Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert 18. Juni HA-Lösung. TA-Lösung

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1 ehnishe niversität Münhen ommer 2016 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger,. ikert 18. Juni 2016 HA-Lösung A-Lösung Einführung in die theoretishe Informtik Aufgenltt 8 Behten ie: oweit niht explizit ngegeen, sind Ergenisse stets zu egründen! Husufgen: Age is zum (Mittwoh) um 12:00 Aufge 8.1 CYK-Algorithmus 2P+2P Wir etrhten die Grmmtik G = ({,,, A, B, C}, {,, }, P, ) in CNF mit den folgenden Produktionen P : C A B AB A B C () Bestimmen ie mit dem CYK-Algorithmus, o L(G) und L(G). Geen ie dei uh die erehneten ellen n. () Beshreien ie eine Erweiterung des CYK-Algorithmus, mit welher für ein gegeens w L(G) lle Aleitungsäume zgl. G erehnet werden können, und wenden ie dieses Verfhren uf die Wörter us () n. () Nh dem CYK-Algorithmus ergeen sih folgende Berehnungstelle: 15, 14 25, , C, 22 C, 33, A 44, A 55 B 15, Also ist L(G) und L(G) , 11, A 22, A 33 B 44 C, 55 C, () Bei der Berehnung von V ij nnotiert mn die Elemente X V ij mit den verwendeten Regeln und dem Index. Im Bsisfll X V ii werden lle Vrilen der Produktion X w i nnotiert. ei X Y Z und sei Y V ik und Z V (k+1)j. Dnn wird X V ij mit (X Y Z, k) nnotiert. 15 (, 1), (, 2), (, 1), ( C, 1) (, 2), ( C, 2) 13 (, 2), (, 1) ( A, 3) 12 (, 1), ( C, 1) 23 (, 2) ( B, 4), ( AB, 4) 11 (C ), ( ) 22 (C ), ( ) 33 ( ), (A ) 44 ( ), (A ) 55 (B ) 1

2 C A B 15 (, 4), (, 3), (, 3) 14 (, 3) ( A, 1) ( AB, 2), ( B, 2) (, 4), ( C, 4) 11 ( ), (A ) 22 ( ), (A ) 33 (B ) 44 (C ), ( ) 55 (C ), ( ) A C A B Aufge 8.2 Infix-Ashluss 3P+1P Wir etrhten eine Zerlegung z = uvw für ds Wort z. Mn ezeihnet u dnn ls Präfix, w ls uffix und v ls Infix. Der Infixshluss einer prhe L ist dnn definiert ls L infix = {v u, w Σ. uvw L}. () Geen ie eine llgemeine Konstruktion n, die us einer CFG G in CNF mit L = L(G) eine Grmmtik G mit L(G ) = L infix erzeugt. () Wenden ie Ihr Verfhren uf die Grmmtik us HA8.1 n. () ei G = (V, Σ, P, ) CFG in CNF mit L = L(G) und L infix = {v Σ u, w Σ : uvw L(G)}. Idee: Es gilt: v L infix gdw. es git einen Aleitungsum zu uvw zgl. G für u, w Σ. Wir shneiden jetzt einen rehten und einen linken eil vom Aleitungsum zu uvw. Hierzu konstruieren wir G = (V V { }, Σ, P P, ) wie folgt: V = { X, X, X X V } P = {X Y Z, X Y, X Y Z, X Z, X Y Z, X Y, X Z X Y Z P } { X, X, X X P } { ε} 2

3 () ε C A B AB A B C C C A A A B B AB A C A B C AB A B B C C C A A A B B AB B A C Aufge 8.3 Pushdown Automten / Kellerutomten 2P+2P+2P Konstruieren ie für die folgenden prhen jeweils einen Kellerutomten. Der Automt soll mit leerem tk kzeptieren. Geen ie zusätzlih für jeden Automten jeweils ein niht-leeres Wort w mit kzeptierendem Luf n. () L 1 = { n 3n n 0} () L 2 = { n m {, } n m 2n} () L 3 = {w {, } 2 w = 3 w } () qx BBB qx ε ε qb BBBB qb pε pb pε (q,, X) (q,, BBB) (p,, BB) (p,, B) (p, ε, ε) () Idee: Für jedes lege nihtdeterministish entweder ein oder zwei uf den tk und üerprüfe dnn, o die gertene Anzhl von s mit der gegeenen üereinstimmt. qx B qx BB qx ε ε qb BB qb BBB qb pε pb pε (q,, X) (q,, BB) (q,, BBB) (p,, BB) (p,, B) (p, ε, ε) () Idee: Verwende tk ls (unären) Zähler und enutze explizites Bottom-ymol, um uf 0 zu testen. Für jedes zähle um 2 (odiert ls XX) hoh und für jedes ziehe 3 (odiert ls Y Y Y ). q XX qx XXX qy p + ε q Y Y Y qy Y Y Y Y qx p ε p + ε X p ε Y Y p ε Y p + Y ε ε p X ε p ε p X ε ε q ε ε (q,, ) (q,, XX ) (p,, X ) (p,, ) (q,, Y ) (q,, Y Y Y Y ) (p +,, Y Y Y ) (q,, Y Y ) (p +, ε, Y ) (q, ε, ) (q, ε, ε) 3

