WS 2008/09. Diskrete Strukturen

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1 WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel IV Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings 2

3 Das Heiratsproblem Gegeben seien heiratswillige Damen und Herren. Jede Dame gibt an, mit welchem der Herren sie sich eventuell vermählen würde. Das Problem besteht nun darin, möglichst viele Damen so zu verheiraten, dass jede Dame einen Herren ihrer Wahl erhält, und dass selbstverständlich keine zwei Damen mit demselben Herrn verheiratet sind. 3

4 Das Heiratsproblem 4 Der einer konkreten Situation zugrundeliegende bipartite Graph. Das Problem: Finde eine maximale Menge M von Kanten, so dass keine zwei Kanten aus M einen gemeinsamen Endknoten haben.

5 Job-Zuordnung Gegeben m Arbeitnehmer mit unterschiedlichen Fähigkeiten und n Jobs. Gesucht ist eine Zuordnung, so dass möglichst viele Jobs vermittelt werden. 5

6 Job-Zuordnung Gesucht ist eine Zuordnung, so dass möglichst viele Jobs vermittelt werden. P1 P2 P3 P4 Zuordnung P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 6 J1 J2 J3 Bipartiter Graph J1 J2 J3 J1 J2 J3 Optimale Zuordnung

7 Matchings Definition: Sei G = (V,E) ein Graph. M E heißt Matching in G, falls alle Kanten in M paarweise disjunkt sind, d.h. kein Knoten ist zu mehr als einer Kante inzident. Ein Knoten wird von M überdeckt, wenn er inzident zu einer Kante M ist. 7

8 Matchings 8 Definition: Sei G = (V,E) ein Graph. M heißt perfektes Matching, falls jeder Knoten durch genau eine Kante M überdeckt ist, d.h. M = V / 2. D.h., Graphen mit ungerader Anzahl Knoten enthalten kein perfektes Matching. M ist die Größe des Matchings.

9 Matching und perfektes Matching: 9 (größtes) Matching eines Sterngraphen

10 Matchings in bipartiten Graphen. Satz (Heiratssatz Hall 1935): Für einen bipartiten Graphen G = (A, B, E) gibt es genau dann ein Matching M der Kardinalität M = A, wenn gilt (X) X für alle X A. Hierbei ist (X) die Nachbarschaft der Knotenmenge X, d.h. (X) = v X (v). 10

11 Matchings in bipartiten Graphen. Der Name Heiratssatz stammt daher, dass es nach diesem Satz möglich ist, jede Frau zu verheiraten, wenn es für jede Gruppe von Frauen mindestens genauso viele Männer gibt, die sich für wenigstens eine der Frauen in der Gruppe interessieren. 11

12 Beweis des Heiratssatzes. Wir beweisen die Kontraposition. Wenn es ein X µ A gibt mit X > (X) ist, dann können nicht alle Knoten aus X zugleich gematcht werden. Es gibt also kein matching M mit M = A. 12

13 13 Wir müssen zeigen: wenn (X) X für alle X A, dann gibt es ein Matching M mit M = A. Beweis durch Widespruch. Annahme: es gilt (X) X für alle X A und es gibt kein Matching M mit M = A. Sei M ein Matching maximaler Kardinalität (d.h., kein Matching enthält mehr Kanten).

14 Lemma: Es gibt einen Pfad 1. bei dem sich gematchte und ungematchte Kanten (bezüglich M ) abwechseln, und 2. Anfangs- und Endknoten ungematcht sind. 14 Beweis des Lemmas: Da M < A gibt es einen Knoten a = a 0 A der in M ungematcht ist. Wir beginnen in a 0 eine Breitensuche wobei wir in den ungeraden Schichten (also von A aus) nur ungematchte und in den geraden Schichten (also von B aus) nur gematchte Kanten verwenden.

15 Die Breitensuche definiert einen Baum von G. Grafische Darstellung der Vorgehensweise. b1 a2 b0 a1 b4 a5 b2 a3 a0 b5 a6 b6 a7 b3 a4 b7 a8 b8 15

16 Behauptung: wenn nach Vollendung einer geraden Schicht (mit gematchten Kanten) alle Blätter des BFS-Baums gematcht sind, dann kann die alternierende BFS forgesetzt werden. Seien A (bzw. B ) die Knoten des aktuellen BFS- Baums in A (bzw. B ). Da alle Knoten von B mindestens ein Kind in A haben, gilt A > B. Mit X=A gilt auf Grund der Annahme (A ) A > B. Damit kann die Suche 16 fortgesetzt werden und die Behauptung gilt.

17 17 Da G endlich ist, muss die BFS irgendwann terminieren. Aus der Behauptung folgt, dass sie nur nach Vollendung einer geraden Schicht (mit gematchten Kanten) terminieren kann, die einen ungematchtes Blatt b i enthält. Dann erfüllt der Pfad, der im Baum von a 0 zu b i führt, die Bedingungen 1. und 2. Ende des Beweises des Lemmas.

18 Also existiert ein Pfad wie in folgender Abbildung: u 0 v 1 u 1 v 2 u 2 u k-1 v k Vertauscht man auf diesem Pfad gematchte und ungematchte Kanten 18 u 0 v 1 u 1 v 2 u 2 u k-1 v k dann erhält man ein neues Matching M mit M = M + 1, was die Maximalität von M widerspricht.

19 Aus dem Heiratssatz kann direkt das folgende Korollar abgeleitet werden. Korollar: Sei G ein k-regulärer bipartiter Graph. Dann enthält G ein perfektes Matching. Beweise: Durch einfaches Nachprüfen! 19