7.5 Erwartungswert, Varianz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "7.5 Erwartungswert, Varianz"

Transkript

1 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k <. Dann heißt: der Erwartungswert von X E(X) := n x k p k bzw. E(X) := x k p k b) Es sei X eine stetige ZV mit der Verteilungsdichte f(x), die die folgenden Zusatzbedingungen erfüllt: x f(x) dx <. Bem.: Dann heißt E(X) := x f(x) dx der Erwartungswert von X a) Im Folgenden seien die Zusatzbedingungen für alle behandelten ZV erfüllt. b) Es kann vorkommen, dass E(X) von der ZV X gar nicht angenommen wird. E(X) ist i.a. nicht der wahrscheinlichste Wert von X. c) E(X) ist als Durchschnittswert von X zu interpretieren Satz 7.5.: Für die Bildung des Erwartungswerts einer Funktion einer ZV gilt: E(g(X)) = Def : n g(x k ) p k bzw. = g(x k ) p k a) V (X) := E[(X E(X)) 2 ] heißt Varianz von X. b) (X) := + V (X) heißt Standardabweichung von X. Satz 7.5.2: a) E(a + bx) = a + b E(X) b) V (a + bx) = b 2 V (X) c) V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 d) V (X) = 0 X = E(X) (fast sicher) e) Für jedes beliebige a IR gilt: V (X) E[(X a) 2 ] Bem.: Aus c) und d) folgt: E(X 2 ) (E(X)) 2 i. a. Beweis von Satz (teilweise): bzw. = g(x) f(x) dx a) X sei eine ZV, die nur die Werte 0,,2,..., n annehmen kann (für andere ZV verläuft der Beweis analog): E(a + b X) = n n n (a + b k)p k = a p k + b k p k = a + b E(X) (p k := P (X = k)) }{{} = 50 }{{} E(X)

2 b) V (a + b X) = E[(a + b X E(a + b X)) 2 ] = a) E[(a + b X a b E(X)) 2 ] = E[b 2 (X E(X)) 2 ] = a) b 2 E[(X E(X)) 2 ] = b 2 V (X) c) V (X) := E[(X E(X)) 2 ] = E[X 2 2X E(X) + (E(X)) 2 ] a) = E(X 2 ) 2 E(X) E(X) + (E(X)) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 [ e) E (X a) 2] = E [(X E(X) + E(X) a) 2] = E [(X E(X)) 2 2(X E(X)) (E(X) a) + (E(X) a) 2] a) = V (X) 2(E(X) a) E(X E(X)) + (E(X) a) 2 V (X) }{{}}{{} = Spezielle Verteilungen 7.6. Binomialverteilung Def. 7.6.: Ein Zufallsexperiment habe nur zwei mögliche Ergebnisse, die wir mit Erfolg oder Fehlschlag bezeichnen. Die Wahrsch. für einen Erfolg sei p und für einen Fehlschlag sei q = p. Wird dieses Zufallsexperiment unter den gleichen Bedingungen n-mal wiederholt, so nennt man das ganze Bernoulli- Experiment. Satz 7.6.: X sei die ZV, die die Anzahl von Erfolg bei einem Bernoulli-Experiment beschreibt. Dann besitzt X eine Binomialverteilung mit den Parametern p und n, d.h. (7.6.) P (X = k) = ( n k) p k q n k (k = 0,,...) ( P (X = k) = 0 für k n + ) Satz 7.6.2: Für eine binomialverteilte ZV X mit den Parametern n und p gilt: a) E(X) = n p b) V (X) = n p q ( (X) = n p q) Anwendungsbeispiel: Lieferung von N Stück, M davon defekt (N, M keine ZV), n Ziehungen eines Stücks mit Zurücklegen. Bernoulli-Experiment: Jede Ziehung ist ein Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit p = M/N für einen Erfolg (= Ziehung eines defekten Stückes) und q := p für einen Fehlschlag (= Ziehung eines nicht defekten Stückes). Durch m. Z. werden nach jeder Ziehung die alten Bedingungen wiederhergestellt. Die ZV Anzahl der Ziehungen von defekten Stücken ist also binomialverteilt mit p = M/N und n = Anzahl der Ziehungen insgesamt Poisson-Verteilung Def : Eine diskrete ZV X heißt Poisson-verteilt mit dem Parameter λ > 0, wenn gilt: P (X = k) = e λ λk k!, k = 0,, 2,... Satz 7.6.3: Für eine Poisson-verteilte ZV mit dem Parameter λ gilt: a) E(X) = λ b) V (X) = λ ( (X) = λ) 5

