Wort- und Termersetzung

Transkript

1 Kapitel 2 Wort- und Termersetzung Wortersetzungssysteme spielen in der Informatik traditionell eine wichtige Rolle. Ein Grund dafür war die Notwendigkeit, die Syntax von Programmiersprachen präzise zu beschreiben, und der Wunsch, solche Beschreibungen auch maschinell verarbeiten zu können. Inzwischen steht eine Vielzahl bewährter Beschreibungsverfahren zur Verfügung, meist Varianten von Wortgrammatiken, die zusammen mit leistungsfähigen Syntaxanalysewerkzeugen für den Sprachentwurf ebenso wie für den Compilerbau unentbehrlich geworden sind. Andere wichtige Anregungen für eine Theorie formaler Sprachen kamen aus der Linguistik. Historisch am Anfang steht aber die Beschäftigung mit einer mathematischen Theorie der Berechenbarkeit. Viele der frühen Berechnungsformalismen wie Postsysteme, Turingmaschinen und Markovalgorithmen sind Varianten von Wortersetzungssystemen. Daneben wurden aber schon von Anfang an Berechnungsmodelle vorgeschlagen, die Terme manipulieren, so etwa in Arbeiten von Church und seinen Schülern zum λ-kalkül oder bei Herbrand, Gödel und Kleene. Auch die Graphersetzungssysteme haben übrigens in der Algorithmentheorie eine ihrer Wurzeln, nämlich in Arbeiten von Kolmogorov und später Schönhage. In diesem Kapitel sind kurz und knapp einige wichtige Definitionen und Notationen zu Wort- und Termersetzung zusammengestellt. Was es heißt, mit solchen Systemen Funktionen zu berechnen oder Sprachen zu generieren oder zu akzeptieren ist Gegenstand späterer Kapitel. 2.1 Wörter Ein Wort über einer Menge Σ ist eine endliche Folge von Elementen aus Σ und lässt sich also mit einer Funktion w : [n] Σ identifizieren, wobei n IN und [n] = {i IN 1 i n} ist. Damit ist w(i) der i-te Buchstabe von w. Speziell ist [0] = und das Wort λ : [0] Σ heißt leeres Wort. Das leere Wort über Σ ist eindeutig bestimmt, nämlich λ =. Das ist hübsch, nicht wahr? Das leere Wort ist die leere Menge. Warum ist das kein Unsinn? Nun, nach unserer Definition ist ein Wort eine Funktion, also eine 17

2 18 KAPITEL 2. WORT- UND TERMERSETZUNG Menge von Paaren, und eine Funktion λ : Σ kann kein Paar enthalten, da Σ = ist. Wenn ein Wort w eine Menge ist, was ist dann seine Kardinalität w? Diese Zahl nennen wir die Länge von w, speziell ist λ = 0. Die Menge Σ war beliebig, meist sind wir aber an endlichen Mengen interessiert. Im folgenden heißt eine solche Menge Alphabet und ihre Endlichkeit sei stillschweigend angenommen, wenn nicht anders angegeben. Ihre Elemente heißen Buchstaben oder Symbole. Um das Wort w bequem notieren zu können, wird für n > 0 die Schreibweise w = w(1) w(n) benutzt. Vorsicht ist geboten, falls Σ selbst wieder aus Wörtern besteht, die dieser Konvention gemäß dargestellt sind. Welche Länge hat beispielsweise das Wort abb über Σ = {a, b, ab}? In solchen Zweifelsfällen benutzt man meist irgendwelche Trennzeichen, schreibt also a.b.b oder ab.b, je nachdem, ob das Wort w : [3] Σ mit w(1) = a, w(2) = b und w(3) = b oder das Wort w : [2] Σ mit w(1) = ab und w(2) = b gemeint ist. Die wichtigste Operation auf Wörtern ist zweifellos die Konkatenation. Die Konkatenation zweier Wörter v : [m] Σ und w : [n] Σ ergibt das Wort v w : [m + n] Σ mit { v(i) für 1 i m, (v w)(i) = w(i m) für m < i m + n. Alternativ kann man die Konkatenation auch rekursiv definieren, vorausgesetzt man hat vorher schon die Konkatenation eines Symbols mit einem Wort definiert: λ w = w und (a v) w = a (v w) für a Σ und Wörter v, w. Die Konkatenation lässt sich auf Wortmengen L und L durch L L = {v w v L, w L } fortsetzen. Damit kann für n IN die n-fache Iteration L n definiert werden durch L 0 = {λ} und L n+1 = L n L. Die Operationen Kleene-Plus und Kleene-Stern sind definiert durch L = n 0 L n und L + = n>0 L n, also ist L = L + {λ}. Damit ist Σ mit Σ = {a : [1] Σ} die Menge aller Wörter über Σ. Bemerkung: Jedem Symbol a Σ kann man eindeutig das Wort a : [1] Σ der Länge 1 mit a(1) = a zuordnen und umgekehrt. Im folgenden wird deshalb zwischen Σ und Σ nicht mehr unterscheiden; damit ist Σ die Menge aller Wörter über Σ und es gilt Σ = Σ 1 Σ. Die Konkatenation auf Σ ist assoziativ (es gilt u (v w) = (u v) w für u, v, w Σ ; damit werden Klammern überflüssig) und hat λ als neutrales

