3. Übungsblatt zur Analysis II

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1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. R. Farwig Ch. Komo J. Prasiswa R. Schulz SS Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G (Äquivalenz von Normen) i) etrachten Sie den Vektorraum R n mit der -Norm, der Euklidschen Norm und der Maimumnorm. Zeigen Sie, dass für alle R n n, n gilt und dass die vier auftretenden Konstanten optimal sind. ii) eschreiben Sie die offenen Einheitskugeln U () = { R : p < } des R für p {,, }. i) = = ma k k=,...,n ma k = k=,...,n k=,...,n k = n ma k=,...,n k = n ( ma k=,...,n k ) k=,...,n k = n( ma k=,...,n k ) = n Für = (,,..., ) gilt Für = (,,..., ) gilt Somit sind die Konstanten optimal. = = =. =, = n, = n. ii) Für p = ist der Einheitsball das Innere eines Oktaeders mit den Ecken: (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) und (,, ). Für p = ist der Einheitsball das Innere einer Kugel mit Radius um den Ursprung. Der Einheitsball in Maimumsnorm ist das Innere eines n-dimensionaler Würfel mit Kantenlänge und den Ecken (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) und (,, ).

2 . Übung Analysis II Aufgabe G (Topologische egriffe) Das Innere Å einer Menge A Rn ist die Menge aller inneren Punkte von A. Der Abschluss A von A (auch abgeschlossene Hülle) ist die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in A liegen. Das heißt A := { R n : = lim k a k, a k A}. i) Zeige, dass gilt. ii) Zeige, dass gilt. Å = O A = A, abgeschlossen i) Ist A ein innerer Punkt, so eistiert eine Umgebung U A von, daraus folgt, dass in O liegt. Liegt in O, so eistiert ein A welches offen ist und enthält, d.h. ist ein innerer Punkt. ii) Für A gibt es eine Folge (a k ) k N die gegen konvergiert. Angenommen für A eistiere eine abgeschlossene Menge A, welche nicht enthalte. Alle a k liegen in A und damit in, d.h. ist ein Häufungspunkt von. Wir haben / angenommen, somit ist nicht abgeschlossen. Dies ist ein Widerspruch, somit gilt A. Sei nun A, abgeschlossen A, abgeschlossen wir unterscheiden zwei Fälle. Wenn in A liegt, so ist A. Sei / A, angenommen es eistiere eine Umgebung U von, die kein Element von A enthalte damit ist auch ausgeschlossen, dass eine Folge in A gegen konvergiert. Dann ist = R n \ U A abgeschlossen und /, dies ist ein Widerspruch. Also enthalten alle Umgebungen von Punkte aus A, somit ist A. Aufgabe G (Ein eispiel) Es sei i) Skizzieren Sie A. A = [, ] [, ] \ ii) Geben sie alle Häufungspunkte von A an. n N + { n } [, n ]. iii) Geben Sie den Rand A, das Innere Å und die abgeschlossene Hülle A von A an. iv) Ist A offen? Ist A abgeschlossen?

3 . Übung Analysis II ii) Alle Punkte im Rechteck R = [, ] [, ] sind Häufungspunkte von A. etrachte eine Umgebung U ε (), < ε wir unterscheiden Fälle. Falls R und / {,,,... } dann ist y = + (, ε ) (oder y = (, ε )) in A enthalten. Andernfalls gilt = n für ein n N, dann liegt r in A. iii) Wir zeigen, dass y = + ( min{ε, n }, ) A = M = [, ] {, } {, } [, ] n N + { n } [, n ] gilt: Dass jede Umgebung von C einen Punkt in A enthält folgt aus ii), da C R. etrachten wir erneut ein Umgebung U ε (), < ε. Falls = n für ein n N, so ist y = + (, ε ) (oder y = (, ε )) in R \ A enthalten. Gilt {, } so ist y = + ( ε, ) (oder y = ( ε, )) in R \ A enthalten. Für {, } ist analog y = + (, ε ) (oder y = (, ε )) in R \ A enthalten. Somit enthält jede Umgebung von einen Punkt aus dem Komplement von A. Damit ist Randpunkt. Weiterhin gilt Å = D = R \ A = (, ) (, ) \ n N + { n } (, n ]. Für einen beliebigen Punkt aus D mit ( n +, n ), setzte ɛ = min{ n +, n,, } es folgt U ɛ () D. Damit ist ein innerer Punkt. Falls = n, so setze Damit gilt D = Å. ɛ = min{,,, ( n ) } es folgt U ɛ () D. A R folgt aus der Tatsache, dass alle Häufungspunkte und alle inneren Punkte in A liegen. Da R \R offen ist, findet sich für jeden Punkt aus dem Komplement von R eine Umgebung, die einen leeren Schnitt mit A hat. Somit kann keine Folge in A gegen konvergieren. iv) A ist nicht offen, da zum eispiel der Punkt (, ) kein innerer Punkt ist, aber in A liegt. A ist nicht abgeschlossen, da R \ A nicht offen ist. Der Punkt (, ) zum eispiel ist kein innerer Punkt von R \ A. Hausübung Aufgabe H (Offen, abgeschlossen, kompakt) Skizzieren Sie die Mengen (++ Punkte) A = {(, y) R : ma(, y ) < }, = {(, y) R : >, y } und C = {(, y) R : + y },

4 . Übung Analysis II und geben Sie jeweils (mit egründung) an, ob diese offen, abgeschlossen, beschränkt bzw. kompakt sind. estimmen Sie außerdem jeweils die abgeschlossene Hülle der Menge. A C y - - y y zu A: zu : zu C: offen, denn für jedes (, y) A ist < und y <, also gibt es ein ɛ > mit + ɛ < und ein ɛ y > mit y + ɛ y <. Für ɛ = min{ɛ, ɛ y } liegt die ɛ-umgebung um (, y) also in A. Also ist jeder Punkt von A innerer Punkt, d.h. A ist offen. nicht abgeschlossen, denn (, ) ist ein Häufungspunkt von A (jede ɛ-umgebung von (, ) enthält den Punkt ( ɛ, ) A) aber (, ) / A. beschränkt, da für alle (, y) A gilt nicht kompakt, da nicht abgeschlossen. A = {(, y) R : ma(, y ) }. (, y) = + y + = 8. nicht offen, denn (, ), aber (, ) ist kein innerer Punkt von, denn in jeder ɛ-umgebung von (, ) liegt der Punkt (, + ɛ ), der nicht zu gehört. nicht abgeschlossen, denn (, ) ist Häufungspunkt (egründung wie oben), aber (, ) /. nicht beschränkt, denn (, n) n N und lim (, n) = lim 9 + n =. n n nicht kompakt, da nicht abgeschlossen. = {(, y) R :, y }. nicht offen, denn (, ) C, aber ist kein innerer Punkt. abgeschlossen, denn C = {(, y) R : + y = } C. nicht beschränkt, denn (n, ) C n N. nicht kompakt, da nicht beschränkt. C = C. Aufgabe H (Äquivalenz von Normen) ( Punkte) eweisen Sie, dass zwei Normen und auf einem Vektorraum V genau dann äquivalent sind, wenn sie die gleichen offenen Mengen liefern.

5 . Übung Analysis II Seien die offenen Mengen, die und erzeugen, gleich. Sei, die Einheitskugel bezüglich und, die Einheitskugel bezüglich. Da, offen bezüglich ist, ist sie auch offen bezüglich. Da, gibt es ein ρ >, so dass ρ, = {y V y < ρ},. Sei nun V beliebig. Dann gilt ρ ρ,,. Also ρ ρ. Analog (indem man die Rollen von und vertauscht) zeigt man, dass es ein c > gibt mit c. Also sind die beiden Normen äquivalent. Seien nun die beiden Normen äquivalent und U eine offene Menge bezüglich. Wegen der Äquivalenz können wir c für alle V annehmen. Sei U. Dann eistiert eine Kugel mit Radius ε und Mittelpunkt, ε, () U. Dann gilt ε c, () ε, () U, denn für y ε c, () gilt y c y c ε c. Also ist U auch offen bezüglich. Das offene Mengen bezüglich auch offen bezüglich sind, zeigt man analog. Aufgabe H (Topologie) i) Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge A R n gilt: (+ Punkte) a) A = A A, b) Å = A \ A, c) Å A =, d) Å A = A. ii) Finden Sie ein eispiel dafür, dass im Allgemeinen Å = A nicht gilt. i) a) Ist A so konvergiert die konstante Folge, mit a k = für alle k, gegen somit ist A. Ist ein Randpunkt, so gibt es ein jeder Umgebung von einen Punkt aus A. Wir wählen für k N einen der Punkte aus U k () A als a k aus, die so definierte Folge konvergiert gegen, d.h. A. Somit A A A. Sei A \ A, d.h. / A. Eine Folge (a k ) k N in A konvergiert gegen, d.h. ist ein Häufungspunkt von A. Jede Umgebung von enthält auch einen Punkt aus dem Komplement von A nämlich, d.h. ist ein Randpunkt und A A A. b) Folgt direkt aus den Definitionen. Ist Å, dann gibt es eine Umgebung um die in A liegt, d.h. A aber / A. Ist umgekehrt A \ A, dann gibt es eine Umgebung um welche in A liegt und damit ein innerer Punkt von A. c) Å A = b A \ A A = d) Å A = b) A \ A A = A A = a) = A ii) Ein eispiel ist U =], [ ], [. Dann gilt Ā = [, ] und Ā =], [ A. 5

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