3 Satz 7.6.4: Es sei X eine binomialverteilte ZV mit den Parametern p, n. Dann gilt: P (X = k) e λ λk k! λ = n p Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: n 50 und λ = n p 5 Bem.: Bei der Binomialverteilung sollte der Versuchsausgang mit Erfolg bezeichnet werden, der die deutlich kleinere Wahrscheinlichkeit hat, insbesondere dann, wenn die Poisson Näherung angewendet werden soll. Sind die Wahrscheinlichkeiten für beide Versuchsausgänge nahe bei /2, können die Bezeichnungen Erfolg oder Fehlschlag beliebig vergeben werden Normalverteilung oder Gauß-Verteilung Def : a) Eine ZV heißt normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz 2 (Abk. N(µ, )- verteilt), wenn sie folgende Verteilungsdichte besitzt (exp x := e x ): f(x) := 2 π exp ( 2 ( x µ )2 ), x IR b) Eine ZV X mit der Verteilungsdichte ϕ(x) := 2 π standard-normalverteilt oder N(0, )-verteilt. exp ( 2 x2 ) bezeichnet man als Φ(x) := x ϕ(u) du ist die zugehörige Verteilungsfunktion. Bem.: Φ(x) ist eine höhere transzendente Fkt.. Daher sind Tabellen nötig. Skizzen: ϕ(x) Φ(x) x x Vert.dichte zur N(.5,2)-Vert.: Vert.dichte zur N(3,0.5)-Vert.: f(x) f(x) x.5 Satz 7.6.5: Für eine N(µ, ) - verteilte ZV X gilt: 3 x a) E(X) = µ b) V (X) = 2 ( (X) = ) 52

4 Satz 7.6.6: a) Für jede N(0, ) - vert. ZV Z gilt: ( Z) ist auch N(0, ) - vert. b) Φ( x) = Φ(x) (Anwendung: Berechnung von Φ(x) für x < 0) c) Für eine N(µ, ) - vert. ZV X gilt (F (x): Verteilungsfkt, f(x): Vert.dichte): i) X µ ist N(0, ) - verteilt ii) F (x) = Φ( x µ ), f(x) = x µ ϕ( ) iii) P (a X b) = Φ( b µ a µ ) Φ( ) iv) P (X < a) = P (X a) = Φ( a µ v) P ( X µ t ) = Φ(t) Φ( t) = 2 Φ(t) (t 0) ), P (X > a) = P (X a) = Φ( a µ ) insbesondere = für t =, = für t = 2, = für t = 3 Beweis: Es wird ohne Beweis verwendet, dass mit X auch die ZV α X + β, normalverteilt ist. a) P ( Z x) = P (Z x) = u z x ϕ(u)du = x P (Z x) ϕ( z) }{{} = ϕ(z)(geradef kt.) α 0, β IR, d z = x ϕ(z)d z = b) Φ( x) = P (Z x) = P ( Z x) = a) P (Z x) = P (Z < x) Z stet.zv = P (Z x) = Φ(x) c) i) E( X µ Satz a) b) ) Bem.: = (E(X) µ) = 0 (nach Satz 7.6.5) V ( X µ Satz a) b) ) = V (X) = (nach Satz 7.6.5) 2 Damit ist aufgrund der o. g. allgemeinen Eigenschaft X µ ii) F (x) = P (X x) = P ( f(x) = F (x) = Φ ( x µ X µ }{{ } N(0,) vert. nach i) ) = x µ ϕ( ) x µ ) = Φ( x µ ) N(0, )-vert. iii) P (a X b) X stet.zv = P (a < X b) ii) = F (b) F (a) ii) = Φ( b µ a µ ) Φ( iv) P (X a) = F (a) ii) = Φ( a µ X stet. ZV ), P (X a) = P (X < a) = P (X a) = Φ( a µ ) v) P ( X µ t ) = P (µ t X µ + t ) iii) = Φ(t) Φ( t) b) = 2 Φ(t) a) Es gilt auch allgemein: E(X) = µ V (X) = 2 = E( X µ X µ ) = 0, V ( ) = ; X µ ist eine standardisierte ZV b) Die Aussage in Satz c) v) gilt für allgemeine ZV höchstens näherungsweise. Eine exakte, aber z. T. wesentlich schlechtere Abschätzung liefert Satz 6.9. ) 53

