Kernfach Mathematik (Thüringen): Abiturprüfung 2015 Pflichtaufgaben Teil A

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1 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 2015 Pflichtaufgaben Teil A 1. Gegeben ist die Funktion f duch f(x) = x 3 3x + 2 (x 0). a) Zeigen Sie, dass t(x) = 3x + 2 eine Gleichung de Tangente an den Gaphen von f im Punkt P(0 f(0)) ist. (2 BE) b) Geben Sie eine Gleichung de Nomalen an den Gaphen von f im Punkt P(0 f(0)) an. (1 BE) 2. Dagestellt sind die Gaphen eine Funktion f und ihe Ableitungsfunktion f '. Odnen Sie den Funktionen die abgebildeten Gaphen A und B zu. Begünden Sie Ihe Zuodnung. (2 BE) 3. Fü jede eelle Zahl a ist eine Funktion f a in ihem gößtmöglichen Definitionsx2 2 beeich duch f a (x) = gegeben. x + a a) Geben Sie den Wet fü a so an, dass de Gaph von f a eine Asymptote mit de Gleichung x = 3 besitzt. (1 BE) b) Begünden Sie, dass de Gaph von f a fü a = 0 eine schäge Asymptote hat. (1 BE) 4. Gegeben ist die Funktion f duch f(x) = 2x + 2 (x 0). a) Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von f, die nu negative Funktionswete besitzen. b) De Gaph de Funktion f schließt mit den Koodinatenachsen die Fläche A vollständig ein. Geben Sie den Flächeninhalt von A an. (2 BE) (1 BE) 5. Gegeben ist die Stecke AB duch die Punkte A(1 2 3) und B(4 4 9). a) Beechnen Sie die Länge de Stecke AB. (1 BE) b) Püfen Sie, ob de Punkt C(0 4 1) auf de Stecke AB liegt. (2 BE)

2 6. In einem Wüfel sind die Vektoen a = AB,b= AD und c = AE gegeben. De Punkt S ist de Schnittpunkt de Diagonalen de Seitenfläche ADHE. Geben Sie die Vektoen AC und SB mithilfe de Vektoen a, b und c an. (2 BE) 7. Fü einen Multiple-Choice-Test weden zu 32 Fagen je vie mögliche Antwoten vogegeben, von denen genau eine ichtig ist. De Test gilt als bestanden, wenn ein Teilnehme meh als 30 Fagen ichtig beantwotet. Max keuzt zufällig und ohne Kenntnisse po Fage eine Antwot an. a) Geben Sie den Ewatungswet fü die Anzahl de ichtigen Antwoten an. (1 BE) b) Odnen Sie den Eeignissen A, B und C die entspechenden Gleichungen zu Beechnung de Wahscheinlichkeit zu. A := Max hat alle Fagen falsch beantwotet. B := Max besteht den Test. C := Max hat nu die este Fage ichtig beantwotet. (2 BE) 8. In eine Schule sind 20 % de Schüle Linkshände. 10 % de Linkshände spielen Volleyball. Von den Rechtshänden spielen 30 % Volleyball. Ein Schüle de Schule wid zufällig ausgewählt. Emitteln Sie die Wahscheinlichkeit folgende Eeignisse: A := De ausgewählte Schüle ist ein Rechtshände und spielt Volleyball. B := De ausgewählte Schüle spielt nicht Volleyball. (2 BE) (20 BE)

3 Hinweise und Tipps Aufgabe 1 Teilaufgabe a Die Tangente t an den Gaphen eine Funktion f ist eine Geade mit de Gleichung y = t(x) = m x+ n. Die Tangente t hat mit dem Gaphen von f den Beühpunkt gemeinsam. De Anstieg de Tangente und de Anstieg de Funktion stimmen im Beühpunkt übeein. Teilaufgabe b Die Nomale n an den Gaphen eine Funktion f ist eine Geade mit de Gleichung y= n(x) = a x+ b. Die Nomale n hat mit dem Gaphen von f den Schnittpunkt P gemeinsam. De Anstieg a de Nomalen ist das negative Rezipoke des Tangentenanstiegs m im selben Punkt P. Aufgabe 2 Fü die Zuodnung de Gaphen von Funktion f und Ableitungsfunktion f ' lässt sich z. B. vewenden, dass die Nullstellen von f ' mögliche Extemstellen von f sind. Aufgabe 3 Teilaufgabe a Die Asymptote mit de Gleichung x = 3 ist eine Paallele zu y-achse. Solche Asymptoten entstehen, wenn die Nennefunktion eine gebochenationalen Funktion den Wet null annehmen kann. Teilaufgabe b De Paametewet a = 0 wid in die Gleichung de Funktion f a eingesetzt. Duch Zelegung des Buchtems in zwei Summanden und Betachtung de Funktionswete fü x ± kann ekannt weden, welche lineae Funktion als schäge Asymptote infage kommt. Altenativ kann eine Entscheidung auch übe die Betachtung des Gades von Zähle- und Nennepolynom getoffen weden. Aufgabe 4 Teilaufgabe a Die Menge alle Stammfunktionen eine Funktion f ist das unbestimmte Integal f(x)dx. Da f eine lineae Funktion ist, muss die Menge alle Stammfunktionen duch quadatische Funktionen bescheibba sein, die sich nu duch ihe Integationskonstante untescheiden. Die Integationskonstante bewikt eine Veschiebung de Gaphen de Stammfunktionen in y-richtung. Es ist zu entscheiden, fü welche Wete de Integationskonstanten die Stammfunktionen nu negative Funktionswete besitzen. Hilfeich fü diese Entscheidung sind Untesuchungen übe die Öffnung de Paabeln sowie die Koodinaten ihes Scheitelpunktes bzw. die Existenz von Nullstellen

4 Teilaufgabe b Skizzieen Sie den Gaphen de Funktion f und identifizieen Sie die Fom de eingeschlossenen Fläche. Beechnen Sie den Flächeninhalt. Aufgabe 5 Teilaufgabe a Die Länge de Stecke AB entspicht dem Betag des Vektos AB. De Betag des Vektos kann auch als Abstand von Punkt A zu Punkt B betachtet weden. Nutzen Sie zu Beechnung des Abstandes zweie Punkte zweimal den Satz des Pythagoas. Teilaufgabe b Punkte, die auf de Stecke AB liegen, müssen auch auf de Geaden g(ab) liegen. Fühen Sie hiezu eine Punktpobe duch. Damit de Punkt C auf de Stecke AB liegt, muss fü den Paamete t in de Geadengleichung g: x = OA + t A B die Bedingung 0 t 1 gelten. Altenative zu Teilaufgabe b Untesuchen Sie, ob de Vekto AC ein Vielfaches des Vektos AB ist. Damit de Punkt C auf de Stecke AB liegt, muss fü den Paamete t in de Gleichung AC = t AB die Bedingung 0 t 1 gelten. Aufgabe 6 Stellen Sie die gesuchten Vektoen als Lineakombination aus den gegebenen Vektoen in de Fom AC= a + s b+ t c da, wobei mindestens eine de dei Paamete, s ode t ungleich null sein muss. Beücksichtigen Sie die Regeln de Vektoaddition und de skalaen Multiplikation. Aufgabe 7 Teilaufgabe a Da diese Vogang mit dem Modell de Binomialveteilung beschieben weden kann, lässt sich de Ewatungswet nach de Fomel E(X) = np beechnen. Bestimmen Sie die Länge n de Kette sowie die Teffewahscheinlichkeit p. Teilaufgabe b Nutzen Sie ein veküztes Baumdiagamm, um sich die dei Fälle zu vedeutlichen, und odnen Sie die dei Wahscheinlichkeiten zu. Altenative zu Teilaufgabe b Die Einzelwahscheinlichkeiten P(X = k) binomialveteilte Zufallsgößen X mit den Paameten n und p weden beechnet duch: P(X = k) = n k n k ( ) p (1 p) k Odnen Sie hiemit zuteffende Fälle zu. Aufgabe 8 Übetagen Sie die gegebenen Pozentzahlen in ein Baumdiagamm bzw. in eine Viefeldetafel. Wenden Sie die Pfadadditions- bzw. Pfadmultiplikationsegeln an

5 Lösungen 1. a) Tangente t: y= t(x) = m x+ n Funktion f: y= f(x) = x3 3x+ 2 Die Tangente t hat mit dem Gaphen von f den Beühpunkt P(0 f(0)) gemeinsam: f(0) = = 2, also P(0 2) Die Koodinaten von P weden in die Tangentengleichung eingesetzt: 2= m 0+ n n = 2 ( ) De Anstieg de Tangente und de Anstieg de Funktion stimmen im Punkt P(0 2) übeein. Anstieg de Tangente: t'(x) = m t'(0) = m Anstieg de Funktion: f'(x) = 3x2 3 f'(0) = = 3 Es gilt also m = 3 und außedem wegen ( ) n = 2. Die Gleichung de Tangente ist: y= t(x) = 3x+ 2 Altenativ kann auch gepüft weden, ob Funktion f und Tangente t an de Stelle x = 0 den gleichen Funktionswet und den gleichen Anstieg besitzen. Dies ist de Fall: Funktionswet: f(0) = 2 und t(0) = 2 Anstiege: f '(x) = 3x 2 3, also f '(0) = 3, und t'(x) = 3, also auch t'(0) = 3 b) Nomale: y= n(x) = a x+ b Funktion f: y= f(x) = x3 3x+ 2 Schnittpunkt P(0 2) (siehe Teilaufgabe 1 a) Die Koodinaten von P weden in die Nomalengleichung eingesetzt: 2= a 0+ b b= 2 ( ) De Anstieg a de Nomalen ist das negative Rezipoke des Tangentenanstiegs m im selben Punkt P, also gilt a = 1. Mit m = 3 aus Teilaufgabe 1 a ist also a = 1 = 1. m 3 3 Damit und wegen ( ) egibt sich als Gleichung de Nomalen: 1 y= n(x) = x De Gaph B besitzt Nullstellen dot, wo de Gaph A Extemstellen hat. Übedies wechseln die Funktionswete des Gaphen B an seinen Nullstellen das Vozeichen. Damit sind sowohl die notwendigen wie auch die hineichenden Bedingungen fü die lokalen Extempunkte des Gaphen A gegeben. De Gaph A ist somit de Gaph de Funktion f und de Gaph B gehöt zu zugehöigen Ableitungsfunktion f '. 3. a) Die Asymptote mit de Gleichung x = 3 ist eine Paallele zu y-achse. Diese Asymptote entsteht, wenn die Nennefunktion n(x) = x + a de gebochenationalen Funktion f a den Wet null annimmt. Mit x = 3 egibt sich n(3) = 3 + a = 0 fü a = 3. Hinweis: Sie können den Wet a = 3 wegen des Opeatos Geben Sie an ohne Begündung angeben

