Derivate und im Transaction Banking der HypoVereinsbank tätig.

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2 Derivate ud im Trasactio Bakig der HypoVereisbak tätig. Zum Ihalt: Dieses kompakte Lehrbuch behadelt eierseits das otwedige fiazmathematische Basiswisse ud greift adererseits zetrale Awedugsmöglichkeite i der Ivestitios ud Bakwirtschaft auf. Es wedet sich a Studierede der Wirtschaftswisseschafte a Uiversitäte ud Hochschule sowie a Praktiker i Uterehme ud i beratede Berufe. Die formale Darstellug wird durchgehed mit zahlreiche praxisbezogee Beispiele ud Aufgabe utermauert, sodass sich dieses Buch auch sehr gut für das Selbststudium eiget. Darüber hiaus zeigt es immer wieder die Verbidug zu adere wichtige Teilgebiete der Betriebswirtschaftslehre (z.b. Rechugslegug, Kosterechug, Ivestitiostheorie) sowie zu agrezede juristische Fragestelluge (z.b. Preisagabeverordug, Vorfälligkeitsetschädigug) auf. Aus dem Ihalt: Zis ud Ziseszisrechug Abschreibuge Rete ud Tilgugsrechug Kurs ud Effektivverzisug Ivestitiosrechug bei usichere Erwartuge Messug ud Steuerug des Zisäderugsrisikos Eisatz vo Excel i der Fiazmathematik Zum Autor: Prof. Dr. Korad Wimmer ist Uterehmesberater, Dozet, fiazmathematischer Sachverstädiger ud Gutachter.

3 Fiazmathematik Grudlage ud Awedugsmöglichkeite i der Ivestitios- ud Bakwirtschaft vo Prof. Dr. Korad Wimmer begrüdet vo Euge Caprao 7., vollstädig überarbeitete Auflage Verlag Fraz Vahle Müche

4 Vorwort Dieses Lehrbuch behadelt eierseits das otwedige fiazmathematische Basiswisse ud greift adererseits zetrale Awedugsmöglichkeite i der Ivestitios- ud Bakwirtschaft auf. Es wedet sich daher a Studierede der Wirtschaftswisseschafte a Uiversitäte ud Hochschule sowie a Praktiker i Uterehme ud i beratede Berufe. Die formale Darstellug wird durchweg mit zahlreiche praxisbezogee Beispiele ud Aufgabe utermauert, sodass sich das Werk auch sehr gut für das Selbststudium eiget. Der hohe Awedugs- ud Praxisbezug uterscheidet das vorliegede Lehrbuch vo ähliche Bücher. Auch zeigt es immer wieder die Verbidug zu adere wichtige Teilgebiete der Betriebswirtschaftslehre (z. B. Rechugslegug, Kosterechug, Ivestitiostheorie) sowie zu agrezede juristische Fragestelluge (z. B. Preisagabeverordug, Vorfälligkeitsetschädigug) auf. Aufbau ud Neueruge Der erste Teil des Buches beschreibt die Grudlage der Fiazmathematik ud geht damit auf die klassische Fragestelluge, isbesodere die Ziseszisrechug, die Berechug vo Abschreibuge, die Reterechug, die Tilgugs- ud Kursrechug sowie die Berechug der Effektivverzisug, die aufgrud der geäderte Preisagabeverordug agepasst wurde, ei. Eie wesetliche Äderug dieser Auflage betrifft die Berechug vo Pesiosrückstelluge als Awedugsfall der Reterechug isofer ist sie für das Verstädis auch der Bilazierug vo Pesiosrückstelluge sehr wichtig. Wege der hohe Praxisrelevaz wurde außerdem das Leasiggeschäft aufgeomme. Es lässt sich fiazmathematisch aalog zum klassische Bakkredit abbilde, d. h. auch hier ka eie Effektivverzisug ermittelt werde. Abschreibuge werde erstmals um die Betrachtug der ökoomische Abschreibug erweitert, die im Uterschied zu de Verfahre der Kosterechug ud Rechugslegug de Kapitaldiest fiazmathematisch korrekt abbildet. Der zweite Teil, der i der Vorauflage eu itegriert wurde, ist vom Aufbau her uverädert, jedoch i vielfältiger Hisicht um praxisrelevate Aspekte ergäzt worde. So wurde die marktzisorietierte Kapitalwertmethode um die Berechug vo Ivestitiosmarge erweitert, d. h. es köe icht ur der Kapitalwert eier Ivestitio, soder auch die zugehörige Retabilität berechet werde. Hier wird auch die Querverbidug zum Kozept des Ecoomic-Value-Added (EVA) aufgezeigt, de dara orietiere ahezu alle DAX-30-Kozere bei ihrer Uterehmessteuerug. Als Awedugsfall der marktzisorietierte Kapitalwertmethode wird die besoders praxisrelevate Berechug der Vorfälligkeitsetschädigug bzw. Nichtabahmeetschädi-

