Übungen Mathematik I, M

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Helge Walter
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1 Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0).0.0. Berechnen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes ( x + y) 7 Lösung: Nach dem binomischen Lehrsatz ist ( x + y) 7 = 7 k=0 ( ) 7 ( x) k (y) 7 k k =( x) 7 + 7( x) (y) + ( x) (y) + ( x) (y) + ( x) (y) + ( x) (y) + 7( x) (y) + (y) 7 = 8x 7 + x y 08x y + 0x y 80x y + 0x y 00xy + 87y 7.. Bestimmen Sie alle z C für die die folgenden Gleichungen erfüllt sind: (a) z z = (z )i (b) ( + i)z + 9 ( + i)z (9 + i) = 8 i, (c) z = Lösung: (a) Zunächst bringen wir in der Gleichung alle Terme auf eine Seite: z ( + i)z ( i) = 0. Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, nämlich ( z = + i ) + i + + ( i), wobei es in den komplexen Zahlen zwei Quadratwurzeln gibt. Wir rechnen weiter z = + i + + i + 9i = + i + 0i + 8 i = + i + i.

2 Die Wurzeln aus i sind + i und i: Die Zahl i hat Betrag und Winkel π in der Polardarstellung, + i und i haben Betrag und Winkel π beziehungsweise 7 π. Die Lösungen der Gleichung sind somit z = + i + ( + i) = + i und z = + i + ( i) = i (b) Wir multiplizieren die Gleichung mit dem Nenner der linken Seite und erhalten ( + i)z + 9 = (8 i)(( + i)z (9 + i)) = ( + i i 0i )z (7 + i i 0i ) = ( + 7i)z (9 i). Achtung: Da wir hier mit einer Zahl multiplizieren, deren Wert wir noch nicht kennen, müssen wir am Ende unserer Berechnungen überprüfen, dass wir nicht mit 0 multipliziert haben. Nun bringen wir die Terme mit z auf eine Seite und die restlichen Terme auf die andere Seite. ( + i)z = 0 i Nun multiplizieren wir mit i, um den Faktor vor z aufzulösen. ( i )z = (0 i)( i) 07z = 8 07i z = i Um sicherzustellen, dass i tatsächlich die Lösung der Gleichung ist, müssen wir noch überprüfen, dass wir im ersten Schritt nicht mit 0 multipliziert haben. Multipliziert haben wir mit ( + i)z (9 + i) = ( + i)( i) (9 + i) = (0 + i) (9 + i) = + i. Also haben wir nicht mit 0 multipliziert und z = i ist tatsächlich die Lösung der Gleichung. (c) Die Zahl hat Betrag und Winkel π in der Polardarstellung. Ihre sechsten Wurzeln haben also ebenfalls Betrag sowie Winkel π, π, π, 7 π, 9 π und π. In der Standarddarstellung mit Real- und Imaginärteil ergeben sich die Lösungen z = + i z = i z = + i z = i z = i z = i.

3 . Ermitteln Sie jene Punktmenge in C, die durch die Ungleichungen z z < (z + z) und Re z > 0 festgelegt wird und stellen Sie sie graphisch in der Gauß schen Zahlenebene dar. Lösung: Schreiben wir z = a + bi, dann entsprechen die obigen Ungleichungen a + b < a und a > 0. Die linke Ungleichung können wir umformen zu a a + b < 0 a a b < 9 (a ) + b < 9 z < 9. Da diese Ungleichung nur für Zahlen mit positivem Realteil erfüllt ist (für Realteil 0 ist bereits (a ) mindestens 9), beschreibt diese Ungleichung die gesuchte Punktmenge. In der Gaußschen Zahlenebene entspricht die Punktmenge allen Punkten mit Abstand kleiner vom Punkt, also dem Inneren eines Kreises: Im z i 0 Re z i. Beweisen Sie für alle n, m, k N mit n m k: (a) ( )( ) n m = m k ( n k )( n k m k ) (b) ( ) n + ( ) n = (n ). Lösung: (a) Die linke Seite der Gleichung entspricht ( )( ) n m n! = m k m!(n m)! m! k!(m k)! = n! (n m)!k!(m k)!.

