3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik

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1 3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik System Dezimal Hexadezimal Binär Oktal Basis, Radix Zahlenwerte A B C D E F DIGITALTECHNIK 3-1

2 3.1 Stellenwertsysteme Grundprinzip: Summe von Produkten: D = Σ d j R j Dezimalzahl: D Radix des Zahlensystems der Quellenzahl: R Ziffer der Stelle j: d j Stellenwertindex: j Index der höchstwertigen Stelle (MSD): m - 1 Index der niederwertigsten Stelle (LSD): -k Anzahl unterschiedlicher Ziffern d j : R Grösste Ziffer d jmax : R 1 Anzahl von Summationselementen links vom Komma: m Anzahl von Summationselementen rechts vom Komma: k Gewicht des Stellenwertes R j DIGITALTECHNIK 3-2

3 3.2 Konversion von Zahlen unterschiedlicher Stellenwertsysteme Problem: Wie lässt sich die gegebene Dezimalzahl D in ein anderes Stellenwertsystem mit der Radix R umrechnen? Aufspaltung in ganzzahligen Anteil und Bruchteil: D = Σ r j R j = Σ r j R j + Σ r -j R -j = D 1 + D 2 Teilsumme links vom Komma (Ganzzahliger Teil): D 1 = Σ r j R j Teilsumme rechts vom Komma (Bruchteil): D 2 = Σ r -j R -j Umformung der Potenzdarstellung von D in eine Produktdarstellung mit der Radix R als Multiplikator (bzw. dem Kehrwert der Radix 1/R als Multiplikator) D 1 = (... ((r m-1 R + r m-2 )R + r m-3 )R +... r 1 )R + r 0 D 2 = ( (... (r -k /R + r -k+1 )/R r -2 )/R + r -1 )/R Nachfolgend werden die Anteile D1 und D2 unterschiedlich behandelt. DIGITALTECHNIK 3-3

4 Konversionsschema (I) 1. Schritt: Die Produktdarstellung zeigt, dass wir die unbekannten Ziffern r j durch Division des Ganzzahlanteils durch die Radix des Zielsystems erhalten: D 1 /R = Q 0 + r 0 Ganzzahlergebnis der Division: Q 0 Der Divisionsrest ist die Ziffer der niederwertigsten Stelle: r 0 2. Schritt: Wir wiederholen die Division (m-1) mal bis der Ganzzahlanteil Null wird und der Divisionsrest übrig bleibt: Q 0 /R = Q 1 + r 1 Q 1 /R = Q 2 + r 2.. Q m-1 /R = r m-1 3. Schritt: Das Ergebnis des konvertierten Ganzzahlanteils R 1 mit den bekannten r j kann geschrieben werden als: D 1 = R 1 = r m-1 R m-1 + r m-2 R m r 0 DIGITALTECHNIK 3-4

5 Konversionsschema (II) 4. Schritt: Der Bruchteil D 2 muss mit der Radix R multipliziert werden, um das r j zu isolieren. Das Produkt enthält zwei Komponenten: Den Bruchanteil FP -2 und den ganzzahligen Anteil r -1 D 2 * R = FP -2 + r Schritt: Die Anzahl (k-1) der gleichartigen Wiederholungen ist gegeben durch die Genauigkeit, mit der der Bruchteil D2 (des Quellahlensystems) durch den Bruchanteil R 2 des Zielzahlensystems angenähert werden soll. Die Ergebnisse müssen von unten nach oben gelesen werden, womit sich die Ziffern r j vom LSD bis hinauf zum MSD ergeben: FP -2 * R = FP -3 + r -2 FP -3 * R = FP -4 + r -3.. FP -(k+2) * R = FP -(k+1) + r -k 6. Schritt: Das Ergebnis des Bruchteils R 2 mit den bekannten r j kann demnach geschrieben werden als: D 2 = R 2 = r -1 R -1 + r -2 R r -(k+1) R -(k+1) + r -k + FP -(k+1) DIGITALTECHNIK 3-5

6 Umwandlung der Dezimalzahl in das Dual und Hexadezimalsystem (aus [3]) Ganzzahliger Anteil: Nachkommaanteil: DIGITALTECHNIK 3-6

7 Rückwandlung der Binärzahl , bzw. der Hex-Zahl BE,3D (aus [1]) Ganzzahliger Anteil: Nachkommaanteil: DIGITALTECHNIK 3-7

8 Spezielle Umwandlungen n Stellen einer Zahl mit der Radix R A können zusammengefasst werden und bedeuten eine Stelle einer Zahl mit der Radix R B (n > 0, integer). Beispiele: n = 4, R A = 2, R B = 16: Binär Hexadezial Konversion Binär R A : Hexadezimal R B : n = 3, R A = 2, R B = 8: Binär Oktal Konversion Binär R A : Oktal R B : n = 4, R A = 16, R B = 2: Hexadezimal Binär Konversion Hexadezimal R A : AFFE. 123 Binär R B : DIGITALTECHNIK 3-8

9 3.3 Addition und Subtraktion von Binärzahlen Digitale Systeme arbeiten in Binärzahlendarstellung, daher müssen Regeln zur Durchführung arithmetischer Operationen definiert werden. Nach Umwandlung in das Dezimalsystem müssen sich gleichwertige Ergebnisse ergeben. Additionsregeln: = 0; = 1; = 1; = 0 mit einem Carry Bit (Übertragsbit) in die nächst höhere Position! Beispiele: Carry Bits Carry Bits Subtraktionsregeln: 0 0 = 0; 1 0 = 1; 1 1 = 0; 0 1 = 1 mit einem Borrow Bit (Ausleihbit) aus der nächst höheren Position! Beispiele : Borrow Bits Borrow Bits DIGITALTECHNIK 3-9

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