5 VI Vorwort gug berücksichtigt. Sie betrifft Uterehme wie Privatpersoe i gleicher Weise, wie der Verfasser aus eigeer Praxis als gerichtlicher Sachverstädiger weiß. Der Abschitt Ivestitiosrechug bei usichere Erwartuge beihaltet zahlreiche Awedugsbeispiele zur Portfolio Selectio, zum CAPM ud damit zu de Grudlage des modere Portfolio-Maagemets. Ei weiteres Kapitel behadelt die Grudfrage der Messug ud Steuerug des Zisäderugsrisikos. Grudleged ist hier ach wie vor das Duratioskozept, das i Form der Modified Duratio auch bakaufsichtsrechtlich ( Baseler Zisschock ) relevat ist, wie ei ausführliches Beispiel demostriert. Schließlich wird exkursartig das Value-at-Risk-Kozept beschriebe, desse Eisatz lägst icht mehr ur auf das Kreditgewerbe beschräkt ist. So wichtig die formale Darstellug ud so praktisch die tabellierte Faktore (Barwertfaktore, Auitätefaktore etc.) auch sei möge i der betriebliche Praxis habe sich lägst Tabellekalkulatiosprogramme etabliert. Ei eu aufgeommees Kapitel greift deshalb wesetliche Berechugsbeispiele ud Fuktioe i Excel auf. So wird beispielsweise die Zielwertsuche erläutert, die i der Praxis mittlerweile uverzichtbar ist. Ich empfehle alle Leserie ud Leser, beim Durcharbeite dieses kompakte Buches parallel Tabellekalkulatiosprogramme zu beutze. Das Nachvollziehe der zahlreiche Aufgabe ud Beispiele zur Fiazmathematik fällt dem Leser da sehr viel leichter, ud quasi ebebei erwirbt er sich eie umfagreiche Sammlug vo Musterfälle. Gaz herzlich bedake möchte ich mich a dieser Stelle bei Herr Deis Bruotte vom Verlag Vahle für die reibugslose ud jederzeit sehr ageehme Zusammearbeit. Als Lektor hat er maßgeblich zur zügige Realisierug der Neuauflage beigetrage. Digolfig, im August 03 Korad Wimmer

6 Ihaltsverzeichis Vorwort.... Symbolverzeichis.... V XI Teil I Grudlage der Fiazmathematik. Mathematische Grudlage ud Grudketisse.... Wurzel ud Poteze.... Logarithme....3 Arithmetische Folge ud Reihe Geometrische Folge ud Reihe Zisrechug Eifache Zise Nomial- ud Effektivverzisug Wechseldiskotierug....9 Iterpolatiosverfahre.... Zis ud Ziseszise Begriff Ziseszis bei jährlicher Verzisug Gemischte Verzisug....4 Mittlerer Zahlugstermi Uterjährliche Verzisug Stetige Verzisug Vorschüssige Verzisug Abschreibuge Abschreibugsbegriff Lieare Abschreibug (AfA i gleiche Jahresbeträge) Arithmetisch-degressive Abschreibug Geometrisch-degressive Abschreibug Ökoomische Abschreibug Reterechug Retebegriff... 4

