Statistik, Datenanalyse und Simulation

Transkript

1 Dr. Michael O. Distler Mainz, 5. Juli 2011

2 Zunächst: PCA (Hauptkomponentenanalyse) ist eine mathematische Prozedur, die eine Anzahl von (möglicherweise korrelierten) Variablen in eine kleinere Anzahl, unkorrelierter Variablen transformiert. Dabei wird eine Hauptachsentransformation durchgeführt: Man minimiert die Korrelation mehrdimensionaler Merkmale durch Überführung in einen Vektorraum mit neuer Basis. Die Hauptachsentransformation lässt sich durch eine orthogonale Matrix angeben, die aus den Eigenvektoren der Kovarianzmatrix gebildet wird.

3 Anwendungsbeispiel: Betrachtet werden Artillerieschiffe des Zweiten Weltkriegs. Sie sind eingeteilt in die Klassen Schlachtschiffe, schwere Kreuzer, leichte Kreuzer und Zerstörer. Es liegen Daten für ca. 200 Schiffe vor. Es wurden die Merkmale Länge, Breite, Wasserverdrängung, Tiefgang, Leistung der Maschinen, Geschwindigkeit (längerfristig mögliche Höchstgeschwindigkeit), Aktionsradius und Mannschaftsstärke erfasst. Eigentlich messen die Merkmale Länge, Breite, Wasserverdrängung und Tiefgang alle einen ähnlichen Sachverhalt. Man könnte hier also von einem Faktor Größe sprechen. Die Frage ist, ob noch andere Faktoren die Daten bestimmen. Es gibt tatsächlich noch einen zweiten deutlichen Faktor, der vor allem durch die Leistung der Maschinen und die Höchstgeschwindigkeit bestimmt wird. Man könnte ihn zu einem Faktor Geschwindigkeit zusammenfassen.

4 Weiteres Beispiel: Die Position eines Balles, der an einer schwingenden Feder befestigt ist, wird durch drei Kameras beobachtet.

5 Jede Kamera bestimmt die Position des Balles (x, y) über 10 Minuten mit einer Bildrate von 120 Hz. Die Daten werden in dimensionalen Vektoren zusammengefasst: x = x A y A x B y B x C y C

6 Eigenschaften und Grenzen der PCA Theoretisch das optimale lineare Verfahren, um hochdimensionale Daten zu komprimieren. Benutzt keine Parameter. Unabhängig von Hypothesen über die Verteilung der Daten. Die beiden letzten Punkte sind sowohl Vorteile als auch Nachteile. Voraussetzungen: Annahme der Linearität. Mittelwert und Kovarianz sind einzige Kriterien. Große Varianzen deuten auf wichtige Dynamik.

7 Anwendungsbeispiel: Artillerieschiffe des Zweiten Weltkriegs. Streudiagramme der Merkmale Länge, Breite und Geschwindigkeit:

8 Hauptkomponentenanalyse: Faktor A B C Länge 0,862 0,481 0,159 Breite 0,977 0,083 0,198 Knoten 0,679 0,730 0,082 Vor allem der Beitrag von Länge und Breite zum ersten Faktor ist groß. Beim zweiten Faktor ist vor allem der Beitrag von Knoten groß. Der dritte Faktor ist unklar und wohl auch unerheblich.

9 Komponentenmatrix für acht Variablen: Komponente Wasserverdrängung BRT 0,948-0,094-0,129 0,228 0,040 0,036 0,136 0,055 Länge m 0,906 0,302-0,064-0,209 0,128-0,144-0,007-0,050 Breite m 0,977-0,128-0,031 0,032 0,103-0,017-0,014 0,129 Tiefgang m 0,934-0,276-0,061 0,014 0,074 0,129 0,154-0, PS 0,552 0,779-0,196-0,133-0,099 0,143-0,038 0,018 Knoten sm/h -0,520 0,798-0,157 0,222 0,109-0,038 0,071 0,004 Aktionsradius 100 sm 0,398 0,311 0,862 0,038 0,008 0,022-0,002-0,005 Mannschaftsstärke 0,955 0,063-0,052 0,108-0,226-0,121 0,067 0,002 Varianz der Komponenten Komponente Eigenwerte Total % der Varianz Kumulativ 1 5,19 64,88 64,88 2 1,54 19,22 84,10 3 0,83 10,43 94,53 4 0,18 2,22 96,74 5 0,11 1,34 98,08 6 0,08 0,95 99,03 7 0,05 0,67 99,70 8 0,02 0,30 100,00

10 Quellen Wikipedia: Principal component analysis, wikipedia.org/w/index.php?title=principal_ component_analysis&oldid= Wikipedia: Hauptkomponentenanalyse, Hauptkomponentenanalyse&oldid= Jonathon Shlens: A Tutorial on Principal Component Analysis,