Partialbruchzerlegung

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1 Partialruchzerlegung Unknown: Letzte Änderung:

2 Contents 1 Nutzen/Ziel [Integration] 3 2 Partialruchzerlegung Rellee Nullstellen (einfach) Komplexe Nullstellen Mehrfache Nullstellen (reell) Verfahren Koezientenvergleich Zuhaltemethode/Grenzwertmethode Einsetzmethode Beispiele Einfache Nullstellen, reell Reelle Nullstellen Komplexe Nullstellen

3 1 Nutzen/Ziel [Integration] Unter einer gerochen rationalen Funktion versteht man eine Funktion f : D R, die als Quotient zweier Polynome mit reellen Koezienten gegeen ist. Es gilt demnach f(x) = q(x) p(x) mit q(x), p(x) P ol R daei einhaltet der Denitionsereich D keine Nullstellen des Nennerpolynoms p(x)! Des Weiteren gilt, dass p(x) irreduziel ist und Grad p(x)>grad q(x). Stellt sich nun die Frage nach der Integration einer solchen Funktion, so treten keine Proleme auf, sollten die Polynome von derartiger Gestalt sein: q(x) = 1und p(x) = x n Die Stammfunktion F 1 der Funktion f n für n=1 ist uns wohl ekannt. f 1 (x) = 1 x 1 F 1 = ln(x) Auch ereitet F 2 keine gröÿeren Schwierigkeiten: f 2 (x) = 1 x 2 F 2 = 1 x Es ergit sich, wie sich schnell erkennen lässt: f n (x) = 1 x F n n = fn 1 n 1 die Stamm- 1 Genauso einfach lässt sich für n>1 sagen, dass für f(x) = (x a) n funktion dieses Aussehen hat: F (x) = 1 n 1 f n 1(x a) Umkehrung: Wir schreien t(x) = x a und leiten F = fn 1 n 1 t(x) a (Kettenregel; t'(x)=1) F (x) = ( fn 1 n 1 t ) = fn (t(x)) t (x) = f n (x a) = f(x) Wollen wir aer nun eine Integration einer elieigen rationalen Funktion q(x) p(x) durchführen, so wird p(x) in seine Linearfaktoren zerlegt und die Partialruchzerlegung kommt ins Spiel. Mit ihr lässt sich dann oiges Anwenden und damit "einfach" integrieren. 3

4 2 Partialruchzerlegung Grundsätzlich sind drei verschiedene Fälle zu unterscheiden. - Einfache reelle Nullstellen - komplexe Nullstellen - mehrfache Nullstellen (hier: reell) 2.1 Rellee Nullstellen (einfach) Es sei angenommen, dass das Polynom als Linearfaktorzerlegung geschrieen werden kann. Daei tritt keine Vielfachheit einer Nullstelle auf p(x) = (x x 1 ) (x x 2 )... (x x m ). Die zugehörige Partialruchzerlegung hat dann diese Gestalt. q(x) p(x) = a x x 1 + x x Die Berechnung soll später geklärt werden. 2.2 Komplexe Nullstellen Gilt für p(x), dass keine reellen Nullstellen exisitieren, so lässt es sich nicht als Produkt von Linearfaktoren darstellen. p(x) = (x 2 + ux 1 + v 1 ) +... mit u, v R Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aer direkt vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle z i auch die konjugiert komplexe Zahl z i Nullstelle ist. a Anstatt x z i und x z i lässt sich das ganze auch als ein Term c+dx x 2 +ux+v darstellen, woei gilt x 2 + ux + v = (x z i )(x z i ). Da x 2 + ux + v einer reellen quadratischen Form entspricht, sind auch c und d reell. 2.3 Mehrfache Nullstellen (reell) Der Nennerterm p(x) sei auf die Form geracht: p(x) = (x x 1 ) k1 (x x 2 ) k2... (x x m ) km für k i > 1 Eine Vielfachheit der Nullstelle ist hier möglich. Für den zu wählenden Ansatz gilt folgendes: p(x) (x x n) = a k (x x + z n) (x x n) (x x n) k 4

