N Bit binäre Zahlen (signed)

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1 N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl = = -3 MSB bestimmt das Vorzeichen. MSB=0 bedeutet nicht negativ, MSB=1 bedeutet negativ. Beispiel vorzeichenbehaftete 8 Bit Binärzahlen: Beispiel: 16 Bit = = = = = = = = = = = = -1 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 16

2 Nicht vorzeichenbehaftete Zahlen (unsigned) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl = = MSB bestimmt das Vorzeichen nicht. Zahl ist immer nicht negativ. Beispiel nicht vorzeichenbehaftete 8 Bit Binärzahlen: Beispiel: 16 Bit = = = = = = = = = = = = 255 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 17

3 Signed N Bit Binär in Dezimal umrechnen Beispiel 8 Bit Binärzahl B: binär ist dezimal: Beobachtung für folgende 8 Bit Zahl C (Erinnerung: binär ist 128): Also für signed n Bit Binärzahl b = b n 1 b n 2... b 0 gilt: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 18

4 Sign Extension Gegeben 6 und 3 in 16 Bit Darstellung in 16 Bit Binärdarstellung Wie sieht die 32 Bit Binärdarstellung aus? in 16 Bit Binärdarstellung 6 in 32 Bit Binärdarstellung? 3 in 32 Bit Binärdarstellung? Erinnerung: n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl = = -3 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 19

5 Arithmetischer Rechts Shift Arithmetischer Rechts Shift von b um x Stellen: Verschiebe Bits nach rechts, um den angegeben Wert x. Die neuen leeren Stellen werden mit dem Sign Bit aufgefüllt. Arithmetischer Rechts Shift am Beispiel von 8 Bit Zahlen: Arithmetischer Rechts Shift um 2 Stellen: > Arithmetischer Rechts Shift um 2 Stellen: > Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 20

6 Overflow Einschränkung auf n Bit kann einen Overflow bei Addition erzeugen: (Carry) (A) (B) = (C) Addition von negativer und nicht negativer Zahl. Overflow möglich? Overflow erfordert, dass mindestens gilt: Also Overflow in diesem Fall nicht möglich. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 21

7 Overflow Subtraktion von zwei negativen Zahlen x und y. Overflow möglich? Der Fall zwei nicht negativen Zahlen ist analog. Also: Overflow in diesem Fall nicht möglich. Zusammenfassung: Wann kann ein Overflow eintreten? Operation Operand A Operand B Ergebnis welches Overflow anzeigt A+B 0 0 < 0 A+ B <0 <0 0 A B 0 < 0 < 0 A B < Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 22

8 Randbemerkung Andere Darstellungsformen für negative Binärzahlen: Einerkomplement: Negativer Wert von B ist NOT(B) Sign and Magnitude: MSB ist das Vorzeichen. Rest ist der Wert. Biased Notation (Beispielsweise mit 0 auf ): = kleinster negativer Wert = kleinster negativer Wert = = = = größter positiver Wert = größter positiver Wert Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 23

9 Logische Bausteine Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 24

10 Logische Bausteine Kombinatorische Schaltungen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 25

11 Gatter Funktion Eingabe Symbol Ausgabe Verallgemeinerung auf n Eingänge AND A B A AND B A 1 A 2 A 1 AND A 2... AND A n Und Gatter A n OR A B Oder Gatter A OR B A 1 A 2 Und Gatter mit n Eingängen A 1 OR A 2... OR A n NOT A NOT A A n Inverter Oder Gatter mit n Eingängen Bildquelle: Symbole kopiert aus David A. Patterson und John L. Hennessy, Computer Organization and Design, Fourth Edition, 2012 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 26

12 Kombinatorische Schaltungen Jede boolesche Funktion (gegeben als logischer Ausdruck) wie z.b. f(a,b) = NOT( NOT(A) OR B) Lässt sich als kombinatorische Schaltung realisieren. Das Beispiel: Inverter werden häufig abgekürzt dargestellt. Das Beispiel: Bildquelle: Symbole kopiert aus David A. Patterson und John L. Hennessy, Computer Organization and Design, Fourth Edition, 2012 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 27

13 Wahrheitstabellen Jede boolesche Funktion lässt mit einer Wahrheitstabelle darstellen. Beispiel: f(a,b,c) = A AND NOT(B OR C) als Wahrheitstabelle A B C B OR C NOT(B OR C) f(a,b,c)=a AND NOT(B OR C) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 28

14 Wahrheitstabellen Jede Wahrheitstabelle kann man mit einem logischen Ausdruck darstellen. Beispiel: A B C f(a,b,c) Die Zeilen in obigem Ausdruck bezeichnet man als Minterme. Die Oder Verknüpfung aller Minterme ist die disjunktive Normalform. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 29

15 Wahrheitstabellen A B C f(a,b,c) Neben der disjunktiven Normalform gibt es noch die Konjunktive Normalform (Und Verknüpfung aller Maxterme) Allgemein: für den Entwurf von digitalen Schaltungen verwendet man in der Regel eine Darstellung von booleschen Funktionen mittels Normalformen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 30

16 Wahrheitstabellen Bei der Suche nach möglichst kleinen kombinatorischen Schaltungen können auch sogenannte Don t Care Terme recht hilfreich sein. A B C f(a,b,c) X X X Don t Care Terme: In der kombinatorischen Schaltung, die diese Funktion implementiert, ist es egal welche Ausgabe die Schaltung für die Eingaben 011, 101 und 110 produziert. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 31

17 Wahrheitstabellen In einer Wahrheitstabelle kann für die Eingaben auch mehrere Ausgabe Bits festgelegt werden. Beispiel: Eingabe Bit 0 Eingabe Bit 1 Eingabe Bit 2 Ausgabe Bit 0 Ausgabe Bit Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 32

18 Beispiel: Addition zweier Bits mit Übertrag Wahrheitstabelle A B s(a,b)=a+b c(a,b)=carry Kombinatorische Schaltung Boolesche Ausdrücke Ist das eine gute Schaltung? Wie sieht n Bit Addition aus? Mehr dazu gleich noch. Im weiter fortgeschrittenen Bereich der Vorlesung nehmen wir logische Bauelemente als Blackbox mit Eingängen und Ausgängen an. Die Funktion des Bausteins wird nur textuell beschrieben. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 33

19 Logische Bausteine Minimierung Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 34

20 Minimierung mittels Rechenregeln Beispiel: Minimierung der folgenden DNF (!A *!B * C) + (!A * B *!C) + (A *!B *!C) + (A *!B * C) +(A * B *!C) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 35

21 Minimierung mittels KV Diagramm A B C D f(a,b,c,d) Ordne Variablen einer 2, 3 oder 4 Stelligen Funktion in Tabelle so an, dass sich benachbarte Felder nur in einer Variablen unterscheiden. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 36

22 Minimierung mittels KV Diagramm A B C D f(a,b,c,d) Trage für alle Minterme eine 1 in dem Diagramm ein. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 37

23 Minimierung mittels KV Diagramm A B C D f(a,b,c,d) Fasse benachbarte 1en zu den größtmöglichen Blöcken der Größe 2^n zusammen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 38

24 KV Diagramm: Noch ein Beispiel A B C D f(a,b,c,d) X X X Bemerkung 1: Don t cares können beliebig für 0 oder 1 stehen. Bemerkung 2: Blöcke können auch über den KV Diragrammrand hinaus reichen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 39

25 KV Diagramm: Noch ein Beispiel A B C D f(a,b,c,d) Bemerkung 3: anstatt der 1en können auch die 0en zusammengefasst werden (dann als DNF). Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 40

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