7 VIII Ihaltsverzeichis 4. Nachschüssige Jahresrete Vorschüssige Jahresrete Uterjährliche Rete Jährliche Retezahluge ud uterjährliche Ziskapitalisierug Uterjährliche Retezahluge mit jährlicher Zisverrechug Uterjährliche Retezahluge mit uterjährlicher Zisverrechug Progressive Rete Geometrisch fortschreitede Rete Arithmetisch fortschreitede Rete Ewige Rete Kostate ewige Rete Arithmetisch fortschreitede ewige Rete Geometrisch fortschreitede ewige Rete Berechug vo Pesiosrückstelluge Berechug vo Pesiosrückstelluge bei sichere Erwartuge Berechug vo Pesiosrückstelluge uter Eibeziehug vo Sterbewahrscheilichkeite Tilgugsrechug Ihalt der Tilgugsrechug Ratetilgug Auitätetilgug Formale Darstellug Prozetauität Auitätetilgug mit Koversio, Sodertilgug Zisaleihe mit Rücklagetilgug Tilgug mit Aufgeld ud Gebühre Ratetilgug mit Aufgeld Auitätetilgug mit Gebühreverrechug Auitätetilgug mit Aufgeld Tilgug vo Seriealeihe Tilgug i gleiche Rate Tilgug eier Auitätealeihe i Stücke gleiche Newerts Aufgeldaleihe bei eigeschlosseem Aufgeld Uterjährliche Auitätetilgug Jährliche Tilgugsverrechug ud uterjährliche Ziskapitalisierug Uterjährliche Zis- ud Tilgugsverrechugszeitpukte... 0

8 Ihaltsverzeichis IX 5.8 Ratekredite (Teilzahlugskredite) Überblick Ratekredite ohe Bearbeitugsgebühre Ratekredite mit Bearbeitugsgebühre Kurs ud Effektivverzisug Zusammehag zwische Kurs ud Effektivverzisug Kursberechug Berechug der Effektivverzisug (Redite) Jährliche Zahluge Uterjährliche Zahluge Teil II Awedugsmöglichkeite i der Ivestitios- ud Bakwirtschaft 7. Ivestitioe Zielsetzuge bei Ivestitiosetscheiduge Dyamische Verfahre der Ivestitiosrechug Vermögeswertmethode Zissatzmethode Eibeziehug vo Steuerwirkuge Marktzisorietierte Kapitalwertmethode: Berücksichtigug der Zisstrukturkurve des Geld- ud Kapitalmarktes Lösug mithilfe des vollstädige Fiazplas (Duplizierugsprizip) Kalkulatio mit periodespezifische Kalkulatioszissätze Fallstudie: Berechug eier Vorfälligkeitsetschädigug i der Bakpraxis Margeermittlug bei icht-flacher Zisstrukturkurve des Geldud Kapitalmarktes Ivestitiosrechug bei usichere Erwartuge Portfolio Selectio Kapitalmarktliie Capital Asset Pricig Model (CAPM) Messug ud Steuerug des Zisäderugsrisikos Duratioskozepte (Macaulay-) Duratio Awedugsmöglichkeite der Duratio Barwert- ud Edwertsimulatioe ud das Praxisbeispiel Baseler Zisschock Beschreibug der Barwert- ud Edwertsimulatio Praxisbeispiel Baseler Zisschock... 07

9 X Ihaltsverzeichis 9.3 Value at Risk (VaR) Vereifachte Berechug des VaR über Risikoparameter VaR uter Eibeziehug vo Diversifikatioseffekte Eisatz vo Excel i der Fiazmathematik Ahag: Tabelle zur Fiazmathematik Abzisugsfaktore Aufzisugsfaktore... Nachschüssige Auitätefaktore Nachschüssige Retebarwertfaktore Nachschüssige Reteedwertfaktore... 8 Vorschüssige Auitätefaktore Vorschüssige Retebarwertfaktore... 3 Vorschüssige Reteedwertfaktore Kurse für Auitätealeihe Kurse für Zisaleihe Zusammestellug wichtiger fiazmathematischer Formel Literaturverzeichis Sachverzeichis... 45