5 3 Verfahren Eine Partialruchzerlegung hat folgende Form (hier: einfache reelle Nullstellen) q(x) p(x) = a (x x 1) + (x x 2) +... Daei sind die Koezienten im Zähler zu estimmen und x n steht für die Nullstellen. In diesem Kapitel sollen verschiedene Ansätze zur Bestimmung der Koezienten dargelegt werden Koezientenvergleich 3.2. Zuhaltemethode/Grenzwertmethode 3.3. Einsetzmethode Die Herangehensweise soll jeweils an einem Beispiel veranschaulicht werden. 3.1 Koezientenvergleich Es sei folgende Funktion gegeen: f(x) = x 1 (x 2) 3 Man erkennt sofort, dass man hier nach 2.3. vorzugehen hat. Hier liegt eine mehrfache Nullstelle vor! Es gilt demnach folgender Ansatz: x 1 (x 2) = a 3 x 2 + (x 2) + c 2 (x 2) 3 Mit Anwendung des Koezientenvergleichs ist es nun nötig, den gemeinsamen Hauptnenner zu nden und mit diesem zu multiplizieren. Der gemeinsame Hauptnenner ist in unserem Fall (x 2) 3. Es ergit sich daraus eine neue Gleichung, die dieses Aussehen hat: x 1 = a(x 2) 2 + (x 2) + c Um die Koezienten zu vergleichen muss die Gleichung vereinfacht werden. 1 x 1 = a(x 2 4x + 4) + (x 2) + c = ax 2 + ( 4a + )x + (4a 2 + c) 5

6 Nun können die Koezienten verglichen werden, indem man sich folgendes vor Augen führt: 0 x x 1 = ax 2 + ( 4a + )x + (4a 2 + c) x 2 : 0 = a x 1 : 1 = 4a + x 0 : 1 = 4a 2 + c Aus erster Zeile folgt, dass a = 0 sein muss. Damit in die zweite Zeile und es folgt = 1. Aus der dritten Gleichung erhält man dann c = 1. Dies wird nun in oige Gleichung eingesetzt und man erhält: x 1 (x 2) = 0 3 x (x 2) (x 2) = 1 3 (x 2) (x 2) Zuhaltemethode/Grenzwertmethode Dieses Verfahren ist edeutend schneller als der Koezientenvergleich, doch lässt es sich nur auf Linearfaktoren anwenden. Bei einer mehrfachen Nullstelle ist es mit der Grenzwertmethode nicht getan. Es ietet sich an, die den höchsten Potenzen der Linearfaktoren entsprechenden Unekannten nach der Grenzwertmethode, die ürigen nach der Koezientenvergleichsmethode zu estimmen. Auch hier sei an einem Beispiel das Vorgehen veranschaulicht. Gegeen sei folgendes: 2x+3 (x 1)(x+1) = a x 1 + x+1 Wir haen hier nur einfache reelle Nullstellen und somit lassen sich eide Koezienten nach der Grenzwertmethode estimmen. Um a zu estimmen, werden eide Seiten mit dem zugehören Linearfaktor (hier: (x-1)) multipliziert. Es wird sogleich gekürzt und folgendes leit stehen: 2x+3 x+1 = a + (x 1) x+1 Nimmt man nun den Grenzwert, sagt x 1, so ergit sich: = a + 0 Es ergit sich a = 5 2. Für wird genau dassele Verfahren verwendet. Es wird mit dem zugehörigen Linearfaktor (hier: (x+1)) multipliziert und dann der Grenzwert errechnet. Es gilt für x = a 0 + = 1 2 Die Partialruchzerlegung lautet demnach: 6

7 2x+3 (x 1)(x+1) = 5 2 (x 1) Einsetzmethode (x+1) = (x 1) (x+1) Mit der Einsetzmethode erzeugt man so viele lineare Gleichungen, wie man unekannte Koezienten angesetzt hat, indem man in die Ansatzgleichung für die Partialrüche für x elieige Werte einsetzt ( D). Diese Methode wendet man vorteilhaft an, wenn mit der Zuhaltemethode schon Koezienten estimmt sind und nur noch wenige Koezienten unekannt sind. Wiederum sei an einem Beispiel das Vorgehen erläutert. x+1 x 2 (x 1) = a x + x 2 + c (x 1) Anmerkung: Mit der Grenzwertmethode lassen sich hier nicht alle Koezienten estimmen. Mittels der Grenzwertmethode lieÿe sich nur und c estimmen. Es gilt drei Koezienten zu estimmen. Drei Unekannte fordern drei Gleichungen. Für die Einsetzmethode sei x=-1, x=2 und x=3 gewählt (x=0 oder x=1 dürfen nicht gewählt werden! Sie liegen auÿerhal von D). Es ergit sich folgendes Gleichungssystem, das es zu lösen gilt: x = 1 : 0 = a 1 + ( 1) + c x = 2 : 4 = a c 1 4 x = 3 : 18 = a c 2 In vereinfachter Form: x = 1 : 0 = a c 3 x = 2 : 4 = 1 2 a c 2 x = 3 : 9 = 1 3 a c Als Lösung ergit sich: a=-2, =-1, c=2 Die Partialruchzerlegung lautet demnach: x+1 x 2 (x 1) = 2 x 1 x (x 1) 7

8 4 Beispiele Am einfachsten lassen sich Dinge durch Veranschaulichung wie Beispiele erklären. Es folgen drei Vorrecheneispiele: - Einfache Nullstellen, reell - Reelle Nullstellen - Komplexe Nullstellen 4.1 Einfache Nullstellen, reell Integrieren Sie x 2 +5x 14! Um dies zu integrieren sollte man eine Partialruchzerlegung durchführen. Dafür muss der Nenner zuerst einmal zerlegt werden. Mit der Mitternachtsformel/pq- Formel erhält man die Nullstellen x 1 = 7 und x 2 = 2. Die Linearfaktorzerlegung des Nenners ergit dann: x 2 +5x 14 = (x+7)(x 2) Nun kann man für die Partialruchzerlegung folgendermaÿen ansetzen: x 2 +5x 14 = a x+7 + x 2 Lösungsvoschlag 1: (Grenzwertmethode) x=-7: Es wird mit (x+7) multipliziert und der Grenzwert x 7genommen: x 2 = a = a a = 1 3 Für x=2 wird dassele gemacht. Aer um das mühsame Schreien zu ersparen, sei hier erklärt, warum es auch "Zuhaltemethode" heiÿt. Für die Zuhaltemethode edecke man auf der linken Seite (x-2). Rechts etrachte man allein. Es steht also für das Auge nur noch folgendes da: (x+7) = Den Grenzwert x 2 eingesetzt ergit das = 4 3. Wie sich leicht nachprüfen lässt, ist das korrekt und es erklärt sich sowohl der Name "Zuhaltemethode", wie auch warum es sich um ein so schnelles Verfahren handelt. Lösungsvoschlag 2: (Einsetzmethode) Zur Erinnerung: x 2 +5x 14 = a x+7 + x 2 Es werden nun zwei elieige Werte für x D gewählt, denn es liegen zwei Unekannte vor, die zwei Gleichungen verlangen. Es sei x=0 und x=3 gewählt: = a = a

9 Es ergeen sich also die eiden Gleichungssysteme: = a = a Aus diesem LGS ergit sich die Lösung a = 1 3, = 4 3 Das stimmt mit "Lösungsvorschlag 1" üerein Ergenis: Man erhält am Ende: x 2 +5x 14 = 1 3(x+7) + 4 3(x 2) Um die Aufgae azuschlieÿen wird nun integriert: x 2 +5x 14 dx = 1 3(x+7) + 4 3(x 2) dx = [ 1 3 ln x ln x 2 ] 4.2 Reelle Nullstellen Partialruchzerlegung dieses Beispiels: 4x 2 +9x 4 (x 1)(x+2) 2 Zu wählender Ansatz: 4x 2 +9x 4 (x 1)(x+2) 2 = a x 1 + x+2 + c (x+2) 2 Mit a=1 und c=2 (aus der Grenzwertmethode) ( lässt sich mit der Grenzwertmethode nicht estimmen. Ist nun aer einfacher zu estimmen, da einzige Unekannte): x+2 = 4x2 +9x 4 (x 1)(x+2) 1 2 x 1 2 (x+2) 2 Danach versucht man eide Seiten auf den gleichen Nenner zu ringen: x+2 = (4x2 +9x 4) (x+2) 2 2(x 1) (x 1)(x+2) 2 = 4x2 +9x 4 (x 2 +4x+4)+2x 2 (x 1)(x+2) 2 = 3x2 +3x 6 (x 1)(x+2) 2 = 3(x 1)(x+2) (x 1)(x+2) 2 = 3 (x+2) Man sieht also, dass x+2 = 3 x+2 9

10 woraus folgt, dass =3 ist. Es ergit sich damit insgesamt: 4x 2 +9x 4 (x 1)(x+2) = 1 2 x x (x+2) Komplexe Nullstellen Partialruchildung von 2x3 +5x 2 +2x+3 Es gilt als erstes zu eachten, dass der Nennergrad nicht gröÿer ist als der Zählergrad! Also Polynomdivision: 2x 3 +5x 2 +2x+3 = 2 + x 2 1 Wir haen eine komplexe Nullstelle und eine einfache reelle Nullstelle. Es gilt daher folgender Ansatz (Der Summand 2 wird nicht weiter etrachtet): x 2 1 = a x+2 + x+c x 2 +1 Wie eschrieen wird nun der Hauptnenner geildet und dann geordnet: x 2 1 = a(x2 +1)+(x+c)(x+2) = (a+)x2 +(2+c)x+(a+2c) Mit dem Koezientenvergleich ergit sich: x 2 : a + = 1 x 1 : 2 + c = 0 x 0 : a + 2c = 1 a = 3 5, = 2 5, c = 4 5 2x Das Ergenis ist dann: 3 +5x 2 +2x+3 = x x 4 5 x