1 Reglerentwurf nach dem Betragsoptimum

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1 Reglerentwurf nach dem Betragsoptimum Für einfache d.h. einschleifige, lineare Regelungen mit ausgesprägtem Tiefpassverhalten ist der Entwurf nach dem Betragsoptimum relativ leicht anwendbar. w G K (s) F 0 (s) x In Regelungen wünscht man normalerweise, dass die Regelgröße x mit dem Sollwert w übereinstimmt. x(t) w(t) X(s) W (s) F W (s) = X(s) W (s) für alle s = jω ω R Beim Betragsoptimum geht es in erster Linie darum, die Übertragungsfunktion des geschlossenen(!) Regelkreises auf einer größtmöglichen Bandbreite konstant auf zu halten. In der Regelungstechnik verwendet man meistens minimalphasige Übertragungsglieder. Ein Übertragungsglied ist minimalphasig, wenn sämtliche Pole und Nullstellen einen negativen Realteil haben. Wenn ein Übertragungsglied minimalphasig ist, so ist für einen gegebenen Verlauf der BetragsKennlinie auch der Verlauf der PhasenKennlinie bestimmt. Herleitung RT. Vorlesung

2 Gegenbeispiel: Allpaß: G(s) = Ts + Ts G(jωs) = G(jωs) = 2 arctan(t ω) Im{s} T Pol T Nullstelle Re{s} Für elektrische Umrichter oder Antriebe ist die Annahme eines minimalphasigen Systems in der Regel zutreffend. 2

3 2 Regelung einer Strecke 2. Ordnung 2. Betragsoptimum Strecke. Ordnung erfüllt das Nyquistkriterium problemlos: X* F R F S X V F K. F S F R F S Strecke 2. Ordnung: T F S (s) = ( s + )(T s + ) Konvention: T > > T 3... X* G K F S X X* F W X F K Man wählt F R (s) derart, dass gilt: F K = F R F S F W (jω) = F W (jω) = F S (jω)f R (jω) + F S (jω) F R (jω) 3

4 Beispiel: Die Strecke F S (s) habe eine große Zeitkonstante T und mehrere kleine Zeitkonstanten im Nenner Ks F S (s) = ( + T s) ( + T v s) Ks mit ( + T s)( + T E s) T E = ν T v Gewählt wird folgender P IRegler: F R (s) = K R + T s T s vorausgesetzt, dass T > T E! Gegenbeispiel: elektrische und mechanische Zeitkonstante eines Antriebes (hochdynamisch) sind ungefähr gleich PIRegler funktioniert nicht mehr. F K (s) = F R (s) F 0 (s) = K R K S st ( + T E s) F W (s) = Für F W (s) = wäre x = x, was gewünscht wird. Für ein minimalphasiges F W (s) folgt: F K(s) + F K (s) = K S K R K S K R + T s + T E T s 2 F W (s) = aus F W (jω) = F W (jω) = K S K R K S K R + jωt + (jω) 2 T e T F W (jω) 2 = K 2 S K2 R (K S K R ω 2 T E T ) 2 + ω2 = K 2 S K2 R K 2 S K2 R + ω4 E + ω2 ( 2T ET K S K R ) 4

5 für kleine ω ist ω 4 TE 2T 2 0 F W (jω) 2 = für ω 2 ( 2T E T K S K R ) = 0 T = 2T E K S K R K R = T 2T E K S dieser komplette geschlossene Regelkreis stellt im überlagerten Regelkreis kein Stellglied mit PVerhalten für alle Frequenzen, sondern eines mit VZVerhalten dar. Zusammenfassung: Man wählt den Regler F R (s) so: dass die größten Nennerzeitkonstanten der Strecke kompensiert werden. ACHTUNG! Voraussetzung: dominante Zeitkonstante! dass die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises über weite Bereiche der Frequenzachse konstant bleibt. F W (jω) = Es gilt immer: F W (jω) = Analytische Lösung für den PIRegler: F 0(jω)G K (jω) + F 0 (jω)g K (jω) F K = V Tis + T i s ( s + )(T s + ) ; T i = T F K = F W = F W = T ik s( s + ) ; F K + F K = Z N = Z Z + N + Z N T ik s 2 + T ik s + = ( ) 2 s ω 0 + 2D s T ik = T i V ω 0 + 5

