Tutoraufgabe 1 (Rekursionsgleichungen):

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1 Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe (Rekursiosgleichuge): Gebe Sie die Rekursiosgleichuge für die Laufzeit der folgede Algorithme a. Dabei sid die elemetare Operatioe +,,,, O(). Bei Algorithme mit Aufruf eier Uterfuktio m lasse Sie die Uterfuktioslaufzeit als Parameter T m ( ) i die eigetliche Gleichug eifließe ud gebe Sie die Rekursiosgleichuge für m ebefalls a. Gebe Sie bei Algorithme mit mehrere Parameter a, welche der Parameter eie Eifluss auf die Laufzeit habe. a) it mult(it a, it b) if(a >= ) retur mult(a-,b) + b; if(a <= -) retur mult(a+,b) - b; // if a==0 retur 0; it collatz(usiged ) if(<=) retur ; if(.isodd()) // gibt true zurück, we ugerade retur collatz(mult(3,) + ) retur collatz(/); b) float hero(float umber, it depth) if(depth > 0) it = depth - ; retur (hero(umber, it) + umber/hero(umber, it))/; retur (umber+)/; // Startwert Lösug:

2 Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug a) Die Rekursiosgleichug für die Laufzeit T mult vo mult ka wie folgt aufgestellt werde: T mult (a, b) +, we a T mult (a, b) = T mult (a +, b) +, we a 0, sost Aus der obige Gleichug wird ersichtlich, dass ur der Absolutwert vom erste Parameter eie Wirkug auf die Laufzeit hat. Daher ka ma alterativ auch agebe: T mult ( a ) +, we a T mult (a, b) = 0, sost Die Laufzeit T c vo collatz ka u durch die folgede Rekursiosgleichug beschriebe werde: ( mod ) (T c (mult(3, ) + ) + T mult (3, ) + ) + (( + ) mod ) T c (/) +, we > T c () = 0, sost ( ) Ma ka mittels vollstädiger Iduktio zeige, dass mult(a,b) das Produkt der Parameter als Rückgabewert zurückgibt. Damit bekomme wir: ( mod ) (T c (3 + ) + T mult (3, ) + ) + (( + ) mod ) T c (/) +, we > T c () = 0, sost (we ) Alterativ ka ma für die Überapproximatio der Laufzeit auch das Maximum der beide Zweige ehme: max(t c (3 + ) + T mult (3, ) +, T c (/) + ), we > T c () = 0, sost (we ) b) Die Laufzeit T h vo hero ka durch die folgede Rekursiosgleichug beschriebe werde: T h (, d ) + 4, we d > 0 T h (, d) =, sost Bei dieser Aufgabe hat lediglich der zweite Parameter depth eie Eifluss auf die Laufzeit. Aufgabe (Rekursiosgleichuge): (+ + = 4+ Pukte) Gebe Sie die Rekursiosgleichuge für die Laufzeit der folgede Algorithme a. Dabei sid die elemetare Operatioe +,,,,, O(). Bei Algorithme mit Aufruf eier Uterfuktio m lasse Sie die Uterfuktioslaufzeit als Parameter T m ( ) i die eigetliche Gleichug eifließe ud gebe Sie die Rekursiosgleichuge für m ebefalls a. Gebe Sie bei Algorithme mit mehrere Parameter a, welche der Parameter eie Eifluss auf die Laufzeit habe. a) float sierpiski ( it depth, float legth ) if(depth >0) retur sierpiski ( depth -, legth /) + sierpiski ( depth -, legth /) + sierpiski ( depth -, legth /);

3 Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug retur legth (legth/) * ( legth /); // the area of a triagle with edge - leght l b) Fide Sie eie icht-rekursive Beschreibug für die Laufzeit des obige sierpiski Algorithmus. c) it fak ( it ) if ( > ) retur * fak ( -); retur ; float euler ( it depth ) if ( depth >= ) retur / fak ( depth ) + euler ( depth -); retur ; Lösug: a) Die Laufzeit T s vo sierpiski ka durch die folgede Rekursiosgleichug beschriebe werde: 3 T s (d, l T s (d, l) = ) + 6 +, we d > 0 7, sost Bei dieser Aufgabe hat ur der Parameter depth eie Eifluss auf die Laufzeit. b) Der Rekursiosbaum hat eie Tiefe vo d ud somit 3 d viele Blätter, welche alle mit der kostate Laufzeit 7 behaftet sid. Es gilt u für d Ebee (Ebee 0 bis Ebee d ) die Laufzeit 8 für die Azahl der Kote auf der jeweilige Ebee (3 i ) aufzusummiere um die Gesamtlaufzeit zu erhalte: T s (d, l) = d 3 d Azahl Blätter i Azahl ierer Kote 8 3