10 Symbolverzeichis Hiweis: Aufgeführt sid die wichtigste im Lehrbuch verwedete Symbole. Im Teil II werde fallweise weitere Symbole eigeführt. a Afagsglied eier Folge a 0 0 Prozetsatz des Aufgeldes, Prozetsatz der Bearbeitugsgebühr achschüssiger Retebarwertfaktor a vorschüssiger Retebarwertfaktor A Auität A Moatsrate A k Auität für das k-te Jahr A Auität mit eigeschlosseem Aufgeld C Kurs C 0 Begebugskurs, Emmissioskurs, Gegewartskurs, Marktwertkurs d Differez zweier Folgeglieder d, d Differeze bei Iterpolatio e Eulersche Zahl e t Eizahlugsüberschuß zum Zeitpukt t E 0 Afagskoste E Eiahme zum Termi GKM Geld- ud Kapitalmarkt i omialer Zissatz, Abschreibugsprozetsatz i A Alagezissatz am GKM i eff Effektivzissatz i effa ateiliger Effektivzissatz (uterjährliche Tilgugsrechug) i m uterjährlicher Nomialzissatz i (mo) Laufzeitzissatz (p. M.) i s Kalkulatioszissatz(-fuß) ach Ertragsteuer i v Verschuldugszissatz am GKM j Zissatz bei vorschüssiger Verzisug k fortlaufeder Idex K Kapital a K 0 K k Afagskapital, Afagsschuld, Aschaffugswert, Barwert, Newert, Kapitalwert Edkapital, Restkapital, Nutzwert, Restwert ach k Jahre

11 XII Symbolverzeichis K (x) k erste Ableitug vo K k K (x) k zweite Ableitug vo K k fiktive Afagsschuld, Ersatzkapital K 0 K (om) Nomialkapital log Logarithmus L letztes Glied eier Reihe M Laufzeit i Moate (Tilgugsperiode) m Zahl der Bruchteile eies Jahres, restliche Laufzeit i Moate mr Zahl der uterjährliche Retezahluge μ Erwartugswert Laufzeit, Nutzugsdauer N gazzahlige Zisperiode i der Laufzeit, Laufzeit i volle Jahre p Zisfuß p Ersatzzisfuß % p Prozetsatz für Gebühre P 0 Barwert aller Gebühre q Aufzisugsfaktor, Quotiet bei geometrischer Reihe q koformer Aufzisugsfaktor für Jahr m Q k Abschreibugsquote für das k-te Jahr R Restzahlug r achschüssige Jahresreterate r Moatsrate, uterjährliche Reterate r g Gewiauität r vorschüssige Jahresreterate R 0 Retebarwert bei achschüssiger Rete R 0 Retebarwert bei vorschüssiger Rete R Reteedwert bei achschüssiger Rete R Reteedwert bei vorschüssiger Rete s Summe eier Reihe s achschüssiger Reteedwertfaktor s vorschüssiger Reteedwertfaktor σ Stadardabweichug σ Variaz T 0 Barwert aller Tilguge t Progressiosfaktor i der Reterechug; asoste Zahlugszeitpukt τ Laufzeit i Tage Tilgugssatz t q

12 Symbolverzeichis XIII tv Zahl der uterjährliche Tilgugsverrechugszeitpukte T Tilgug(squote) T k Tilgug(squote) am Ede des k-te Jahres durch Gebühre oder Aufgeld erhöhte Tilgugsquote v Abzisugsfaktor w Wiedergewiugsfaktor, Auitätefaktor x, y allgemeie Variable Z 0 Barwert aller Zise z Zis Zis für die k-te Zisperiode T k z k Bei Spezialgröße ist de Symbole häufig i Klammer eie kurze Legede beigefügt; p (kof.) etsprich zum Beispiel dem koforme Zisfuß. Teilweise werde Symbole hoch-/tiefgestellt; i eff bezeichet beispielsweise de uterjährliche, auf mr bezogee mr Effektivzissatz.

13 Teil I Grudlage der Fiazmathematik. Mathematische Grudlage ud Grudketisse Für die Behadlug fiazmathematischer Aufgabe sid eiige, über die vier Grudrechugsarte ud die erste Lehrsätze der Schulalgebra hiausreichede Ketisse erforderlich, auf die ohe besodere Beweisführug higewiese werde soll. Für die praktische Durchführug der Berechuge wird ma eie Tascherecher beutze bzw. ei Tabellekalkulatiosprogramm eisetze.. Wurzel ud Poteze Wurzel: a ist die -te Wurzel aus a; es ist die ichtegative Zahl, dere -te Potez a ist (a der positive reelle Zahle icl. Null; der atürliche Zahle) Aufgabe : 3 7 = 3 (Probe: = 3 3 = 7) Recheregel (mit a, b 0) Produkt: a b = a b a a Quotiet: = (b 0) b b m m Potez: ( a) = a Wurzel: m Poteze: a = a a a... a a = a 0 a = a = a a a = a m = a m m m a a a = =

14 . Mathematische Grudlage ud Grudketisse a m = a m Rechegesetze (a, b der positive reelle Zahle IR + x, z der reelle Zahle IR) Produkt: a x a z = a x+ z x x x a b = (ab) x x x a x z a a Quotiet: = a = z x a b b x z x z Potez: (a ) = a. Logarithme log b a ist die Zahl, mit der ma b poteziere muss, um a zu erhalte (a IR +, b IR + außer ) x logba = x b = a b wird als Basis bezeichet; Basis sid isbesodere die Zahl (Zweierlogarithmus), die Zahl 0 (Dekadischer Logarithmus, lg) ud die Zahl e (Eulersche Zahl; atürlicher Logarithmus, l). Beispiel : lo g = 3 0 = log 6 = 4 = 6 Rechegesetze (b vereifached weggelasse; u, v > 0) log (u v) = log u + log v (Produkt) () u log = log u log v (Quotiet) () v log u = log u (Potez) (3) Aufgabe : 5 K Die vorgegebee Gleichug q = soll ach der ubekate Größe aufgelöst werde! K0 Lösug: 5 K log q = log log q K = log( 5 K ) log K0 0 log q = log 5 + log K log K0 log 5 + log K log K0 Aufgelöst ach ergibt sich: = log q

15 .3 Arithmetische Folge ud Reihe 3.3 Arithmetische Folge ud Reihe Eie Folge bezeichet allgemei eie beliebige Mege vo reelle Zahle, dere Reihefolge durch eie fortlaufede Idex festgelegt wird. Für die Fiazmathematik ist die Uterscheidug zwische arithmetische ud geometrische Folge bedeutsam. Beide sid eideutig bestimmt durch das Afagsglied a ud die Kostate d. Eie arithmetische Folge ist eie Aufeiaderfolge vo Zahle, bei der die Differez zwische irgedeiem Glied der Folge ud dem umittelbar vorhergehede Glied gleichbleibt. Zahlebeispiele:, 8, 4, 0, usw.: Differez: + 6 5, 9, 3, 3, 9: Differez: 6 Bezeichet ma das erste Glied der Folge mit a ud die gleichbleibede Differez mit d, da ist das allgemeie Bild der Folge: a, a + d, a + d, a + 3d,. Ist d eie positive Zahl, da ergibt sich eie steigede Folge, ist d eie egative Zahl, ergibt sich eie fallede Folge. Hat die Folge isgesamt Glieder, da ist das letzte Glied L = a + ( ) d (4) Eie Reihe gibt die Summe der Glieder eier vorgegebee Zahlefolge a. Ma uterscheidet zwische uedliche ud edliche Reihe. Bildet ma die (zuächst icht ausgerechete) Summe der Glieder eier arithmetische Folge, da spricht ma vo eier arithmetische Reihe. Zu Ermittlug der Summe der arithmetische Reihe wedet ma eie kleie Rechetrick a, idem ma die Summe zweimal utereiader jedoch i umgekehrter Reihefolge schreibt. Somit ergibt sich: s = a + (a + d) + (a + d) + + (a + ( ) d) + (a + ( ) d) s = (a + ( ) d) + (a + ( ) d) + (a + ( 3) d) + + (a + d) + a Addiert ma diese beide Zeile, da erhält ma s= a + a + ( ) d + a + a + ( ) d + a + a + ( ) d + + a + a + ( ) d + a + a + ( ) d Verbal ausgedrückt: s = -mal die Summe zweier übereiader steheder Glieder ud damit: s = (a + ( ) d) Diese Summe ist also: s = ( a + ( ) d) Setzt ma L für a + ( ) d, da erhält ma wege s = (a+ a + ( ) d) : s = (a + L) (5)

16 4. Mathematische Grudlage ud Grudketisse Aufgabe 3: Eie arithmetische Reihe begit mit de Glieder 5 ud 9 ud hat Glieder. Wie groß ist das. Glied ud die Summe der Reihe? Afagsglied a = 5, Differez d = 9 5= 4. Das. Glied ist: L = 5 + ( ) 4 = = 49 Die Summe ist: s = 6 ( ) = 34. Aufgabe 4: Eie arithmetische Reihe begit mit ; ihr 0. Glied ist 5. Wie groß ist die Differez d dieser Reihe ud die Summe der erste 0 Glieder? Lösug: d = 3, s = 5; (wege a = ud = 0)..4 Geometrische Folge ud Reihe Eie geometrische Folge ist eie Aufeiaderfolge vo Zahle, bei der der Quotiet aus irgedeiem Glied ud dem umittelbar vorhergehede Glied gleichbleibt. Zahlebeispiele:, 6, 8, 54, Quotiet = 3, 4, + 6, 64, Quotiet = 4 4,,, Quotiet = Der Quotiet sei allgemei q, das Afagsglied a. Das allgemeie Bild eier geometrische Folge ist da: 3 a, a q, a q, a q das -te Glied a q Aus de Zahlebeispiele erket ma: q> ergibt eie steigede geometrische Folge o< q< ergibt eie fallede geometrische Folge Das Bild eier geometrische Reihe (= Summe der geometrische Reihe) ist 3 a+ a q+ a q + a q + + a q Die Summe eier geometrische Reihe fidet ma, we ma das q-fache bildet, ud davo die Summe der Reihe abzieht: s q = a q+ a q + +a q +a q s = a+ a q+ a q + +a q s q s = a a q Je zwei übereiader stehede Glieder falle bei der Subtraktio weg. Es bleibt: s q s= a q a; oder s (q ) = a (q ), also

17 .5 Zisrechug 5 q s= a q (6) q Awedugshiweis: stellt de (achschüssige) Reteedwertfaktor q dar, we eie kostate Rate a, die mal achschüssig gezahlt wird für Jahre mit q = + i verzist wird; i bezeichet de Nomialzissatz. Aufgabe 5: Eie geometrische Reihe begit mit de beide erste Glieder ud. Die Reihe hat 0 Glieder. Wie groß ist das 0. Glied? Wie groß ist die Summe der Reihe? 0 9 Lösug: L = = 5, s = = 03. Aufgabe 6: Eie geometrische Reihe vo 5 Glieder begit mit ud hat de Quotiete. Wie groß ist das 5. Glied ud die Summe der 5 Glieder? Lösug: L = 6, s = 3 6. Exkurs: Das Summezeiche Die Summe der reelle Zahle a m,, a lässt sich schreibe als a + a a = a m m+ i i= m mit i als Laufidex ud m als uterer, als oberer Summatiosidex (i, m, der gaze Zahle) Beispiel : + + = i(i + ) 3 i=.5 Zisrechug I de folgede Ausführuge geht es darum, dass zuächst eiige Größe verdeutlicht bzw. fixiert werde: K 0 Afagskapital (Barwert); zu Begi eier Zisperiode zur Verfügug stehedes oder beötigtes Kapital (Buchgeld, Bargeld) z Zis

18 6. Mathematische Grudlage ud Grudketisse Laufzeit i Zisperiode t Laufzeit i Tage N Azahl der gazzahlige Zisperiode i der Laufzeit z k Zis für die k-te Zisperiode, mit k =,, N p Zisfuß p i Zissatz mit i = 00 K k Edkapital ach k Zisperiode, mit k =,, N K Edkapital ach der Laufzeit z: Zis I aller Regel wird für ei ausgeliehees Kapital K 0 als Gegeleistug eie Gebühr verlagt, der Kapitalehmer hat als Preis für das geliehee Kapital a de Kapitalgeber eie Zis z zu bezahle. Sid Zise zu bezahle, so bezeichet ma sie auch als Schuldzise oder Sollzise, werde Zise vereiahmt, so bezeichet ma sie als Habezise. : Laufzeit Die Zeitdauer, für die der Gläubiger das Kapital ausleiht, wird als Laufzeit, (Beleihugszeit) bezeichet. gibt die Azahl der Jahre bzw. aderer Zisperiode a. Bei eifache Zise ist es durchwegs zulässig, dass umittelbar i die etsprechede Zisrechug eibezoge wird. Hier köe also kleiere Zeiteiheite, wie Moate oder Tage, i Jahre bzw. i adere Zisperiode umgerechet werde, sodass auch die Form eies Bruches bzw. eies Dezimalbruches aehme ka. N: Azahl der gazzahlige Zisperiode i der Laufzeit Im Kreditgewerbe wird vielfach das Kalederjahr als Zisperiode gewählt. I diesem Fall ist N die Azahl der volle Kalederjahre ierhalb der Laufzeit. z k : Zis für die k-te Zisperiode I der Regel wird als Zahlugsweise vereibart, dass die Zise jeweils am Ede jeder eizele Zisperiode zur Zahlug fällig werde. Ma spricht i diesem Fall vo achschüssiger (dekursiver) Verzisug. Die am Ede der Zisperiode Nr.., Nr.., Nr. N. fällige Zise werde der Reihe ach etspreched mit z, z, bis z N bezeichet. Wird ausahmsweise vereibart, dass die Zise bereits zu Begi jeder eizele Zisperiode zur Zahlug fällig sei solle, so spricht ma vo vorschüssiger (atizipativer) Verzisug. p: Zisfuß Durch de Zisfuß p wird festgelegt, welcher Bruchteil des Afagskapitals am Ede eier Zisperiode für das Afagskapital vo 00, zu zahle ist. Vo eiem Zisfuß p p.a. bzw. eiem Zissatz i p.a. (gelese per aum oder pro ao ) spricht ma da, we die Zisperiode ei Jahr beträgt. Dies soll hier stillschweiged vorausgesetzt werde, we eie davo abweichede Bedeutug icht ausdrücklich agegebe wird.

19 i: Nomialzissatz.6 Eifache Zise 7 Wird der Zisfuß p i Prozet ausgedrückt, so spricht ma auch vom Zissatz p i, der sich demach durch i = = p% ergibt. I. d. R. bezieht sich der Nomialzissatz auf ei Jahr. 00 K k : Edkapital ach k Zisperiode Bezeichet ma das zu Begi eier erste volle Zisperiode vorhadee Kapital mit K 0, ud werde die im Ablauf eier volle Zisperiode fällige Zise dem jeweils vorhadee Kapital hizugefügt, so erhöht sich das ursprüglich vorhadee Afagskapital der Reihe ach auf K, K,, K N. De Vorgag des Hizufüges der Zise zum (bisherige) Kapital et ma Ziskapitalisierug. