Grundlagen der Elektrotechnik

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1 Grundlagen der Elektrotechnik Kapitel : Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik.1 Belasteter Spannungsteiler. Messschaltungen 4..1 Wheatstone-Messbrücke 4.. Kompensationsschaltung 6. Stern-Dreiecktransformation 7.4 ufgaben

2 . Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik n dieser Stelle sollen Schaltungsvarianten mit einer besonderen Bedeutung in der Elektrotechnik behandelt werden. Dabei handelt es sich um Grundschaltungen, die für besondere nwendungen entwickelt wurden, wie z. B. die Messtechnik..1 Belasteter Spannungsteiler Die für den unbelasteten Spannungsteiler geltenden Zusammenhänge wurden bereits angegeben. Diese Schaltung wird eingesetzt, wenn die Versorgungsspannung eines Systems größer als die Nennspannung des anzuschließenden Verbrauchers ist. Der Spannungsteiler wird dann häufig als Widerstand mit variablem bgriff ausgeführt. n einen Festanschluss und den variablen bgriff wird dann der Verbraucher angeschlossen (bbildung.1.1) bbildung.1.1: Variabler Spannungsteiler mit angeschlossenem Verbraucher Über den veränderlichen Spannungsteiler kann nun die astspannung eingestellt werden. Setzt man die Spannungsteilerregel an, muss die Parallelschaltung des Teilwiderstandes mit dem astwiderstand beachtet werden. Gleichung ( ) Bildet man das Spannungsverhältnis zu ergibt sich Gleichung.1. Gleichung.1. 1 ( ) 1 Da die Werte für 1 und meist nicht direkt bekannt sind, sondern oftmals über die Schleiferstellung ermittelt werden müssen, ist es sinnvoll, sie durch usdrücke von zu ersetzen. Dabei soll angenommen werden, dass es sich bei dem Widerstand um einen Widerstand mit verstellbarem Mittelabgriff handelt (bbildung.1.). Es gilt dann Gleichung.1.. mit [ ] und 1 ( 1 ) Gleichung.1. Es folgt daher für Gleichung.1.:

3 Schleiferstellung Endstellung =1 1 nfangsstellung =0 bbildung.1.: Widerstand mit Mittelabgriff (1 ) ( ) Gleichung.1.4 (1 ) Damit lässt sich der aststrom ermitteln. Gleichung.1.5 ( 1 ) Damit lassen sich Grenzwertbetrachtungen für die Schleiferstellungen =0 und =1 anstellen. Gleichung und 1 Dies stimmt mit den in bbildung.1.1 dargestellten Verhältnissen überein. Es kann weiterhin aus Gleichung.1.4 ein Kennlinienfeld für den aststrom in bhängigkeit von Schleiferstellung und astwiderstand entwickelt werden (bbildung.1.). Die Kurven weisen eine deutliche Krümmung auf. Je kleiner der astwiderstand im Verhältnis zum Schleifwiderstand wird, desto stärker wird die Krümmung. Für einen Widerstand von gegen unendlich ergibt sich aus Gleichung.1.4: /, 1 / max unbelastet = 0 0 =10 1 bbildung.1.: Kennlinienfeld des belasteten Spannungsteilers

4 Für =0 ergibt sich =0. Gleichung.1.7. Messschaltungen Zur Bestimmung eines ohmschen Widerstands können ein mperemeter und ein Voltmeter verwendet werden. Misst man den Strom durch den Widerstand und den Spannungsabfall am Widerstand, kann der Widerstandswert nach dem ohmschen Gesetz berechnet werden. ls Messschaltung kommen die in bbildung..1 angegebenen Schaltungen in Frage. a) b) V V bbildung..1: Messschaltungen zur Bestimmung eines ohmschen Widerstands Beide Schaltungen sind mit einem prinzipiellen Messfehler behaftet. Da ein ideales mperemeter einen nnenwiderstand von Null Ohm hat und das Messergebnis nicht beeinflusst, hat ein reales mperemeter sehr wohl einen messbaren nnenwiderstand. Ein idealer Spannungsmesser hat hingegen einen nnenwiderstand von nendlich, ein realer jedoch einen endlichen. Bei Schaltung a) wird daher zum Widerstandsstrom vom mperemeter der Strom durch den Spannungsmesser addiert. Die Spannung wird korrekt gemessen. Die Schaltung wird daher als spannungsrichtig bezeichnet. m Fall b) wird vom Spannungsmesser der Spannungsabfall am mperemeter mit gemessen. Der Strom wird korrekt angegeben. Entsprechen wird die Schaltung auch als stromrichtig bezeichnet...1 Wheatstone-Messbrücke m diese prinzipiellen Fehler bei der Bestimmung von Widerständen zu vermeiden, wurden Messbrücken entwickelt. Sie bilden einen doppelten Spannungsteiler. Der prinzipielle ufbau der Wheatstone-Messbrücke ist in bbildung..1.1 dargestellt. Dabei handelt es sich um zwei parallel geschaltete Spannungsteiler. Die Widerstände des Spannungsteilers sind dabei so zu bemessen, dass der Stromfluss durch das mperemeter zu Null wird. st dies der Fall, teilt sich bei beiden Spannungsteilern die Versorgungsspannung im gleichen Verhältnis auf die Widerstände auf. Es gilt dann Gleichung Gleichung Ebenso muß Gleichung..1. Gültigkeit haben. Gleichung Bildet man daraus den Quotienten der Spannungsabfälle, erhält man die bgleichbedingung (Gleichung..1.)

5 bbildung..1.1: Wheatstone-Messbrücke 1 1 Gleichung Wie der Spannungsteiler kann diese Messbrücke mit einem Schleifdrahtwiderstand realisiert werden, der die Kombination 1 und ersetzt. Der Widerstand wird weiterhin durch einen Normwiderstand N mit hoher angzeitkonstanz und vernachlässigbarer Temperaturabhängigkeit ersetzt. n Stelle des Widerstands 4 wird der unbekannte, auszumessende Widerstand X eingesetzt. Das Verhältnis von 1 und wird dabei über den Mittelabgriff solange geändert, bis der mperemeter keinen Stromfluss mehr anzeigt. Über die Einstellung am Schleifdraht kann dann der unbekannte widerstand mit Hilfe des bekannten Normwiderstands berechnet werden. bbildung..1. zeigt das Prinzipbild der Messbrücke. Der unbekannte Widerstand berechnet sich dann nach Gleichung N 1 1 N N X X X bbildung..1.: ealisierungsform der Wheatstone-Meßbrücke

6 1 (1 ) N Gleichung..1.4 N X Kompensationsschaltung X Eine Messschaltung zur genauen Bestimmung von Spannungen bildet die Kompensationsschaltung (bbildung...1). Der Strom kann mittels zweier Maschenumläufe bestimmt werden. 1 1 X bbildung...1: Schaltung zur Spannungsmessung Gleichung...1 Daraus ergibt sich: 1 0 Der zweite Maschenumlauf ergibt: X 0 X 0 Gleichung... us dem ersten Maschenumlauf (Gleichung...1) folgt die Bestimmungsgleichung für den Strom. Gleichung... 1 Setzt man dies in Gleichung... ein, ergibt sich: 1 X 1 0 Werden alle usdrücke gleichnamig gemacht, ergibt sich: 1 X Für den Strom ergibt sich daraus Gleichung.1. X Gleichung Für den Fall, dass =0 gilt, liegt ein unbelasteter Spannungsteiler vor mit den entsprechenden Zusammenhängen.

7 . Stern-Dreiecktransformation (nur Elektrotechnik) Für den Fall einer unabgeglichenen Messbrücke (bbildung..1) ist es notwendig den Strom zu bestimmen, um den unbekannten Widerstand 4 zu ermitteln. Betrachtet man die Schaltung genau, ist ersichtlich, dass sie mit Strom- und Spannungsteilerregel nicht berechenbar ist. Gelänge es, eine der Beiden Dreieckschaltungen in eine Sternschaltung umzuwandeln, sind wieder die Gesetze von Strom- und Spannungsteiler anwendbar. Für diese mwandlung gelten Gleichungen..1 bis bbildung..1: nabgeglichene Messbrücke Gleichung Gleichung Gleichung.. 1 Für den umgekehrten Transformationsweg gelten Gleichungen..4 bis..6 Gleichung Gleichung Gleichung..6 1 Die Transformation wird nach der in bbildung.. dargestellten nordnung durchgeführt. Die zu den Konten, B und C fließenden Ströme bleiben dabei in Größe und ichtung erhalten

8 1 1 B C B 1 C B C B 1 C bbildung..: Stern-Dreiecktransformation

9 .4 ufgaben ufgabe.4.1 Bestimmen Sie die Verlustleistung eines belasteten Spannungsteilers in bhängigkeit vom Schleifwiderstand, der Schleiferstellung und dem astwiderstand. ufgabe.4. Gegeben ist der in bbildung.4..1 dargestellte Spannungsteiler. Bestimmen Sie den aststrom und die astspannung zunächst allgemein (Formel) und als Zahlenwert. =100V =0 =40 bbildung.4..1: Spannungsteiler zu.4. ufgabe.4. Gegeben ist ein belasteter Spannungsteiler (bbildung.4..1). Der Spannungsteiler arbeitet auf einen nichtlinearen Widerstand mit der in bbildung.4.. dargestellten Kennlinie. Die Spannung beträgt 0V, der Widerstand hat einen Wert von 8 und die Schleiferstellung beträgt =0,5. Bestimmen Sie den aststrom und die Spannung. bbildung.4..1: Belasteter Spannungsteiler

10 / /V bbildung.4..: Widerstandskennlinie von in ufgabe.4. ufgabe.4.4 (nur Elektrotechnik) Weisen Sie die ichtigkeit der Transformationsvorschrift für die Widerstände bei Dreieck- Sterntransformation nach. ufgabe.4.5 Die Messschaltung zur Spannungsbestimmung mittels Kompensation befindet sich im abgeglichenem Zustand. Der Wert für ist dann 0,5. Der Widerstand beträgt die Hälfte des Schleifwiderstandes. Die unbekannte Spannungsquelle X wird nun umgepolt. Bestimmen Sie den Strom durch X bbildung.4.5.1: bgeglichene Schaltung ufgabe.4.6 Gegeben ist die Schaltung in bbildung Der markierte Schaltungsteil soll in eine Dreieckschaltung umgewandelt werden. Bestimmen Sie dazu den Querwiderstand in der resultierende Brückenschaltung, den Strom durch diesen Widerstand und den Spannungsabfall

11 1 B C B 4 C 5 bbildung.4.6.1: mzuformende Schaltung