Aufgabensammlung zum Grundkurs Regelungstechnik

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1 Aufgabensammlung zum Grundkurs Regelungstechnik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Automatisierungstechnik 6. Oktober 2003 Aufgabe Das dynamische Verhalten einer Regelstrecke aus der in der Vorlesung behandelten Drehzahregelung eines Gleichstromantriebs wird durch die Differenzialgleichung a 2 Ω(t + a Ω(t + a 0 Ω(t = b 0 U A (t + b 02 M L (t + b 2 Ṁ L (t mit den Anfangswerten und den Konstanten beschrieben. Ω(0 = Ω(0 = 0, M L (0 = 0 a 2 = s 2, a = 0.556s, a 0 =, b 2 = (Nm, b 0 = 0.242V s, b 02 = (Nm s a Berechnen Sie die Störübertragungsfunktion: G(s = Ω(s M L (s!

2 b Bestimmen Sie das Ausgangssignal der Strecke für einen sprungförmigen Lastmomentenverlauf: { K für t > 0, K = 000Nm M L (t = 0 für t 0! Aufgabe 2 Zeichnen Sie den Signalflussplan für die Regelstrecke Motor (siehe Aufgabe! Aufgabe 3 Gegeben sind drei Beispiele von Regelungen: Drehzahlregelung eines Gleichstromantriebs (Abb., Füllstandsregelung (Abb. 2 und Schüttgutregelung (Abb. 3. Für jedes Beispiel sind die folgenden Teilaufgaben zu lösen: Abbildung : Drehzahlregelung eines Gleichstromantriebs a Machen Sie sich die Wirkungsweise klar! b Entwickeln Sie aus dem Gerätebild das Blockschaltbild! Versuchen Sie, das Signalübertragungsverhalten der einzelnen Regelkreisglieder qualitativ zu erschließen! 2

3 Abbildung 2: Füllstandsregelung Abbildung 3: Schüttgutregelung c Kontrollieren Sie die Merkmale einer Regelung! 3

4 d Verschaffen Sie sich ein Bild über mögliche Störsignale! e Leiten Sie die Anforderungen an die Regelung ab! Aufgabe 4 [6] REINISCH, K.: Analyse und Synthese kontinuierlicher Steuerungssysteme. Verlag Technik, Berlin, 2. Auflage, 979. [7] TÖPFER, H. und S. RUDERT: Einführung in die Automatisierungstechnik. Verlag Technik, Berlin, 5. Auflage, 976. In Abb. 4 ist ein pneumatisches System (z.b. Druckkessel dargestellt. Die Luft wird als ideales Gas angenommen. Die verwendeten Symbole besitzen p e (t W ṁ(t V ϑ R p a (t Abbildung 4: Pneumatisches System folgende Bedeutungen: p e (t, p a (t - Druck, W - Strömungswiderstand, ṁ(t - Massenstrom, V - Volumen, ϑ - Temperatur, R - Gaskonstante. a Stellen Sie die Differenzialgleichung auf, die den zeitlichen Verlauf der Ausgangsgröße p a (t in Abhängigkeit von der Eingangsgröße p e (t beschreibt! b Welche Ordnung besitzt das System? 4 29

