Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

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1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

2 Argumentationstechniken Direkter Beweis einer Implikation A B (analog Äquivalenz A B): A C 1 C 2... B Beweis von A B durch Gegenbeispiel Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n (oft n = 0 oder n = 1 ) Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass die Aussage auch für n + 1 gültig ist Beispiel (vollst. Induktion): A(n) = n i=1 i = n(n+1) 2 ; n N 3.1. Einführung 3.2. Aussagenverknüpfungen 3.3. Argumentieren 1 Ind.-Anfang: n = 1 : i = 1 = = 1 i=1 Ind.-Schluss: n+1 i = n i + (n + 1) = n(n+1) 2 + (n + 1) = n(n+1)+2(n+1) 2 = i=1 i=1 (n+1)(n+2) 2 41

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5 Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung Daraus: Gewinn = Umsatz Kosten A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A B, andererseits aber B A. Gegenbeispiel zur Bestätigung von B A: 3.1. Einführung 3.2. Aussagenverknüpfungen 3.3. Argumentieren 42

6 Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung Daraus: Gewinn = Umsatz Kosten A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A B, andererseits aber B A. Gegenbeispiel zur Bestätigung von B A: Für zwei Produkte gegeben: Umsätze u 1 = 2, u 2 = 5 Kosten c 1 = 1, c 2 = 4 Dann ist g 1 = u 1 c 1 = 2 1 = 1 = u 2 c 2 = 5 4 = g 2, aber u 1 u 2, c 1 c Einführung 3.2. Aussagenverknüpfungen 3.3. Argumentieren 42

7 : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Komplexe 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 4 Komplexe Von natürlichen zu komplexen Elementare Algebra Warum komplexe Historischer Abriss Geometrie Anwendungen

8 Die reellen Natürliche : N = {1,2,3,...} damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form x + n = m, mit n, m N Ganze : N = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form ax = b, mit a, b N und a 0 Rationale : Q = { m ; m N, n 0} n damit (unter anderem) nicht lösbar: Gleichung der Form x 2 = a mit a 0 Reelle : R enthält Q und zusätzlich die irrationalen, also sämtliche endliche und unendliche Dezimalbrüche Graphische Repräsentation über strahl: Beispiele von aus R: 1/8 = 0,125 endliche Dezimalzahl, rational 1/3 = 0, unendliche, periodische Dezimalzahl; rational 2 = 1, unendliche, nichtperiodische Dezimalzahl; irrational 44

9 Erweiterung der reellen In den reellen u.a. nicht uneinschränkt lösbar: turm x 2 = 1 Formale Lösungen: x 1 = 1 und x 2 = 1 mit x 1, x 2 / R Deswegen: Neues Symbol i, die imaginäre Einheit Eigenschaften: i 2 = 1 bzw. i = 1 Mit a, b R heißt komplexe Zahl. Bezeichnungen für a, b: Realteil von z Imaginärteil von z z = a + ib Menge der komplexen : Re(z) := a Im(z) := b R Q N N C := {a + ib; a, b R} 45

10 Elementare Verknüpfungen komplexer Gegeben: z 1 = a + ib; z 2 = c + id Addition Multiplikation Konjugiert komplexe Division (nur für z 2 0): 46

11 Eigenschaften Gegeben: Komplexe Zahl z = a + ib Gesucht: Betrag, Realteil, Imaginärteil 47

12 Multiplikative Inversion Gegeben: z = a + ib und z 0 Gesucht: z 1 mit z z 1 = 1 (multiplikatives Inverses) 48

13 Ursprünge der komplexen Cardanos Ars Magna (erschienen 1545): Allgemeine Lösung kubischer Gleichungen Dadurch: Erste Hinweise auf komplexe Cardano selbst über seine Entdeckung: So raffiniert wie nutzlos! Bombellis L Algebra (1572): Erstes Rechnen mit komplexen Berechnung von kubischen Gleichungen mit nur einer reellen Lösung Dazu nötig: Elementare Operationen mit komplexen : Addition, Multiplikation Trotzdem: Bombelli über komplexe : Die ganze Sache scheint eher der Sophisterei als der Wahrheit zu dienen! Girolamo Cardano ( ) Auszug aus L Algebra (erschienen 1572) von Rafael Bombelli ( ) 49

14 Bombellis wilder Gedanke Kubische Gleichung aus L Algebra: x 3 = 15x + 4 Bombellis einzige reelle Lösung mit Lösungsformel: x = i i Bombelli sieht: x muss gleich 4 sein. 50

15 Dornröschenschlaf der komplexen Bis zum Ende des 18. Jahrhunderts: Keine befriedigende Antwort auf die Frage: Was ist eine komplexe Zahl? Leibniz (1702) über die imaginäre Einheit i: Dieses Amphib zwischen Existenz und Nicht-Existenz! Noch 1770 verbreitet Euler die Auffassung, dass 2 3 = 6 und veröffentlicht:... so ist klar, dass Quadrat-Wurzeln von Negativ- nicht unter die möglichen können gerechnet werden... und gemeiniglich Imaginäre, oder eingebildete genennt werden, weil sie blos in der Einbildung statt finden Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Leonard Euler ( ) 51

16 Der Durchbruch: Geometrische Interpretation Caspar Wessel ( ) (Bild: Bruder Johan Herman) Jean-Robert Argand ( ) 1831 Geometrische Interpretation komplexer Carl Friedrich Gauß ( ) 52

17 Komplexe ebene Idee: z = a + ib als Punkt im kartesischen xy-koordinatensystem mit den Koordinaten (a, b) Alternativ: a + ib als Vektor, der (0,0) mit (a, b) verbindet So betrachtet nennt man die Zeichenebene komplexe ebene Im(z) b a + i b 360 α α α z a Re(z) z b a i b Damit: Punkte der Abszisse z = a + i 0 stellen relle dar 53

18 Komplexe ebene Beispiele Gegeben: 4 + 3i, 4, 2 2i, 2 3i, 7 + i, 3i Konjugiert Komplexes von 4 + 3i 54

19 Komplexe ebene: Addition Geometrie der komplexen Addition Gegeben: z 1 = 1 + 2i und z 2 = 1 + 1i Gesucht: z 1 + z 2 55

20 Polarform komplexer P 1 ϕ Sinus, Kosinus über Reihen: cos ϕ = ( 1) n ϕ 2n (2n)! n=0 sin ϕ = ( 1) n ϕ 2n+1 (2n + 1)! n=0 = 1 ϕ2 2! + ϕ4 4! ϕ6 6!... = ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7!... Reihendarstellung der Exponentialfunktion: e iϕ = (iϕ) n n=0 n! = 1 + iϕ ϕ2 2! i ϕ3 3! + ϕ4 4! + i ϕ5 5! ϕ6 6! i ϕ7 7! 56