Grundlagen der Elektrotechnik 2 Übungsaufgaben

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1 ampus Duisburg Grundlagen der Elektrotechnik 2 Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni Version Trotz sorgfältiger Durchsicht können diese Unterlagen noch Fehler enthalten. Bitte melden Sie diese bei: Markus Pell, Tel.-NA: 3230,

2 Aufgabe 1: Die in Bild 1.1 gezeichnete Schaltung stellt einen belasteten Spannungsteiler dar. Die Schaltung besteht aus einem Widerstand, der durch einen beweglichen Kontakt in Teilwiderstände 1 und 2 aufgeteilt wird, und einem Verbraucherwiderstand 3, der dem Teilwiderstand 2 parallel geschaltet ist. Die Schaltung wird von einer Spannungsquelle mit der Klemmenspannung U 0 gespeist. a) Bestimmen Sie die Spannung U 3. b) eiten Sie für U 3 eine Beziehung ab, die nur von den Größen 2 / und / 3 abhängig ist. c) Zeichnen Sie für / 3 = 1, 2 und 3 den Verlauf von U 3 /U 0 als Funktion von 2 /. d) Zeigen Sie, daß der Verlauf von U 3 /U 0 für 3 = eine Gerade darstellt. U 0 } } U 3 Bild 1.1 Aufgabe 2: Die Elemente der in Bild 2.1 gezeichneten Schaltung sind wie folgt bekannt: 3 = 10Ω, 1 = 2 = 4 = 5 = 20Ω. a) Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand an den Klemmen 1-1. b) Die Schaltung wird an den Klemmen 1-1 kurzgeschlossen. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand an den zwei Klemmen 2-2, wenn die Verbindung A zwischen den Klemmen entfernt wird A Bild 2.1 1

3 Aufgabe 3: Das in Bild 3.1 gezeichnete Netzwerk besteht nur aus ohmschen Widerständen. a) Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand an den Klemmen 1-1. b) Zeichen Sie den Graph des Netzwerkes und bestimmen Sie einige Bäume des Graphen, sowie die Zahl k der Knoten und die Zahl z der Zweige des Graphen. c) Bestimmen Sie einen Satz linear unabhängiger Maschen , Bild 3.1 Aufgabe 4: In Bild 4.1 ist ein Netzwerk skizziert. a) Bestimmen Sie den Graph des Netzwerkes und mindestens 10 Bäume des Graphen. b) Bestimmen Sie einen Satz linear unabhängiger Maschen des Graphen und stellen Sie die zugehörigen Maschengleichungen auf. c) Bestimmen Sie einen Satz linear unabhängiger Knoten des Graphen und stellen Sie die zugehörigen Knotengleichungen auf. 3 1 u Bild 4.1 2

4 Aufgabe 5: Die in Bild 5.1 dargestellte Schaltung, bestehend aus ohmschen Widerständen 1 bis 5, wird von einer Spannungsquelle mit der Klemmenspannung U 0 gespeist. a) Bestimmen Sie die Stromstärke I 1, die durch das Netzwerk fließt. b) Wie groß ist die Stromstärke I 1 für 1 = 5Ω, 2 = 10Ω, 3 = 4 = 5 = 20Ω und U 0 = 30V? c) Bestimmen Sie die Stromstärke I 5, die durch den ohmschen Widerstand 5 fließt. I I5 U Bild 5.1 Aufgabe 6: Die in Bild 6.1 angegebene Schaltung stellt ein Netzwerk dar, welches von zwei Spannungsquellen gespeist wird. Berechnen Sie für 1 = 3 = 20Ω, 2 = 10Ω und u 01 = 10V, u 02 = 20V die Stromstärken i 1, i 2 und i 3. i 1 i 3 u 01 i 2 u Bild 6.1 Aufgabe 7: In der Schaltung nach Bild 7.1 sind die Widerstände und das Übersetzungsverhältnis des idealen Übertragers bekannt. a) Bestimmen Sie das Spannungsverhältnis u 3 /u 1. b) Wie groß ist u 3 /u 1 für den Fall ü = 1? i 1 i 2 1 i 4 2 u 1 i 5 u3 3 ü:1 i 3 Bild 7.1 3