5 T N c Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion K R G(s = p a(s p e (s! Um welchen Grundtyp des Übertragungsverhaltens handelt es sich hierbei? d Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf von p a (t bei einer sprungförmigen Änderung von p e (t! replacements w(s Literatur Abbildung 23: Stabilitätskarte II K R ( + T N s Abbildung 24: Regelkreis X K S s(+t s(+t 2 s [] FÖLLINGER, O.: Regelungstechnik. Hüthig Buch Verlag, Heidelberg, 8. Auflage, 994. [2] JÖRGL, H. P.: Repetitorium Regelungstechnik Band. R. Oldenbourg Verlag Wien München, 2. Auflage, 995. [3] LUNZE, J.: Regelungstechnik Band. Springer-Verlag, 996. [4] LUTZ, H. und W. WENDT: Taschenbuch der Regelungstechnik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main, 3. Auflage, [5] MANN, SCHIFFELGEN und FRORIEP: Einführung in die Regelungstechnik. Carl Hanser Verlag München Wien, 7. Auflage, Aufgabe 5 Gegeben ist eine Füllstandsregelstrecke (Zweitanksystem, Abb. 5. Die verwendeten Symbole besitzen folgende Bedeutungen: K St - Übertragungsbeiwert des Stellantriebs, U St - Eingangsspannung des Stellantriebs, S (t, S 2, S 3 - Ventilstellung, P (t, P 2 (t - Schweredruck, K, K 2, K 3 - Durchflussbeiwert, Q (t, Q 2 (t, Q 3 (t - Volumenstrom, H (t, H 2 (t - Flüssigkeitsstand, A, A 2 - Fläche, ρ - Dichte der Flüssigkeit, g - Erdbeschleunigung. Das Durchflussverhalten der Ventile kann näherungsweise durch folgende lineare Beziehungen beschrieben werden: Für den Stellantrieb gilt: Q (t = K S (t Q 2 (t = K 2 ( P (t P 2 (t Q 3 (t = K 3 P 2 (t. Ṡ (t = K St U St. a Stellen Sie die Modellgleichungen für die Füllstandsregelstrecke auf und fassen Sie diese in einem Signalflussplan zusammen! 5

6 replacements U St (t R K St w(s K R K S s 2 (+T s S (t Q (t A A 2 H (t P (t = ρgh (t S 2 = const Q 2 (t H 2 (t P 2 (t = ρgh 2 (t S 3 = const Q 3 (t Abbildung 5: Füllstandsregelstrecke (Zweitanksystem I Aufgabe 34 Abbildung 2: Regelkreis VIII Ermitteln Sie für den gegebenen Regelkreis (Abb. 22 in der Stabilitätskarte (Abb. 23 die Kurve T N = f (K R, die das Gebiet stabiler Reglereinstellung von dem Gebiet instabiler Einstellungen trennt. Tragen Sie diesen Kurvenverlauf ein und geben Sie an, auf welcher Seite das stabile Gebiet liegt! b Führen Sie geeignete Zustandsvariablen ein und geben Sie die Zustandsgleichungen in der Form w(s K R ( + T N s 2 (+5s(+20s ẋ(t = Ax(t + bu(t y(t = c T x(t an! Abbildung 22: Regelkreis IX Aufgabe 6 Gegeben ist eine Füllstandsregelstrecke (Eintanksystem, Abb. 6. Der Querschnitt des Behälters sei A. a Geben Sie ein Modell dieser Regelstrecke im Zeitbereich an, welches die Regelgröße H(t mit der Stellgröße Q zu (t verknüpft! Aufgabe 35 Prüfen Sie die Stabilität des Regelkreises in Abb. 24 (K R = 2.5, T N = 2s, K S = 0.533, T = s, T 2 = 0.5s! b Welcher Zufluss Q zu = Q zu0 ist einzustellen, um den Wasserstand auf einen festen Arbeitspunktwert H = H 0 einzustellen? 6 27