6 x2 2 b) Mit a = 0 egibt sich f 0 (x) = mit x 0. De Funktionstem lässt sich scheiben in x de Fom: x2 2 2 f 0 (x) = = x x x x Fü x ± geht de Buch 2 x gegen null, d. h., die Diffeenz zwischen den Funktionsweten von f 0 (x) und g(x) = x geht ebenfalls gegen null: 2 lim x x = 0 x ± x Die Geade y = g(x) = x ist schäge Asymptote an den Gaphen von f 0 (x). 4. a) Menge alle Stammfunktionen: F(x) = ( 2x 2) dx x 2 + = + 2x + c mit x 0 Wegen des Faktos 1 vo dem quadatischen Glied de Funktionsgleichung von F(x) sind die Gaphen de Stammfunktionen nach unten geöffnete Paabeln. Nu negative Funktionswete bei F kommen genau dann vo, wenn de Scheitelpunkt de Paabel untehalb de x-achse liegt. Die Koodinaten des Scheitelpunktes von F sind: 2 xs = = 1 und y 2 S= F(x S) = c= 1+ c 2 ( 1) Ausschließlich negative Funktionswete hat F, wenn y S < 0 ist, also wenn 1 + c < 0 gilt: c< 1 Altenative Lösungsweg: Wegen des Minuszeichens vo dem quadatischen Glied sind alle Paabeln nach unten geöffnet. Man hat in diesem Falle ausschließlich negative Funktionswete, wenn die Paabeln keine Nullstellen besitzen. Die Nullstellen weden in Abhängigkeit vom Paamete c bestimmt: x2 + 2x+ c= 0 ( 1) x2 2x c= 0 x1/2 = 1± 1+ c Es gibt keine Nullstellen, wenn de Radikand 1 + c < 0 ist, also haben alle Stammfunktionen mit c< 1 ausschließlich negative Funktionswete. b) Die gesuchte Fläche hat die Fom eines echtwinkligen Deiecks mit den Kathetenlängen 1 LE und 2 LE. De Flächeninhalt ist: 1 A = 1 2= 1[FE] 2 Altenative Lösungsweg: De Flächeninhalt kann auch übe das bestimmte Integal beechnet weden: 1 1 A = ( 2x 2)dx x2 2x + = + = 1+ 2= 1[FE]

7 5. a) Die Länge de Stecke AB duch die Punkte A(1 2 3) und B(4 4 9) wid emittelt mithilfe de Fomel zu Beechnung de Länge eines Vektos: A B = (b x a x) + (b y a y) + ( bz az) Damit egibt sich: AB = (4 1) 2+ (4 ( 2)) 2+ (9 3) 2 = = 81 = 9[ LE] b) Vaiante 1: Punktpobe OC = OA + t AB Es wid untesucht, ob es ein t gibt, welches die Vektogleichung 4 = 2 + t efüllt. Das Lösen des Gleichungssystems 0= 1+ 3t 4= 2+ 6t 1= 3+ 6t füht zu t = 1. Damit ist zunächst gezeigt, dass de Punkt C auf de Geaden g(ab) 3 liegt.da abe t < 0 ist, liegt de Punkt C nicht auf de Stecke AB. Vaiante 2: Pobe auf lineae Abhängigkeit Gilt AC = t AB und 0 t 1, dann liegt de Punkt C auf de Stecke AB. Untesuchung de Vektogleichung = t liefet ebenfalls t = 1. Damit ist gezeigt, dass de Punkt C nicht auf de Stecke AB 3 liegt. 6. Die Aufgabe lässt sich mit dem Vefahen des geschlossenen Vektozuges lösen: Es gilt AC = AB + BC. Da BC = AD ist, folgt AC = AB + AD und damit: AC = a + b Es gilt außedem SB = SA + AB und SA = AS. Weitehin gilt: 1 AS = AH und AH = AE + EH = AE + AD = c + b 2 Setzt man dies nun ückwäts in die voheigen Gleichungen ein, so ehält man: 1 1 SB= a b c 2 2 Hinweis: Da de Opeato Geben Sie an vewendet wude, genügt auch die Angabe des Endegebnisses. 7. a) Da man hie das Modell de Binomialveteilung annehmen kann, lässt sich de Ewatungswet nach de Fomel E(X) = np beechnen. Die Länge de Kette ist n = 32 und die Teffewahscheinlichkeit betägt p = 1 (32-maliges zufälliges Ankeuzen von jeweils 4 Antwotmöglichkeiten). 4 Damit egibt sich fü die Zufallsgöße X: Anzahl de Teffe de Ewatungswet: 1 E(X) = 32 =

8 b) Eeignis A := Max hat alle Fagen falsch beantwotet. Die Wahscheinlichkeit, eine Fage falsch zu beantwoten, betägt: 3 1 p= 4 Alle 32 Fagen falsch zu beantwoten, egibt im Baumdiagamm genau den einen Pfad f-f-f- -f. Demzufolge gehöt zum Eeignis A die Wahscheinlichkeit: 32 3 p1 = 4 Eeignis C := Max hat nu die este Fage ichtig beantwotet. Dies egibt im Baumdiagamm -f-f- -f. Hiezu passt: p2 = 4 4 Damit bleibt fü das Eeignis B := Max besteht den Test. nu die Wahscheinlichkeit p 3 übig. Hinweis: Da de Opeato Odnen vewendet wid, genügt auch hie nu die Angabe de Zuodnung. 8. Vaiante 1: mit Baumdiagamm Abküzungen: L: Linkshände; R: Rechtshände; V: Volleyballspiele; kv: kein Volleyballspiele Eeignis A := De ausgewählte Schüle ist ein Rechtshände und spielt Volleyball. Nach den Regeln de Pfadmultiplikation egibt sich: P(A) = 0,8 0,3 = 0, 24 Eeignis B := De ausgewählte Schüle spielt nicht Volleyball. Nach den Regeln de Pfadmultiplikation und Pfadaddition egibt sich: P(B) = 0, 2 0,9 + 0,8 0,7 = 0,18 + 0,56 = 0,74 Vaiante 2: mit Viefeldetafel Mit den gegebenen dei Weten (fett) lassen sich die beiden gesuchten Wahscheinlichkeiten bestimmen. Volleyballspiele kein Volleyballspiele Anteil Linkshände 0,1 0,2 = 0,02 0,9 0,2 = 0,18 20 % Rechtshände 0,3 0,8 = 0,24 0,7 0,8 = 0,56 80 % 0,26 0, % Hinweis: Da de Opeato Emitteln vewendet wude, muss ein nachvollziehbae Lösungsweg ekennba sein

9 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 2015 Wahlaufgabe B1: Analysis Die Pofillinie eine Achtebahn wid abschnittsweise duch Funktionsgaphen modelliet. Fü den letzten Abschnitt diese Achtebahn mit anschließendem Anhaltebeeich können die Gaphen deie Funktionen g 1, g 2 und g 3 vewendet weden. Die Wete x, g 1 (x), g 2 (x) und g 3 (x) stellen Maßzahlen zu Längenangaben in Meten da. Die Funktionen g 1 und g 3 sind gegeben duch 1 g(x) 3 1 = (x+ 10)(x 50) (0 x 50) und g 3(x) = 5 (70 x 120). De Abschnitt de Achtebahn im Intevall 50 x 70 wid duch den Gaphen eine Funktion g 2 beschieben. Die Übegänge in den Randpunkten des Gaphen g 2 sind ohne Knick zu ealisieen. a) Stellen Sie die Gaphen von g 1 und g 3 in den angegebenen Intevallen in einem geeigneten Koodinatensystem gaphisch da. Skizzieen Sie einen möglichen Velauf des Gaphen von g 2. Beechnen Sie die maximale Höhe de Achtebahn fü 0 x 50. Beechnen Sie die Koodinaten des Punktes, in dem das Gefälle in diesem Intevall am gößten ist. b) Im Punkt P(20 g 1 (20)) tifft ein Sonnenstahl senkecht auf die Bahn. Diese Sonnenstahl schließt mit de Hoizontalen einen Winkel ein. Emitteln Sie die Göße dieses Winkels. Zu einem andeen Zeitpunkt teffen Sonnenstahlen unte einem Winkel von 45 zu Hoizontalen auf die Bahn. Bestimmen Sie die Koodinaten de Punkte auf dem fallenden Beeich des Gaphen von g 1, in denen die Sonnenstahlen senkecht auf die Bahn teffen. c) Gesucht ist eine Gleichung fü den Gaphen von g 2, sodass de Gaph die beschiebenen Eigenschaften besitzt. Eläuten Sie ein Vogehen, um diese zu emitteln. Geben Sie eine mögliche Gleichung fü g 2 an. d) Eine mögliche Gleichung fü g 2 ist 1 g (x) = (x 50) (x 90) (50 x 70) Die Länge k eines Gaphen eine Funktion f im Intevall a x b kann mit de b Gleichung k = 1 (f'(x)) 2 + dx beechnet weden. Fü das Intevall 0 x 50 a wude mit diese Gleichung die Länge k 1 60 m emittelt. Beechnen Sie die Länge de Bahn im Intevall 0 x 120. (6 BE) (4 BE) (4 BE) (3 BE)

10 e) Um die aktuelle Geschwindigkeit de Wagen de Achtebahn anzuzeigen, sind diese jeweils mit einem Tachomete ausgeüstet. Mit Beginn des Bemsvoganges zeichnet ein Tachomete folgende Daten auf: Zeit t seit Beginn de Messung in s Geschwindigkeit v in m / s ,5 0 (Est nach 10 Sekunden kommt de Wagen zum Stillstand.) Emitteln Sie eine Gleichung fü eine Funktion v in Abhängigkeit von t, die diesen Sachvehalt näheungsweise bescheibt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt de Fläche zwischen dem Gaphen de Funktion v und de t-achse im Intevall 0 t 10. Intepetieen Sie dieses Egebnis im Zusammenhang mit dem Sachvehalt. (3 BE) (20 BE)

11 Hinweise und Tipps Aufgabe a Zeichnung und Skizze Definieen Sie auf Ihem CAS-Rechne die gegebenen Funktionsteme unte geeigneten Vaiablen. Beachten Sie die besondes einfache Dastellungsmöglichkeit fü den Gaphen von g 3. Lassen Sie sich die Gaphen von g 1 und g 3 in den gegebenen Intevallen anzeigen. Übetagen Sie die Gaphen auf Papie, nutzen Sie gegebenenfalls den CAS-Rechne zu Anzeige von Funktionsweten. Skizzieen Sie einen möglichen Velauf des Gaphen von g 2. Achten Sie daauf, dass die Übegänge zu den beiden andeen Gaphen möglichst knickfei sind. Maximale Höhe Die maximale Höhe de Achtebahn können Sie zu Kontollzwecken beeits aus de gafischen Dastellung emitteln. Da eine Beechnung velangt wid, müssen Sie die maximale Höhe als Koodinaten des lokalen Hochpunktes mithilfe de 1. und 2. Ableitungsfunktion von g 1 ode mithilfe von fmax() bestimmen. Gößtes Gefälle Das Gefälle bescheibt die Ändeungsate von g 1 echts vom Hochpunkt, also in dem Beeich, in dem die Funktion g 1 monoton fallend ist. Die Ändeungsate von g 1 wid duch die 1. Ableitungsfunktion g 1 ' beschieben. Das Gefälle ist also dot am gößten, wo g(x) 1 ' ein lokales Minimum bzw. g 1(x) einen Wendepunkt besitzt. Das lokale Minimum wid deshalb gesucht, weil die Funktion in dem betachteten Intevall steng monoton fallend ist und die Anstiege negativ sind. Zu Kontollzwecken können Sie sich die Koodinaten des Wendepunktes in de gafischen Dastellung anzeigen lassen. Da abe eine Beechnung velangt wid, müssen Sie die Koodinaten des gesuchten Punktes mithilfe de 2. und 3. Ableitungsfunktion von g 1 ode mithilfe von fmin() bestimmen. Aufgabe b Winkel im Punkt P emitteln Veanschaulichen Sie sich die beschiebene Situation in eine Skizze. Die Fomulieung Emitteln Sie elaubt sowohl eine echneische als auch eine geometische Emittlung des gesuchten Winkels. Machen Sie sich kla, dass de gesuchte Winkel übe den Anstieg de Nomalen zum Gaphen von g 1 im Punkt P emittelt weden kann. Beachten Sie die Einstellung des ichtigen Winkelmaßes auf dem CAS-Rechne. Punkte finden Wenn die Sonnenstahlen unte einem Winkel von 45 zu Hoizontalen und senkecht zum Gaphen von g 1 einfallen sollen, muss de Anstieg des Gaphen von g 1 dot gewisse Bedingungen efüllen. Machen Sie sich das anhand eine Skizze kla. Zu suchen sind alle die Punkte auf dem Gaphen, deen Steigung den Wet m = 1 hat. Dies kann echneisch ode gafisch efolgen

12 Aufgabe c De Gaph von g 2 soll knickfei in den Randpunkten an den Gaphen von g 1 anschließen und in den Gaphen von g 3 übegehen. Wählen Sie einen möglichst einfachen Funktionstyp fü die Funktion g 2 aus, de die genannten Bedingungen efüllen kann. Aus den Fodeungen lassen sich Bedingungen fü die Funktionswete und die Tangentenanstiege de beteiligten Funktionen an den Stellen x = 50 und x = 70 ableiten. Stellen Sie ein Gleichungssystem auf und lösen Sie dieses. Fomulieen Sie die Gleichung fü g 2. Kontollieen Sie Ihe Rechnung z. B. duch Einzeichnen des Gaphen ode Püfen de Bedingungen. Aufgabe d Vewenden Sie die gegebene Fomel fü die Bogenlänge, um die Länge des Gaphen von g 2 im zugehöigen Definitionsbeeich zu beechnen. Die Länge des Bogens von g 1 kann man dem Aufgabentext entnehmen. Die Länge des Bogens von g 3 lässt sich elementa bestimmen. Addieen Sie die dei Bogenlängen. Aufgabe e Gleichung fü die Geschwindigkeit Übetagen Sie die Wete aus de Tabelle in die Tabellenkalkulation Ihes CAS-Rechnes. Ezeugen Sie ein zugehöiges Steudiagamm. Entscheiden Sie sich fü ein passendes Regessionsmodell und emitteln Sie den zugehöigen Gaphen und die ihn kennzeichnende Funktionsgleichung. Beachten Sie, dass die duch Regession emittelte Funktion den Sachvehalt angemessen epäsentiet. Altenative: Gleichung fü die Geschwindigkeit Eine Gleichung fü eine Funktion v wid nicht übe die Regession emittelt, sonden übe die Bestimmung de Koeffizienten a, b, c, d und e eine ganzationalen Funktion 4. Gades anhand eines lineaen Gleichungssystems, das die gegebenen fünf Punkte efüllen sollen. Flächeninhalt De Flächeninhalt kann mit dem bestimmten Integal bestimmt weden. Intepetation Fü die Intepetation des Egebnisses kann de Zusammenhang zwischen Weg und Zeit im v-t-diagamm vewendet weden

13 Lösungen a) Zeichnung und Skizze Notieen Sie fü die Dokumentation de Lösung die Gleichungen de Funktionen g 1 und g 3 : 1 g 3 1(x) = (x + 10) (x 50) mit 0 x 50 und g 3(x) = 5 mit 70 x 120 Sie weden unte den Vaiablen g1(x) und g3(x) gespeichet. Die Gaphen diese Funktionen weden zu Kontolle im jeweiligen Intevall angezeigt. Die Gaphen weden nun auf Papie übetagen: De Gaph von g 3 lässt sich einfach als zu x-achse paallele Stecke im Abstand 5 und im Intevall 70 x 120 eintagen. Fü die Dastellung des Gaphen von g 1 lässt man sich die Koodinaten einige Punkte ode die Wetetabelle anzeigen, übetägt diese auf Papie und zeichnet den Gaphen. x g 1 (x) 25 27,3 25,6 16,2 6,4 1 0 Beim Skizzieen eines möglichen Velaufs des Gaphen von g 2 achtet man auf die knickfeien Übegänge an den Stellen x = 50 und x = 70. Im Bild ist ein mögliche Gaph dick eingezeichnet. Maximale Höhe Fü die Beechnung de maximalen Höhe und des stäksten Gefälles weden die esten dei Ableitungsfunktionen von g 1 benötigt. Sie weden mit dem CAS-Rechne emittelt und unte geeigneten Bezeichnungen abgespeichet. Fü den Lösungsaufschieb weden diese Funktionsgleichungen auch auf dem Papie notiet. (x 50) 2 (x 5) g(x) 1' =

14 3(x 50) (x 20) g(x) 1'' = x g 1''' (x) = Notwendige Bedingung fü das lokale Extemum von g 1 (x): Die Nullstellen von g(x) 1 ' sind mögliche Extemstellen: x E1 = 5 und x E2 = 50 Hineichende Bedingung fü das lokale Extemum: 81 g 1'' (5) = < 0, 500 d. h. lokales Maximum an de Stelle x = 5. Fü x E2 = 50 ist beeits aus den bisheigen Übelegungen deutlich, dass hie kein lokales ode globales Maximum voliegen kann, denn es gilt g 1 (5) > g 1 (50) (siehe Tabelle). Die Achtebahn hat eine maximale Höhe von ca. 27,3 m. Altenative Lösungsweg: Da ein absolutes Maximum gesucht ist, kann auch die Anweisung fmax() vewendet weden. Gößtes Gefälle Notwendige Bedingung fü das lokale Extemum von g(x): 1 ' Die Nullstellen von g(x) 1 '' sind mögliche Extemstellen: x E1 = 20 und x E2 = 50 Hineichende Bedingung fü das lokale Extemum: 9 g 1''' (20) = > 0, 1250 d. h. lokales Minimum an de Stelle x = 20. Fü x E2 = 50 ist beeits aus den bisheigen Übelegungen deutlich, dass hie kein lokales ode globales Minimum voliegen kann, denn es gilt g(50) 1 ' = 0 (siehe Betachtung zu maximalen Höhe) und g(20) 1 ' < 0. De Punkt mit dem maximalen Gefälle hat die Koodinaten P(20 16,2)

15 Altenative Lösungsweg: Da ein absolutes Minimum fü die 1. Ableitungsfunktion gesucht ist, kann auch die Anweisung fmin() vewendet weden. Eine Kontolle anhand des Gaphen bestätigt die echneischen Lösungen. b) Winkel im Punkt P emitteln Tifft de Sonnenstahl im Punkt P senkecht auf die Bahn, dann steht e senkecht auf de Tangente an den Gaphen von g 1 im Punkt P. De Sonnenstahl folgt dann dem Velauf de Nomalen zum Gaphen von g 1 im Punkt P. Die Gleichung de Nomalen wid mit de Anweisung nomalline(g 1 (x),x,20) emittelt: n(x) = x De Anstieg de Nomalen elaubt die Beechnung des gesuchten Winkels: 25 actan 42,8 27 Eine geometische Emittlung de gesuchten Winkelgöße ist duch Messung des Schnittwinkels zwischen de Hoizontalen y = 16,2 (bzw. de x-achse) und de Nomalen möglich (siehe Bildschimabduck)

16 Punkte finden Wenn die Sonnenstahlen unte einem Winkel von 45 zu Hoizontalen und senkecht zum Gaphen von g 1 einfallen sollen, dann muss de Winkel zwischen diese Hoizontalen und de Tangente an den Gaphen von g 1 in den gesuchten Punkten ebenfalls 45 goß sein. Deshalb muss de Anstieg des Gaphen von g 1 dot den Wet m = 1 haben, denn tan(x) = 1 gehöt zu einem Winkel x von 135 = Es sind deshalb im Intevall 0 x 50 alle x-wete zu bestimmen, fü die gilt: g(x) 1 ' = 1 Als Lösungen egeben sich: x1 = 10 ( 6 4) 15,5 und x2 = 25 Die gesuchten Punkte haben die Koodinaten: 1 Q 1 10 ( 6 4) ( ) + 5 Q 1(15,5 20,9) und 175 Q 2 25 Q 2(25 10,9) 16 Altenative Lösungsweg: Man wählt unte Gaph analysieen dy / dx aus und lässt sich von einem Punkt auf dem Gaphen von g 1 die Steigung an diese Stelle anzeigen. Außedem weden die Koodinaten des Punktes angezeigt. Man geift den Punkt, veschiebt ihn an die Stellen, an denen die Steigung 1 angezeigt wid, und notiet die zugehöigen Punktkoodinaten. Man findet zwei solche Punkte. Meh Punkte können es wegen de Existenz nu eines Wendepunktes (siehe Teilaufgabe a) nicht sein. c) De Gaph von g 2 soll knickfei an de Stelle x = 50 an den Gaphen von g 1 anschließen und an de Stelle x = 70 knickfei in den Gaphen von g 3 übegehen. Bedingungen dafü sind die Gleichheit de Funktionswete und die Gleichheit de Tangentenanstiege an den genannten Stellen. Die Tangentenanstiege lassen sich duch die 1. Ableitungen de Funktionen bescheiben. Weil g 3 eine konstante Funktion ist, ist deen 1. Ableitung null. Eine möglichst einfache Funktion fü g 2 wäe eine lineae Funktion. Mit eine solchen Funktion lässt sich abe, wie man sofot einsieht, nicht die Knickfeiheit ealisieen

17 Man kann nun vesuchen, eine quadatische Funktion fü g 2 zu finden. Ansatz: g 2 2 (x) = ax + bx+ c Bedingungen: g 1(50) = g 2(50) g 1' (50) = g ' 2(50) g 2(70) = g 3(70) g ' (70) = g '(70) = Das Gleichungssystem hat keine Lösung, g 2 kann also keine quadatische Funktion sein. Nun wid de Ansatz mit eine ganzationalen Funktion ditten Gades ealisiet. Ansatz: g (x) = ax + bx + cx+ d Bedingungen (wie oben): g 1(50) = g 2(50) g 1' (50) = g ' 2(50) g 2(70) = g 3(70) g ' (70) = g '(70) = Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen: a = ; b = ; c = ; d = Eine Gleichung fü g 2 ist also: g 2 (x) = x + x x mit 50 x 70 Zu Kontolle wid eine Pobe duchgefüht, indem die vie Bedingungen übepüft weden: g (50) = g (50) = g(50) ' = g ' (50) = g (70) = g (70) = g ' (70) = g '(70) =

18 Zu Kontolle kann auch eine gafische Veanschaulichung dienen. Hinweis: Wie man am Aufgabentext fü Teilaufgabe d sieht, sind auch andee Funktionen fü g 2 möglich. d) Im Intevall 0 x 50: k1 60m (Aufgabentext) Im Intevall 50 x 70: 70 2 k2= 1+ ( g ' 2(x) ) dx 21m 50 Im Intevall 70 x 120: k3 = 120m 70m= 50m (zu x-achse paallele Stecke) Im Intevall 0 x 120: k + k + k 60 m + 21 m + 50 m = 131 m e) Gleichung fü die Geschwindigkeit Die Wete weden in de Tabellenkalkulation tabelliet und als Steudiagamm dagestellt. Es ist zu ekennen, dass eine lineae Regession nicht infage kommt, deshalb wid eine quadatische Regession vesucht. Das Egebnis zeigt, dass de Regessionsgaph im Intevall von 0 bis 10 ein Stück untehalb de x-achse veläuft. Das ist im betachteten Sachzusammenhang nicht sinnvoll. Negative Wete fü die Geschwindigkeit wäen als Rückwätsfaht zu intepetieen, was fü die Achtebahn wohl nicht infage kommt

19 Vewendet man als Regessionsmodell eine kubische Funktion, so ist de Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Zeit augenscheinlich gut epäsentiet. Eine Betachtung de statistischen Wete zeigt einen nahe bei 1 liegenden Wet fü R 2 (Bestimmtheitsmaß). De Koelationskoeffizient ist die Wuzel aus dem Bestimmtheitsmaß. Es egibt sich hie 0, Wäe = 1, läge ein optimale Zusammenhang zwischen v und t vo, mit diesem seh nahe bei 1 liegenden Egebnis kann man also zufieden sein. Als Gleichung kann man notieen: v(t) 0,0271t 3+ 0,708t 2 6,372t + 20,027 Flächeninhalt De Flächeninhalt zwischen dem Gaphen von v und de t-achse im Intevall 0 t 10 wid duch das bestimmte Integal emittelt: 10 v(t) dt 50 0 Intepetation Die Fläche zwischen dem v-t-diagamm und de t-achse im Intevall 0 t 10 entspicht dem zuückgelegten Weg in diesem Zeitaum, also dem Bemsweg in den letzten 10 s. Hinweis: Ein noch bessees Egebnis bingt eine Regession mit eine ganzationalen Funktion vieten Gades (R 2 = 1). Als Gleichung ehält man hie: v (t) 0,003t + 0,021t + 0, 448t 5,958t + 20 Mit diese Funktion egibt sich ein Bemsweg von ca. 51 m

20 Altenative Lösung: Da fünf Punkte gegeben sind und fü eine ganzationale Funktion 4. Gades fünf Koeffizienten zu bestimmen sind, efolgt de Ansatz wie folgt: h(x) = a x4+ b x3+ c x2+ d x + e Die Koodinaten de gegebenen Punkte weden eingesetzt, h(0) = 20; h(2) = 10; h(4) = 4; h(6) = 1,5; h(10) = 0, und das Gleichungssystem wid nach a, b, c, d und e aufgelöst. Mithilfe de Lösungen wid die Funktion v(t) definiet: v(t) 0,003t 4+ 0,021t 3+ 0,448t 2 5,958t + 20 Zu Kontolle weden die Punkte und die so emittelte Funktion gemeinsam gafisch dagestellt

21 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 2015 Wahlaufgabe B2: Analysis Gegeben ist die Funktion f duch f(x) = x 3 + 3x (x 0). a) Duch Spiegelung des Gaphen von f an de x-achse entsteht de Gaph von f 1. De Gaph von f 2 entsteht duch Spiegelung des Gaphen von f an de Geaden y = 2. De Gaph von f 3 entsteht duch Veschiebung des Gaphen von f deat, dass de Tiefpunkt des Gaphen von f 3 im Koodinatenuspung liegt. Geben Sie je eine Funktionsgleichung von f 1, f 2 und f 3 an. b) In den Extempunkten und in den beiden vom Koodinatenuspung veschiedenen Schnittpunkten des Gaphen von f mit de x-achse weden die Tangenten an den Gaphen von f gelegt. Diese Tangenten bilden ein Vieeck. Begünden Sie, dass dieses Vieeck ein Paallelogamm ist. Beechnen Sie dessen Flächeninhalt und die Göße eines Innenwinkels. c) Fü jede positive eelle Zahl m ist duch g m (x) = m x eine Geade g m gegeben. De Gaph von f begenzt mit de x-achse im I. Quadanten die Fläche A vollständig. De Gaph von g 1 teilt die Fläche A in zwei Teilflächen. Zeigen Sie, dass das Vehältnis de Teilflächen 4 : 5 betägt. Emitteln Sie den Wet fü m so, dass die Geade g m die Fläche A in zwei gleich goße Flächen teilt. d) In einem Betieb fallen Abfallstücke, welche die Fom de Fläche A aus Teilaufgabe c haben, an. Untesuchen Sie, ob man aus einem solchen Stück (siehe Abbildung) ein Quadat mit de Seitenlänge a = 1,1 LE ausschneiden kann. e) Fü jede positive eelle Zahl k ist eine Funktion f k gegeben duch f k (x) = k x 3 + 3k x (x 0). Bescheiben Sie, wie die Gaphen von f k aus dem Gaphen von f in Abhängigkeit von k hevogehen. De Hochpunkt und die Schnittpunkte des Gaphen von f k mit de x-achse (x 0) bilden ein Deieck. Beechnen Sie alle Wete fü k so, dass das Deieck gleichschenklig ist. (3 BE) (4 BE) (5 BE) (3 BE) (5 BE) (20 BE)

22 Hinweise und Tipps Aufgabe a Emittlung von f 1 : Spiegelung des Gaphen von f an de x-achse Spiegelt man einen Gaphen an de x-achse, so weden alle Funktionswete von f gespiegelt, d. h., aus f(x) wid f(x). Übepüfen Sie Ih Egebnis im Gafikfenste. Emittlung von f 2 : Spiegelung des Gaphen von f an de Geaden y = 2 Voabübelegung: Veschieben Sie den Gaphen von f um 2 entlang de y-achse (es entsteht eine Funktion f *), um das Poblem auf die Spiegelung an de x-achse zuückzufühen. Spiegeln Sie nun f * an de neuen x-achse. Zum Schluss muss die Veschiebung wiede ückgängig gemacht weden, es entsteht die Funktion f 2. Duchfühung mit dem digitalen Wekzeug: Spiegeln Sie den Gaphen von f zunächst an de x-achse. Püfen Sie das Egebnis und übelegen Sie, welche Tansfomation des gespiegelten Gaphen noch fehlt, damit eine Spiegelung an y = 2 efolgt. Lösungsweg 2: Zeichnen Sie mit dem digitalen Wekzeug die Gaphen von f und y = 2. Wählen Sie einige geeignete Punkte auf dem Gaphen von f aus und spiegeln Sie diese an de Geaden y = 2. Schlussfolgen Sie hieaus auf den Tem von f 2. Lösungsweg 3: In Anlehnung an Lösungsweg 2 könnte man vie geeignete Spiegelpunkte emitteln und hieaus duch Regession bzw. Kuvenbestimmung die Gleichung von f 2 emitteln. Man setzt voaus, dass bei de Spiegelung an y = 2 de Funktionstyp ehalten bleibt. Emittlung von f 3 De Tiefpunkt T(x T ; y T ) von f soll nach de Veschiebung im Koodinatenuspung liegen. Dies gelingt, indem de Gaph von f um x T in x-richtung und um y T in y-richtung in Richtung des Uspungs veschoben wid. Übepüfen Sie Ih Egebnis im Gafikfenste. Aufgabe b Beechnen Sie zunächst die Koodinaten de Extempunkte und de Schnittpunkte mit de x-achse. Fetigen Sie sich zu weiteen Beabeitung eine aussagekäftige Skizze an, in die Sie die vie Tangenten einzeichnen, die das gesuchte Vieeck bestimmen. Begündung fü Paallelogamm Ein Paallelogamm ist ein Vieeck mit zwei Paa paallele Gegenseiten. Zwei Geaden sind genau dann paallel zueinande, wenn sie den gleichen Anstieg haben. Emitteln Sie die Anstiege de Geaden. Altenativen: Begündung fü Paallelogamm In einem Paallelogamm sind die Gegenseiten gleich lang. Beechnen Sie die Längen alle vie Seiten. Ode: Ein Paallelogamm ist ein Vieeck mit einem Symmetiezentum. Weisen Sie dieses Symmetievehalten nach. Innenwinkel Ein Innenwinkel lässt sich günstig übe den Anstieg eine Seite des Paallelogamms emitteln. Beachten Sie, dass de Anstieg eine Tangente in Zusammenhang mit dem Schnittwinkel de Tangente mit de x-achse steht

23 Flächeninhalt Nutzen Sie die Fomel A = g h zu Beechnung des Flächeninhalts fü ein Paallelogamm. Altenativen: Flächeninhalt Hat man einen Innenwinkel beechnet, so kann man den gesuchten Flächeninhalt auch mit de Fomel A = a b sin(γ) beechnen. Ode nutzen Sie zu Beechnung des Flächeninhalts das Vektopodukt A = a b, wobei die beiden Vektoen das Paallelogamm aufspannen. Aufgabe c Fläche A, die de Gaph von f mit de x-achse im I. Quadanten einschließt Die gesuchte Fläche A kann mit dem bestimmten Integal emittelt weden. Nachweis des Teilvehältnisses Zeichnen Sie die Gaphen von f und g 1 in ein Koodinatensystem. Emitteln Sie gemeinsame Punkte von f und g 1. Beechnen Sie auf geeignete At und Weise eine de beiden Teilflächen A 1. Möglichkeit 1: Eine de beiden Teilflächen wid vollständig begenzt duch die Gaphen von f und g 1, d. h., es ist die Fläche zwischen zwei Gaphen zu bestimmen. Möglichkeit 2: Setzen Sie die gesuchte Fläche aus zwei Teilflächen zusammen. Beücksichtigen Sie in beiden Fällen den Schnittpunkt de Gaphen von f und g 1. Emitteln Sie hieaus die Göße de zweiten Teilfläche A 2. Emitteln Sie das Vehältnis A 1 : A 2. Gleich goße Teilflächen in Abhängigkeit von m Vedeutlichen Sie sich in eine Skizze, wovon die Göße de beiden Teilflächen abhängig ist. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von m gemeinsame Punkte von f und g m. A 2 Da die Teilflächen die Göße haben sollen, kann man mit dem bestimmten Integal den Wet fü m emitteln. Vaiante: Nutzen Sie das Gafikfenste, um näheungsweise zwei gleich goße Flächen zu ezeugen. Aufgabe d Beschiften Sie die gegebene Skizze sinnvoll, um einen Lösungsansatz zu finden. Da bei einem Quadat alle vie Seiten die gleiche Länge haben, muss untesucht weden, ob dies in hoizontale (x 2 x 1 = 1,1) und vetikale Richtung (f(x) = 1,1) möglich ist. Aufgabe e Abhängigkeit von k Zeichnen Sie sich mehee Beispiele fü einzelne Kuven de Scha f k. Beachten Sie, dass k jede beliebige positive eelle Zahl annehmen kann. Nutzen Sie zu Bescheibung die Veändeungen von f k bezogen auf den Gaphen von f. Gleichschenklige Deiecke Beechnen Sie zunächst die Eckpunkte des gesuchten Deiecks in Abhängigkeit von k. Beachten Sie, dass bei einem gleichschenkligen Deieck zwei beliebige Seiten gleich lang sein müssen

24 Lösungen a) Die Funktion f(x) = x 3 + 3x wid gespeichet und im Gafikmodus dagestellt. Emittlung von f 1 Um einen Gaphen an de x-achse zu spiegeln, esetzt man f(x) duch f(x). De Tem kann von Hand ode mithilfe des digitalen Wekzeuges beechnet weden: f(x) = x3 3x 1 Die Kontolle efolgt sofot im Gafikfenste. Emittlung von f 2 Analog zu f 1 spiegelt man zunächst an de x-achse und kontolliet das Zwischenegebnis im Gafikfenste. Man ekennt, dass de Gaph noch um vie Einheiten entlang de positiven y-achse veschoben weden muss. De Tem egibt sich mit: f (x) = x3 3x

25 Lösungsweg 2: Man spiegelt ausgewählte Punkte an de Geaden y = 2 und schlussfolget aus dem Bild auf einen möglichen Funktionstem, den man anschließend im Gafikfenste übepüfen kann. Lösungsweg 3: Da man davon ausgehen kann, dass auch de Tem des gespiegelten Gaphen kubischen Gades ist, kann man eine Regession bzw. eine Kuvenbestimmung mit geeigneten Punkten duchfühen und ehält ebenfalls f (x) = x3 3x Emittlung von f 3 Zunächst muss man die Koodinaten des Tiefpunktes bestimmen. Man ehält hiefü T( 1 2). Dahe muss man f um 1 in positive x-richtung und um 2 in positive y-richtung veschieben, d. h. f (x) = f(x 1) + 2= x3+ 3x 2. 3 Da de Opeato Geben Sie an vewendet wude, genügt hie als Lösung die Angabe de Funktionsteme

26 b) Begündung fü Paallelogamm Da das Vieeck duch die Tangenten bestimmt wid, die duch die Extempunkte und die vom Koodinatenuspung veschiedenen Schnittpunkte des Gaphen von f mit de x-achse velaufen, benötigt man zunächst noch die Nullstellen von f (die Extemstellen wuden beeits in Aufgabenteil a beechnet). Die gesuchten Nullstellen sind: x1 = 3 und x2 = 3 (Die Extemstellen sind xe1 = 1 und xe2 = 1.) Vaiante 1: Um sich den Sachvehalt gafisch veanschaulichen zu können, bietet es sich an, die Tangentengleichungen zu bestimmen, auch wenn es genügen wüde, nu die Anstiege de vie Tangenten zu betachten. Die Tangentengleichungen egeben sich zu: t 1(x) = 2, t 2(x) = 2, t 3(x) = 6x 6 3, t 4(x) = 6x Mit dem digitalen Wekzeug kann man sich nun das gesuchte Vieeck zeichnen. Am einfachsten begündet man, dass es sich bei diesem Vieeck um ein Paallelogamm handelt, indem man die Anstiege de vie Tangenten betachtet. Da die gegenübeliegenden Seiten den gleichen Anstieg, m 1 = 0 bzw. m 2 = 6, haben, handelt es sich um ein Paallelogamm. Betachtet man nu die Anstiege de Tangenten, ehält man das gleiche Resultat. Vaiante 2: Man beechnet die Längen de vie Seiten. Dazu muss man zunächst die Eckpunkte bestimmen und hiemit auf geeignete At und Weise (z. B. übe die Bestimmung de Betäge de vie Vektoen, die sich duch die Eckpunkte egeben) die Längen de Seiten. Man ehält zwei Paa gleich lange Gegenseiten und hat damit auch gezeigt, dass es sich um ein Paallelogamm handelt

27 Vaiante 3: Man kann auch zeigen, dass de Koodinatenuspung das Symmetiezentum dieses Vieecks ist, und hat damit auch bewiesen, dass es sich um ein Paallelogamm handelt. Dies kann man mit dem digitalen Wekzeug z. B. nachweisen, indem man zeigt, dass die Otsvektoen zu den Punkten A und C bzw. B und D Gegenvektoen sind. Innenwinkel Ein Innenwinkel kann z. B. übe den Anstieg eine de beiden Tangenten bestimmt weden, die nicht hoizontal velaufen. Man ehält als einen möglichen Innenwinkel α 80,5 bzw. α 99,5. Flächeninhalt Nutzt man die Fomel A = g h, so kann man die Höhe h einfach mit f(1) f( 1) = 4 bestimmen (ode auch diekt aus de Zeichnung mit h = 4 LE ablesen, wenn dies auch de Opeato Beechnen Sie an sich nicht zulässt) und muss nu noch die Länge g de Gundseite AB bestimmen. Hieaus egibt sich ein Flächeninhalt von: A = 8 3 FE Vaiante 2: Nutzung de Fomel A = a b sin(γ) Man ehält einen ationalen Näheungswet mit A 13,86 FE. Vaiante 3: Nutzung des Vektopoduktes De Flächeninhalt eines Paallelogamms lässt sich auch mit de Fomel A = a b beechnen. Sowohl die Göße des Flächeninhalts als auch de gesuchte Winkel können näheungsweise im Gafikfenste duch Messen übepüft weden

28 c) Fläche A, die de Gaph von f mit de x-achse im I. Quadanten einschließt Die gesuchte Fläche A kann mit dem bestimmten Integal emittelt weden. Die gesuchte Fläche wid duch die beiden Nullstellen x 1 = 0 und x2 = 3 begenzt, d. h., es ist das bestimmte Integal 0 3 f(x)dx zu emitteln. Man ehält auf echneischem Weg: 9 A = FE 4 Vaiante: Es ist auch eine gafische Näheungslösung möglich. Nachweis des Teilvehältnisses Um das gesuchte Teilvehältnis nachzuweisen, kann man z. B. die dagestellte Teilfläche A 1 als Fläche zwischen zwei Funktionsgaphen bestimmen. Dazu benötigt man noch die Stelle, an de sich die Gaphen von f und g 1 schneiden, d. h., man setzt die beiden Funktionsteme gleich, f = g 1, um die gemeinsame Schnittstelle zu emitteln. Man ehält hiefü echneisch x s1 = 0 und xs2 = 2 (die ditte Lösung entfällt, da diese nicht im I. Quadanten liegt) bzw. einen ationalen Näheungswet fü x s2, wenn man einen gafischen Lösungsweg wählt. Fü die Teilfläche A 1 egibt sich A 1 = 1 FE, da: 0 2 (f (x) x) dx = 1 Vaiante: Die Teilfläche A 1 kann auch mit dem Wekzeug Begenzte Beeich emittelt weden. Damit gilt fü: 5 A2= A A1= FE 4 Das Vehältnis ist dahe: A:A = 4:

29 Vaiante: Es wäe auch denkba, die Fläche A 2 zu beechnen. Dies hieße dann, man ehält: A2 = x dx + f (x) dx = Auch hie wäe wiede eine gafische Näheungslösung möglich. Gleich goße Teilflächen in Abhängigkeit von m Da die Göße de Teilflächen vom Schnittpunkt de beiden Gaphen abhängt, muss diese in Abhängigkeit von m emittelt weden. Man ehält fü die Schnittstelle im I. Quadanten duch Lösen de Gleichung f(x) = mx: xs = 3 m (Die zweite Lösung entfällt, da sie außehalb des untesuchten Beeichs liegt.) Mithilfe diese vaiablen Schnittstelle kann man übe den Ansatz 3 m 9 (f (x) m x) dx = 8 0 nun 3 2 m= 3 2 als einzige Lösung emitteln. (Die zweite Lösung entfällt, da fü sie keine Schnittstelle im I. Quadanten voliegt.) Vaiante: Nutzung des Gafikmodus Man ehält als Näheungswet m 0,

30 d) Ein mögliche Zugang ist es, zunächst einen de vie Eckpunkte als wesentlich fü die Konstuktion des gesuchten Quadats zu ekennen. Es bietet sich an, den Punkt P, de auf dem Gaphen von f liegt, auszuwählen. Fü den Punkt gilt zunächst P(x f(x)). Da fü f(x) = 1,1 LE gelten muss, kann man den zugehöigen x-wet emitteln. Von Inteesse fü die Konstuktion des gesuchten Quadats sind x 1 0, und x 2 1, Mithilfe eine Skizze ode unte Vewendung des digitalen Wekzeuges kann man ekennen, dass die Diffeenz aus x 2 und x 1 wichtig ist. Es muss gelten, dass x 2 x 1 1,1 LE, damit das gesuchte Quadat ausgeschnitten weden kann. Die Übepüfung egibt: x 2 x 1 1,12 LE Damit ist bewiesen, dass ein Quadat mit den Seitenlängen 1,1 LE in de gefodeten Lage auf die Fläche passt. Eine Kontolle im Gafikfenste ist noch duchfühba. Anmekung: Inwieweit eine ein gafische Lösung anekannt weden kann, hängt vom vewendeten Wekzeug und de Bescheibung des Lösungsweges ab. Duch weitees Zoomen ist die Machbakeit auch gut ekennba. e) Abhängigkeit von k Duch das Zeichnen mehee Repäsentanten de Kuvenscha f k egeben sich z. B. folgende Bescheibungen fü die gesuchte Abhängigkeit: Nullstellen und Extemstellen bleiben ehalten. Fü k > 1 efolgt eine Steckung des Gaphen entlang de y-achse bezogen auf k = 1. Fü k < 1 efolgt eine Stauchung des Gaphen entlang de y-achse bezogen auf k = 1. Eine Begündung dafü egibt sich, wenn man f k in die faktoisiete Fom f k = k ( x 3 + 3x) umscheibt. Hie wid sofot deutlich, dass k nu als Steckungsfakto auftitt

31 Gleichschenklige Deiecke Zunächst emittelt man die Koodinaten de Eckpunkte des zu bestimmenden Deiecks. Dazu muss man die Nullstellen und den Hochpunkt in Abhängigkeit von k emitteln. De Hochpunkt wid mit dem bekannten Vefahen emittelt: Duch f k ' (x) = 0 ehält man mögliche Kandidaten fü Extemstellen, hie x e1 = 1 und x e2 = 1. Da x e1 nicht im zu untesuchenden Intevall liegt, muss man noch mit einem hineichenden Kiteium übepüfen, ob es sich bei x e2 = 1 um eine Extemstelle handelt. Da f k '' (1) = 6k < 0 (da k positiv ist) gilt, ehält man fü alle k > 0 den Hochpunkt H(1 2k) in Abhängigkeit von k. Das Deieck wid duch die dei Punkte A(0 0), B( 3 0), dies sind die Schnittpunkte mit de x-achse, und den Hochpunkt C(1 2k) festgelegt. Damit ein Deieck gleichschenklig ist, müssen mindestens zwei Seiten die gleiche Länge haben. Da die Stecke AB = 3 LE lang ist, muss untesucht weden, wann die andeen beiden Stecken diese Länge annehmen können. De Fall AC = BC kann nicht aufteten, da de Punkt C nicht auf de Mittelsenkechten de Stecke AB liegt. Man beechnet, fü welche k fü die Länge de Vektoen AC und BC gilt: AC = 3 bzw. BC = 3 Man ehält die beiden Lösungen: k1 = bzw. k 2 = 2 2 (Die beiden weiteen Lösungen entfallen, da dot k < 0 gilt.)

32 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 2015 Wahlaufgabe C1: Geometie / Stochastik 1. Gegeben sind die Punkte A(6 2 0), B(6 8 1), C(4 4 3) und D( 2 3 6). Die Deiecke ABC und DEF sind Gund- und Deckfläche eines deiseitigen Pismas. Die Stecke AD ist eine Seitenkante des Pismas. a) Beechnen Sie den Flächeninhalt des Deiecks ABC. Emitteln Sie den Abstand des Punktes C von de Geaden duch die Punkte A und B. (4 BE) b) Zeigen Sie, dass die Seitenkante AD senkecht auf de Fläche ABC steht. (1 BE) c) Bestimmen Sie die Koodinaten de Punkte E und F. Stellen Sie das Pisma in einem echtwinkligen Koodinatensystem da. Bescheiben Sie eine Möglichkeit fü das Zelegen des Pismas in zwei volumengleiche Teilköpe. (4 BE) d) Begünden Sie ohne Rechnung, dass die Kante AD des Pismas die y-z-koodinatenebene schneidet. Bestimmen Sie die Koodinaten dieses Schnittpunktes. (3 BE) 2. Im Jah 2012 gab es in Deutschland 40,7 Millionen Haushalte. Das Statistische Bundesamt veöffentlichte fü die veschiedenen Haushaltsgößen folgende Zahlen: Einpesonenhaushalte Zweipesonenhaushalte Deipesonenhaushalte Haushalte mit vie und meh Pesonen 41 % 35 % 12 % 12 % Quelle: Statistisches Bundesamt, Wiesbaden 2014 a) Fü eine telefonische Befagung weden dei Haushalte zufällig ausgewählt. Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit folgende Eeignisse: A := Ein Zweipesonenhaushalt, ein Deipesonenhaushalt und ein Haushalt mit vie und meh Pesonen weden ausgewählt. B := In keinem de dei ausgewählten Haushalte leben meh als zwei Pesonen. b) An einem Abend weden 56 zufällig ausgewählte Haushalte telefonisch befagt. Emitteln Sie unte Annahme des Modells de Binomialveteilung die Wahscheinlichkeit folgende Eeignisse: C := Genau 25 Haushalte sind Zweipesonenhaushalte. D := In höchstens 15 de Haushalte leben meh als zwei Pesonen. c) Bestimmen Sie die Anzahl de Haushalte, die mindestens befagt weden müssen, damit mit eine Wahscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens zwei Haushalte mit vie ode meh Pesonen dabei sind. (2 BE) (2 BE) (2 BE)

33 d) Aufgund familienpolitische Maßnahmen wid ewatet, dass im Zeitaum von 10 Jahen die Zahl de Haushalte mit dei und meh Pesonen auf 30 % (H 1 ) ansteigt. Im Jah 2022 könnte dazu ein Altenativtest duchgefüht weden, in dem 100 zufällig ausgewählte Haushalte befagt weden. Sind unte diesen meh als 27 Dei- und Mehpesonenhaushalte, so soll an die Wiksamkeit de familienpolitischen Maßnahmen geglaubt weden. Andeenfalls geht man weitehin von 24 % (H 0 ) Dei- und Mehpesonenhaushalten aus. Beechnen Sie die Wahscheinlichkeiten fü die Fehle este und zweite At. (2 BE) (20 BE) Hinweise und Tipps Aufgabe 1 a Flächeninhalt Speichen Sie die Otsvektoen de gegebenen Punkte unte geeigneten Bezeichnungen ab. Beechnen Sie fü die Emittlung des Flächeninhalts des Deiecks ABC die Göße eines Innenwinkels und die Längen de ihn einschließenden Seiten. Beechnen Sie den Flächeninhalt. Altenativ können Sie den Flächeninhalt auch mit dem Vektopodukt bestimmen. Abstand Sie können den Abstand als Höhe im Deieck ABC intepetieen. Emitteln Sie mithilfe des Flächeninhalts und de Seitenlänge de Stecke AB die Länge de Höhe. Altenativ können Sie den Abstand auch als den betagskleinsten Vekto bestimmen, de den Punkt C mit einem Punkt de Geaden g(ab) vebindet. Vewenden Sie dazu den Befehl fmin(). Aufgabe 1 b Um zu zeigen, dass die Seitenkante AD senkecht auf de Fläche ABC steht, kann de Nachweis gefüht weden, dass de Vekto AD senkecht sowohl zum Vekto AB als auch zum Vekto AC ist. Dazu kann das Skalapodukt benutzt weden. Altenativ kann de aus dem Vektopodukt von Vekto AB und Vekto AC gebildete Vekto auch mit dem Vekto AD veglichen weden. Aufgabe 1 c Koodinaten von E und F Die Koodinaten von E und F egeben sich duch geeignete Vektoaddition. Skizzieen Sie sich dazu den Sachvehalt

34 Dastellung des Pismas Zeichnen Sie das Schägbild eines äumlichen Koodinatensystems. Tagen Sie die gegebenen und die beechneten Punkte ein. Vebinden Sie zueinande gehöende Eckpunkte. Achten Sie auf die Sichtbakeit de Kanten. Zelegung des Pismas Um das Pisma in zwei volumengleiche Teilköpe zu zelegen, gibt es viele Möglichkeiten. Beachten Sie, dass Gund- und Deckfläche konguente Deiecke sind. Aufgabe 1 d Kante AD schneidet y-z-ebene Vegleichen Sie die x-koodinaten de Punkte A und D bezüglich ihe Lage zu y-z-ebene. Koodinaten des Schnittpunktes Stellen Sie eine Gleichung de Geaden duch die Punkte A und D auf. Beachten Sie, dass fü den Schnittpunkt mit de y-z-ebene x = 0 gelten muss. Bestimmen Sie mithilfe diese Bedingung den Wet des Paametes in de Geaden g(ad). De so bestimmte Wet des Paametes füht wiedeum mit de Gleichung von g(ad) zu den gesuchten Koodinaten. Aufgabe 2 a Die Wahscheinlichkeiten fü die Pesonenhaushalte können Sie de Tabelle entnehmen. Übelegen Sie, wie viele Möglichkeiten es bei den Eeignissen A und B gibt, die angegebenen Pesonenhaushalte auszuwählen. Beechnen Sie die zugehöigen Wahscheinlichkeiten. Sie können bei Eeignis B auch übe die Gegenwahscheinlichkeit gehen. Aufgabe 2 b Um mit dem Modell de Binomialveteilung abeiten zu können, müssen Sie sich daübe im Klaen sein, was als Efolg zählt und welche Wete die Paamete n, k und p de entspechenden binomialveteilten Zufallsgöße haben. Wähend bei Eeignis C eine Einzelwahscheinlichkeit gesucht ist, müssen Sie bei Eeignis D die Summenfunktion de binomialveteilten Zufallsgöße anwenden. Aufgabe 2 c Es ist fü eine binomialveteilte Zufallsgöße mit unbekanntem n und p = p 4 = 0,12 die Zahl n zu beechnen, sodass P(X 2) 0,95 gilt. Sie können das Egebnis duch systematisches Pobieen emitteln. Altenativ gibt es auch die Möglichkeit eine Beechnung übe die Gegenwahscheinlichkeit. Aufgabe 2 d Sie können den Umfang de Stichpobe, den Ablehnungsbeeich sowie die Nullhypothese und Gegenhypothese fü diesen Altenativtest dem Aufgabentext entnehmen. Machen Sie sich kla, welche Bedeutung de Fehle 1. At und de Fehle 2. At haben, und beechnen Sie deen Wahscheinlichkeiten

35 Lösungen 1. a) Zunächst weden die Koodinaten de Otsvektoen von A, B, C und D gespeichet. 6 6 OA = 2 ; OB = 8 ; OC = 4 ; OD = Mit ihe Hilfe egeben sich die Vektoen: 0 AB 6 2 = und AC = Flächeninhalt De Innenwinkel α des Deiecks ABC wid mithilfe des Skalapodukts emittelt: AB AC cos( α ) = α 53,27 AB AC De Flächeninhalt A Δ des Deiecks ABC egibt sich übe die Gleichung: 1 AΔ = AB AC sin(α) 10,0[FE] 2 Altenative Lösung: De Flächeninhalt A Δ kann auch mithilfe des Vektopodukts bestimmt weden: 1 AΔ = AB AC = ,0[FE] 2 Abstand Da die Höhe h senkecht auf de Seite AB steht, entspicht ihe Länge dem gesuchten Abstand. Aus A 1 Δ = AB h folgt mit dem beeits 2 beechneten Flächeninhalt A Δ : = AB h h = 3,3[LE] 37 De Abstand des Punktes C von de Geaden g(ab) betägt ca. 3,3 LE. C h A B (Skizze nicht maßstäblich)

36 Altenative Lösung: Die Gleichung de Geaden g(ab) ist: x = OA+ AB mit 0 Alle Vektoen, die einen Punkt P von g(ab) mit dem Punkt C vebinden, lassen sich bescheiben duch: PC = OC (OA + AB) mit 0 Mit fmin() wid dejenige Wet des Paametes bestimmt, fü den PC ein Minimum 15 ist. Es egibt sich = und damit ist PC = 3,3[LE] 37 de Abstand von C zu g(ab). b) De Vekto AD hat die Koodinaten: 8 AD = 1 6 Bildet man die Skalapodukte des Vektos AD mit den Vektoen AB und AC, so egibt sich AD AB = 0 und AD AC = 0. De Vekto AD ist also senkecht sowohl zum Vekto AB als auch zum Vekto AC. Die Seitenkante AD steht also senkecht auf de Fläche ABC. Altenative Lösung: Das Vektopodukt de Vektoen AB und AC ist: 16 8 AB AC = 2 = 2 1 = 2 AD 12 6 Aus den Eigenschaften des Vektopodukts folgt: Die Seitenkante AD steht senkecht auf de Fläche ABC. c) Koodinaten von E und F Eine nicht maßstäbliche Skizze veanschaulicht die Lage de Punkte. C F D E A B

37 Es gilt: 2 OE = OB + AD = 9 und 5 4 OF = OC + AD = 53 Punktkoodinaten: E( 2 9 5); F( 4 5 3) Dastellung des Pismas Zelegung des Pismas Da die Gund- und Deckfläche zueinande konguent sind, haben sie auch gleichen Flächeninhalt. Zwei volumengleiche Teilpismen entstehen z. B. duch Halbieung alle dei Seitenkanten. Diese Mittelpunkte bilden ein zu Deck- und Gundfläche konguentes Deieck, das das gegebene Pisma in zwei volumengleiche Teilpismen zelegt. Eine zweite Möglichkeit zeigt die nebenstehende (nicht maßstäbliche) Skizze. Zwei einande entspechende Seiten von Gund- und Deckfläche weden halbiet. Die beiden Mittelpunkte bilden mit den gegenübeliegenden Eckpunkten ein Rechteck, das das Pisma halbiet. Die beiden Teilpismen sind volumengleich, weil die Gundflächen ABC und DEF halbiet weden und die Höhen gleich bleiben. A A C C B B D D F F E E d) Kante AD schneidet y-z-ebene Die x-koodinate des Punktes A ist x = 6 > 0. Die x-koodinate des Punktes D ist x = 2 < 0. Wegen de veschiedenen Vozeichen de x-koodinaten liegen die Punkte A und D auf veschiedenen Seiten bezüglich de y-z-ebene

38 Koodinaten des Schnittpunktes Eine Gleichung de Geaden g(ad) duch die Punkte A und D ist: x = OA+ AD mit 0 Fü den Schnittpunkt S von g(ad) mit de y-z-ebene muss x = 0 gelten. S hat also die Koodinaten S(0 y z). Die noch unbekannten Koodinaten y und z kann man aus dem Gleichungssystem bestimmen, das duch Gleichsetzen des Vektos OS mit de Geadengleichung entsteht: y = z 0 6 Aus diese Gleichung egeben sich: =, y = und z = De gesuchte Schnittpunkt hat die Koodinaten: 11 9 S a) Zu besseen Übesichtlichkeit de Lösungsdastellung weden folgende Bezeichnungen eingefüht: Haushaltsfom Bezeichnung Wahscheinlichkeit Einpesonenhaushalt p 1 0,41 Zweipesonenhaushalt p 2 0,35 Deipesonenhaushalt p 3 0,12 Haushalte mit vie und meh Pesonen p 4 0,12 Zum Eeignis A gehöen die Egebnisse p 2, p 3 und p 4 in allen möglichen sechs Reihenfolgen (3! = 6) de Auswahl: (p 2, p 3, p 4 ), (p 2, p 4, p 3 ), (p 3, p 2, p 4 ), (p 3, p 4, p 2 ), (p 4, p 2, p 3 ), (p 4, p 3, p 2 ) Die Wahscheinlichkeit fü eines diese Tipel eechnet sich übe die Poduktegel zu: 0,35 0,12 0,12 = 0,00504 Die Wahscheinlichkeit fü das Eeignis A ist danach: P(A) = 6 0,00504 = 0,03024 Das Eeignis B lässt sich vebal auch so bescheiben: In jedem de dei ausgewählten Haushalte leben höchstens zwei Pesonen. Damit sind fü B inteessant: (1) Alle dei Haushalte sind Einpesonenhaushalte. (2) Alle dei Haushalte sind Zweipesonenhaushalte. (3) Bei den dei Haushalten sind sowohl Ein- als auch Zweipesonenhaushalte vohanden, also entwede genau ein Einpesonenhaushalt und zwei Zweipesonenhaushalte ode zwei Einpesonenhaushalte und genau ein Zweipesonenhaushalt

39 In de Kuzscheibweise und unte Beachtung alle Anodnungsmöglichkeiten wid die zu B gehöende Egebnismenge duch folgende Tipel beschieben: (1) (p 1, p 1, p 1 ) (2) (p 2, p 2, p 2 ) (3) (p 1, p 2, p 2 ), (p 2, p 1, p 2 ), (p 2, p 2, p 1 ), (p 1, p 1, p 2 ), (p 1, p 2, p 1 ), (p 2, p 1, p 1 ) Damit egibt sich wegen de Podukt- und de Summenegel die Wahscheinlichkeit: P(B) = 0, , , 41 0, , 412 0,35 0, 4390 Altenative Lösungsweg: P(B) = (p + p ) 3= (0, 41+ 0,35) 3= 0,763 0, b) Da fü das Eeignis C das Modell de Binomialveteilung angewendet weden soll, können hie n = 56, k = 25 und p = p 2 = 0,35 vewendet weden, um P(X = 25) zu beechnen. Es gilt: P(C) = P(X = 25) = 56 0,35 (1 0,35) 0, ( ) Das Modell de Binomialveteilung egibt fü Eeignis D die Paamete n = 56, k = 0, 1, 2,, 15 und p = p 3 + p 4 = 0,12 + 0,12 = 0,24. Gesucht ist die Wahscheinlichkeit P(X 15). Es gilt: P(D) = P(X 15) 15 = 56 k 56 k ( ) 0,24 (1 0,24) k k = 0 0,7454 c) In den Tem n P(X 2) n k n k ( ) = 0,12 (1 0,12) k k = 2 weden natüliche Zahlen fü n eingesetzt, bis das Egebnis estmals göße als 0,95 ist. Egebnis: Es müssen mindestens 38 Haushalte befagt weden. Altenative Lösungsweg: Vewendung de Gegenwahscheinlichkeit und näheungsweises Lösen de Gleichung: P(X 2) 95 1 P(X 1) 95 P(X 1) 0,05 P(X = 0) + P(X = 1) 0,05 n 0 n 0 n 1 n 1 ( ) 0,12 (1 0,12) + ( ) 0,12 (1 0,12) 0, ,88n + n 0,12 0,88n 1 0,

40 Die zu diese Ungleichung gehöende Gleichung kann mit dem nsolve()-befehl näheungsweise gelöst weden. Zu beachten ist, dass diese Befehl einen Statwet benötigt. Egebnis: Es müssen mindestens 38 Haushalte befagt weden. d) De Altenativtest wid mit einem Stichpobenumfang von n = 100 angegeben. Die Nullhypothese lautet H 0 : p = 0,24. Die Gegenhypothese ist H 1 : p = 0,30. De Ablehnungsbeeich fü H 0 ist A = {28; 29; ;100}. (Sind meh als 27 Dei- und Mehpesonenhaushalte in de Stichpobe, so soll an H 1 geglaubt weden.) Wahscheinlichkeit fü den Fehle 1. At Fehle 1. At: Die Nullhypothese wid abgelehnt, obwohl sie in Wiklichkeit zutifft. 100 P(X k 100 k ( ) > 27) = 100 0, 24 (1 0, 24) k k = 28 0, 2043 Die Wahscheinlichkeit fü den Fehle 1. At betägt ca. 20,4 %. Wahscheinlichkeit fü den Fehle 2. At Fehle 2. At: Die Nullhypothese wid nicht abgelehnt, obwohl in Wiklichkeit die Gegenhypothese wah ist. 27 P(X 27) = 100 0,30 k (1 0,30) 100 k k k = 0 ( ) 0, 2964 Die Wahscheinlichkeit fü den Fehle 2. At betägt ca. 29,6 %

41 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 2015 Wahlaufgabe C2: Geometie / Stochastik 1. Gegeben ist das Deieck ABC mit A(5 2 4), B(2 2 1) und C(3 6 2). a) Bestimmen Sie die Koodinaten eines Punktes D so, dass die Punkte ABCD ein Paallelogamm bilden. b) Emitteln Sie die Koodinaten eines Punktes T, de die Stecke AC im Vehältnis 3 : 1 teilt. c) Geben Sie die Koodinaten eines Punktes P an, de nicht auf de Stecke AC liegt, und begünden Sie die Auswahl dieses Punktes. d) Eine Geade g veläuft duch die Punkte A und C. Die Geade g schneidet die x-z-koodinatenebene. Beechnen Sie die Koodinaten dieses Schnittpunktes. e) Die Geade g wid an de x-z-ebene gespiegelt. Geben Sie eine Gleichung de gespiegelten Geaden an. 2. Die Stadtvewaltung eine Goßstadt füht unte de Bevölkeung eine Befagung zu einem geplanten Baupojekt duch. Insgesamt weden meh als Fagebögen an alle mindestens 16-jähigen Büge de Stadt vesandt. Vo Auswetung diese Fagebögen weden von ansässigen Zeitungen beeits mündliche Befagungen unte Besuchen und Makthändlen de Innenstadt duchgefüht und veöffentlicht. Hiebei zeigt sich, dass etwa 60 % de Befagten das Baupojekt ablehnen. a) Beuteilen Sie den Wahheitsgehalt folgende Aussagen. Aussage 1: Die Auszählung de offiziellen Fagebögen kann sich die Stadt espaen. Die Ablehnung des Baupojektes ist damit schon absolut siche. Aussage 2: Es ist ehe unwahscheinlich, dass die Auszählung de offiziellen Fagebögen eine Befüwotung des Baupojektes bingen wid. b) Betachtet weden die Eeignisse: A := Die nächsten 10 Befagten lehnen das Baupojekt alle ab. B := Genau dei de nächsten 10 Befagten lehnen das Baupojekt ab. C := Unte den nächsten 10 Befagten lehnt meh als die Hälfte das Baupojekt ab. D := Die Zahl de Pojektgegne weicht bei den nächsten 10 Befagten um höchstens zwei vom Ewatungswet ab. Eläuten Sie, aufgund welche Bedingungen fü die Beechnung de Wahscheinlichkeiten diese Eeignisse das Modell de Binomialveteilung angenommen weden kann. Beechnen Sie die Wahscheinlichkeiten diese Eeignisse, wenn 60 % de Befagten das Baupojekt ablehnen. (2 BE) (2 BE) (1 BE) (2 BE) (1 BE) (2 BE) (6 BE)

42 c) In eine goß angelegten Kampagne wude fü das Baupojekt gewoben. Nun glauben die Befüwote, dass die Mehheit de Bevölkeung fü eine Bebauung votieen wid (H 1 : p 1 = 0,51), wähend die Gegne weitehin von 40 % Befüwoten ausgehen (H 0 : p 0 = 0,40). Um hiefü eine Pognose zu teffen, soll ein Altenativtest genutzt weden, zu dem 100 zufällig ausgewählte Büge mündlich befagt weden. Konstuieen Sie einen solchen Altenativtest, bei dem die Summe de Fehle este und zweite At minimal wid. Bestimmen Sie hiefü den Annahme- und Ablehnungsbeeich fü H 0. (4 BE) (20 BE) Hinweise und Tipps Aufgabe 1 a Damit ein Vieeck ein Paallelogamm ist, muss die Bedingung AB = DC gelten. Emitteln Sie den Otsvekto OD mithilfe de gegebenen Otsvektoen von A, B und C. Beachten Sie die Oientieung A-B-C-D im Vieeck ABCD, wenn diese auch im Text nicht gefodet wid. Aufgabe 1 b Stellen Sie die Geadengleichung g(ac): x = OA+ AC mit 0 auf. Damit ein Punkt T die Stecke AC im Vehältnis 3 : 1 teilt, muss die Stecke AC in 4 gleiche Teile geteilt weden. Aufgabe 1 c Ein Punkt P liegt nicht auf de Stecke AC, wenn de Punkt zwa auf de Geaden g(ac) liegt, abe nicht auf de Stecke AC ode de Punkt nicht auf de Geaden liegt. Aufgabe 1 d Stellen Sie die x-z-koodinatenebene e(x, z) in vektoielle Fom da. Bestimmen Sie den Schnittpunkt duch Lösen des Gleichungssystems g(ac) = e(x, z). Aufgabe 1 e Nutzen Sie zu Emittlung de Gleichung de gespiegelten Geaden den gemeinsamen Punkt de x-z-ebene mit de Geaden g(ac). Spiegeln Sie zunächst einen Punkt de Geaden g(ac) an de x-z-koodinatenebene. Bei de Spiegelung eines Punktes Q(q x q y q z ) an de x-z-ebene entsteht de Punkt Q*(q x q y q z ). Vaiante: Übelegen Sie, welche Ändeungen am Richtungsvekto von g(ac) vogenommen weden müssen, um den Richtungsvekto de gespiegelten Geaden zu bekommen

43 Aufgabe 2 a Aussage 1 Konzentieen Sie sich bei Ihe Antwot auf den Teil de Aussage: Die Ablehnung des Baupojektes ist damit schon absolut siche. Gibt es Aussagen zu Zusammenstellung und Göße de Stichpobe? Aussage 2 Ehe unwahscheinlich bedeutet, zu meh als 50 % tifft etwas nicht zu. Kann dies aus de untesuchten Stichpobe mit Sicheheit geschlussfolget weden? Aufgabe 2 b Modell de Binomialveteilung Das Modell de Binomialveteilung kann genutzt weden, wenn das Zufallsexpeiment nu zwei mögliche Ausgänge besitzt und die Wahscheinlichkeiten fü Teffe / Niete fü das gesamte Expeiment konstant bleiben. Untesuchen Sie, ob dies hie zutifft. Eeignis A Wenden Sie die Pfadmultiplikationsegel an. Eeignis B Nutzen Sie die Binomialveteilung. Eeignis C Nutzen Sie die Summenfomel de Binomialveteilung. Eeignis D De Ewatungswet fü binomialveteilte Zufallsgößen eechnet sich mit E(X) = n p. Nutzen Sie dann auch hie die Summenfomel de Binomialveteilung. Aufgabe 2 c Sie können die Nullhypothese und die Gegenhypothese sowie den Umfang de Stichpobe fü diesen Altenativtest dem Aufgabentext entnehmen. Machen Sie sich kla, welche Bedeutung de Fehle 1. At und de Fehle 2. At haben, und beechnen Sie deen Wahscheinlichkeiten zunächst fü einen von Ihnen sinnvoll gewählten Annahme- und Ablehnungsbeeich. Untesuchen Sie systematisch die Veändeung de Summe de beiden Fehle und vesuchen Sie, diese Summe zu minimieen

44 Lösungen 1. a) Wid bei diese Aufgabe das digitale Wekzeug genutzt (was nicht unbedingt efodelich ist), so sollten zunächst die Koodinaten de Otsvektoen von A, B, C gespeichet weden: OA = 2 ; OB = 2 ; OC = Mit ihe Hilfe egibt sich de Vekto: 3 AB = 4 3 Damit das Vieeck ABCD ein Paallelogamm wid, muss AB = DC gelten. Gleichbedeutend damit ist, dass gilt: OD = OC AB Man ehält: D(6 10 5) Anmekung: Bei Nichtbeachtung de Oientieung de Eckpunkte in de Fom A-B-C-D egeben sich zwei weitee Möglichkeiten fü den Punkt D mit D(0 2 1) bzw. D(4 6 3). b) Man stellt die Geadengleichung g(ac): x = OA+ AC mit 0 auf und emittelt den Punkt T, indem man 3 fü den Paamete = einsetzt. Man ehält: T Altenativ wäe auch fü = 1 de Wet T denkba, da keine Oientieung fü die Teilung vogegeben ist

45 c) Vaiante 1: De Punkt P liegt nicht auf de Stecke, abe auf de Geaden g(ac). Damit ein Punkt auf de Geaden g(ac) liegt, abe nicht auf de Stecke AC, muss fü den Paamete gelten: < 0 ode > 1 Es egeben sich unendlich viele Lösungen, beispielsweise: P(7 2 6) ode P(1 10 0) Vaiante 2: De Punkt P liegt nicht auf de Geaden g(ac). Altenativ kann man auch begünden, dass ein Punkt, z. B. P(0 0 0), nicht auf de Geaden g(ac) liegt, indem man das entspechende Gleichungssystem aufstellt und nachweist, dass das System keine Lösung hat. Weitehin wäe z. B. auch denkba, genau eine de Koodinaten von einem de Endpunkte de Stecke AC um eine Einheit zu veänden, also z. B. aus A(5 2 4) den Punkt P(5 2 5) zu bestimmen. d) Neben de Geadengleichung g(ac) mit 5 2 x = 2 + t mit t 0 benötigt man zu Lösung noch eine vektoielle Dastellung de x-z-ebene. Aus dem Ansatz x = s 0 mit,s egibt sich in Kuzfom de Vekto x =, de die x-z-ebene bescheibt. 0 s Duch Lösen des Gleichungssystems = 5 2t 0= 2+ 4t s= 4 2t ehält man als Duchstoßpunkt de Geaden g(ac) duch die x-z-ebene den Punkt: S(6 0 5) Anmekung: Auch ein Ansatz ohne Ebenengleichung ist denkba. Aus y = 0 folgt 0 = 2 + 4t und damit: 1 t =

46 e) Ein Punkt de gespiegelten Geaden ist de Punkt S(6 0 5), de auf de Spiegelebene liegt. Spiegelt man z. B. den Punkt A(5 2 4) von g(ac) an de x-z-ebene, so entsteht de Punkt A*(5 2 4). Die Gleichung de gespiegelten Geaden egibt sich hiemit dann z. B. mit: 6 1 x = mit Man kann den Punkt A* z. B. auf folgende At und Weise bestimmen: Fü den Spiegelpunkt A* gilt, dass die Geade duch A und A* othogonal zu Spiegelebene ist und dass de Schnittpunkt diese Geaden mit de Ebene die Vebindungsstecke AA * halbiet. Da de Opeato Geben Sie an vewendet wude, genügt auch nu die Angabe de Gleichung de Geaden. Eine Kontolle im Gafikfenste ist möglich. 2. a) Die Aussage 1 ist falsch. Zum einen wuden keine Aussagen übe die Göße und die Zusammenstellung de Stichpobe getoffen. Zum andeen ist auch bei eine Stichpobe von z. B. 200 Pesonen nicht mit 100 % Sicheheit gesagt, dass das Egebnis von 60 % (ode auch noch meh) gewähleistet, dass bei Befagung alle Büge nicht doch ein Egebnis unte 50 % fü eine Ablehnung entsteht. Absolute Sicheheit bietet nu die Befagung alle Büge. Die Aussage 2 kann ichtig, abe auch falsch sein. Zwa deuten die 60 % ehe auf eine Ablehnung hin, abe falls die 60 % nu duch eine Befagung von vielleicht 30 ode 50 ode 100 Pesonen entstanden sind, kann das wikliche Egebnis bei Befagung alle Büge duchaus auch unte 50 % liegen. b) Damit das Modell de Binomialveteilung genutzt weden kann, daf das Zufallsexpeiment nu zwei mögliche Ausgänge besitzen und die Wahscheinlichkeiten fü Teffe / Niete müssen fü das gesamte Expeiment konstant bleiben. Beides tifft hie zu: Das Zufallsexpeiment besitzt nu die beiden Ausgänge Ablehnung des Baupojektes und Zustimmung fü das Baupojekt. Die Wahscheinlichkeit fü Ablehnung des Baupojektes ist mit p = 60 % konstant

47 Eeignis A: Die nächsten 10 Befagten lehnen das Baupojekt ab. Nach de 1. Pfadegel gilt: P(A) = 0,610 0,0060 Altenativ kann man auch mit de Binomialveteilung agumentieen: P(A) = P(X = 10) = 10 0,6 (1 0,6) 0, ( ) Eeignis B: Die Zufallsgöße X bescheibt die Anzahl de Ablehne bei 10 Befagten. X ist B 10; 0,6 -veteilt: P(B) = P(X = 3) = 10 0,6 (1 0,6) 0, ( ) Eeignis C: Die Zufallsgöße X bescheibt die Anzahl de Ablehne bei 10 Befagten. Da meh als die Hälfte Ablehne sein sollen, gilt: P(C) = P(X 6) 10 = 10 0,6 k (1 0,6) 10 k 0,6331 k k = 6 ( ) Eeignis D: De Ewatungswet fü dieses Zufallsexpeiment egibt sich nach de Fomel E(X) = n p = 10 0,6 = 6. Da höchstens eine Abweichung von 2 elaubt ist, gilt: P(D) = P(4 X 8) 0,8989 c) De Altenativtest wid mit einem Stichpobenumfang von n = 100 duchgefüht. Die Nullhypothese lautet H 0 : p = 0,40. Die Gegenhypothese ist H 1 : p = 0,51. De Ablehnungsbeeich fü H 0 ist nicht vogegeben. Sinnvoll ist es z. B., die Mitte zwischen beiden Ewatungsweten als Genze beide Beeiche zu nutzen. Hie wäe 45,5 die Mitte, man hätte 45 ode 46 zu Auswahl. Nutzt man als kitische Zahl k = 46, so gilt A = {47; 48; ;100}. (Sind meh als 46 Pesonen de Stichpobe gegen das Baupojekt, so soll an H 1 geglaubt weden.) Wahscheinlichkeit fü den Fehle 1. At Fehle 1. At: Die Nullhypothese wid abgelehnt, obwohl sie in Wiklichkeit zutifft. 100 k = ( k ) k 100 k P(X > 46) = 0,4 (1 0,4) 0,0930 Die Wahscheinlichkeit fü den Fehle 1. At mit k = 46 betägt ca. 9,3 %

48 Wahscheinlichkeit fü den Fehle 2. At Fehle 2. At: Die Nullhypothese wid nicht abgelehnt, obwohl in Wiklichkeit die Gegenhypothese wah ist. 46 P(X 46) = 100 0,51 k (1 0,51) 100 k k k = 0 ( ) 0,1840 Die Wahscheinlichkeit fü den Fehle 2. At betägt fü k = 46 ca. 18,4 %. Summe beide Fehle minimal Hiezu sollte eine systematische Untesuchung duchgefüht weden. Man ekennt, dass die Summe de Fehle fü k = 45 minimal ist. Damit egibt sich fü den Annahmebeeich von H 0 A = {0; 1; ; 44; 45} und fü den Ablehnungsbeeich: A = {46;47; ;100} Hinweis: Die systematische Untesuchung kann auch mittels Tabelle duchgefüht weden. Ebenso ist es denkba, dass man das Poblem als Extemwetaufgabe fomuliet und eine Zielfunktion 100 k f (k) = B(100; 0,4; i) + B(100; 0,51; j) i= k + 1 j= 0 aufstellt. Diese lässt sich alledings nicht analytisch, sonden nu tabellaisch bzw. gafisch auf das gesuchte Minimum untesuchen