5 Satz 7.6.7: X sei eine binomialvert. ZV mit den Parametern p und n. Dann gilt für 0 k k 2 n: (7.6.2) P (k X k 2 ) Φ( k 2 n p n p q ) Φ( k n p n p q ) (vgl. Satz 7.0.) oder mit höherer Genauigkeit, wenn k und k 2 ganze Zahlen sind: (7.6.3) P (k X k 2 ) Φ( k n p n p q ) Φ( k 0.5 n p n p q ) Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: n 50 n p 5 n q 5. Bem.: a) Unter den Voraussetzungen von Satz sind auch die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von (7.6.2) oder (7.6.3) zu bestimmen: P (X k 0 ) = P (k 0 X n), P (X k 0 ) = P (0 X k 0 ) (k 0 = 0,, 2..., n) b) Wird der Bereich der Argumentwerte von Φ in einer Tabelle wie etwa der ausgegebenen überschritten, so kann man z.b. folgende Eigenschaften benutzen: Für x 3.90 gilt 0 < Φ(x) < und damit Φ(x) =.0000 auf 4 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau, für x 3.90 gilt 0 < Φ(x) < und damit Φ(x) = auf 4 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau Hypergeometrische Verteilung Ausgangsproblem: Lieferung von N Stück, M davon defekt (N, M keine ZV); zufällige Auswahl einer Stichprobe von n Stücken und deren Untersuchung (o. Z. o. B. d. A.); Wahrscheinlichkeit, das m Stücke in der Stichprobe defekt sind, =?. Bem.: Dieses Verfahren ist günstiger als das Verfahren in Für die ZV X := Anzahl der defekten Stücke in der Stichprobe gilt: (7.6.4) P (X = m) = (M m)( N M n m ) ( N n) = ( m)( n M m) N n ( M) N Def : Die in (7.6.4) beschriebene Verteilung heißt hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N, M, n. Bedingungen: N, M, n, m Z, 0 n N, 0 m M N, 0 n m N M ( m n) Herleitung von Formel (7.6.4): Nach Satz a) haben alle Kombinationen o. Z. o. B. d. A. von n aus N Stücken die Wahrscheinlichkeit / ( N n). Das Ereignis X = m erfasst dann alle Kombinationen, bei denen genau m defekte und damit (n m) nicht defekte Stücke ausgewählt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten, m defekte Stücke für die Stichprobe aus M defekten Stücken der Lieferungen auszuwählen, beträgt ( M m), da dabei wie oben nach der Vorschrift o. Z. o. B. d. A. vorgegangen wird. Bei jeder solchen Auswahl muss dann die Stichprobe mit (n m) aus den (N M) nicht defekten Stücken der Lieferung aufgefüllt werden. Dafür gibt es ( N M) n m 54

