Funktionentheorie I. M. Griesemer

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1 Funktionentheorie I M. Griesemer Übersicht der wichtigsten Definitionen und Sätze der Vorlesung Funktionentheorie I, SS 2001, Fachbereich Mathematik, Johannes Gutenberg - Universität Mainz. Inhalt der Vorlesung I. Komplexe Zahlen 1. C als Körper 2. Die komplexe Ebene 3. Stereographische Projektion 4. Topologie von C 5. Funktionen in C II. Analytische Funktionen 1. Analytische Funktionen 2. Die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 3. Ableitungsregeln 4. Potenzreihen 5. Elementare Funktionen III. Komplexe Integration 1. Kurvenintegrale 2. Stammfunktionen 3. Cauchyscher Integralsatz für Kreisscheiben 4. Die Umlaufzahl und die Cauchysche Integralformal für Kreisscheiben IV. Lokale Eigenschaften analytischer Funktionen 1. Nullstellen analytischer Funktionen 2. Anzahl Nullstellen und lokale Abbildung 3. Das Maximumprinzip 4. Isolierte Singularitäten V. Der Residuenkalkül 1. Der Cauchysche Integralsatz 2. Residuenkalkül 3. Das Argumentprinzip VI. Die Riemannsche Zetafunktion Adresse: University of Alabama at Birmingham, Birmingham, AL 35294, USA. 1

2 I. Komplexe Zahlen Begriffe: Körper, Realteil, Imaginärteil, komplexe Konjugation, Absolutbetrag, Polardarstellung, n-te Wurzel, erweiterte komplexe Ebene C, Stereographische Projektion. Topologie von C Definitionen. Die Topologie von C ist diejenige, welche durch die Metrik d(z, w) = z w induziert wird. Eine Teilmenge K C heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Sie heißt zusammenhängend, wenn für jede Überdeckung K A B durch disjunkte, offene Mengen A und B entweder K A oder K B gilt. Eine Teilmenge G C die offen und zusammenhängend ist heißt Gebiet. C ist vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge in C ist konvergent. D C ist kompakt genau dann, wenn D folgenkompakt ist. D.h wenn jede Folge in D eine in D konvergente Teilfolge hat. Ist A C abgeschlossen, B C kompakt und A B =, dann ist inf{ a b : a A, b B} > 0. Ist f : D C C stetig und K kompakt, dann ist f(k) kompakt. Ist f : D C C und D offen, dann sind äquivalent: i) f ist stetig. ii) Re f und Im f sind stetig. iii) Urbilder offener Mengen sind offen. iv) Urbilder abgeschlossener Mengen sind (relativ) abgeschlossen. II. Analytische Funktionen Begriffe: Analytisch, harmonisch, konjugiert harmonisch. Definition. Eine Funktion f : D C heißt analytisch, falls D C offen und f komplex differenzierbar ist. Ist K C beliebig, dann heißt f analytisch auf K, falls f in einer offenen Umgebung von K definiert und komplex differenzierbar ist. Die Cauchy-Riemann DGL. f = u + iv ist genau dann komplex differenzierbar in x + iy, wenn f reell differenzierbar ist in (x, y) R 2 und die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen u x = v y, u y = v x in (x, y) erfüllt sind. Der Realteil und der Imaginärteil einer analytischen Funktion sind harmonisch. Ist u zweimal stetig differenzierbar und harmonisch in einer offenen Kreisscheibe B, dann ist u der Realteil einer analytischen Funktion in B. Ist f : D C analytisch, D zusammenhängend und f 0, dann ist f konstant. 2

