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1 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang ω Ω eine reelle Zahl X(ω) zu, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R Ω ω X(ω) R Bezeichnung: Zufallsvariable mit Großbuchstaben (X, Y, Z, X 1, X 2, X 3,...), Funktionswert = Wert für konkreten Versuchsausgang ω mit kleinen Buchstaben X(ω) = x In der Literatur wird auch der Begriff Zufallsgröße statt Zufallsvariable verwendet. Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln X... Y... Summe der Augenzahlen z.b. X((3, 4)) = 7, d.h. Versuchsergebnis x = 7 Maximum der Augenzahlen z.b. Y ((3, 4)) = 4, d.h. Versuchsergebnis y = 4 1

2 Beispiel: Auswahl von 100 Personen: ω = ( ω 1,..., ω 100 ) X 1 (ω) = Alter der Person ω 1, X 2 (ω) = Alter der Person ω 2,... X(ω) = X i (ω) = x i = x = Durchschnittsalter in der Stichprobe Unterscheiden zwischen X und x! Zufall nicht in der Funktion X, sondern im zufälligen Versuch mit Ausgang ω! Die Wahrscheinlichkeit P, definiert für Teilmengen aus Ω, bestimmt die Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsvariable X. Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln P (X = 7) = P ({ω : X(ω) = 7}) = P ({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) = 6 = 1 6 Beispiel: Zufälliges Auswählen einer Maispflanze und Messen des Aflatoxin Gehaltes in ppb = X(ω) P ( X < 10 ) = Anteil der Maispflanzen mit einem Aflatoxin Gehalt unter 10 ppb 2

3 2.2 Diskrete Zufallsvariable Eine Zufallsvariable, die nur endlich viele (x 1,..., x n ) oder abzählbar unendlich viele (x 1, x 2,...) Werte annehmen kann, heißt diskrete Zufallsvariable. Beispiel: idealer Würfel X(ω) = Augenzahl mögliche Werte x i : (1, 2, 3, 4, 5, 6) Verteilungstabelle P (X = x i ) = 1 6 allgemein: x i x 1 x 2... p i p 1 p 2... p i = P (X = x i ) Beispiel: X... Summe der Augenzahlen bei zwei Würfeln (Werte zwischen 2 und 12) x i p i (! Probe: Summe der Wahrscheinlichkeiten = 1?) Die Verteilungstabelle beschreibt die Zufallsvariable vollständig. Aus ihr lassen sich die Wkt.en aller interessierenden Ereignisse für die Zufallsvariable berechnen! 3

4 Beispiel: P (6 X 8) = P ( {X = 6} {X = 7} {X = 8} ) = P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) = = 16 = 4 9 Grafische Darstellung diskreter Verteilungen durch Balkendiagramme

5 Verteilungsfunktion: F : R [ 0, 1 ], F (x) = P (X x) Beispiel: Allgemeines: Eigenschaften einer Verteilungsfunktion: 1. F ist monoton nichtfallend. 2. F ist rechtsstetig. 3. lim x F (x) = 0 4. lim x F (x) = 1 5

6 Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen bzw. E(X) = E(X) = n x i p i x i p i, falls Grenzwert existiert Beispiel: Würfel Schwerpunkt der Verteilung, = 3, 5 vgl. arithmetisches Mittel: Werte x i mit Häufigkeiten n i, n = n 1 + n n k x = n 1x 1 + n 2 x n k x k n = 1 n k n i x i = k h n ({X = x i }) x i 6

7 Streuung (Varianz) D 2 X, var (X) bzw. var (X) = n (x i E(X)) 2 p i var (X) = (x i E(X)) 2 p i, falls GW existiert Es gilt: var (X) = E(X E(X)) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 = x 2 i p i ( x i p i ) 2 Beispiel: Würfel var (X) = 1 6 (1 3, 5) (6 3, 5)2 oder 6 einfacher: = , 52 = 1 6 ( ) 3, 52 = , 52 = 15, , 25 = 2, Rechenregeln für Erwartungswert und Streuung E(a X + b) = a E(X) + b, var (a X + b) = a 2 var (X) (a, b R, X Zufallsvariable ) 7