4 Die rechte Seite ist ( )( ) n n k = k m k n! k!(n k)! (n k)! (m k)!(n m)! = n! (n m)!k!(m k)!. Die beiden Seiten sind identisch, also ist die Gleichheit gezeigt. Die Gleichheit lässt sich auch rein argumentativ zeigen: Die linke Seite entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten m auszuwählen und von diesen dann k auszuwählen. Die rechte Seite entspricht der Wahl von k Objekten sowie m k weiteren Objekten, also insgesamt werden m Objekte gewählt, von welchen k im ersten Schritt gewählt wurden. Also sind beide Seiten identisch. (b) Es ist ( ) ( ) n + n = (n + )n(n ) = n n n n + n = n n + = n n + = (n ). (n )(n )(n ). Gegeben sind die vier Punkte 0 P = 8, P = 0, P =, P = Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene durch P, P und P in parameterfreier Form und berechnen Sie den Abstand des Punktes P von dieser Ebene (inkl. Fußpunkt). Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks P P P? Lösung: Wir erhalten den Normalenvektor n der Ebene, indem wir das Kreuzprodukt von P P und P P berechnen. n = (P P ) (P P ) = 0 = Die parameterfreie Form der Ebenengleichung ist also von der Form x = x + y z = const. Die Konstante erhalten wir, indem wir einen Punkt der Ebene, zum Beispiel P, einsetzen. Es ergibt sich der Wert = 7. Die Ebenengleichung lautet also x + y z = 7.

5 Um den Abstand von P zur Ebene und den dazugehörigen Fußpunkt zu erhalten, betrachten wir die Gerade P + s n = 8 + s und berechnen ihren Schnittpunkt mit der Ebene, indem wir die Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzen. ( s) + ( 8 + s) ( s) = 7 s 9 = 7 s = s = Der Schnittpunkt ist also 8 + =, 0 der Abstand von P ist =. Der Flächeninhalt des Dreiecks P P P ist halb so groß wie der Betrag des Normalenvektors, also =.. Gegeben ist die Ebene E durch die Punkte P =, P =, P = sowie die Ebene F durch den Punkt R = 0,, und durch die Gerade 9 g : X = 0 + t. 0 (a) Geben Sie die beiden Ebenen E und F parameterfrei an!

6 (b) In welchem Punkt durchstößt die Gerade g die Ebene E? (c) In welchem Winkel schneidet die Gerade g die Ebene E? (d) Wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E und F? Lösung: (a) Für die Gleichung für Ebene E berechnen wir zunächst den Normalenvektor n E = (P P ) (P P ) = 7 7 = Für die Ebenengleichung können wir den Faktor kürzen, die Gleichung ist also von der Form x = x + y z = const. Setzen wir hier P ein, ergibt sich + = 7, die Ebenengleichung für E lautet somit x + y z = 7. Für F berechnen wir den Normalenvektor als Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren: 9 n F = 0 0 = 0 = 8 0 Wir kürzen um den Faktor und erhalten eine Ebenengleichung der Form x = x + y + z = const. Setzen wir den Punkt R ein, ergibt sich + ( 0) + = 77 und somit die Ebenengleichung x + y + z = 77. (b) Wir setzen die Koordinaten der Gerade g in die Geradengleichung von E ein: (9 + t) + (0 t) ( 0 t) = 7 t 8 = 7 t = Als Schnittpunkt erhalten wir also ( ) =. 0 7

7 (c) Für den Winkel zwischen (dem Richtungsvektor von) g und dem Normalenvektor von E verwenden wir die Formel 8 n E 8 cos(α) = = n E 8 8 = =. Somit ist α = Daher schneidet g die Ebene E im Winkel von α 90 = (d) Der im Teil b berechnete Punkt liegt auf der Schnittgeraden. Wir 7 müssen daher nur noch ihren Richtungsvektor berechnen. Da die Schnittgerade in beiden Ebenen liegt, verläuft sie senkrecht zu beiden Normalenvektoren. Wir können den Richtungsvektor v also als Kreuzprodukt der (gekürzten) Normalvektoren erhalten: 0 v = = 7 7 Die Gleichung der Schnittgeraden lautet somit 8 0 x = + s Die Punkte x D A =, B = y B, D =, z A sind die Eckpunkte eines Parallelogramms, das in der Ebene ε : x y + z = 0 liegt. Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten der Punkte A, B, D sowie die Koordinaten des Punktes C. Errichten Sie über dem Parallelogramm als Grundfläche eine gerade Pyramide von der Höhe h =. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze S (zwei Lösungen!) und das Volumen der Pyramide! Lösung: Um die fehlenden Koordinaten zu berechnen, setzen wir die Punkte A, B, D in die Ebenengleichung ein: ( ) + z A = 0 z A = y B + = 0 y B = x D ( ) + ( ) = 0 x D = 7

8 Der Punkt C berechnet sich als C = B + D A = + = 0. Für die Pyramide benötigen wir zunächst den Mittelpunkt M des Parallelogramms. M = (A + C) = 9 (B + D) = Die Spitze ergibt sich als S, = M ± 9 = ±, die beiden Spitzen sind also S = und S = 7 9 Die Grundfläche der Pyramide hat den Flächeninhalt 7 (B A) (D A) = = =. Das Volumen der Pyramide ist ein Drittel des Produktes aus Grundfläche und Höhe, also ist das Volumen =.. 8

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