7 d.h. die Gleichung der Grenzkurve im Beiwertfeld. Q zu (t Aufgabe 3 A Berechnen Sie die kritische Reglerverstärkung eines P-Reglers, der mit der Regelstrecke G S (s = ( + Ts 3 in einem Regelkreis zusammenarbeitet! H(t Q ab = k P(t Aufgabe 32 P(t = ρgh(t Für eine Regelstrecke wurde folgende Übertragungsfunktion grob approximiert: G S (s = K S e T t s ( + Ts 3, K S = 2, T = min T t = 0min. Versuchen Sie, einen Anhaltswert für die kritische Verstärkung K Rkrit eines P-Reglers, der zur Regelung dieser Strecke vorgesehen werden soll, zu ermitteln! Hinweis: Arbeiten Sie mit dem Hurwitz-Kriterium. Die Anwendung dieses Kriteriums setzt voraus, dass die Regelkreisglieder sämtlich gebrochen rationale Übertragungsfunktionen besitzen. Dies trifft für den Totzeitanteil nicht zu. Daher müssen Sie den Totzeitanteil durch einen gebrochen rationalen Ausdruck annähern. Verwenden Sie dazu eine Padé-Approximation (Empfehlung: Zählergrad 2, Nennergrad. Aufgabe 33 Weisen Sie nach, dass der Regelkreis in Abb. 2 für keine Einstellung K R des P-Reglers stabil ist! 26 Abbildung 6: Füllstandsregelstrecke (Eintanksystem c Linearisieren Sie das Streckenmodell für kleine Aussteuerungen um diesen Arbeitspunkt und geben Sie die Stellübertragungsfunktion G(s = H(s Q zu (s an! Welcher Typ des Übertragungsverhaltens liegt vor? d Nun werde das Anlagenschema der Füllstandsregelstrecke so verändert, dass in den Abfluss eine Konstantförderpumpe mit Q ab = Q 0 = const eingebaut wird. Geben Sie auch dafür ein Modell der Regelstrecke im Zeitbereich an, welches die Regelgröße H(t mit der Stellgröße Q zu (t verknüpft! Welcher Typ des Übertragungsverhaltens liegt jetzt vor? Aufgabe 7 Zwei Flüssigkeitsbehälter mit gleichem Querschnitt A sind über eine Rohrleitung mit einer Drosselstelle verbunden und bilden eine Niveauregelstrecke (Abb. 7. Die Regelgröße ist H 2 (t, Stellgröße die Ventilstellung V (t des 7

8 eplacements Q (t A H (t A H 2 (t V(t P 3 (t Q 3 (t w(s K R ( + T V s K S (+T s 3 Abbildung 9: Regelkreis VII P (t = ρgh (t Q 2 (t P 2 (t = ρgh 2 (t Abbildung 7: Füllstandsregelstrecke (Zweitanksystem II ablaufventils. Störgrößen sind Q (t und P 3 (t. Die Durchflussgleichungen lauten für die Drosselstelle: für das Auslaufventil: Q 2 (t = K 2 P (t P 2 (t, Q 3 (t = K 3 V(t P 2 (t P 3 (t. Die Dichte der Flüssigkeit ist ρ. Für alle vorkommenden Betriebsweisen sei P 3 (t < P 2 (t. a Stellen Sie ein (nichtlineares Zustandsmodell für diese Regelstrecke auf! b Ein konstanter Arbeitspunkt kann sich nur einstellen, wenn die Stellgröße und die Störgröße konstant sind: V (t =V 0, Q (t = Q 0, P 3 (t = P 30. Geben Sie die Gleichung für den sich einstellenden Arbeitspunkt für die Regelgröße an: H 20 = f (V 0,Q 0,P 30! c Führen Sie die Linearisierung des Zustandsmodells in der Umgebung des Arbeitspunktes durch! 8 terium die Grenzkurve K 0 = K S K R = f ( TV, T die in dem folgenden Beiwertfeld (Abb. 20, sog. Stabilitätskarte für den gegebenen Regelkreis das Gebiet der stabilen Einstellung vom Gebiet der Instabilität trennt! K 0 instabil stabil Abbildung 20: Stabilitätskarte I Hinweis: Finden Sie zunächst heraus, welche Bedingung H i = 0 (i =,2,3 die restriktivste für die Stabilitätsgrenze ist und berechnen Sie aus dieser ( TV K 0krit = f, T 25 T VT