4 Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug c) Die Laufzeit T fak vo fak ud die Laufzeit T euler vo euler köe durch die folgede Rekursiosgleichuge beschriebe werde: T fak ( ) +, we > T fak () = 0, sost T euler (d) = T fak (d) + T euler (d ) + 3, we d 0, sost Tutoraufgabe 3 (Substitutiosmethode): Gegebe sei die folgede Rekursiosgleichug: 4 T ( T () = ) + log (), falls >, sost Schätze Sie mit Hilfe des Rekursiosbaumes die Komplexitätsklasse der Laufzeit T (), d.h., gebe Sie eie icht-rekursive Fuktio f() mit T () Θ(f()) a. Beweise Sie mit Hilfe der Substitutiosmethode, dass T () O(f()). Hiweis: Die te Partialsumme der harmoische Reihe ist defiiert durch H := Eigeschafte: i). log() < H ii) >. H log() < H log( ) i= i ud hat folgede Lösug: Hiweis: Das Mastertheorem ist icht awedbar, da log () / O( ɛ ), log () / Θ( ) ud log () / Ω(+ɛ ). Wir betrachte de Rekursiosbaum: T () log () log () log () T (/) 4 log ( ) T (/) 4 log ( ) T (/) 4 log ( ) T (/) 4 log ( ) log ( ) T (/4) 6 log ( 4 ) T (/4) 6 log ( 4 ) T (/4) 6 log ( 4 ) T (/4) 6 log ( 4 ) T (/4) 6 log ( 4 ) T (/4) 6 log ( 4 ) T (/4) 6 log ( 4 ) T (/4) 6 log ( 4 ) log ( 4 ) T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T () T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T () 4 log () = log (4) = 4

5 Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug Aus dem Rekursiosbaum leite wir folgede Abschätzug ab: log () T () = ( log ( i )) + = ( = ( = ( log () log () log () i= Daher stelle wir folgede Vermutug auf: Behauptug: T () O( log (log ())) Wir müsse zeige, dass: Wähle 0 = 4 ud c = 4. log () log ( i ) ) + log () i ) + i ) + (Summe gedreht) log(log ()) + (mit wachsedem ) T () O( log(log ())) c > T () c log(log ())) Iduktiosafag: T (4) = log(log (4)) 4, 09 Iduktiosvoraussetzug: 0 m <. T (m) c m log(log (m)) Iduktiosschluss: T () = 4 T ( ) + log () 4 c 4 log(log ( )) + log () Iduktiosvoraussetzug = c log(log () log ()) + log () = c log (log () ) + log () < c (log (log ()) log () ) + c log (log ()) c log () + log () log () = c log (log ()) + ( c ) ( / log ()) <0 für c =4 ud 0= c log (log ()) (i) log(k ) < H k H k + log(k) = k + log(k) Aufgabe 4 (Substitutiosmethode): Gebe Sie zur Rekursiosgleichug (8 Pukte) T () = 4 T ( ) + log (), falls >, sost die Komplexitätsklasse (Θ) a ud beweise Sie dies mit Hilfe der Substitutiosmethode. Lösug: Hiweis: 5

6 Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug Das Mastertheorem ist icht awedbar, da log () / O( ɛ ), log () / Θ( ) ud log () / Ω(+ɛ ). Wir betrachte de Rekursiosbaum: T () log () log () log () T (/) 4 log ( ) T (/) T (/) T (/) 4 log ( ) 4 log ( ) 4 log ( ) log ( ) T (/4) T (/4) T (/4) T (/4) 6 log ( 4 ) 6 log ( 4 ) 6 log ( 4 ) 6 log ( 4 ) T (/4) T (/4) T (/4) T (/4) 6 log ( 4 ) 6 log ( 4 ) 6 log ( 4 ) 6 log ( 4 ) log ( 4 ) T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T () T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T ()T () 4 log () = log (4) = Aus dem Rekursiosbaum leite wir folgede Abschätzug ab: log () T () = ( log ( )) + i = ( = ( = ( log () log () log () log () log ( i ) + log () i) + log () log () i) + = ((log ()) log () (log () ) ) + = (log ()) + log () + Daher stelle wir folgede Vermutug auf: Wir zeige zuächst: Behauptug: T () O( (log ()) ) Wir müsse zeige, dass: Wähle 0 = ud c =. T () Θ( (log ()) ) c > T () c (log ()) Iduktiosafag: T () = 8 (log ()) Iduktiosvoraussetzug: 0 m <. T (m) c m (log (m)) Iduktiosschluss: T () = 4 T ( ) + log () 4 c 4 (log ( )) + log () (Iduktiosvoraussetzug) = c (log () log ()) + log () = c ((log ()) log () + ) + log () = c (log ()) c log () + c + log () = c (log ()) + ( c ) log () + c = c (log ()) + (( c ) log () + c ) <0 für c = ud 0= c (log ()) 6

7 Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug Aalog zeige wir: Behauptug: T () Ω( (log ()) ) Wir müsse zeige, dass: Wähle 0 = ud c = 4. c > T () c (log ()) Iduktiosafag: T () = 8 4 (log ()) Iduktiosvoraussetzug: 0 m <. T (m) c m (log (m)) Iduktiosschluss: T () = 4 T ( ) + log () =... 4 c 4 (log ( )) + log () (Iduktiosvoraussetzug) = c (log ()) + ( c ) log () + c = c (log ()) + (( c ) log () + c ) >0 für c = 4 ud 0= c (log ()) Tutoraufgabe 5 (Mastertheorem): Für alle Rekursiosgleichuge i dieser Aufgabe gelte T () = falls. Bestimme Sie die Komplexitätsklasse (Θ) der folgede Rekursiosgleichuge i geschlosseer Form mithilfe des Mastertheorems oder begrüde Sie, warum das Mastertheorem icht awedbar ist. a) T () = 7 T ( 3 ) + log() falls > b) T () = 6 T ( 4 ) + 3 falls > c) T () = T ( ) + log() falls > Lösug: a) Behauptug: T () Θ( 3 ) Wir habe a = 7, b = 3 ud f() = log(). Damit ergibt sich E = log(7)/ log(3) = 3. Wir zeige log() O( 3 ε ) für ei ε > 0. Wir habe lim log() log() L Hôpital = lim 3 ε = ε lim ( ε) = 0 für 0 < ε <. Damit gilt ach dem erste Fall des Mastertheorems T () Θ( 3 ). ε 7

8 Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug b) Behauptug: T () Θ( 5 ) Wir habe a = 6, b = 4 ud f() = 3. Damit ergibt sich E = log(6)/ log(4) =. Wir zeige 3 Ω(+ε ) für ei ε > 0. Wir habe lim habe wir 6 ( 4 ) ε = lim ε = für 0 < ε <. Außerdem = 3. Damit gilt ach dem dritte Fall des Mastertheorems T () Θ( 5 ). c) Behauptug: Das Mastertheorem ist icht awedbar. Wir habe a =, b = ud f() = log(). Damit ergibt sich E = log()/ log() =. Für de erste Fall müsste wir log() O( ε ) für ei ε > 0 habe. Es gilt aber lim = lim ε ε log() = lim ε ε = für alle ε > 0. Für de zweite Fall müsste wir Θ() habe, aber es gilt lim log() = lim habe. Es gilt aber lim log() log() = 0. Für de dritte Fall müsste wir = lim +ε ε log() = 0 für alle ε > 0. log() log() L Hôpital log() Ω(+ε ) für ei ε > 0 Aufgabe 6 (Mastertheorem): ( = 8 Pukte) Für alle Rekursiosgleichuge i dieser Aufgabe gelte T () = falls. Bestimme Sie die Komplexitätsklasse (Θ) der folgede Rekursiosgleichuge i geschlosseer Form mithilfe des Mastertheorems oder begrüde Sie, warum das Mastertheorem icht awedbar ist. a) T () = T ( 4 ) + falls > b) T () = 5 T ( 5 ) + ( log()) falls > c) T () = 3 T ( 9 ) + log() falls > Lösug: a) Behauptug: T () Θ( log()) Wir habe a =, b = 4 ud f() =. Damit ergibt sich E = log()/ log(4) =. Wir zeige Θ( ). Wir habe lim =. Damit gilt ach dem zweite Fall des Mastertheorems T () Θ( log()). b) Behauptug: Das Mastertheorem ist icht awedbar. Wir habe a = 5, b = 5 ud f() = ( log()). Damit ergibt sich E = log(5)/ log(5) =. Für de erste Fall müsste wir ( log()) O( ε ( log()) ) für ei ε > 0 habe. Es gilt aber lim = ε lim (log()) ε = für alle ε > 0. Für de zweite Fall müsste wir ( log()) Θ( ) ( log()) habe, aber es gilt lim = lim (log()) =. Für de dritte Fall müsste wir ( log()) Ω(+ε ( log()) ) für ei ε > 0 habe. Es gilt aber lim (log()) = lim L Hôpital +ε = ε lim log() ε ε L Hôpital = lim ε ε = 0 für alle ε > 0. 8

9 Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug c) Behauptug: T () Θ( log() ) Wir habe a = 3, b = 9 ud f() = Ω( +ε ) für ei ε > 0. Wir habe lim für 0 < ε <. Außerdem habe wir 3 3 log() > 79 log(). Damit ergibt sich E = log(3)/ log(9) =. Wir zeige log() +ε = lim ε log() 9 log( 9 ) = 3 log() log(9) < log() log() L Hôpital = lim ( ε) ε = für > 79. De: log() log(9) < 3 log(9) < log() > e 3 log(9) = 79. Damit gilt ach dem dritte Fall des Mastertheorems T () Θ( log() ). 9

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