5 Aufgabe 8: Die in der Schaltung nach Bild 8.1 gegebenen Stromstärken i 1, i 2 und Spannungen u 1, u 2 genügen dem Gleichungssystem i 1 = y 11 u 1 + y 12 u 2 i 2 = y 21 u 1 + y 22 u 2 wobei die eitwerte y 11, y 12, y 21, y 22 gegeben sind. Man bestimme die Größen Y 1, Y 2, Y 3 und Y 4 in der Schaltung nach Bild 8.2 in Abhängigkeit von y 11, y 12, y 21, y 22. Y 2 i 1 i 2 i 1 i 2 u 1 Y u 2 Y 1 Y 3 Y 4 u 1 u 1 u 2 Bild 8.1 Bild 8.2 Aufgabe 9: Gegeben ist die Schaltung nach Bild 9.1. Bestimmen Sie die Stromstärken i 2 und i 6. 6 i 0 i 2 i 6 u Bild 9.1 4

6 Aufgabe 10: Gegeben sind zwei miteinander gekoppelte Spulen der Induktivitäten 1 und 2 und der Gegeninduktivität M. 1 2 M Bild 10.1 Gesucht ist die resultierende Induktivität für die unten gezeichneten Schaltungen M M 1 2 M Bild

7 Aufgabe 11: Gegeben ist folgende Schaltung: u(t) = 10V cos(ωt + π/3) ω = 2 π /s = 6, /s = 0,5 µf = 1kΩ u(t) i(t) i (t) i (t) Bild 11.1 a) Bestimmen Sie i(t) nach Scheitelwert und Nullphasenwinkel und zeichnen Sie u(t) und i(t) als Funktion von ω t. b) Skizzieren Sie das Zeigerbild der komplexen Spannung û und des komplexen Stromes î, die u(t) und i(t) zugeordnet sind. c) Berechnen Sie den Strom durch die Kapazität und den ohmschen Widerstand und zeichnen Sie das zugehörige Zeigerbild für die Ströme. d) Berechnen Sie die Admittanz und die Impedanz der Parallelschaltung von Kapazität und Widerstand. Aufgabe 12: (ösung siehe Anhang) Gegeben ist ein Parallelschwingkreis, der an einer Spannungsquelle mit der Spannung u(t) = û e σ t cos(ω t+ϕ u ) liegt, die durch einen komplexen Zeiger û und eine komplexe Frequenz p = σ + jω beschrieben werden kann. a) Bestimmen Sie die Ströme î, î und î. b) In der komplexen Ebene sind in getrennten Darstellungen die komplexen Zeitfunktionen der Ströme i (t), i (t), i (t) und des Gesamtstromes i(t) maßstäblich für eine Periode zu zeichnen. c) Für den Gesamtstrom i(t) ist die Zeitfunktion für 3 Perioden zu zeichnen. Gegeben: = 1kΩ; = 1 µf; = 10mH; ω = 2π10 3 1/s; σ = /s; û = 1V î û, p î î î Bild

8 Aufgabe 13: Im folgenden Bild ist 1 der ohmsche Widerstand eines Wechselspannungsmessers und 1 seine Induktivität. Der Vorwiderstand zur Erweiterung des Meßbereichs wird aus einem Widerstand 2 mit der Induktivität 2 gebildet. Parallel zu diesem Vorwiderstand liegt die Kapazität, die gleichzeitig die Windungskapazität des Vorwiderstandes enthalten soll. 1, 2 und 1 sind bekannt. Wie groß müssen 2 und gewählt werden, damit der Spannungsmesser für Gleichspannung und Wechselspannung der Frequenz ω = ω 1 dieselbe Skala behalten kann? Bild 13.1 Aufgabe 14: Mit Hilfe der angegebenen - Schaltung soll für eine feste Frequenz eine Widerstandstransformation durchgeführt werden. Wie groß müssen und gewählt werden, damit die Eingangsimpedanz Z e = 200Ω beträgt und reell ist? Z e = 600Ω f = 1kHz Bild 14.1 Aufgabe 15: Bei Schließen des Schalters soll sich der Betrag des Stromes î nicht ändern. Wie groß ist die Kapazität zu wählen, wenn sich die Quellenspannung û mit einer Frequenz von 1kHz sinusförmig ändert? î Gegeben: = 25mH = 100Ω û Bild

9 Aufgabe 16: a) Gegeben ist eine Impedanz Z = + jx = Z e jϕ z. Bestimmen Sie die Admittanz Y = G+ jb = Y e jϕ y für Y = 1 Z. b) Für den Fall, daß X variabel ist ( < X < ), stelle man einige Werte für Z in der komplexen Ebene dar. Tragen Sie in der selben Skizze die entsprechenden Werte für Y = 1 Z ein. c) Ermitteln Sie die Umrechnungsbeziehungen zwischen Serien- und Paralleldarstellungen von Impedanzen und Admittanzen (- und -Bauelementen). Aufgabe 17: Ermitteln Sie für die in Bild 17.1 und Bild 17.2 gezeichneten Schaltungen jeweils die Ortskurven für die Eingangsadmittanz und die Eingangsimpedanz für den Frequenzbereich 0 f Bild 17.1 Bild 17.2 Aufgabe 18: Gegeben: = 1kΩ = 0,2nF = 0,1mH Z e Bild 18.1 Ermitteln Sie für die in Bild 18.1 skizzierte Schaltung maßstäblich den Verlauf der Ortskurve der Eingangsimpedanz Z e für ω = 0 bis ω = s 1 in Schritten von ω = s 1. Für welche Werte von ω wird Z e reell? Maßstäbe: 1mS ˆ= 5cm 1kΩ ˆ= 10cm 8

10 Aufgabe 19: a) Für die in Bild 19.1 gezeichnete Schaltung ist die Eingangsadmittanz rechnerisch zu ermitteln und 2 für den Fall zu bestimmen, daß zwischen î und û eine Phasenverschiebung von 45 besteht. b) Ermitteln Sie die Ortskurve der Eingangsimpedanz der Schaltung und bestimmen Sie 2 für den Fall, daß zwischen û und î eine Phasenverschiebung von -45 besteht. Gegeben: 1 = 10Ω; 2 variabel; = 63,7 µf; f = 1 khz 2 1 Bild 19.1 Aufgabe 20: Gegeben ist die Schaltung nach Bild Bestimmen Sie auf graphischem Weg die Ortskurve der Eingangsadmittanz Y e11. Bestimmen Sie aus dieser Ortskurve auf graphischem Weg 1 so, daß esonanz vorliegt ( 1 muß auf einer linearen Teilung abgelesen werden). 1 Y e Gegeben: ω = /s = 100kΩ = 50mH 2 = 100 pf 1 variabel 1 Bild 20.1 Maßstäbe: 1cm ˆ= 10kΩ 1cm ˆ= 5 µs Aufgabe 21: Bestimmen Sie für den in Aufgabe 12 gegebenen Schwingkreis a) die esonanzkreisfrequenz ω 0, b) den Kennleitwert Y K, c) die Güte Q, d) die 45 -Frequenzen und die Bandbreite ω bzw. f. e) Wie ändern sich die Werte, wenn an den Schwingkreis ein Widerstand von 100Ω parallel geschaltet wird? f) Wie läßt sich bei gleicher ohmscher Belastung die Güte um den Faktor 20 verbessern? 9

11 Aufgabe 22: 1 ist so zu bestimmen, daß der gezeigte Parallelschwingkreis in esonanz ist. Zeichnen Sie die Admittanz Y in der komplexen Ebene in Abhängigkeit von 1 und erläutern Sie das rechnerische Ergebnis. 1 2 X 1 X 2 X 1 = 10kΩ 2 = 4kΩ X 2 = 5kΩ Bild 22.1 Aufgabe 23: A û g 1 1 î 1 î 2 û D = 200Ω 2 = 150Ω 1 = 10 µf 2 = 20 µf û g = 80V f = 50Hz B Bild 23.1 a) Für die angegebene Schaltung ist die Spannung û und deren Phasenverschiebung gegenüber û g zu bestimmen. Die ösung ist graphisch durchzuführen (Maßstab 1cm ˆ= 10V ). b) Unter welcher Bedingung ist mit der Schaltung eine Phasenverschiebung von 90 zu erreichen? 10

12 Aufgabe 24: Gegeben ist die folgende Schaltung mit einem streuungsfreien, verlustlosen Übertrager, beschrieben durch die primäre Hauptinduktivität und das Übertragungsverhältnis ü = w 1 /w 2. î 1 î 1 î 2 û 2 û 1 G 1 1 w 1 w 2 Y 2 = G 2 + jω 2 ü:1 Bild 24.1 a) Geben Sie ein Ersatzschaltbild für die Schaltung so an, daß in ihm kein Übertrager mehr enthalten ist. Hinweis: Anzustreben ist das Ersatzschaltbild eines Serien- oder Parallelschwingkreises. b) Wie groß ist die esonanzkreisfrequenz ω 0, der Kennleitwert Y K, die Güte Q und die Bandbreite ω des so entstandenen Schwingkreises? c) Wie groß ist das Übersetzungsverhältnis ü des Übertragers zu wählen, wenn die gesamte Schaltung eine Bandbreite von ω = /s haben soll? 1 = 10nF; G 1 = 0,1mS; 2 = 20nF; = 1 µh; G 2 = 10mS Aufgabe 25: Die Primär- und Sekundärwicklungen eines streuungsbehafteten, verlustbehafteten Transformators sind gegeben durch die Wicklungswiderstände 1 und 2, durch die Selbstinduktivitäten 1 und 2 und durch die Gegeninduktivität M. a) Welche Spannung liegt an der unbelasteten Sekundärwicklung (Bild 25.1)? b) Wie groß sind die Stromstärken î 1, î 2 und die Klemmenspannung û 2 für die angegebene Belastung (Bild 25.2)? î î 20 î î 2 û û 20 û û 2 M M Bild 25.1 Bild = 20Ω; 1 = 0,5H; M = 0,237H 2 = 10Ω; 2 = 0,2H; = 100 µf û 1 = 100V e j0 ; f = 50Hz; = 50Ω 11

13 Aufgabe 26: û î = 20Ω 2 = 100Ω = 0,1H = 20 µf U = 220V f = 50Hz Bild 26.1 a) Wie groß ist der Strom î? b) Wie groß ist die von der Schaltung aufgenommene Scheinleistung P, Wirkleistung P W und Blindleistung P b? Aufgabe 27: î 2 U = 220V f = 50Hz P 1W = 60W P 2W = 100W û P 1 P 2 û 1 û 2 1 Bild 27.1 Wie groß sind 1 und 2 zu wählen, damit U 1 = U 2 = 110V ist? Aufgabe 28: Gegeben ist die Schaltung nach Bild Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ω und den Widerstand 1 so, daß im Verbraucher maximale Wirkleistung umgesetzt wird. Gegeben: i, 2, 3, und i û 0,ω Generator Verbraucher Bild

14 Aufgabe 29: Gegeben ist die Schaltung nach Bild 29.1 mit einer unbekannten Quelle, die bei der festen Kreisfrequenz ω ein sinusförmig von der Zeit abhängiges Signal liefert. Quelle ω = const. 1 1 Bild 29.1 Zur Bestimmung der Quelleneigenschaften werden an den Klemmen 1-1 drei Messungen durchgeführt: 1) eerlaufmessung (an den Klemmen 1-1 ): û 11 l = 100V 2) Kurzschlußmessung (an den Klemmen 1-1 ): î 11 k = 70,71 e j45 A 3) Bei konstantem Widerstand wird durch Einstellen des Kondensators auf den Wert = 3,183 µf festgestellt, daß die im Widerstand umgesetzte eistung mit P W = 1kW ein Maximum annimmt. a) Bestimmen Sie die Urspannung û 0, die Innenimpedanz Z i sowie die Arbeitskreisfrequenz ω der Ersatzspannungsquelle für die unbekannte Quelle. b) Wie groß ist der Widerstand? Ist die ösung eindeutig? 13

15 Aufgabe 30: Technische Kondensatoren und Spulen weisen neben ohmschen Verlusten auch eine Abhängigkeit von der Temperatur auf. Diese Abhängigkeit wird mit einem Temperaturkoeffizienten (TK) angegeben und hängt mit der Kapazität des Kondensators bzw. der Induktivität der Spule wie folgt zusammen: TK = 1 d dt bzw. Die Angabe für eine technische Kapazität lautet dann z.b.: TK = 1 d dt = 100 pf; tanδ = ; P 20 (oder N 50) dabei bedeutet P 20 : TK = / N 50 : TK = / a) Welche Beziehungen ergeben sich für die Kapazitäten 1 und 2 als Funktion von, TK 1 und TK 2? 1 2 = Bild 30.1 b) Wie muß die Kapazität 2 und ihr Temperaturkoeffizient gewählt werden, damit sich diese geforderte esonanzfrequenz ergibt und diese temperaturunabhängig ist? 1 2 = 230 µh; P 20 1 = 35 pf; P 100 f 0 = 1MHz = 10kΩ Bild

16 Aufgabe 31: Bestimmen Sie im gezeichneten Netzwerk nach Bild 31.1 die Knoteninzidenzmatrix K, die Maschengleichungen sowie die Impedanzmatrix Z und die Ströme î 1 bis î 6 mit Hilfe der Maschenstromanalyse. Die Spannungsquelle soll die Spannung û q und die komplexe Frequenz p haben. î 1 î 3 û q, p î 5 î 6 î2 î 4 Bild 31.1 (Kreuzglied) Aufgabe 32: Gegeben ist für eine Wechselstromschaltung die Knoteninzidenzmatrix K, die Z Z - Matrix und der Vektor der Quellenspannung û q. a) Geben Sie den Graph der Schaltung und die vollständige Schaltung an. b) Wählen Sie im Graph der Schaltung einen vollständigen Baum so, daß die Ströme mit den größten Indizes Baumströme sind und geben Sie die Mascheninzidenzmatrix M an. c) Ermitteln Sie alle Ströme des Netzwerkes. Gegeben: K = û uq = Z 1 = 0 Z 5 = 1 1 = 3kΩ Z 2 = 2 Z 6 = 2 2 = 1kΩ Z 3 = 1 Z 7 = 1 û 1 = 4,5V Z 4 = 2 15

17 Aufgabe 33: Ermitteln Sie in der durch Aufgabe 32 vorgegebenen Schaltung alle Ströme des Netzwerkes. Benutzen Sie als ösungsweg das Verfahren der Stern-Dreieck-Umwandlung. Aufgabe 34: û 1 A 3 2 û 3 B î 2 D û 2 û Bild 34.1 Für das in Bild 34.1 dargestellte Netzwerk ist mit Hilfe der Knotenpotential-Analyse die Gesamtkapazität AB zu ermitteln. Wie groß sind die Teilspannungen û 1, û 2 und û 3, jeweils bezogen auf û? Aufgabe 35: û q û q Bild 35.1 Gegeben ist ein Netzwerk nach Bild a) Stellen Sie mit dem Verfahren der Maschenstromanalyse ein Gleichungssystem so auf, daß die Ströme mit den höchsten Indizes unabhängige Ströme sind. b) Stellen Sie mit dem Verfahren der Knotenpotentialanalyse ein Gleichungssystem für die Knotenpotentiale auf. c) Wählen Sie unter der Bedingung, daß alle Ströme und Spannungen des Netzwerkes ermittelt werden sollen, das für dieses Problem einfachere ösungsverfahren und ermitteln Sie die unabhängigen Größen. 16

18 Aufgabe 36: Gegeben ist die Schaltung nach Bild û 2 Z 7 Z 0 Z 5 û 0 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 û 2 Z 6 û 6 Bild 36.1 Gegeben: û 0, Z 0, Z 5, Z 6, Z 7, Y 1, Y 2, Y 3, Y 4 Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Knotenpotentialanalyse das Spannungsverhältnis û 6 /û 0. In dieser Beziehung dürfen nur gegebene Größen vorkommen. Aufgabe 37: î 1 1 î q5 û 1 û 2 î î 4 î q4 6 û 3 Bild 37.1 Ermitteln Sie für die in Bild 37.1 angegebene Schaltung mit Hilfe des Superpositionsprinzips die Ströme î 1, î 3 und î 4. Aufgabe 38: Gegeben ist die Schaltung nach Bild Bestimmen Sie mit der Methode der Überlagerung (Superpositionsprinzip) den Strom î 5. Z 2 Z 1 Z 3 û 2 î 0 î 5 û 1 Z 4 Z 5 Bild

19 Aufgabe 39: Bestimmen Sie in der Schaltung nach Bild 39.1 die Spannung û 2 mit Hilfe des Prinzips der Ersatzspannungsquelle. û q, p û 2 Bild 39.1 Aufgabe 40: Bestimmen Sie in der Schaltung nach Bild 40.1 den Strom î mit Hilfe des Prinzips der Ersatzstromquelle. î î q Bild

20 Anhang zu Aufgabe 12: τ = /s = 1kΩ û = 1V Zeitschritt = 0,1ms; ω = 6, Hz = 1 µf; = 10mH ϕ u = 0 Zeitschranke t max = 3ms Komplexe Ströme î, î, î nach Betrag und Phase: î 1,00 0,00 î 6,36 80,96 î 15,72-80,96 Kompl. Zeitfunktionen î (t), î (t), î (t), nach Betrag und Phase: t/ms i (t)/ma i (t)/ma i (t)/ma 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 1,00 1,11 1,22 1,35 1,49 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72 3,00 3,32 3,67 4,06 4,48 4,95 5,47 6,05 6,69 7,39 8,17 9,03 9,97 11,02 12,18 13,46 14,88 16,44 18,17 20,09 0,00 36,00 72,00 108,00 144,00 180,00 216,00 252,00 288,00 324,00 360,00 396,00 432,00 468,00 504,00 540,00 576,00 612,00 648,00 684,00 720,00 756,00 792,00 828,00 864,00 900,00 936,00 972, , , ,00 6,36 7,03 7,77 8,59 9,49 10,49 11,59 12,81 14,16 15,65 17,29 19,11 21,12 23,35 25,80 28,51 31,51 34,83 38,49 42,54 47,01 51,96 57,42 63,46 70,13 77,51 85,66 94,67 104,63 115,63 127,79 80,96 116,96 152,96 188,96 224,96 260,96 296,96 332,96 368,96 404,96 440,96 476,96 512,96 548,96 584,96 620,96 656,96 692,96 728,96 764,96 800,96 836,96 872,96 908,96 944,96 980, , , , , ,96 15,72 17,37 19,20 21,22 23,45 25,91 28,64 31,65 34,88 38,66 42,73 47,22 52,18 57,67 63,74 70,44 77,85 86,04 95,09 105,09 116,14 128,35 141,85 156,77 173,26 191,48 211,62 233,87 258,47 285,66 315,70-80,96-44,96-8,96 27,04 63,04 99,04 135,04 171,04 207,04 243,04 279,04 315,04 351,04 387,04 423,04 459,04 495,04 531,04 567,04 603,04 639,04 675,04 711,04 747,04 783,04 819,04 855,04 891,04 927,04 963,04 999,04

21 zu Aufgabe 12: t/ms 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 i(t) /ma 10,26 11,34 12,54 13,85 15,31 16,92 18,72 20,67 22,84 25,24 27,90 30,83 34,08 37,00 41,62 46,00 50,84 56,18 62,09 68,62 75,84 83,82 92,63 102,37 113,14 125,04 138,19 152,72 168,79 186,54 206,15 ϕ i /Grad -64,18-28,18 7,82 43,82 79,82 115,82 151,82 187,82 223,82 259,82-64,18-28,18 7,82 43,82 79,82 115,82 151,82 187,82 223,82 259,82-64,18-28,18 7,82 43,82 79,82 115,82 151,82 187,82 223,82 259,82-64,18

22 zu Aufgabe 12:

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