9 t/s y(t t/s y(t t/s y(t Tabelle 2: Messung II e Schreiben Sie die Ergebnisse für die approximierten Übertragungsfunktionen jeweils in der Schreibweise mit Polstellen und in der Polynomform! Zeichnen Sie die Polverteilung in der s-ebene! Aufgabe 29 Eine Temperaturregelstrecke mit PT 3 -Verhalten (Kennwerte: K S = 0.95, T = T 2 = T 3 =.5min wird mit einem PI-Regler (Einstellung: K R = 2.8, T N = 3. min geregelt. a Wie lautet die charakteristische Gleichung des Regelkreises? b Mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums ist zu entscheiden, ob Stabilität vorliegt! c Berechnen Sie den Wert von K R (bei gleicher Einstellung von T N an der Stabilitätsgrenze: K R = K Rkrit! Aufgabe 30 Gegeben ist der Regelkreis in Abb. 9. Berechnen Sie mit dem Hurwitz-Kri- 24 Aufgabe 8 In Abb. 8 ist ein Hitzdrahtelement dargestellt, welches von einer eingeprägten variablen Spannung u(t gespeist wird. Der Strom i(t und die Temperaturerhöhung des Drahtes gegenüber der Umgebung ϑ(t sind somit veränderlich. Das elektrische Ersatzschaltbild enthält eine konstante Induktivität L in Reihe u(t i(t ϑ(t R(ϑ M c u(t i(t Abbildung 8: Hitzdrahtelement L R(ϑ mit einem temperaturabhängigen Widerstand R(ϑ. Für den Widerstand gelte als Temperaturabhängigkeit: R(ϑ = R ( + αϑ(t. Außerdem sei angenommen, dass der Hitzdraht mit der Masse M und der spezifischen Wärme c an die Umgebung eine Heizleistung abgibt, die sich gemäß P ab (t = k ϑ(t + Θϑ 4 (t aus einem Konvektions- und einem Strahlungsanteil zusammensetzt. a Über die Spannungs- und Wärmebilanz stelle man die nichtlineare Zustandsbeschreibung des Hitzdrahtes auf! b Wie lautet für stationäre Betriebspunkte oder Arbeitspunkte AP (i 0, ϑ 0, u 0 die Gleichung zwischen u 0 und ϑ 0? Wie kann bei vorgegebenen konstanten Werten für u 0 die sich in einem AP stationär einstellenden Werte ϑ 0, i 0 konkret ermitteln? 9

10 c Man führe die Linearisierung der Zustandsgleichungen für kleine Abweichungen um einen AP durch und gebe die linearisierte Zustandsbeschreibung in der Standardform an! d Man ermittle daraus für kleine Aussteuerungen um den AP geltende lineare Differenzialgleichung, die den zeitlichen Verlauf der Temperaturerhöhung des Hitzdrahtes bei Veränderung der Eingangsspannung näherungsweise beschreibt! Aufgabe 9 Die Bewegung eines Schiffes soll hinsichtlich Fahrtgeschwindigkeit v und Kurslage α geregelt werden (Abb. 9. Das Schiff mit der Masse M und dem v t/s y(t t/s y(t t/s y(t Tabelle : Messung I b Ermitteln Sie, durch welchen einfachen Approximationsansatz die Regelstrecke zu beschreiben ist! Führen Sie die Kennwertermittlung durch! f β ω S l α c Berechnen Sie aus der approximierten Übertragungsfunktion die Stellsprungantwort auf u(t = 2 σ(t und vergleichen Sie den Verlauf mit der gemessenen Stellsprungantwort! Aufgabe 28 Mit u(t = 2 σ(t wurde folgende Stellsprungantwort einer Regelstrecke gemessen (Tab. 2. a Machen Sie sich klar, dass ein Approximationsansatz mit n = 2 nicht in Frage kommt! b Verwenden Sie als Approximationsansatz harmonisch gestaffelte Zeitkonstanten und führen Sie die Kennwertermittlung durch! Abbildung 9: Schiff Trägheitsmoment J um die vertikale Schwerpunktachse S wird durch einen 0 c Berechnen Sie aus der approximierten Übertragungsfunktion die Stellsprungantwort auf u(t = 2 σ(t und vergleichen Sie den Verlauf mit der gemessenen Stellsprungantwort! d Versuchen Sie einen anderen Approximationsansatz! 23

11 b Es wirkt eine Störung z(t = σ(t am Ausgang der Strecke. Berechnen Sie u(s! Aufgabe 25 Gegeben sei folgende nichtlineare Differenzialgleichung (DGL: ẍ(t = u aẋ(t bx 2 (t. a Stellen Sie die nichtlineare DGL als Signalflussplan dar! b Bestimmen Sie die Ruhelagen der nichtlinearen DGL! c Die nichtlineare DGL ist um diese Ruhelagen zu linearisieren! d Aus der linearisierten DGL ist die Übertragungsfunktion G(s = x(s u(s zu berechnen! Welches Übertragungsverhalten liegt vor? Aufgabe 26 Betrachten Sie die folgende nichtlineare Schwingungsgleichung: [ ] α ÿ(t + + ẏ 2 (t + y 2 ẏ(t + y(t = 0. (t Bestimmen Sie die Ruhelage(n des durch diese Differenzialgleichung (DGL beschriebenen Systems. Linearisieren Sie die DGL um diese Ruhelage(n! Aufgabe 27 Für eine Regelstrecke wurde auf experimentellem Wege die Stellsprungantwort ermittelt (Tab.. Die Amplitude des Stellsignalsprunges betrug u 0 = 2. a Handelt es sich um eine Strecke mit oder ohne Ausgleich? 22 um den Winkel β gegen die Längsachse schwenkbaren Propeller mit der Vortriebskraft f angetrieben. Die hydrodynamischen Reibungsfräfte werden vereinfacht der Fahrtgeschwindigkeit v bzw. der Drehgeschwindigkeit ω proportional angenommen. l sei der Abstand des Propellers vom Schwerpunkt des Schiffes. Hinweis: Mit Blick auf die technische Realität sind β und f des Verstellpropellers selbst Ausgangsgrößen von jeweils einem Regelkreis; sie können damit nur verzögert verstellt werden. Dabei wird angenommen, dass das Verhalten dieser inneren Regelkreise angenähert durch PT -Verhalten beschrieben werden kann: T 4 d f d t + f = f soll T 5 d β d t + β = β soll. Wegen der geringeren bewegten Massen der Antriebsmaschine und des Verstellpropellers sind die Zeitkonstanten T 4 und T 5 erheblich kleiner als die, die für die Schiffsbewegung maßgebend sind. a Man stelle unter Beachtung des Hinweises die das System Schiff beschreibenden Bewegungsgleichungen in Form der Zustandsbeschreibung auf! b Hieraus entwickle man einen Signalflussplan und zwar verwende man f soll, β soll als Eingangssignale und α, v als Ausgangssignale! Man diskutiere die Kopplungsverhältnisse! Liegt ein echtes Mehrgrößensystem vor? c Man ermittle aus a mögliche Gleichgewichtszustände und diskutiere diese aus physikalisch-technischer Sicht! d Das Schiff habe den durch f = f 0 = f soll = const und β = β 0 = β soll = 0 gekennzeichneten, bereits in c diskutierten Gleichgewichtszustand erreicht, d.h. es fahre mit konstanter Geschwindigkeit v = v 0 entlang eines festen Kurses α 0. Für kleine Aussteuerungen f, β können die eintretenden Geschwindigkeits- und Kursänderungen näherungsweise

12 durch das aus a zu gewinnende, um den genannten Gleichgewichtszustand linearisierte Zustandsmodell beschrieben werden. Man führe diese Linearisierung durch! e Man stelle das Ergebnis von d in Form eines Signalflussplanes dar und diskutiere die (nur für kleine Aussteuerungen geltenden! Kopplungsverhältnisse! Man mache sich die Unterschiede zu b auch aus physikalischer Sicht verständlich! f Bei der Fahrt ist das Schiff Wind- und Wellenströmungen ausgesetzt, so dass eine Kursregelung notwendig ist. Welches Verhalten besitzt das Schif als Kursregelstrecke β soll α Aufgabe 0 Berechnen Sie nach dem Muster fiktive Schnittbetrachtung die Gleichungen für die Übertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises Drehzahlregelung eines Gleichstromantriebs (Abb. 0: a für das Ausgangssignal Ω(s (Regelgröße, b für das Ausgangssignal U A (s (Stellgröße, mit der der Motor angesteuert wird, c für das Ausgangssignal U D (s (Regeldifferenz bzw. Regelabweichung! a Berechnen Sie die Matrix der Übertragungsfunktionen G(s und führen Sie in den vier Einzelübertragungsfunktionen G i j (s alle möglichen Pol-Nullstellen-Kürzungen aus! b Berechnen Sie die Eigenwerte von A! Sie werden feststellen, dass die Pole der vier Einzelübertragungsfunktionen G i j (s immer nur jeweils eine Untermenge der Menge der Eigenwerte von A darstellen. Hinweis: Wegen der unteren Dreiecksform der Systemmatrix A lassen sich die Rechnungen noch bis zu einem gewissen Grad von Hand ausführen. Eine rechnergestützte Bearbeitung der Aufgabe ist jedoch zu empfehlen. Aufgabe 24 Folgende Regelstrecke ( ẋ (t = ẋ 2 (t ( ( x (t x 2 (t. y(t = ( 0 ( x (t x 2 (t + ( 0 2 u(t wird mit einem P-Regler G R (s = K R = 4 zum Regelkreis geschlossen (Abb. 8. z(s Bemerkung: Sie werden feststellen, dass alle Übertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises (es sind neun Stück den gleichen Nenner besitzen. w(s = 0 K R u(s G S (s Aufgabe Für den Drehzahlregelkreis (Aufgabe 0 sind folgende Übertragungsfunktionen gegeben: Abbildung 8: Regelkreis VI a Um welchen Typ von Regelstrecke handelt es sich? 2 2

13 Aufgabe 22 Gegeben ist das lineare Zustandsmodell eines Regelkreisgliedes: ( ( ( ( ẋ (t 0 x (t 0 = + u(t ẋ 2 (t 2 x 2 (t y(t = ( 0 ( x (t x 2 (t a Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s! Stellen Sie die Pol- Nullstellen-Verteilung dar! Machen Sie sich bewusst, dass die Eigenwerte der Systemmatrix A mit den Polen der Übertragungsfunktion identisch sind! b Der Eingangsvektor wird geändert in ( 0 b = ( b = Berechnen Sie dafür die Übertragungsfunktion G(s! Was gilt jetzt für die Pol-Nullstellen-Verteilung von G(s? Sind auch jetzt Eigenwerte von A wieder Pole von G(s? Aufgabe 23 Gegeben ist das lineare Zustandsmodell einer Zweigrößenregelstrecke fünfter Ordnung: ẋ(t = x(t u(t ( y(t = x(t... U S (s U D (s G R (s U G(s GSt (s U A(s GS (s G T (s G SZ (s M L (s Ω(s Abbildung 0: Drehzahlregelung eines Gleichstromantriebs (Blockschaltbild Motor: G S (s = b 0 a 2 s 2 + a s + a 0, G SZ (s = b 2 s + b 02 a 2 s 2 + a s + a 0, Die Werte für a 0, a, a 2, b 0, b 02 und b 2 sind Aufgabe zu entnehmen. Stromrichter: G St (s = K St T St s +, K St = 30, T St = 0.005s, Regler (Verstärker: G R (s = K R (Reglerverstärkung einstellbar, z.b. K R = , Tacho: G T (s = K T = 0.24V s. Man berechne die resultierenden neun Übertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises! 20 3

14 Aufgabe 2 Für den Drehzahlregelkreis bestimme man: a den Zeitverlauf der Regelgröße Ω(t für einen Sollwertsprung U S (t = V σ(t ( Wegen U T (t = K T Ω(t = 0.24V s Ω(t [ s ], Wandlergleichung der Tachomaschine, entspricht diesem Sollwertsprung von V ein gewünschter Drehzahlsprung um V 0.24V s = 4.7s 4min und zwar für die beiden Reglerverstärkungen K R = 3 und K R = 2, b den dazugehörigen Zeitverlauf der Stellgröße U A (t. c Man stelle die Zeitantworten grafisch dar und interpretiere sie! Erfüllt der Regelkreis seine Aufgabe gut? d Wie die Ergebnisse von a und b zeigen, stellt sich nach ca. s ein konstanter Wert für Ω(t ein. Zum Zeitpunkt t = s wirke nun ein Lastmomentensprung von M L (t = 000Nm σ(t als Störung. Berechnen Sie die Wirkung auf den Drehzahlverlauf und ergänzen Sie die Diagramme in c für s t 2s entsprechend! a Geben Sie dazu die Übertragungsfunktion G(s = u(s und deren Pol-Nullstellen-Verteilung an! b Berechnen Sie die Antwort auf u(t = σ(t und skizzieren Sie diese! Aufgabe 20 Ermitteln Sie durch Blockschaltbildtransformation für den Regelkreis in Abb. 7 die resultierende Führungsübertragungsfunktion: G yw (s = w(s! H 3 (s Hinweis: Bedenken Sie, dass es sich um ein lineares, zeitinvariantes System handelt, für das also das Überlagerungs- und Verschiebungsprinzip gilt. Sie können deshalb die Antwort Ω(t auf M L (t = 000Nm σ(t berechen und diese dann bei t = s an das Diagramm in c anstückeln. e Interpretieren Sie das Störverhalten des Drehzahlregelkreises! w(s G (s G 2 (s G 3 (s G 4 (s H 2 (s H (s Aufgabe 3 Abbildung 7: Regelkreis V Für den Regelkreis in Abb. sind folgende Übertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises zu bestimmen: a Führungsübertragungsfunktion G yw (s = w(s, Aufgabe 2 Leiten Sie für einen idealen PID-Regler die Berechnungsvorschriften T D = f (T N, T V und T D2 = f 2 (T N, T V ab! 4 9

15 eplacements z(s b Störübertragungsfunktion w(s e(s K R u(s +T s K S s(+t s G yz (s = z(s. z(s u(s Abbildung 4: Regelkreis IV +T s K w(s G (s G 2 (s G 3 (s G 4 (s +T 2 s Abbildung : Regelkreis I Aufgabe 9 Abbildung 5: Parallelschaltung I Weisen Sie nach, dass die Regelstrecke in Abb. 6 einen Allpassanteil in ihrem Übertragungsverhalten enthält! Aufgabe 4 Für den Regelkreis in Abb. 2 sind folgende Übertragungsfunktionen gegeben: G (s = 2, G 2 (s = 8, G 3 (s = 5 2s +, G 4(s = 2 s, G 5(s = 0.. u(s 2 +6s a Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion G yw (s = w(s +2s des Regelkreises! Abbildung 6: Parallelschaltung II b Bestimmen Sie den Zeitverlauf der Ausgangsgröße y(t für einen sprungförmigen Verlauf der Eingangsgröße w(t: w(t = { für t > 0 0 für t 0! 8 5

16 replacements w(s G 2 (s G (s G 3 (s G 4 (s Aufgabe 6 Berechnen Sie für den Regelkreis in Abb. 3 die Stellübertragungsfunktion: G uw (s = u(s w(s! G 5 (s Regler Abbildung 2: Regelkreis II 2 Aufgabe 5 w 4 R u Strecke ÿ ẏ +.5 y = 2 u y Gegeben sei ein Regelkreis bestehend aus einer Regelstrecke mit PT -Verhalten G(s = K S T S s + und einem 0.s+ Messglied Abbildung 3: Regelkreis III (i P-Regler: G R (s = K R bzw. (ii I-Regler: G R (s = K R s. Für die Fälle (i und (ii sind folgende Teilaufgaben zu lösen: a Berechnen Sie die Führungs- G yw (s = w(s und die Störübertragungsfunktion (Störung am Streckenausgang des Regelkreises! G yz (s = z(s c Simulieren Sie das Führungs- und Störverhalten des Regelkreises! d Interpretieren Sie die Ergebnisse! 6 Aufgabe 7 Stellen Sie den Regelkreis in Abb. 4 in Standard-Struktur dar und rechnen Sie alle sechs für den geschlossenen Regelkreis interessierenden Übertragungsfunktionen aus! Aufgabe 8 Bei verschiedenen Anwendungen (z.b. Wärmesysteme erkennt man auf dem Wege der theoretischen Modellierung, dass die Regelstrecke aus der Parallelschaltung von zwei oder mehr Übertragungskanälen besteht. Zeigen Sie, dass schon für den folgenden einfachen Fall (Abb. 5 ein PT 2 -Verhalten mit Vorhalt (PT 2 T D -Verhalten entsteht! Zeichnen Sie die Pol-Nullstellen-Verteilung! 7