4 Aufge 8.4 Ogdens Lemm 2P Zeigen ie mit Hilfe des Lemms von Ogden (A7.3), dss die folgende prhe niht kontextfrei ist: L = { i j j i j} ei L kontextfrei. Dnn gilt Ogdens Lemm für L. ei p entsprehend dem Lemm für L gewählt. Wir wählen z = p+p! p p L, woei genu p mrkiert sei. Dmit sind in vwx stets höhstens p Zeihen mrkiert. Nh Ogdens Lemm enthält vx mindestens ein. Wir untersheiden zwei möglihe Fälle für vx: vx vx : Dnn git es er eine ngleihgewiht: uv 2 wx 2 y uv 2 wx 2 y und somit uv 2 wx 2 y L. vx = vx : Angenommen es git ein k > 0 mit v = k und x = k. Flls dies niht der Fll wäre, können wir sofort einen Widerspruh mit i = 2 erzeugen. Wir wählen nun i = 1 + p! k N zum ufpumpen. Dnn gilt und somit uv i wx i y L. uv i wx i y = p + p! = (p k) + (1 + p! k )k = uv i wx i y = uv i wx i y D jeder Fll einen Widerspruh erzeugt, ist L niht kontextfrei. 4

5 utorufgen: Besprehung in KW24 Erinnerung: Wir ezeihnen mit L ε (A), die prhe die von einem PDA A mit leerem tk kzeptiert wird. Weiterhin ezeihnen wir mit L F (A), die prhe die von einem PDA A mit Endzuständen kzeptiert wird. Nottion von PDA-Regeln : Ansttt der in den Folien verwendeten hreiweise (q, Y Z) δ(p,, X) für die Ersetzungsregeln eines PDA, shreit mn lterntiv px Y Z (p, q Q, X, Y, Z Γ, Σ) oder stellt diese entsprehend ls Grph mit Knotenmenge QΓ 2 dr, woei die Knte (px, qy Z) dnn mit eshriftet ist. Für den PDA δ(p,, ) = {(p, X )} δ(p,, X) = {(p, XX)} δ(p,, X) = {(p, ε)} δ(p, ε, ) = {(p, ε)} shreit mn dher lterntiv: p px px pxx px p p ε p oder der stellt diesen entsprehend ls Grph mit Knotenmenge Q dr, woei die Knte (p, q) dnn mit, X/Y Z eshriftet ist (siehe Hoproft t l. Introdution to Automt heory, Kpitel 6):, /X, X/ε p ε, /ε, X/XX Aufge 8.1 Deterministishe PDAs In der Vorlesung hen ie ie Lemm 3.65 ohne Beweis gesehen: ei L Σ. Dnn sind äquivlent: () Es git einen DPDA D mit L ε (D) = L () Es git einen DPDA D mit L F (D ) = L und kein Wort us L ist ein ehter Präfix von einem nderen Wort us L. Zeigen ie diese Äquivlenz. ei D mit L ε (D) = L. Erweitere D um explizites Bottom-ymol mit q ε F für lle q Q und q F neuer und einziger Endzustnd. Der so erhltene PDA ist noh deterministish mit L F (D ) = L ε (D). eien u, uv L. D D deterministish, muss D nh Lesen von u stets in derselen Konfigurtion sein, insesondere der tk somit leer, womit uv nur für v = ε kzeptiert werden knn. ei (1) D mit L F (D) = L und (2) kein Wort us L ist ein ehter Präfix eines weiteren Worts us L. Wieder nlog zu llgemeinen PDAs: Erweitere D so zu D, dss eim ersten Erreihen einer Konfigurtion mit Endzustnd einfh der tk deterministish geleert wird, der Automt somit keine weitere Rehnung usführen knn. Offensihtlih gilt dnn: L F (D) L ε (D ). ei w L F (D) \ L ε (D ). Dnn muss die eindeutige kzeptierende Berehnung von D uf w einen Endzustnd mindestens zweiml esuhen und shließlih in einer solhen Konfigurtion enden. Der Fll, dss mn nh dem ersten Besuh einer Endkonfigurtion nur noh ε liest, knn niht sein, d dnn ds gelesene Wort w uh von D noh kzeptiert wird. Dher git es er uh einen ehten Präfix von w, der von D kzeptiert und dmit in L liegt. Widerspruh zu (2). Es knn somit kein solhes w geen. Aufge 8.2 Booleshe Ausdrüke Wir etrhten folgende Grmmtik für ooleshe Ausdrüke üer den ooleshen Vrilen x, y (welhe somit erminle der Grmmtik sind): ( ) ( ) x y Konstruieren ie einen DPDA D mit L(G) = L ε (D). Die Üersetzung von CFG in PDA nh VL würde zu einem nihtdeterministishen Rten, welhe der eiden Relgen ( ) ( ) ngewendet werden soll, führen und somit niht einen DPDA ergeen. In diesem Fll knn mn die Fälle zusmmenführen zu (X op ) mit X op. Dher muss mn keine Aleitung rten. Einführen von Hilfssymolen, um die PDA-Regeln uf die Form QΓ Σ QΓ 2 zu ringen, ergit die folgenden Regeln: 5