6 ω 0 = TiK T ik = 2 = T i V = T V 2D ω 0 = T ik T ik D = = 2 TiK 2 TiK = 2 2 V = T 2 T i = T entsprechend T E V K R K S 2.2 Regelung mit PRegler X* G K F S X X* F W X F K Forderung: F δ (jω) für ω = 0... ω W, ω W (so weit wie möglich) F w 6

7 Normalform: F δ = ( ) 2 s ω 0 + 2D s ω 0 + F R = V F K = F R F S = F W = F K + F K = V ( s + )(T s + ) = Z N = Zaehler Nenner Z N + Z N Eigenwerte: Wurzeln der charakteristischen Gleichung: T s 2 + (T + )s + + V = 0 = = Z Z + N V T s 2 + (T + )s + + V s,2 = (T + ) ± (T + ) 2 4T ( + V ) 2T Diskussion der Wurzelortstkurve: Einfluss des Reglers: Wurzelorte mit V = par. Krit. D s 45 T 7

8 charakteristische Punkte: entspricht einem reel V = 0: s = T s 2 = ( ) (T + ) 2 4 T ( + V ) = 0: s = s 2 = 2 T + len Mittelwert (± ) sonst: Konjugiert komplex Folgerungen: (PRegler) Kreis immer abs. stabil mit wachsendem V wird Dämpfung geringer je weiter T, auseinanderliegen, desto größer muss V sein, um eine ausreichende Dynamik für den geschlossenen Regelkreis zu erreichen (kritische Dämpfung). T s K s s W durch eine Regelung s Ein optimierter Regler ergibt eine gute Position der Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises. 8

9 Reglerdimensionierung nur ein Parameter: V T s 2 + (T + )s + + V = 0. Weg 2 s,2 = (T + ) ± (T + ) 2 4T ( + V ) 2T s,2 = (T + ) ± (T + ) 2 4T ( + V ) 2T Re(s )! = Im(s ) 45 nur der Zähler von s,2 wird betrachtet: (T + ) 2 = (T + ) 2 + 4T ( + V ) + V = 2(T + ) 2 4T V = + 2 2T 2. Weg 3 Normalform: ein Glied ist F W = V V + T V + s2 + T + V + s + = V W ( ) 2 s ω 0 + 2D s ω 0 + für steigendes V gilt: ω 0 D 0 V W V W = 2üblich (aperiodische Dämpfung) 3 Betragsoptimum V V + V + 2D ω 0 = = T + T ω 0 v + D = T + 2 T (V + ) 9

10 Mit dem Betragsoptimum gilt: 2D 2 = D = 2 2 D q 0,5 2 2 Kritische Dämpfung:. ITAE 2. Betragsoptimum } erfüllt vorgegeben: D = D krit. = T + 2 = 2 2 T (V + ) (T + ) 2 2T = V + zum Beispiel: V = (T + ) 2 2T = + 2 2T T = 4 V = = V W = V V + = 2 3 0

11 0,67 F H e( ) 33% V I K t Der stationäre Fehler ist zu groß. Das dynamische Verhalten ist in Ordnung, aber nicht sehr gut e e 0 bildet Stellsignal e kann nicht NULL werden! Regelung einer Strecke mit PRegler Folgen. immer stabil 2. für eine wachsende Verstärkung (V ) wird die Dämpfung (D) kleiner 3. Je weiter T und auseinander liegen, desto größer ist die kritische Verstärkung V krit Wenn die Verstärkung allerdings zu groß ist, wird das System instabil.