8 2.3 Wichtige diskrete Verteilungen Die Binomialverteilung Modell: Bernoulli-Schema Ein Versuch wird unter konstanten Bedingungen n-mal unabhängig wiederholt. Registriert wird jeweils nur das Eintreten eines interessierenden Ereignisses A (Erfolg oder Misserfolg). X... Anzahl der Erfolge (in den n Versuchen) Beispiel: 1. n-maliger Wurf derselben Münze, X... Anzahl der Wappen 2. n-maliges Würfeln, X... Anzahl der 6 3. Entnahme einer Kugel aus Urne mit Zurücklegen (und Mischen), X... Anzahl der roten Kugeln p... Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Einzelversuch Beispiel (oben): 1. p = p = p = Anzahl roter Kugeln Anzahl aller Kugeln 8

9 X kann die Werte 0,1,..., n annehmen X = 0: nur Misserfolge P (X = 0) = (1 p) n X = 1: genau ein Erfolg (entweder beim 1. oder 2. oder... ) P (X = 1) = n p (1 p) n 1 allgemein: P (X = k) = n Möglichkeiten 1 Erfolg n 1 Misserfolge wann Erfolg n p k (1 p) n k, k = 0, 1,..., n. k vgl. Kombinatorik X heißt dann binomialverteilt mit Parametern n und p, X B(n; p) Es gilt: E(X) = n p var (X) = n p (1 p). 9

10 Beispiel: mal Würfeln mit unverfälschtem Würfel, X... Anzahl von 6, X B(10, 1 6 ) Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Sechsen dabei sind: P (X = 3) = = 0, Die absolute Häufigkeit H n (A) eines Ereignisses A mit P (A) = p in n unabhängigen Durchführungen eines zufälligen Versuches ist B(n; p) -verteilt mit E(H n (A)) = np, var (H n (A)) = np (1 p). Für die relativen Häufigkeiten h n (A) folgt dann E(h n (A)) = E ( 1 n H n(a) ) = 1 n np = p var (h n (A)) = var ( 1 n H n(a) ) = 1 np (1 p) n2 = 1 n p (1 p). Die mittlere quadratische Abweichung zwischen h n (A) und P (A) wird für große n immer kleiner. 10

11 Die hypergeometrische Verteilung Modell: Entnahme von M Kugeln aus einer Urne mit N Kugeln davon sind r rot und (N r) blau ohne Zurücklegen (! nicht binomialverteilt). X... Anzahl der gezogenen roten Kugeln X kann die Werte 0, 1,..., min{r, M} annehmen. P (X = m) = r m falls wir vereinbaren, dass ist. N r M m N M, m = 0, 1,..., M, l = 0 gilt, falls L 0 oder L > l L Plausibel: Falls M klein ist gegenüber N, dann ist der Unterschied zwischen dem Versuch mit und dem ohne Zurücklegen gering. Tatsächlich sind dann die Einzelwahrscheinlichkeiten von Binomial- und hypergeometrischer Verteilung fast gleich. Beispiel: In einem Zuchtteich für Forellen befinden sich 1000 Fische. Es sollen 100 Fische gefangen werden. Dabei wird angenommen, dass 8% aller Fische im Teich nicht zum Verkauf geeignet sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 100 zu fangenden Fischen höchstens zwei nicht zum Verkauf geeignet sind? 11

12 Die Poisson Verteilung Verteilung seltener Ereignisse ; Grenzverteilung der Binomialverteilung für kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten p und große Versuchsanzahlen n: es gilt: P (X = i) = λi i! e λ, i = 0, 1, 2... E(X) = λ var (X) = λ Also: Bernoulli Schema mit großem n und kleinem p näherungsweise mit Poisson Verteilung behandelbar Richtwerte: n p 10 oder n 1500 p λ wählen als n p bzw. schätzen: λ m Versuchen (Stichprobe) 1 m m x i aus Beispiele: 1. seltene Naturerscheinungen, Katastrophen pro Jahr (n kurze Zeitintervalle z.b. Tage, p Katastrophenwahrscheinlichkeit am Tag) 2. Anzahl von: Sternschnuppen, Spontanzerfällen, Unfällen, Todesfällen ankommenden Kunden (allgemein: Forderungen Bedienungstheorie) Ausfällen von Maschinen oder anderen technischen Systemen (Zuverlässigkeitstheorie) in einem bestimmten Zeitintervall 12

13 Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für die Totgeburt eines Kalbes sei p = 0, 001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Herde von 300 trächtigen Kühen bei den 300 Geburten (a) keine (b) genau eine (c) mehr als zwei Totgeburten gibt? 13

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