3 2.2. WORTERSETZUNG 19 Element (es gilt w λ = λ w = w für w Σ ). Damit ist Σ mit der zweistelligen Konkatenation und mit der Konstanten λ ein Monoid 1. Im Folgenden wird wie allgemein üblich das Operationssymbol für die Konkatenation meist weggelassen, statt v w wird also einfach vw geschrieben. 2.2 Wortersetzung Ein Wortersetzungssystem über dem Alphabet Σ ist eine (meist endliche) Teilmenge von Σ Σ. Der suggestiven Lesbarkeit zuliebe schreibt man für ein geordnetes Paar (l, r) besser l r um seine Richtung zu betonen. Ein solches Paar nennen wir auch Regel mit linker Seite l und rechter Seite r. Ein Wortersetzungssystem R induziert die Ersetzungsrelation R Σ Σ. Sie ist die kleinste Relation mit R R, so dass für alle u, v, w Σ gilt: wenn v R w, dann uv R uw (Abschluß unter linkem Kontext), und wenn v R w, dann vu R wu (Abschluß unter rechtem Kontext). Alternativ könnten wir definieren: v R w falls es u 1, u 2 Σ und eine Regel l r in R gibt mit v = u 1 lu 2 und w = u 1 ru 2. Den transitiven Abschluß der Relation R bezeichnen wir mit + R, den reflexiven und transitiven Abschluß mit R und den Äquivalenzabschluss mit R. Die Definitionen dazu sind am Ende dieses Kapitels in einem Anhang gesammelt. Beispiel 1. Das Wortersetzungssystem R = {ba ab, ca ac, cb bc} über dem Alphabet Σ = {a, b, c} sortiert die Buchstaben in Wörtern um; a s nach vorne, dann b s, schließlich c s. Zum Beispiel ist bacaac R baacac R abacac R aabcac R aabacc R aaabcc, also bacaac R aaabcc. Für Wörter v, w Σ gilt hier allgemein v R w genau dann, wenn v x = w x für alle x Σ ist 2. Warum? 2.3 Terme Auch Terme möchte man gerne als Funktion t :? Σ auffassen. Hier ist Σ kein Alphabet, sondern eine Signatur. Dort ist jedem Symbol eine natürliche Zahl als feste Stelligkeit zugeordnet. Das formalisieren wir dadurch, daß wir Σ als Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen Σ n mit 1 Σ ist das (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) von Σ frei erzeugte Monoid, siehe beispielsweise W. Wechler, Universal Algebra for Computer Scientists, Mit w x sei die Anzahl der Vorkommnisse des Symbols x im Wort w bezeichnet. Also ist λ x = 0, xw x = w x + 1 und yw x = w x für y Σ mit x y.

4 20 KAPITEL 2. WORT- UND TERMERSETZUNG n IN schreiben. Die Symbole in Σ n nennen wir die n-stelligen Symbole (auch Funktions- oder Operationssymbole). Welche Menge? kommt in Frage? Wir wollen Terme als markierte Bäume definieren. Zu diesem Zweck hat es sich als praktisch erwiesen, die Knoten im Baum mit Wörtern über natürlichen Zahlen > 0 zu identifizieren; ein solches Wort nennen wir auch Position oder Stelle im Term. Es gibt den (in Bäumen 3 gerade eindeutigen) Pfad an, der von der Wurzel des Terms zum entsprechenden Knoten führt. Der Wurzel selbst wird das leere Wort als Position zugeordnet. Ein Term t ist also eine Funktion t : P Σ wobei P eine nichtleere, endliche Teilmenge von (IN \ {0}) ist, die folgende Zusatzbedingungen erfüllt: Für alle p (IN \ {0}) und alle i IN \ {0} gilt wenn pi P, dann p P (Abschluß nach oben), wenn p(i + 1) P, dann pi P (Abschluß nach links) und wenn t(p) Σ n, dann pn P und p(n + 1) P. Die ersten beiden Bedingungen machen P zu einem Termbereich, die letzte sorgt dann dafür, dass an einem Knoten mit einem n-stelligen Symbol genau n Teilbäume hängen. Beispiel 2. Zur Signatur Σ = Σ 0 Σ 1 Σ 2 mit Σ 0 = {a, b}, Σ 1 = {g, h} und Σ 2 = {f} ist der Term f 1 2 g f f b h 1 2 a b a die Funktion t : P Σ mit P = {λ, 1, 1.1, 1.1.1, 1.1.2, 2, 2.1, 2.2, 2.2.1} und t(λ) = f, t(1) = g, t(1.1) = f, t(1.1.1) = a, t(1.1.2) = b, und so weiter. wobei Der Teilterm des Terms t : P Σ an der Position p P ist die Funktion t p : {q pq P } Σ, t p (q) = t(pq) für q im Wertebereich von t p gilt. Wieder führt man eine Konvention ein, um Terme einfach aufschreiben zu können; man schreibt t = f(t 1,..., t n ) 3 Ein Baum ist hier immer ein geordneter Baum (auf die Reihenfolge der Teilbäume kommt es an) mit einem ausgezeichneten Knoten, der Wurzel. 1

5 2.3. TERME 21 falls t(λ) = f, f Σ n und t i = t i für 1 i n ist. Im Beispiel ist damit t = f(g(f(a, b)), f(b, h(a))). Gelegentlich findet man auch die klammerfreie polnische Notation (damit ist dann t = fgfabfbha) oder die umgekehrt polnische Notation (t = abfgbahff). Klammern sind aber wieder nötig, um bei Verwendung der Infixschreibweise für zweistellige Symbole beispielsweise t = g(af b)f(bf h(a)) vom Term (g(afb)fb)fh(a) zu unterscheiden 4. Alternativ zu obiger Definition können Teilterme jetzt induktiv wie folgt definiert werden. Für Terme t, t 1,...,t n, n-stellige Symbole f und 1 i n sei t λ = t, f(t 1,..., t n ) ip = t i p. Das Ersetzen des Teilterms an der Position p im Term t durch den Term s, geschrieben t[s] p, definiert man induktiv entlang der Position p wie folgt: t[s] λ = s, f(t 1,...,t n )[s] ip = f(t 1,..., t i [s] p,...,t n ). Beispiel 3. In Beispiel 2 ist t = b und t 2 = f(b, h(a)). Beispiele fürs Ersetzen sind t[g(a)] 1.1 = f(g(g(a)), f(b, h(a))) und t[a] 2 = f(g(f(a, b)), a). Neben den Grundtermen über Σ brauchen wir oft auch Terme mit Variablen. Dazu erweitern wir die Menge Σ 0 der 0-stelligen Symbole (auch Konstantensymbole genannt) in der Signatur um eine Menge X neuer Symbole 5. Die entstehende Termmenge bezeichnen wir mit T Σ (X), während T Σ die Menge der Grundterme ist. Die Variablen dienen uns dazu, Substitutionen definieren zu können. Eine Substitution σ ersetzt alle Vorkommnisse einer Variablen x in einem Term durch den Term σ(x). Sie lässt sich angeben als eine Funktion σ : X T Σ (X) und zu einer Funktion σ : T Σ (X) T Σ (X) homomorph 6 fortsetzen durch σ(f(t 1,..., t n )) = f( σ(t 1 ),..., σ(t n )). Es hat sich eingebürgert, zwischen σ und σ nicht zu unterscheiden und statt σ(t) meist tσ zu schreiben. Statt x 1 σ = t 1,..., x n σ = t n findet man auch die Notation σ = {x 1 t 1,..., x n t n }. Beispiel 4. Für t = f(x, f(y, x)) und die Substitution σ mit xσ = a und yσ = g(b) ist tσ = f(a, f(g(b), a)). Für xθ = y und yθ = b ist tθ = f(y, f(b, y)). Aufgabe 1. Man veranschauliche sich über Termbäume (und beweise induktiv) folgende Aussagen für Terme t, s und r, Stellen p in t und q in s und Substitutionen σ: t[s] p p = s t[s] p pq = s q t[s[r] q ] p = t[s] p [r] pq 4 In der Mathematik sind daneben zweidimensionale Notationen verbreitet, um bei häufig vorkommenden Symbolen Klammern einzusparen. Man vergleiche a + b mit a+b. Aufgabe: Man schreibe P n i=0 i2 und n a n als Terme! 5 Meist verwendet man x, y und z (auch mit Subskript) als Variablen, gelegentlich auch andere Symbole. 6 Ein Σ-Homomorphismus ist gerade eine derartige Funktion h, für die h(f(t 1,..., t n)) = f(h(t 1 ),..., h(t n)) gilt.

6 22 KAPITEL 2. WORT- UND TERMERSETZUNG (t p )σ = tσ p (t[s] p )σ = tσ[sσ] p Für eine Stelle pq in t gilt: t pq = t p q t p (q) = t(pq) t[s] pq [r] p = t[r] p t[s] pq p = t p [s] q Sind die Stellen p und q in t unabhängig, das heißt ist keine Anfangsstück der anderen, dann gilt: t[s] p q = t q t[s] p [r] q = t[r] q [s] p 2.4 Termersetzung Ein Termersetzungssystem über der Signatur Σ ist eine (meist endliche) Teilmenge von T Σ (X) T Σ (X). Sei R ein solches Termersetzungssystem. Wieder schreibt man für die Regeln statt (l, r) R besser l r R. Das Termersetzungssystem R induziert die Ersetzungsrelation R T Σ (X) T Σ (X). Sie ist die kleinste Relation mit R R, so dass für alle s, t T Σ (X), alle n > 0 und f Σ n, alle Variablen x 1,..., x n und alle Substitutionen σ : X T Σ (X) gilt: wenn s R t, dann f(x 1,..., s,...,x n ) R f(x 1,..., t,...,x n ) (Abschluß unter Kontexten, d.h. Abschluß nach oben ), und wenn s R t, dann sσ R tσ (Abschluß unter Substitutionen, d.h. Abschluß nach unten ). Alternativ könnten wir definieren: s R t, falls es eine Position p in s, eine Regel l r in R und eine Substitution σ gibt mit s = s[lσ] p und t = s[rσ] p. Aufgabe 2. Man zeige die Äquivalenz dieser Definitionen. Den transitiven Abschluß der Relation R bezeichnen wir wieder mit + R, den reflexiven und transitiven Abschluß mit R und den Äquivalenzabschluss mit R. Beispiel 5. Mit dem Termersetzungssystem R ist 0 + y y s(x) + y s(x + y) 0 + (s(s(0)) + (0 + s(0))) R 0 + s(s(0) + (0 + s(0))) wegen 0 + (s(s(0)) + (0 + s(0))) 2 = (s(x) + y)σ und 0 + s(s(0)+(0 + s(0))) 2 = s(x + y)σ für xσ = s(0), yσ = 0 + s(0). Aufgabe 3. Das Termersetzungssystem R mit den Regeln a f(a) c f(a) d f(b) b f(b) c d d f(c) über der Signatur {a, b, c, d, f} ist variablenfrei. Die Terme a und b sind äquivalent, es gilt also a R b, wegen a R f(a) R c R d R f(b) R b. Man zeige, dass alle Grundterme äquivalent sind!

7 2.5. WÖRTER ALS TERME 23 Aufgabe 4. Man zeige, dass als Abbildung von R auf R ein Abschlussoperator ist, dass also für Termersetzungssysteme R und S gilt: R R, R = R, R S impliziert R S. 2.5 Wörter als Terme Wortersetzungssysteme über einem Alphabet Σ lassen sich als spezielle Termersetzungssysteme auffassen. Dazu müssen zunächst Wörter als spezielle Terme dargestellt werden; dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Wir wählen als (einsortige) Signatur Σ = Σ 0 Σ 1 mit Σ 0 = {λ} und Σ 1 = Σ, wählen also für jeden Buchstaben ein einstelliges Symbol sowie eine neues Konstantensymbol λ. Wörter übersetzen wir in Terme mit der Funktion τ : Σ T Σ, die durch τ(λ) = λ τ(aw) = a(τ(w)) für a Σ, w Σ definiert ist. Damit wird beispielsweise das Wort abaa über Σ = {a, b} zum Term a(b(a(a(λ))). Um nun Wortersetzungsregeln in Termersetzungsregeln zu übersetzen, brauchen wir eine Variable x. Jede Wortregel l r wird zur Termregel τ(l) τ(r), wobei die Funktion τ : Σ T Σ ({x}) durch τ(λ) = x τ(aw) = a( τ(w)) für a Σ, w Σ definiert ist. Für Regelmengen R sei τ(r) = { τ(l) τ(r) l r R}. Aufgabe 5. Man zeige, dass τ und τ bijektiv sind und dass für ein Wortersetzungssystem R über Σ die Ersetzungssysteme (Σ, R ) und (T Σ ({x}), τ(r) ) isomorph sind: Für alle Wörter v, w Σ gilt nämlich v R w gdw τ(v) τ(r) τ(w). Aufgabe 6. Statt wie eben das Wort abaa über Σ = {a, b} auf den Term a(b(a(a(λ)))) abzubilden, könnte man auch den Term a (b (a (a λ)))) wählen. Hierbei sind die Symbole a und b jetzt, ebenso wie λ, Konstanten und ist ein zweistelliges Symbol. Man arbeite analog zu oben die Isomorphie zwischen Wort- und Termersetzung unter dieser Abbildung aus. 2.6 Anhang: Relationen Hier findet sich eine kleine Sammlung wichtiger Begriffe und Ergebnisse zu Relationen. Sie wird im nächsten Kapitel fortgesetzt. Seien A, B und C Mengen und 1 A B und 2 B C Relationen. Statt (a, b) 1 schreibt man meist a 1 b, statt a 1 b und b 2 c auch

8 24 KAPITEL 2. WORT- UND TERMERSETZUNG a 1 b 2 c. Die Komposition 1 2 von 1 und 2 ist die Relation 1 2 A C mit 1 2 = { (a, c) b B : a 1 b 2 c }. Die Identität auf A ist die Relation A = {(a, a) a A}. Die inverse Relation zu 1 ist 1 1 = {(b, a) a 1 b}. Für inverse Relationen wird gerne 1 für 1 1 benutzt, analog dann < für > 1, für 1 und so fort für andere typographische Varianten. Die Relation A A heißt transitiv, falls, reflexiv, falls A, irreflexiv, falls A =, symmetrisch, falls, asymmetrisch, falls =, antisymmetrisch, falls A, linear (oder: total), falls = A A. Der transitive Abschluss + von ist die kleinste transitive Relation auf A, die enthält. Es gilt + = n>0 n, wobei n induktiv definiert ist durch 0 = A und n+1 = n. Der reflexive Abschluss = von ist die kleinste reflexive Relation auf A, die enthält; es gilt = = A. Der transitive und reflexive Abschluss von ist, wer hätte anderes vermutet, die kleinste transitive und reflexive Relation auf A, die enthält. Tatsächlich ist der reflexive Abschluss von +, damit ist auch = n 0. n Der symmetrische Abschluss von ist die kleinste symmetrische Relation auf A, die enthält; es gilt =. Eine Äquivalenzrelation ist eine transitive, reflexive und symmetrische Relation. Der Äquivalenzabschluss von ist die kleinste Äquivalenzrelation auf A, die enthält. Es ist der transitive und reflexive Abschluss von (übrigens im Allgemeinen verschieden vom symmetrischen Abschluss von ).