12 2.3 Differenzierende Regler Gedanke: Stellsignal aus de(t) dt bilden, 2 Typen: PD, PID F R F S. PDRegler F R V V T d Td F R = V Tds + T d s + F K = V Tds + T d s + ( s + )(T s + ) V F K = (T d s + )(T s + ) 2

13 T Polverschiebung nach links: (a) Schnelligkeit (b) höhere Stellleistung voriges Beispiel: T d =, T d 0, T d Schnelligkeit: V = T 2 + T d 2 2T T d (P D) ω 0 ω (P ) 0 = T = 4 T = 40T d = ; V δ = V V + = 20 2 e( ) = 5% ω 0 = 20 + (2 + ) 0, = V + = 0, 95 T 20 3 = 70 = 8, 4 = 0T d warum nicht 0fach? ( T d = 0, ) Phasendrehung durch T war vorher nicht voll wirksam, aber jetzt. 3

14 2. PIDRegler P I D = PDRegler mit parall. IKanal (genauer, aber langsamer (wie P PI)) F R = V Tis + T i s geringe Verstärkung bei ω ω d, sonst groß Tds + T d s + V T Td d (t) t F R voreilend: schnell V T d Td d keine Phasendrehung 4

15 (a) Polverschiebung nach links: Genauigkeit (b) Polverschiebung nach rechts: Schnelligkeit T' d T Regler mit DKanal: F K = T ik s(t d s + ) (a) Schnelligkeit kann nur ausgenutzt werden, wenn genügend Stellleistung installiert wird (Kleinsignal Großsignal) (b) Oberschwingungen werden verstärkt (Stromrichter, digitale Meßgeber z.b. Lage) Alternative wenn möglich: Ableitung der Regelgröße an der Strecke abgreifen. z.b. C i C ( ) L i C = C du dt 5

16 T dx dt x* T x hat F K (s) wie bei Regelung mit PIDRegler x wird aber nicht vom Regler differenziert 2.4 Symmetrisches Optimum T s Der PIRegler verschiebt die Polstelle bei T in den Ursprung s Das kann nicht funktionieren, wenn einer der Pole bereits im (oder sehr nahe am) Ursprung liegt. 6

17 T i Eine Polverschiebung bringt wenig Nutzen, wenn T > 7. Bei einem großen T i regelt der Regler Störgrößen nur langsam aus. T s + T s G (s) K F (s) 0 V,T i T m F K = V Tis + T i s ( s + )T m s = V T i T m s Tis + 2 s + = F F 2 T = T nicht möglich i 2 F K,0 abs. instabil 7

18 Regelkreis mit doppeltem Integrator Bedingungen für Stabilität und ausreichende Dämpfung (Nyquist Kriterium) F K (jω d ) = arg(f K (jω d )) = π + Ψ d arg(f K ) = arg(f ) + arg(f 2 ) = π + arg(f 2 ) = π + Ψ d Ψ d = arg(f 2 (jω d )) F K,0 d d Für T i ist die Ortskurve von F 2 : F 2 d s T i 8

19 Forderung: T i min für ϕ = Ψ d, sonst langsames Störverhalten d.h. ϕ = arg(f 2 ) max. F 2 (s) = T is + s + F 2 (jω) = + jωt i + jω = T i T i + jω + jω φ = arg(f 2 ) = arctan ωt i arctan ω T + T i für jedes ω ist der Winkel positiv! dφ dω ω=ω d = T i + ωd 2T + i 2 + ωd 2 2 T i ( + ω 2 d 2 ) ( + ω 2 d i ) = 0 T i (T i )ω 2 d T i = 0 ω 2 dt i =! = 0 (Maximum!) ω d = Ti 9

