle direkten Zusammenhänge auf Unabhängigkeit const const Z 2 02 const const Z 2 Annahme Alle relevanten Variablen sind im Graphen enthalten const Z const # 23

24 Aufdecken kausaler Zusammenhänge anhand der Daten Z 2 PC-Algorithmus: 1. Starte mit einem vollkommend ungerichtetem Graphen 2. Teste alle direkten Zusammenhänge auf Unabhängigkeit 3. Für alle verbliebenen Zusammenhänge, wiederhole das unter Bedingung auf Drittvariablen con con Z con con Z # 24

25 Aufdecken kausaler Zusammenhänge anhand der Daten Z 2 PC-Algorithmus: 1. Starte mit einem vollkommend ungerichtetem Graphen 2. Teste alle direkten Zusammenhänge auf Unabhängigkeit 3. Für alle verbliebenen Zusammenhänge, wiederhole das unter Bedingung auf Drittvariablen Z 2 con.000 Con.100 Con Z Z # 25

26 Aufdecken kausaler Zusammenhänge anhand der Daten Z 2 PC-Algorithmus: 1. Starte mit einem vollkommend ungerichtetem Graphen 2. Teste alle direkten Zusammenhänge auf Unabhängigkeit 3. Für alle verbliebenen Zusammenhänge, wiederhole das unter Bedingung auf Drittvariablen 4. Ermittle Collider und orientiere die Pfeile con.396 Con Z Z # 26

27 Aufdecken kausaler Zusammenhänge anhand der Daten Z 2 Annahme Directed Acyclic Graphs unterstellen, dass es Keine zyklischen (transitiven) Beziehungen gibt PC-Algorithmus: 1. Starte mit einem vollkommend ungerichtetem Graphen 2. Teste alle direkten Zusammenhänge auf Unabhängigkeit 3. Für alle verbliebenen Zusammenhänge, wiederhole das unter Bedingung auf Drittvariablen 4. Ermittle Collider und orientiere die Pfeile con Z Con Z Wenn nicht theoretisch begründbar, Paneldaten nutzen # 27

28 Aufdecken kausaler Zusammenhänge anhand der Daten Schätzen der Pfeilstärke: Z 2 const Z const Z Kontrolle auf (Confounder) Kontrolle auf (Confounder) con # 28

29 Annahmen von DAGs Annahmen des PC Algorithmus 1. DAG: Es gibt einen DAG der die Kausalstruktur darstellen kann, d.h auch, es gibt keine zirkulären Zusammenhänge 2. Kausale Markov Bedingung: Die gemeinsame Verteilung von Variablen folgt der Markov property 1. Die Datengenerierende Verteilung folgt der Kausalen Markov Bedingung 2. Die Datengenerierende Verteilung ist Faithful 3. Es gibt nur einen Graphen, der Faithful ist I non decendents I parents(i) 3. Faithfulness: Die gemeinsame Verteilung beinhaltet alle bedingten gemeinsamen Unabhängigkeitsbeziehungen welche in der Markov property beinhaltet sind und nur diese. 4. Jedes Mitglied der Population kommt aus der gleichen Verteilung 5. Alle relevanten Variablen sind im Graphen enthalten # 29

30 Quellen Cosma R. Shalizi (2015). Advanced Data Analysis from an Elementary Point of View: Peter Spirtes/Glymour, Clark/Scheines, Richard. Causation, Prediction, and Search: 43/lib/photoz/.g/scottd/fullbook.pdf Stephen L. Morgan/Christopher, Winship (2007). Counterfactuals and Causal Inference Markus Kalisch/Bühlmann, Peter (2007). Estimating High-Dimensional Directed Acyclic Graphs with the PC-Algorithm Markus Kalisch/Bühlmann, Peter (2012). Causal Inference Using Graphical Models with the R Package pcalg Markus Kalisch/Bühlmann, Peter (2014). More Causal Inference with Graphical Models in R Package pcalg # 30