Kapitel 1. Exakte Suche nach einem Wort. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 11

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1 Kapitel 1 Exakte Suche nach einem Wort R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 11

2 Überblick Aufgabenstellung Gegeben: Text T Σ, Suchwort Σ mit T = n, = m, Σ = σ Gesucht: alle Vorkommen von in T Es gibt zahlreiche Algorithmen mit verschiedenen Lösungsideen. Ausführliche Übersicht auf der WWW-Seite von Thierry Lecroq. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 12

3 Laufzeitbetrachtungen Sei A ein Algorithmus zur Wortsuche über dem Alphabet Σ. t A (, T ): Laufzeit von A für Eingabe (, T ). t A (m, n): Laufzeit von A im schlechtesten Fall für Eingaben der Längen (m, n). t A (m, n) = max{t A (, T ) : = m, T = n} t A (m, n): Laufzeit von A im mittleren Fall für Eingaben der Längen (m, n). 1 t A (m, n) = t A (, T ) σ m+n =m, T =n Wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation der mittleren Laufzeit: Erwartungswert, wenn die Buchstaben von und T unabhängig und gleichverteilt gewählt werden und für diese zufällige Eingabe Algorithmus A angewendet wird. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 13

4 rinzipielle Grenzen für jeden Algorithmus Komplexität des schlechtesten Falls: Ω(n) Für = a m und T = a n müssen alle Zeichen von T betrachtet werden. Komplexität des besten Falls: Ω( n m ) In jedem Teilwort der Länge m von T muß wenigstens ein Zeichen betrachtet werden. Komplexität des durchschnittlichen Falls: Ω( n log m m ) [Yao, 1979] Es gibt Algorithmen mit Durchschnittskomplexität Θ( n log m m ). R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 14

5 1.1 Naiver Algorithmus (Brute force) sucht an jeder osition von T nach durch zeichenweisen Vergleich keine Vorverarbeitung (räprozessing) des Suchwortes Laufzeit im schlechtesten Fall: Θ(mn) Laufzeit im mittleren Fall: Θ(n) R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 15

6 Algorithmus 1.1 Naiver Algorithmus zur Wortsuche Eingabe: Wörter, T mit = m, T = n Ausgabe: Menge S der Vorkommen von in T (1) S ; (2) for k 1 to n m + 1 (3) i 1; j k; (4) while i m and [i] = T [j] (5) i i + 1; j j + 1; (6) if i = m + 1 then S S {k}; Korrektheit ist klar. Schlechtester Fall: = a m, T = a n m(n m + 1) Vergleiche. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 16

7 Mittlere Laufzeit des Naiven Algorithmus Comp(m) mittlere Zahl der Vergleiche für eine Textstelle. p i Wahrscheinlichkeit, daß genau die ersten i Zeichen übereinstimmen. Comp(m) = m 1 i=0 p i (i + 1) + p m m. Betrachte einen Vergleich zweier zufälliger Zeichen: Wahrscheinlichkeit eines positiven Ausgangs (Match): 1 σ Wahrscheinlichkeit eines negativen Ausgangs (Mismatch): 1 1 σ p i = 1 σ i ( 1 1 ) σ für 0 i m 1, p m = 1 σ m R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 17

8 Comp(m) = < m 1 i=0 1 σ i σ σ 1 < 2 ( 1 1 ) σ (i + 1) + 1 σ m m Durchschnittliche Zahl der Vergleiche bei der Suche in einem Text der Länge n: (n m + 1)Comp(m) (n m + 1) σ σ 1. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 18

9 1.2 Ränder und erioden Definition. Es sei ein Wort. Ist α echtes räfix und echtes Suffix von, so nennt man α einen Rand von. Die Länge des längsten Randes von wird mit Border( ) bezeichnet. Definition. Es sei ein Wort der Länge m. Eine Zahl p mit 0 < p < m heißt eriode von, wenn [i] = [i + p] für alle 1 i m p gilt. Lemma. Es sei ein Wort der Länge m. Ist p eine eriode von, so besitzt einen Rand der Länge m p. Beispiel. = abaaabab hat die Ränder ε und ab und die eriode 6. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 19