20 gesucht: T i geschlossene Lösung Ψ d = arg(f 2 ) Ψ d = arctan ω d T i arctan ω d T 2 Ti Ψ d = arctan arctan T2 Weg: T i aus vorgegebenen. Ψ d berechnen, dann V bestimmen. Wie berechne ich T i aus Ψ ( vorgegeben)? T i a b T i a = ( ) Ti 2 b = a + = ( ) Ti + 2 sin Ψ = a T i b = T i + ( ) Ti sin Ψ + sin Ψ = T i T ( ) 2 Ti (sin Ψ ) = ( + sin Ψ) T i = + sin Ψ sin Ψ T i = + sin Ψ sin Ψ 20

21 jetzt Berechnung von V : F K d d j setzen F K (jω d ) = bei der Durchschnittsfrequenz F K (jω d ) = V (ωd T i ) ωd 2T 2 + it m (ωd ) 2 +, ω d = Ti (siehe Seite 9) = V T i T i T m + T i T i + = V T m ( + T i + T i T i ) = V T 2 Ti Ti = V = T m T m für jedes T i (Ψ d ) gibt ein V V = T m Ti 2

22 Die Charakteristik des offenen Regelkreises Im ,25 0,6 0,75 0,5 0,4 2 q= d Re 22

23 Frequenzgang des offenen Regelkreises 2 F 2 F (lg) T i a d + a F K d 2 d 2 wegen der Symmetrie gilt: also = a ω d = a 2 T i T i = a 2 ; damit a berechnen: normierte Frequenz: F K (s) = = = für den offenen Regelkreis gilt: V T i T m s Tis + 2 s + V a 2 T m s a2 s + 2 s +, V = T m = T m Ti a a 3 T2 2 s a2 s + 2 s + q = s ω d = s T i = a F K (q) = aq + aq 2 ( a q + ) 23

24 für den geschlossenen Regelkreis gilt: F g = F g (q) = F K = Z + F K Z + N aq + q 3 + aq 2 + aq = Z(q) N(q) }{{} Eigenwerte: D(q) = 0; wie man sieht 4 ist q = eine Lösung weitere Lösungen: q 2,3 = a ( ) 2 a ± j 2 2 (a ) 2 ( ) 2 a q 2,3 = + = 2 2 also: a a= j q q 2 Pole 36 q= a>3 a>3 a Nullstelle a=3 q 3 a j 4 Koeff. paarweise??? 24

25 D 2,3 > 2 2! F g (q) = aq + q 3 + aq 2 + aq = Z(q) N(q) F g (q) = aq + (q 2 + (a )q + )(q + )! = aq + (q 2 + 2Dq + )(q + ) 2D = a a = + 2D T i = a 2 T V = T m a a opt. = 2, 6 D bzw. a nach ITAE opt. bemessen: D opt. = 0, 7 F g (q) = aq + q 3 + aq 2 + aq + 30% (t) t 25

26 gegen Überschwingen: Filter im Sollwertkanal beseitigt Wirkung des Zählers allgemein gilt: τ i : norm. Zeit t i nach ITAE optimiert: F W = τ 2q + τ q + τ 2 = D opt. = 0, 7 τ = a a opt. = 2, 6 a 26

27 reiner TP zu langsam (Leonhard),3 ohne Sollwertfilter w(t),0 F Filter ( q) q aq 0,5 F Filter ( q) aq d t Symmetrisches Optimum Sprungantworten 27

28 2.5 Grenze zwischen den beiden Dimensionierungsverfahren Z 2 Z x* x Regler T 3 T PIRegler F R = V Tis + T i s s T 3 T 2 a T T opt 2 s a) T s b) 28

29 a) Betragsoptimum T < a 2 opt. b) Symm. Opt. T > a 2 opt. a opt. = 2, 6 a 2 opt. = = 6, 75 29

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s)

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s) Aufgabe : LAPLACE-Transformation Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist: Y (s) = 0.5 s + (s + 3).5 (s + 4) Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: w(t) = σ(t) W (s) = s Die

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