Lagebeziehung zweier Geraden GTR

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1 Lagebeiehung weier Geraden GTR Es bestehen folgende Möglichkeiten. Die Geraden. schneiden sich oder sind. windschief,. identisch,. parallel und nicht identisch. Gegeben sind die beiden Geraden g: = ( ) ( ) + r und h: = ( ) ( ) + s. Die Schnittbedingung führt um Koeffiientenschema des Gleichungssstems (Stütvektoren wurden usammengefasst): r s Der GTR liefert die Stufenform des Gleichungssstems, aus der u erkennen ist, welcher Fall vorliegt. Ordnen Sie den Stufenformen die Lagebeiehungen u: a) r s b) r s 0 0 c) r s 0 0 d) r s

2 Lagebeiehung weier Geraden GTR Ordnen Sie den Stufenformen die Lagebeiehungen u: c) r s 0 0 Die Geraden schneiden sich. Das LGS ist eindeutig lösbar, hier: r =, s =. Die. Zeile r 0+s 0 = 0 ist für beliebige r und s erfüllt. a) r s Die Geraden sind windschief. r = 0, s = 0 Bis hier sieht es nach einer eindeutigen Lösung aus.. Zeile: Widerspruch s 0 = d) r s Die Geraden sind identisch. Für r und s gibt es unendlich viele Lösungen r +s =.. und. Zeile sind allgemeingültig. b) r s 0 0 Die Geraden sind parallel und nicht identisch.. Zeile: unendl. viele Lösungen. Zeile: Widerspruch, also kein Schnittpunkt. Zeile: allgemeingültig

3 Lagebeiehung wischen Gerade und Ebene GTR Gegeben sind die Gerade g: = ( ) ( ) + t und die Ebene E: = ( ) ( ) ( ) + r + s. Der Schnittpunktansat führt auf ein Gleichungssstem mit Gleichungen und Variablen. a) t r s genau eine Lösung genau ein Schnittpunkt b) t r s keine Lösung g und E sind parallel c) t r s unendlich viele Lösungen g liegt in E

4 Lagebeiehung weier Ebenen GTR Es bestehen folgende Möglichkeiten. Die Ebenen. schneiden sich in einer Geraden oder sind. identisch,. parallel und nicht identisch. Gegeben sind die beiden Ebenen E : = ( ) ( ) ( ) + r + s und E : = ( ) ( ) ( ) + u + v. Die Schnittbedingung führt um Koeffiientenschema des Gleichungssstems (Stütvektoren wurden usammengefasst): r s u v Der GTR liefert die Stufenform des Gleichungssstems, aus der u erkennen ist, welcher Fall vorliegt. Ordnen Sie den Stufenformen die Lagebeiehungen u: a) r s u v b) r s u v c) r s u v d) r s u v

5 Lagebeiehung weier Ebenen GTR Ordnen Sie den Stufenformen die Lagebeiehungen u: b) r s u v Es liegt eine Schnittgerade vor. Die. Zeile u+v = kann nach einer Variablen aufgelöst werden. Durch Einseten gelangt man ur Geradengleichung. d) r s u v Es liegt eine Schnittgerade vor. Die. Zeile liefert v = 0. Durch Einseten gelangt man ur Geradengleichung. c) r s u v Die Ebenen sind identisch. Bei Gleichungen mit Variablen können Variable beliebig vorgegeben werden. a) r s u v Die Ebenen sind parallel aber nicht identisch. Bei Gleichungen mit Variablen können Variable beliebig vorgegeben werden. Die. Zeile beinhaltet einen Widerspruch. Zur Ermittlung der Schnittgeraden: Falls keine einfache Beiehung wie v = 0 (siehe d) eistiert, so sucht man sich eine Gleichung, in der nur r und s oder aber nur u und v vorkommen (siehe b). Da der eine Parameter vom anderen abhängt, kommt man durch Einseten in die entsprechende Ebenengleichung u einer Geradengleichung. Wenn auch dies nicht möglich ist, sind Gleichungen u verwenden, die einen Parameter gemeinsam haben. Durch Eliminieren gelangt man u einer Beiehung von r und s bw. u und v.

6 Lagebeiehungen Aufgaben a) g: = + r, h: = + s b) g: = + r, h: = + s 0 c) g: = + r,, h: = + s, 9 d) E : = + r 0 e) E : = + r 0 + s 0, E : = + u 0 0 f) E : = 0 + r + s g) E : = 0 + r + s s, E : =, E : = + u 0 + v 0 + u + v + v 0 0, E : = + u 0 + v 0 h) g: = 0 + r, E: = + r + s 9 0 i) g: = + r, E: = + r + s 0

7 Lagebeiehungen Aufgaben a) g: = + r, h: = + s Geraden sind windschief. b) g: = + r, h: = + s S( ) 0 c) g: = + r,, h: = + s, 9 Geraden sind identisch. d) E : = + r 0 e) E : = + r 0 + s 0, E : = + u 0 0 f) E : = 0 + r + s g) E : = 0 + r + s s, E : = v Schnittgerade h: = + t + u + v echt parallel, E : = + u + v E = E 0 0, E : = + u 0 + v 0 Schnittgerade h: = + t h) g: = 0 + r, E: = + r + s S( ) 9 0 i) g: = + r, E: = + r + s 0 keine gemeinsamen Punkte 7

8 Lagebeiehungen Gerade/Ebene 0 a) g: = + t 0, E: = + r 8 + s b) g: = + t, E: = c) g: = + t + r, E: = 8 + s + r 8 + s 8 8

9 Lagebeiehungen Gerade/Ebene 0 a) g: = + t 0, E: = + r 8 + s t =, S( ) b) g: = + t, E: = + r + s 8 Gerade verläuft echt parallel ur Ebene. c) g: = + t, E: = 8 + r + s 8 Gerade verläuft in der Ebene. 9

10 Lagebeiehungen Merkblatt Die verschiedenen Möglichkeiten der Lagebeiehungen von gleichen oder verschiedenen Objekten (Geraden, Ebenen) lassen sich aus der Dreiecksform auf einheitliche Weise ablesen. t r s freie (unabhängige) Variablen, Ebene, dimensional freie Variable, Gerade, dimensional keine Variable, Punkt, 0dimensional Zunächst ist u prüfen, ob eine Widerspruchseile der Form vorhanden ist. In diesem Fall schneiden sich die Objekte nicht. Geraden verlaufen dann parallel oder windschief (ur Unterscheidung sind die Richtungsvektoren heranuiehen), in den übrigen Fällen liegt Parallelität vor. Ansonsten betrachten wir die. Gleichung. Sie hat freie Variablen ( könnten beliebig gewählt werden, der Wert der. Variablen ergäbe sich aus der Gleichung). Von n Variablen einer Gleichung sind stets n unabhängig. Jede weitere Gleichung, die nicht nur aus Nullen besteht, verringert die Anahl der freien Variablen um (eine Gleichung könnte nach einer Variablen aufgelöst und in die Andere eingesett werden). Aus der Art der Lösung (Ebene, Gerade, Punkt) kann auf die Lagebeiehung geschlossen werden. Lagebeiehung Gerade/Ebene t r s kein Widerspruch, Variablen, unabhängig, eine unabhängige Variable bleibt übrig, d. h. Punkte einer Geraden als Lösungsmenge, Gerade muss in der Ebene liegen. Lagebeiehung Ebene/Ebene r s u v kein Widerspruch, Variablen, unabhängig, unabhängige Variablen bleiben übrig, d. h. Punkte einer Ebene als Lösungsmenge, Ebenen sind identisch. 0

11 Ebene (.B.) + + = Um u erkennen, dass die Lösungen der Gleichung + + = die Punkte einer Ebene sind, stellen wir die Gleichung nach um: = Für.B. = = 0 erhalten wir =. Wenn der -Wert um vergrößert wird, verringert sich der -Wert um, für = verringert sich der -Wert um, usw. Die Steigung in -Achsenrichtung beträgt daher, und war unabhängig vom -Wert. In -Achsenrichtung beträgt die Steigung

12 Ebene (.B.) + + = Um u erkennen, dass die Lösungen der Gleichung + + = die Punkte einer Ebene sind, stellen wir die Gleichung nach um: = Für.B. = = 0 erhalten wir =. Wenn der -Wert um vergrößert wird, verringert sich der -Wert um, für = verringert sich der -Wert um, usw. Die Steigung in -Achsenrichtung beträgt daher, und war unabhängig vom -Wert. In -Achsenrichtung beträgt die Steigung

13 Ebene + + = v u - - a = a+λ u+µ v

14 Schnitt weier Ebenen 0 0 E : = + r + s, E : = + u + v r s u v Die vielen Nullen oberhalb der Diagonalen könnten verwirren. Aber auch hier sind unächst unabhängige Variablen vorhanden und jede Nicht-Null-Zeile reduiert diese Anahl um. Würdeman die. Zeile ur. addieren unddas Ergebnis ur., wären dienullen oberhalb der Diagonalen verschwunden, ohne dass sich die Lösung verändert hätte. Eine freie Variable verbleibt. Die Schnittmenge besteht daher aus einer Geraden. Aus den Gleichungen r = s v = u = folgt eine Gleichung der Schnittgeraden (v frei wählbar): = + + v 0 = + v 0 oder mit s frei wählbar: 0 = s 0 0 = 0 + s 0 Die Probe auf Übereinstimmung kann mit v = erfolgen.

15 Schnitt dreier Ebenen Drei Ebenen sind jeweils durch Punkte festgelegt: E : A(0 8 ), B( ), C( 0) E : D(0 ), E( 8 ), F( 0) E : G( ), H( 0), I( 7 ) Untersuchen Sie, ob es einen gemeinsamen Schnittpunkt gibt. Falls dies der Fall ist, ermitteln Sie ihn. E : 7 = E : + 8 = 9 E : + = Schnittgeraden: E E g: = + t 0 E E 0 7 h: = 0 + t 0 E E 7 i: = + t S( ) 0

16 Einblicke Gegeben sind die Geraden g: = p+r u und h: = q +s v. Die Schnittbedingung lautet: r u s v = q p. Falls der GTR die Stufenform r s a b liefert, sind die Geraden identisch. Es gilt v = a u und q p = b u. Dies muss man sich nicht merken. Beweis: Aus der ersten Zeile der Matri entnehmen wir r+as = b r = b as, s ist frei wählbar. Den Term für r seten wir in die Schnittbedingung ein, schreiben diese für s + darunter und subtrahieren jeweils die linken und rechten Seiten. q p wird herausfallen und auf der linken Seite eine Linearkombination von u und v übrig bleiben. (b as) u s v = q p (b a(s+)) u (s+) v = q p a u+ v = 0 Dieses in eingesett, ergibt b u = q p. v = a u

17 Einblicke Gegeben sind eine Ebene E: = p+r u+s v und eine Gerade g: = q +t w. Die Schnittbedingung lautet: r u+s v t w = q p. Falls der GTR die Stufenform r s t 0 a c 0 b d 0 liefert, liegt die Gerade in der Ebene. Es gilt w = a u b v und q p = c u+d v. Beweis: Aus der ersten Zeile der Matri entnehmen wir r+at = c r = c at, sowie s+bt = d s = d bt, t ist frei wählbar. Die Terme für r und s seten wir in die Schnittbedingung ein, schreiben diese für t + darunter und subtrahieren jeweils die linken und rechten Seiten. (c at) u (d bt) v t w = q p (c a(t+)) u (d b(t+)) v (t+) w = q p a u+b v + w = 0 w = a u+ b v Dieses in eingesett, ergibt c u+d v = q p. 7

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