Operationale Semantik 1

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1 Operationae Semantik 1 Side 1 Zie: Geschossene Terme t ι ι sind Programme, die auf Eingabe n die Ausgabe [t] n erzeugen. Ein-/Ausgabekonvention: Eingaben und Ausgaben sind Numerae! Def. Ein Numera ist ein Term S n 0 := S...S0 (n Vorkommen von S), in Zeichen n bzw. n, rekursiv definiert durch 0 := 0 und n+1 := Sn. Bem. [n]=n Gesucht: Verfahren (operationae Semantik), das geschossene Terme tn 1...n k vom Grundtyp in Numerae S [[t]] n 0 überführt. Darin: β-konversion (λx σ.r)s σ r[s/x], wobei r[s/x] aus r, s σ, x σ entsteht, indem man ae freien Vorkommen von x σ in r durch s ersetzt. Probem: Korrektheit [(λx σ.r)s σ ] ϕ = [r[s/x]] ϕ kann veroren gehen. Operationae Semantik 2 Def (Substituierbarkeit). Seien x σ1 1,...,xσ paarweise verschieden. Terme s σ1 1,...,sσ heißen für x σ1 1,...,xσ in r substituierbar, fas r keinen Teiterm λy τ.t enthät mit y τ FV(s i ) und x σi i FV(t) für ein i {1,...,}. Side 2 r[ s/ x] entstehe aus r, s, x, indem simutan jedes freie Vorkommen von jedem x σi i in r durch das zugehörige s σi i ersetzt wird. Lemma (Substitution). Sind s für x in r substituierbar, so git: [r[ s/ x]] ϕ = [r] ϕ[ x [[s i]] ϕ] ( für ae ϕ) Fog (Korrektheit von β). Ist s σ für x σ in r substituierbar, so git: [(λx σ.r)s σ ] ϕ = [r[s/x]] ϕ ( für ae ϕ)

2 Operationae Semantik 3 Side 3 Zie: Substituierbarkeit ist erreichbar durch gebundene Umbennung. Def. r heißt gebundene Umbenennung von r, fas r aus r entsteht, indem ein Teiterm λx σ.s durch λy σ.s[y σ /x σ ] ersetzt wird, y σ / Var(r). Def. Terme t, t desseben Typs heißen äquivaent, fas [t] ϕ = [t ] ϕ für ae Beegungen ϕ git. Lemma (Äquivaenz). Sind t, t äquivaente Terme des Typs σ, so git [r[t/x σ ]] ϕ = [r[t /x σ ]] ϕ für ae Terme r und Beegungen ϕ. Lemma (Geb. Umbenennung). Ist r gebundene Umbenennung von r, so git [r ] ϕ = [r] ϕ für ae Beegungen ϕ. Daher: Identifiziere Terme, die sich nur durch gebundene Umbenennung (mehrfach) unterscheiden. Die Schreibweise r[ s/ x] setzt stischweigend die Substituierbarkeit von s für x in r voraus. Operationae Semantik 4 Def. Die operationae Semantik (von Gödes T) ist der transitive Abschuß, in Zeichen, der fogenden Konversionsregen : Side 4 (β) (η) (R) (λx σ.r)s σ r[s/x] λx σ.rx r, fas x / FV(r) R σ g h0 g R σ g h (St) h t (R σ g h t) Sprechweise für t t : t reduziert zu t in einem Schritt. Der transitive Abschuß von ergibt die fogenden Strukturregen: (S) r r rs r s s s r r rs rs λx σ.r λx σ.r Bem. t t gdw. t entsteht aus t, indem genau ein Redex r, d.h. ein Teiterm von t mit r r, durch r ersetzt wird.

3 Operationae Semantik 5 Lemma (Korrektheit von ). Aus r r fogt [r] ϕ = [r] ϕ. Beweis. Induktion nach der Definition von r r. (Übung) Side 5 Def. bezeichne den refexiven, transitiven Abschuß von : t t 0 t 0,... t : t=t 0 t 1... t =t Sprechweise: t reduziert zu t (in endich vieen Schritten). Zie: ist stark normaisierend mit eindeutig bestimmten Normaformen: Für jedes t bricht jede Reduktionsfoge t t 1 t 2... nach endich vieen Schritten mit einem eindeutig bestimmten Term nf(t) in Normaform ab. Operationae Semantik 6 Def. Ein Term t heißt norma (auch in Normaform), fas t nicht reduzierbar ist, d.h. es existiert kein Term t mit t t. Side 6 Def. Eine Reduktionsfoge für t ist eine maximae (mögicherweise unendiche) Foge t t 1 t 2... von Reduktionen. Diese terminiert, fas sie endich ist. Def. Ein Term t σ heißt stark normaisierend, in Zeichen SN σ (t), fas jede Reduktionsfoge für t terminiert. Die Reduktionsreation heißt stark normaisierend, fas ae Terme stark normaisierend sind.

4 Zie 1: ist stark normaisierend Operationae Semantik 7 Side 7 Def (W.W. Tait). Wir definieren r σ ist stark berechenbar, in Zeichen SC σ (r), durch Induktion nach σ. (SC1) (SC2) SC ι (r) : SN ι (r) SC σ ρ (r) : s σ : SC σ (s) = SC ρ (rs) r σ ist stark berechenbar unter Substitution (SCS σ (r)), fas für ae s := s σ1 1,...,sσ und x := x σ1 1,...,xσ mit FV(r) { x} git: SC σ1 (s 1 )... SC σ (s ) = SC σ (r[ s/ x]) Beweispan. Für ae t σ git: (1) SC σ (t) = SN σ (t) (2) SCS σ (t) Wegen SC σ (x) und r=r[fv(r)/fv(r)] fogt damit obiges Zie 1. Operationae Semantik 8 Side 8 Lemma (Veträgichkeit von mit Substitution). (a) Aus s s fogt t[ s/ x] t[ s / x]. (b) Aus t t fogt t[ s/ x] t [ s/ x]. (c) Aus t t und s s fogt t[ s/ x] t [ s / x]. Lemma (Abschuß von SC unter Reduktion). Aus t t und SC σ (t) fogt SC σ (t ). Lemma (SC impiziert SN). (a) SC σ (x) für ae x σ (b) Aus SC σ (t) fogt SN σ (t), für ae Terme t σ. Satz (SCS). Jeder Term ist stark berechenbar unter Substitution.

5 Operationae Semantik 9 Zie 2: Eindeutigkeit der Normaform (bis auf geb. Umbenennungen) Idee: (M.H.A. Newman) Verwende SN und okae Konfuenz von (Curch-Rosser-Eigenschaft). Side 9 Lemma (Lokae Konfuenz). Wenn t t und t t, dann findet man einen Term t mit: t t t t Def. Schreibe t = α t für t und t unterscheiden sich nur durch gebundene Umbenennungen. Satz (Eindeutigkeit der Normaform). Aus t t und t t, für Terme t, t in NF, fogt t = α t. Operationae Semantik 10 Aufgrund der bewiesen Sätze git nun für jeden Term t: Jede Reduktionsfoge für t ist endich und endet mit einem eindeutig bestimmten Term in Normaform. Side 10 Bezeichne daher nf(t) die Normaform von t. Def. Ein Programm in T ist ein geschossener Term t eines zahentheoretischen Typs ι ι. Fog (Progamme in T). Für jedes Programm t ι ι mit k Inputpositionen und für jede Eingabe n 1,..., n k N git: t n 1...n k nf(t n 1... n k )= [t] n 1... n k