10 Z-Werte Definition. Es sei ein Wort der Länge m. Für 2 i m sei Z i ( ) die Länge des längsten räfixes von, das räfix von [i... m] ist. Beispiel. Für = abaaabab ergibt sich i Z i Satz. Es sei ein Wort der Länge m. Eine Zahl p, 1 p < m, ist genau dann eine eriode von, wenn p+z p+1 ( ) = m gilt. Ist p keine eriode, so gilt [1 + Z p+1 ( )] Z[p Z p+1 ( )]. Beispiel. Für = abaab ist 3 eine eriode; 2 ist keine eriode, und es gilt Z 3 ( ) = 1, d.h. [2] [4]. a b a a b a b a a b a b a a b a b a a b R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 20

11 Z-Algorithmus Ziel: Berechnung der Z-Werte und damit der erioden in Linearzeit Idee: Für Berechnung von Z k benutze Z j -Werte, j < k. Unter allen Intervallen [j, j + Z j 1], die k enthalten, wähle jenes, das am weitesten rechts endet. Sein rechter Rand ist r k, sein linker Rand ist l k. Sollte ein solches Intervall nicht existieren, so gilt l k = r k = k 1. ( ) r k ( ) := max {j + Z j ( ) 1 : 1 < j < k} {k 1}, ( ) l k ( ) := max {j : j + Z j ( ) 1 = r k ( ) 1 < j < k} {k 1}. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 21

12 Z-Algorithmus Fortsetzung Fall 1: k > r k. Ermittle Z k durch zeichenweisen Vergleich ab den Stellen 1 bzw. k. Es folgt l k+1 = k sowie r k+1 = max{k + Z k 1, k}. Fall 2: k r k. Es folgt [l k... r k ] = [1... Z lk ], d.h. [k... r k ] = [k... Z lk ] für k = k l k + 1. l k k r k 1 k Z lk R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 22

13 Z-Algorithmus Fortsetzung Fall 2a: Z k Z lk k, d.h. Z k r k k x l k k r k x 1 k Z lk y 1 Z k Es folgt [k... Z k 1] = [1... Z k ] und [k + Z k ] = [k + Z k ] [1 + Z k ], d.h. Z k = Z k sowie r k+1 = r k und l k+1 = l k. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 23

14 Z-Algorithmus Fortsetzung Fall 2b: Z k = Z lk k + 1, d.h. Z k = r k k + 1 l k k r k 1 k Z lk 1 Z k Es folgt [1... r k k + 1] = [k... r k ], d.h. Z k r k k + 1. Man ermittelt Z k sowie r k+1 und l k+1 durch Vergleich ab den Stellen r k + 1 sowie r k k + 2. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 24

15 Z-Algorithmus Fortsetzung Fall 2c: Z k > Z lk k + 1, d.h. Z k > r k k + 1 l k k r k 1 k Z lk 1 Z k Es folgt [1... r k k + 1] = [k... r k ], d.h. Z k r k k + 1. Man ermittelt Z k sowie r k+1 und l k+1 durch Vergleich ab den Stellen r k + 1 sowie r k k + 2. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 25

16 Algorithmus 1.2 Z-Algorithmus Eingabe: Wort, = m Ausgabe: Z k ( ), 2 k m (1) l 1; r 1; (2) for k 2 to m (3) if k r and Z k l+1 r k then Z k Z k l+1 ; (4) else (5) l k; i r k + 2; (6) while r < m and (r + 1) = (i) (7) r r + 1; i i + 1; (8) Z k r k + 1; (9) if r < k then r k; Satz. Der Z-Algorithmus berechnet für ein Wort der Länge m die Werte Z k ( ), 2 k m mit einem Aufwand von O(m). Folgerung. Es sei ein Wort der Länge m. Dann können die erioden von mit einem Aufwand von O(m) ermittelt werden. R. Stiebe: Textalgorithmen, WS 2003/04 26

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