3 Potenzreihen Begriffe: konvergent, divergent, absolut konvergent, bedingt konvergent, Periode. Definitionen. Der Konvergenzradius R [0, ] der Potenzreihe n 0 a n(z a) n ist definiert durch R 1 = lim sup a n 1/n. n Jede stetige Funktion f auf einem Gebiet G mit exp(f(z)) = z heißt Zweig des Logarithmus. Ist a C und f ein Zweig des Logarithmus, dann heißt exp(af(z)) Zweig der Funktion z a. Der Hauptzweig des Logarithmus ist auf C\(, 0] definiert und gegeben durch log(z) = log z + i arg(z) wobei π < arg(z) < π. Die Potenzreihe n 0 a n(z a) n konvergiert absolut für z a < R, gleichmäßig in B(a, r) für r < R und sie divergiert falls z a > R. Sei f(z) := n 0 a n(z a) n und sei R der Konvergenzradius der Reihe. Dann ist f beliebig oft differenzierbar in B(a, R) und die Ableitungen berechnen sich durch gliedweise Differentiation der Reihe. Insbesondere ist f analytisch in B(a, R) und a n = f (n) (a)/n!. Die Exponentialfunktion hat Periode 2πi. Jede andere Periode von exp ist ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi. Für jedes a R ist die Abbildung exp : {a Im z < a + 2π} C\{0} bijektiv. Jeder Zweig log(z) des Logarithmus ist analytisch und es gilt log (z) = 1/z. Zwei Zweige des Logarithmus mit demselben Definitionsbereich unterscheiden sich nur um ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi. III. Komplexe Integration Begriffe: Stückweise stetig, stückweise stetig differenzierbar (s.s.d.), Weg, geschlossener Weg, Spur eines Weges, Parametrisierung, Integrationsweg, Kurve. Definitionen. Ein Integrationsweg ist ein s.s.d. Weg. Ist : [a, b] C ein Integrationsweg und f : sp() C stetig, dann b f(z) dz := f((t)) (t)dt. a Eine bijektive, s.s.d. Abbildung von einem Parameterbereich auf einen anderen mit strikt positiver Ableitung heißt Parametertransformation. Zwei Integrationswege, die durch Parametertransformation ineinander übergeführt werden können, heißen äquivalent. Eine Äquivalenzklasse [] von Integrationswegen heißt Kurve. Eine Funktion F : D C heißt Stammfunktion von f : D C, falls F analytisch ist und F = f. Das Wegintegral f(z) dz hängt nur von der Kurve [] ab. Sei f : D C stetig und D offen. Wenn f eine Stammfunktion F hat, dann gilt: (i) f(z)dz = F (β) F (α) für jede Kurve in D von α nach β. (ii) f(z)dz = 0 für jede geschlossene Kurve in D. Ist D C offen, dann ist D genau dann zusammenhängend, wenn sich jedes Paar von Punkten z 0, z 1 D durch einen Streckenzug in D verbinden lässt. 3

4 Ist f stetig auf dem Gebiet G, dann hat f genau dann eine Stammfunktion, wenn f(z)dz = 0 für jede geschlossene Kurve in G. Cauchyscher Integralsatz für Kreisscheiben. Sei f definiert und analytisch in einer Kreisscheibe B mit Ausnahme von endlich vielen Punkten z 1,..., z n B. Falls lim z zk (z z k )f(z) = 0 für alle k, dann gilt f(z)dz = 0 für jede geschlossene Kurve in B. Bemerkung. Zum Beweis dieses Satzes wird zuerst ein analoger Satz bewiesen, wobei ein Rechteck R an Stelle von B und R an Stelle von steht. Ist eine geschlossene Kurve und sp[a, b] sp() =, a, b C, dann gilt 1 z a dz = 1 z b dz. Die Umlaufzahl. Ist eine geschlossene Kurve und a C\ sp(), dann gilt n(, a) := 1 1 dz Z. 2πi z a n(, a) heißt Umlaufzahl von um a oder Index von a bezüglich. Der Index n(, a) ist konstant auf jedem Gebiet G C\ sp(). Diese Konstante ist gleich 0, wenn G unbeschränkt ist. Cauchysche Integralformel für Kreisgebiete. Ist f analytisch in der Kreisscheibe B und eine geschlossene Kurve in B, dann gilt n(, z)f(z) = 1 f(w) 2πi w z dz für alle z B\ sp(). Ist f : D C analytisch, dann gilt f ist beliebig oft differenzierbar. Ist B(a, R) D, dann gilt für alle z B(a, R). f(z) = n 0 f (n) (a) (z a) n n! Ist eine geschlossene Kurve innerhalb einer Kreisscheibe B D, dann n(, z)f (n) (z) = n! f(w) dw, n N, z D\ sp(). 2πi (w z) n+1 Cauchysche Ungleichung. Ist f analytisch in B(a, R) und f(z) M für alle z, dann gilt f n (a) n!m R n, n N. Satz von Liouville. Ist f ganz und beschränkt, dann ist f konstant. Satz von Morera. Ist D C offen, f : D C stetig und f(z)dz = 0 für den Rand R R jedes achsenparallelen Rechtecks R in D, dann ist f analytisch. Weierstraßscher Konvergenzsatz. Ist f n : D C eine Folge analytischer Funktionen, welche auf kompakten Teilmengen K D gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, so ist auch f analytisch. 4

5 IV. Lokale Eigenschaften analytischer Funktionen Definition. Sei z = a eine Nullstelle der analytischen Funktion f. Die Ordnung der Nullstelle a ist die kleinste Zahl n mit f (n) (a) 0. Fundamentalsatz der Algebra. Jedes nicht konstante Polynom hat mindestens eine Nullstelle. Es folgt, dass sich jedes Polynom p(z) vom Grad n schreiben lässt als p(z) = c(z a 1 )... (z a n ). Ist z = a Nullstelle der Ordnung k einer analytischen Funktion f : D C, dann gibt es eine analytische Funktion g : D C mit f(z) = (z a) k g(z) und g(a) 0. Ist f analytisch auf dem Gebiet G, dann sind äquivalent: (a) f 0. (b) Es existiert ein Punkt in G, wo alle Ableitungen von f verschwinden. (c) Die Nullstellen von f haben einen Häufungspunkt in G. Sei f 0 analytisch in der Kreisscheibe B und sei (z i ) die Folge der Nullstellen von f, wobei jede Nullstelle so oft repetiert sei wie ihre Ordnung beträgt. Ist eine geschlossene Kurve in B, welche alle Nullstellen meidet, dann gilt i 0 n(, z i ) = 1 2πi f (z) f(z) dz. Nur endlich viele Summanden sind nicht gleich Null. Bem.: Dieser Satz wird durch das Argumentprinzip verallgemeinert. Lokale Abbildung. Sei f analytisch in z 0, w 0 := f(z 0 ), und sei n die Ordnung der Nullstellen z = z 0 von f(z) w 0. Ist ε > 0 klein genug, dann gibt es ein δ > 0, so dass die Gleichung f(z) = w für jedes w B(w 0, δ)\w 0 genau n einfache Lösungen in B(z 0, ε) hat. Insbesondere ist B(w 0, δ) f(b(z 0, ε)). Ist f analytisch und nicht konstant auf dem Gebiet G, dann bildet f offene Mengen auf offene Mengen ab. Umkehrabbildung. Ist f : D C analytisch und injektiv, dann ist f 1 : f(d) C analytisch und (f 1 ) 1 (w) = f (f 1 (w)). Insbesondere hat f keine Nullstellen. Maximumprinzip. Ist f analytisch und nicht konstant auf dem Gebiet G, dann hat f(z) kein Maximum in G. Ist f analytisch im beschränkten Gebiet G und stetig auf Ḡ, dann nimmt f(z) das Maximum auf dem Rand von G an. Isolierte Singularitäten Begriffe: Hebbar, Pol, wesentliche Singularität, Laurentreihe, Hauptteil, Nebenteil. Definitionen. a C heißt isolierte Singulariät von f, wenn f definiert und analytisch ist in D\{a}, aber nicht in D, wobei D eine Umgebung von a ist. Die Singularität a heißt hebbar, wenn eine analytische Funktion g : D C existiert mit g = f in D\{a}. a heißt Pol von f, wenn lim z a f(z) =. Eine isolierte Singularität, die weder hebbar, noch ein Pol ist, heißt wesentliche Singularität. Hat f bei 5

6 z = a einen Pol, so hat 1/f nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz dort eine hebbare Singularität. Die Ordnung eines Pols von f bei z = a ist gleich der Ordnung der Nullstelle z = a von 1/f. Die isolierte Singularität a C von f ist genau dann hebbar, wenn lim z a (z a)f(z) = 0. Riemannscher Hebbarkeitssatz. Falls die analytische Funktion f in einer Umgebung einer isolierten Singularität a beschränkt ist, dann ist a hebbar. Ist f : D\{a} C analytisch und ist a ein Pol der Ordnung k, so gibt es eine analytische Funktion g : D C mit f(z) = (z a) k g(z) und g(a) 0. Partialbruchzerlegung. Ist r(z) eine rationale Funktion mit Polen a 1,..., a n der Ordnung m 1,..., m n, dann existiert eine eindeutige Zerlegung r(z) = n i=1 h i((z a i ) 1 ) + p(z), wobei h i ein Polynom vom Grad m i ist mit h i (0) = 0 und p auch ein Polynom ist. Laurentreihen. Sei a n(z a) n eine gegebene Laurentreihe. Sei 1/r der Konvergenzradius von n=1 a nζ n und sei R der Konvergenzradius von n=0 a nζ n. Dann gilt (a) Für r < z a < R konvergiert die Reihe absolut. (b) Ist z a < r oder z a > R, dann divergiert die Reihe. (c) Ist r < ρ 1 < ρ 2 < R, so konvergiert die Reihe auf {z : ρ 1 z a ρ 2 } gleichmäßig. (d) f(z) = a n(z a) n ist analytisch für r < z a < R und f (z) berechnet sich durch gliedweise Differentiation der Reihe. Sei f analytisch in r < z a < R. Laurentreihe dargestellt wobei und ρ (r, R) beliebig ist. f(z) = Dann wird f in diesem Gebiet durch eine eindeutige a n (z a) n, a n = 1 f(w) dw 2πi z a =ρ (w a) n+1 Sei z = a eine isolierte Singularität von f und sei f(z) = a n(z a) n die Laurentreihe von f in B(a, R)\{a}. Dann gilt (a) a ist genau dann hebbar, wenn a n = 0 für alle n < 0. (b) a ist genau dann ein Pol der Ordnung m, wenn a m 0 aber a n = 0 für alle n < m. (c) a ist genau dann eine wesentliche Singularität, wenn a n 0 für unendlich viele negative n. Casorati-Weierstraß. Hat f bei a eine wesentliche Singularität, dann ist f(b(a, δ)\{a}) für alle δ > 0 dicht in C. V. Der Residuenkalkül Begriffe: Kette, Zyklus, Randzyklus, homolog, nullhomolog, Residuum. Definitionen. Ein Zyklus Γ in D C heißt nullhomolog (Γ 0) bezüglich D, wenn n(γ, a) = 0 für alle a im Komplement von D. Ein Gebiet G C heißt einfach zusammenhängend, wenn C \G zusammenhängend ist. Ist z = a eine isolierte Singularität von f und ist f(z) = a n(z a) n die Laurentreihe von f in B(a, ε)\{a}, dann heißt a 1 =: Res(f, a) Residuum von f bei a. Ist f definiert und analytisch in der offenen Menge D mit Ausnahme von Polen, dann heißt f meromorph in D. 6

7 Cauchyscher Integralsatz. Ist f : D C analytisch und Γ ein nullhomologer Zyklus in D, dann gilt f(z) dz = 0. Cauchysche Integralformel. Sei f : D C analytisch und sei Γ ein nullhomologer Zyklus in D. Dann gilt n(γ, z)f(z) = 1 f(w) 2πi w z dw für alle z D\ sp(γ). Ist f stetig auf dem einfach zusammenhängenden Gebiet G, dann sind äquivalent: (a) f ist analytisch. (b) fdz = 0 für jede geschlossene Kurve in G. (c) f hat eine Stammfunktion in G. Residuensatz. Sei f : D C analytisch bis auf isolierte Singularitäten (a i ) i 1 und sei Γ ein nullhomologer Zyklus in D, der alle Singularitäten meidet. Dann gilt 1 f(z) dz = n(γ, a i )Res(f, a i ), 2πi Γ i 1 wobei n(γ, a i ) nur für endlich viele Werte von i nicht Null ist. Hat f bei z = a einen Pol der Ordnung m und ist g(z) = (z a) m f(z), dann gilt Res(f, a) = g (m 1) (a)/(m 1)!. Für m = 1 gilt also Res(f, a) = lim z a (z a)f(z). Argumentprinzip. Sei f meromorph in D und seien (a i ) i 1 die Nullstellen und (p i ) i 1 die Pole von f, jeweils so oft repetiert wie die Ordnung angibt. Ist Γ ein nullhomologer Zyklus in D, der alle Nullstellen und Pole meidet, dann gilt 1 f (z) 2πi Γ f(z) dz = n(γ, a i ) n(γ, p j ) i 1 j 1 Satz von Rouché. Seien f, g : D C analytisch und sei Γ der Randzyklus einer Teilmenge V D, V D kompakt. Gilt f(z) g(z) < f(z) auf sp(γ), dann haben f und g gleich viele Nullstellen in V. VI. Die Riemannsche Zetafunktion Definition. Die Funktion ζ(z) = n 1 n z, Re z > 1, heißt Riemannsche Zetafunktion. Die Riemannsche Zetafunktion ist analytisch. Bem.: Sie lässt sich analytisch fortsetzen auf C\{1} und hat dann bei z = 1 einen Pol der Ordnung 1. Satz von Euler. Ist (p n ) n 1 die Folge der Primzahlen und Re z > 1, dann gilt ζ(z) = 1 1 p z. n n=1 7

8 Literatur 1. Lars V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill, 2nd Edition. 2. John B. Conway: Functions of one complex variable, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 2nd Edition. 3. Wolfgang Fischer und Ingo Lieb: Funktionentheorie, Vieweg & Sohn, 5. Auflage. 4. Klaus Jänich: Funktionentheorie, Springer Verlag, Fünfte Auflage. 8

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