6 Möglichkeiten, und zwar bei jeder Auswahl vom m defekten Stücken. Damit gibt es insgesamt ( M N M ) m)( n m Möglichkeiten für die Auswahl (o. Z. o. B. d. A.) von m defekten und (n m) nicht defekten Stücken. Dies ist also die Anzahl der Kombinationen o. Z. o. B. d. A., die von dem Ergebnis X = m erfasst werden, die dann nur mit der Wahrscheinlichkeit / ( N n) für jede dieser Kombinationen multipliziert zu werden braucht. Bem.: Eine ähnlich Herleitung für der Bin.-Vert. ist nicht möglich (vgl. Satz b)) Satz 7.6.8: Es sei X eine hypergeometrisch vert. ZV mit den Parametern N, M, n und Y eine binomialverteilte ZV mit den Parametern p = M N und n. Dann gilt: P (X = m) P (Y = m) = ( n) m p m ( p) n m Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: N 000 n N 0.. Zur Näherung der Binominalverteilung vgl. die Sätze 7.6.4/7 Satz Für die ZV X aus Satz gilt: E(X) = n M N, V (X) = n M N N M N N n N 7.7 Gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallvariabler Def. 7.7.: Es seien X, X 2,..., X n beliebige ZV. Dann heißt: F (x, x 2,..., x n ) := P (X x X 2 x 2... X n x n ) die gemeinsame Verteilungsfunktion der ZV X, X 2,..., X n. Sie ist eine mögliche Beschreibung der gemeinsamen Verteilung der ZV. Def : X sei eine diskrete ZV, die die Werte x 0 < x <..., < x n annehmen kann und Y eine diskrete ZV, die die Werte y 0 < y <... < y m annehmen kann. Dann beschreiben die Wahrscheinlichkeiten p i,j := P (X = x i Y = y i ) ebenfalls die gemeinsame Verteilung von X und Y. Satz 7.7.: Für die Werte p i,j aus Def gilt: a) 0 p i,j für i = 0,,..., n; j = 0,,..., m b) P (X = x i ) = m p i,j =: p i,, P (y = y j ) = n p i,j =: p,j j=0 i=0 Diese Größen beschreiben die Randverteilungen. Für diese Randverteilungen gilt: n n p i, = p,j = i=0 Schema: j=0 X Y y 0 y y 2... y m x 0 p 0,0 p 0, p 0,2... p 0,m p 0, x p,0 p, p,2... p,m p, x n p n,0 p n, p n,2... p n,m p n, p,0 p, p,2... p,m Def : F (x, x 2,..., x n ) sei die gemeinsame Verteilungsfunktion der ZV X, X 2,..., X n und F i (x i ) seien die Verteilungsfunktionen der einzelnen ZV X i. Dann heißen X, X 2,..., X n 55

7 (stochastisch) unabhängig, wenn für alle x, x 2,..., x n IR gilt: (7.7.) F (x, x 2,..., x n ) = F (x ) F (x 2 ) F (x n ) Bem.: Diese Def. ist konsistent mit der Def b) (Unabhängigkeit von n Ereignissen) Satz 7.7.2: Zwei diskrete ZV X, Y (aus Def ) sind genau dann unabhängig, wenn für alle i = 0,,..., n und j = 0,,..., m gilt: P (X = x i Y = y j ) = P (X = x i ) P (Y = y j ) d.h. p i,j = p i, p,j (Def. vgl. Satz 7.7.) 7.8 Kovarianz und Korrelation (7.8.) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Satz 7.8.: V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) := E(X Y ) E(X) E(Y ) heißt die Kovarianz von X und Y. Satz 7.8.2: Für X, Y aus Def gilt: Satz 7.8.3: X, Y unabhängig E(X Y ) = n ( m x i y i p i,j ) i=0 j=0 Cov(X, Y ) = 0 ZV X, Y mit Cov(X, Y )=0 heißen unkorreliert Satz 7.8.4: Die ZV X, X 2,..., X n sollen alle den gleichen Erwartungswert µ und die gleiche Varianz 2 besitzen. Dann gilt: a) E(X + X X n ) = n µ b) Im Fall der Unabhängigkeit der ZV: V (X + X X n ) = n 2 Def. 7.8.: Es seien X und Y zwei beliebige ZV mit V (X), V (Y ) > 0. Dann heißt ϱ(x, Y ) := Cov(X,Y ) der Korrelationskoeffizient von X und Y. V (X) V (Y ) Satz 7.8.5: X, Y seien ZV aus Def Dann gilt: a) ϱ(x, Y ), dabei nennt man X und Y unkorreliert, positiv korreliert, negativ korreliert, falls ϱ(x, Y ) = 0 ist, (vgl. o.) falls ϱ(x, Y ) > 0 ist, falls ϱ(x, Y ) < 0 ist b) ϱ(x, Y ) = + (bzw. -) Y = a + bx (fast sicher) für geeignete Konstante a IR und b > 0 (bzw. b < 0) Fasst man die Messwertpaare (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) als Realisation von einem Paar (X, Y ) von ZV auf, so ist (vergl. (6..6)) (xy x y) 2 b b 2 = (x 2 x 2 )(y 2 y 2 ), 56

8 wobei b (b 2 ) die Steigung der ersten (zweiten) Regressionsgerade ist, ein Schätzwert für (ϱ(x, Y )) 2. Damit wäre folgender Ausdruck ein Schätzwert für ϱ(x, Y ): (7.8.2) ˆϱ = xy x y x 2 x 2 y 2 y 2 Es gilt also: Beide Regressionsgeraden sind gleich b 2 = /b ˆϱ =. Außerdem gilt analog zu Satz 7.8.5b) nach (6..6): (7.8.3) ˆϱ = b b 2 = Alle Punkte (x i, y i ) liegen (exakt) auf einer Geraden. Allgemein gilt: (7.8.4) ˆϱ. Zur Bedeutung von ϱ: ˆϱ = xy x y x 2 x 2 y 2 y 2 = xy x y x 2 x 2 x 2 x 2 V ar(xi ) = b y 2 y 2 V ar(y i ) Ist also ( ϱ(x, Y ) := Cov(X, Y ) ) > 0 (< 0), (X) (Y ) so sind bei größeren Meßergebnissen x i bei der Meßgröße X entsprechend größere (kleinere) Meßergebnisse y i bei der Meßgröße Y zu erwarten, und zwar umso stärker, je größer ϱ ist. 7.9 Gesetz der großen Zahl Def. 7.9.: Eine unendliche Folge von ZV X, X 2,..., heißen eine Folge unabhängiger ZV, wenn je endlich viele der ZV unabhängig sind. Satz 7.9. (Tschebyscheff-Ungleichung): P ( X E(X) t (X)) t 2 Satz (Folgerung): Unter den Voraussetzungen von Satz b) gilt: P ( X +X X n n Satz (Starkes Gesetz der großen Zahl): µ α) 2 α 2 n (n IN, α > 0) a) Es sei X, X 2,... eine Folge unabhängiger ZV, die alle die gleiche Verteilung, den gleichen Erwartungswert µ und die gleiche Varianz 2 besitzen. Dann gilt: X +X X n n µ für n (fast sicher) b) A Ω sei ein Ereignis bei einem Zufallsexperiment, das beliebig oft wiederholt wird, und P (A) sei eine Wahrscheinlichkeit. Dann gilt für die rel. Häufigkeiten (vgl. Def ) h n (A) P (A) für n (fast sicher) 7.0 Zentraler Grenzwertsatz Satz 7.0.: Unter den Voraussetzungen von Satz a) gilt: P (a X + X X n n µ n b) Φ(b) Φ(a) für n, d.h. 57

9 Φ(b) Φ(a) für große n Bem. : Häufige Anwendung von Satz 7.0.: Annahme, dass eine unbekannte Verteilung durch eine Normalverteilung angenähert werden kann. Diese Anmahme ist nicht immer gerechtfertigt. 58

Unabhängige Zufallsvariablen

Unabhängige Zufallsvariablen Kapitel 9 Unabhängige Zufallsvariablen Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurückgeführt. Im Folgenden sei Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition

Mehr

Varianz und Kovarianz

Varianz und Kovarianz KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen 47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

11.4 Korrelation. Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient

11.4 Korrelation. Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient 11.4 Korrelation Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient (X 1,X 2 ) = cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 Korrelationskoeffizient der Zufallsgrößen

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2 Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen

Mehr

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt. Normalverteilung Diskrete Stetige f(x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Gauß 91 / 169 Normalverteilung Diskrete Stetige Satz: f aus (1) ist Dichte. Beweis: 1. f(x) 0 x R und σ > 0. 2. bleibt z.z. lim F(x)

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen David Geier und Sven Middelberg RWTH Aachen, Sommersemester 27 Inhaltsverzeichnis Information 2 Aufgabe 4 Aufgabe 2 6 4 Aufgabe

Mehr

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2]

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 20 2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 2.1 Kap. 25: Beschreibende Statistik 25.3 Übungsaufgabe 25.3 a i. Arithmetisches Mittel: 10.5 ii. Median: 10.4 iii. Quartile: x 0.25 Y 4 10.1, x 0.75 Y 12 11.1 iv. Varianz:

Mehr

Klausur Stochastik und Statistik 18. September 2012

Klausur Stochastik und Statistik 18. September 2012 Klausur Stochastik und Statistik 18. September 2012 Prof. Dr. Matthias Schmid Institut für Statistik, LMU München Wichtig: ˆ Überprüfen Sie, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist. Die Klausur besteht

Mehr

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK)

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) für Studierende des Maschinenbaus vom 7. Juli (Dauer: 8 Minuten) Übersicht über die

Mehr

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R

Mehr

Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK. für Studierende der INFORMATIK

Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK. für Studierende der INFORMATIK Institut für Stochastik Prof. Dr. Daniel Hug Name: Vorname: Matr.-Nr.: Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK Datum: 08. Februar 0 Dauer:

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 13

Ü b u n g s b l a t t 13 Einführung in die Stochastik Sommersemester 06 Dr. Walter Oevel 5. 6. 006 Ü b u n g s b l a t t 3 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von -Aufgaben

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11.

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11. Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11 Namensschild Dr. Martin Becker Hinweise für die Klausurteilnehmer

Mehr

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung

Mehr

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren. Definition Ist X X,...,X p ein p-dimensionaler Zufallsvektor mit E X j < für alle j, so heißt

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

STETIGE VERTEILUNGEN

STETIGE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Mehr

Grundlagen der Mathematik II (LVA U)

Grundlagen der Mathematik II (LVA U) Dr. Marcel Dettling 21.05.2010 Dr. Daniel Haase FS 2010 daniel.haase@math.ethz.ch Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U 11 Zur Übungsstunde vom 21.05.2010 Aufgabe 31 (Rechnen mit der Normalverteilung

Mehr

Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013

Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013 Klinische Forschung WWU Münster Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik Praktikum der Medizinischen Biometrie (3) Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive

Mehr

Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass

Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass f Z (z) = Pr[Z = z] = x W X Pr[X + Y = z X = x] Pr[X = x] = x W X Pr[Y = z x] Pr[X = x] = x W X f X (x) f Y (z x). Den Ausdruck

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik SS 2012 (Vorlesung von Prof. Reinhard Bürger) 1) Man gebe für die folgenden Experimente Wahrscheinlichkeitsmodelle an: (a) Wurf mit einer homogenen Münze,