6 q ( X op q q x,y ε qx op, X l qx l ) ε Der DPDA lässt sih dnn direkt ls reursive desent prser lesen, woei der tk des DPDA gerde dem Cll-tk entspriht, z.b. in Python: lss RDPrser : def _next_symol ( s e l f ) : i f s e l f. i >= len ( s e l f.w) : rise RuntimeError ( ) s e l f. = s e l f.w[ s e l f. i ] s e l f. i += 1 def _Xl ( s e l f ) : s e l f. _next_symol ( ) i f s e l f. == ) : # qx l ) ε rise RuntimeError ( ) def _Xop( s e l f ) : s e l f. _next_symol ( ) i f s e l f. in [, ] : # qx op, X l s e l f._( ) s e l f. _Xl ( ) else : rise RuntimeError ( ) def _( s e l f ) : s e l f. _next_symol ( ) i f s e l f. == ( : # q ( X op s e l f._( ) s e l f. _Xop( ) e l i f s e l f. == : # q q s e l f._( ) e l i f s e l f. in [ x, y ] : # q x,y qε rise RuntimeError ( ) def p r s e ( s e l f,w) : s e l f.w = w s e l f. i = 0 try : s e l f._( ) exept RuntimeError : print ( " Psrse e r r o r t % s ( p o s i t i o n %s ) i n % s. " % ( s e l f., s e l f. i 1, s e l f.w) ) F l s e s e l f. i == len ( s e l f.w) Aufge 8.3 CFG PDA Wir üen die Üersetzung zwishen CFG und PDA: () Üerführen ie folgende CFG G (trtsymol ) zunähst in CNF 1 und dnn in einen PDA A mit L ε (A) = L(G) \ {ε}: ε () Üersetzen ie folgenden PDA A (trtkonfigurtion qx) in eine CFG G mit L ε (A) = L(G): qx l X[Y XZ] q[y XZ] ε py [XZ] q[xz] ε XZ qx n X qx x,y ε py,o ε qz r ε Nottion : px Y Z steht kurz für (q, Y Z) δ(p,, X). () X X X X X X X X X X X X X X 1 Wenden ie die Regeln in der Reihenfolge (3) (4) (1) (2) n, um eine kompktere Grmmtik zu erhlten. 6

7 qx X X qx X q X X X q qx X X qx qx X X qx X qx () X q,[y XZ],p X p,y,q X q,[xz],p X p,y,p X p,[xz],p X p,y,q o X q,x,p lx q,x,p X p,[y XZ],p nx q,x,p lx q,x,q X q,[y XZ],p X q,x,q nx q,x,q y x lx q,x,p X p,[y XZ],q lx q,x,q X q,[y XZ],q X q,z,q r X q,[xz],q X q,x,q X q,z,q X q,x,p X p,z,q X q,[xz],p X q,x,q X q,z,p X q,x,p X p,z,p X q,[y XZ],q X p,y,q X q,[xz],q X p,y,p X p,[xz],q X q,x,p X q,x,q 7