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die

Mehr

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Diskrete Zufallsvariable

Diskrete Zufallsvariable Diskrete Zufallsvariablen Slide 1 Diskrete Zufallsvariable Wir gehen von einem diskreten W.-raum Ω aus. Eine Abbildung X : Ω Ê heißt diskrete (numerische) Zufallsvariable oder kurz ZV. Der Wertebereich

Mehr

Mathematische Ökonometrie

Mathematische Ökonometrie Mathematische Ökonometrie Ansgar Steland Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum, Germany ansgar.steland@ruhr-uni-bochum.de Skriptum zur LV im SoSe 2005. Diese erste Rohversion erhebt keinen Anspruch

Mehr

Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012

Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012 Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012 Prof. Dr. Matthias Schmid Institut für Statistik, LMU München Wichtig: ˆ Überprüfen Sie, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist. Die Klausur besteht aus fünf

Mehr

Stochastik I - Formelsammlung

Stochastik I - Formelsammlung Stochastik I - Formelsammlung Ereignis Ergebnisraum: Ω von Julian Merkert, Wintersemester 2005/06, Prof. Bäuerle Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Ereignis: A Ω Elementarereignis: {ω}, ω Ω A B := AB

Mehr

15.5 Stetige Zufallsvariablen

15.5 Stetige Zufallsvariablen 5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5 Inhaltsverzeichnis Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite 1.0 Erste Begriffsbildungen 1 1.1 Merkmale und Skalen 5 1.2 Von der Urliste zu Häufigkeitsverteilungen 9 1.2.0 Erste Ordnung

Mehr

P n (k) f(k) = 1 σ 2π e ) 2. σ 2π

P n (k) f(k) = 1 σ 2π e ) 2. σ 2π 53 Allgemein gilt der folgende Satz. Satz 6.1 (Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace) Die Wahrscheinlichkeit P n (k) einer Binomialverteilung (mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einzelexperiment)

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

0, t 0,5

0, t 0,5 XIII. Die Normalverteilung ==================================================================. Der lokale Grenzwertsatz --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung

4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung 4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung Häufig werden mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachtet, z.b. Beispiel 4.1. Ein Computersystem bestehe aus n Teilsystemen. X i sei der Ausfallzeitpunkt

Mehr

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift

Stochastik I. Vorlesungsmitschrift Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................

Mehr

Zusammenfassung Stochastik I + II

Zusammenfassung Stochastik I + II Zusammenfassung Stochastik I + II Stephan Kuschel Vorlesung von Dr. Nagel Stochastik I: WS 007/08 Stochastik II: SS 008 zuletzt aktualisiert: 7. Juli 009 Da diese Zusammenfassung den Menschen, die sie

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Nachhol-Klausur - Schätzen und Testen - Wintersemester 2013/14

Nachhol-Klausur - Schätzen und Testen - Wintersemester 2013/14 Prof. Dr. Rainer Schwabe 08.07.2014 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mathematische Stochastik Nachhol-Klausur - Schätzen und Testen - Wintersemester 2013/14 Name:, Vorname: Matr.-Nr.

Mehr

Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler

Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler Hartmut Lanzinger Wintersemester 0/ Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeiten Einführung.......................................... Laplacesche Wahrscheinlichkeitsräume...........................

Mehr

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 9. Übung SS 16: Woche vom 5. 6. 10. 6. 2016 Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt

Mehr

Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln. des Produktes Wurfergebnis P (X = k) 1 (1, 1) 1/36

Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln. des Produktes Wurfergebnis P (X = k) 1 (1, 1) 1/36 Lösungsvorschläge zu Blatt ) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit Würfeln Mögl. Werte k des Produktes Wurfergebnis P X = k), ) /6, ),, ) /6, ),, ) /6, ),, ),, ) /6 5, 5), 5, ) /6 6, 6),,

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne

Mehr

Vorlesung 8a. Kovarianz und Korrelation

Vorlesung 8a. Kovarianz und Korrelation Vorlesung 8a Kovarianz und Korrelation 1 Wir erinnern an die Definition der Kovarianz Für reellwertige Zufallsvariable X, Y mit E[X 2 ] < und E[Y 2 ] < ist Cov[X, Y ] := E [ (X EX)(Y EY ) ] Insbesondere

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 1

Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 1 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. ) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. a) Schreiben Sie alle Elemente des Grundraums in Form einer Matrix auf. b) Wie

Mehr

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Mehr

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 1 Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 Aufgaben zu Kapitel 5 Zu Abschnitt 5.1 Ü5.1.1 Finden Sie eine maximum-likelihood-schätzung

Mehr

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Jan Gertheiss LMU München Sommersemester 2011 Vielen Dank an Christian Heumann für das Überlassen von TEX-Code! Testen: Einführung und Konzepte

Mehr

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente... Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Prüfungsteil 2, Aufgabe 8 Stochastik

Prüfungsteil 2, Aufgabe 8 Stochastik Prüfung Mathematik Nordrhein-Westfalen 2013 (LK) Aufgabe 8: (WTR) Abitur Mathematik: Prüfungsteil 2, Aufgabe 8 Nordrhein-Westfalen 2012 LK Aufgabe a (1) und (2) 1. SCHRITT: VERTEILUNG ANGEBEN Da die Anzahl

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 3. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 3. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 3. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Martin Hutzenthaler & Dirk Metzler 11. Mai 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Deterministische und zufällige

Mehr

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen

Mehr

1. Ziehg.: N M. falls nicht-rote K. in 1. Ziehg. gezogen

1. Ziehg.: N M. falls nicht-rote K. in 1. Ziehg. gezogen 6.4 Hyergeometrische Verteilung Gegeben ist eine Urne, die mit N Kugeln gefüllt ist. Es seien M dieser Kugeln rot und N-M Kugeln nicht rot. Wir entnehmen n Kugeln, d.h. eine Stichrobe des Umfangs n. Dabei

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler 31. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Binomialverteilung 1 2 Normalverteilung 2 3 T-Verteilung

Mehr

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 0.6 x 0.4 5 x (i) P x (x)

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

falls rote Kugel im 1. Zug gezogen Die Ziehungen sind daher nicht unabhängig voneinander. Damit liegt kein Bernoulli-Prozess

falls rote Kugel im 1. Zug gezogen Die Ziehungen sind daher nicht unabhängig voneinander. Damit liegt kein Bernoulli-Prozess 6.4 Hypergeometrische Verteilung Gegeben ist eine Urne, die mit N Kugeln gefüllt ist. Es seien M dieser Kugeln rot und N-M Kugeln sind nicht rot. Wir entnehmen n Kugeln, d.h. Stichproben vom Umfang n.

Mehr

Multivariate Verteilungen

Multivariate Verteilungen Multivariate Verteilungen Zufallsvektoren und Modellierung der Abhängigkeiten Ziel: Modellierung der Veränderungen der Risikofaktoren X n = (X n,1, X n,2,..., X n,d ) Annahme: X n,i und X n,j sind abhängig

Mehr

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern.

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern. 10. Stetige Zufallsvariable, Normalverteilung 55 Die in den folgenden Beispielen dargestellten Verteilungen haben ungefähr Glockenform. Sie können durch die sogenannte Normalverteilung oder Gaussverteilung

Mehr

2.1 Gemeinsame-, Rand- und bedingte Verteilungen

2.1 Gemeinsame-, Rand- und bedingte Verteilungen Kapitel Multivariate Verteilungen 1 Gemeinsame-, Rand- und bedingte Verteilungen Wir hatten in unserer Datenmatrix m Spalten, dh m Variablen Demnach brauchen wir jetzt die wichtigsten Begriffe für die

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am 5..201 von 10:00 bis 11:00 Uhr Bearbeiten Sie zwei der drei folgenden Aufgaben! Sätze aus der Vorlesung und den Übungen dürfen Sie ohne

Mehr

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr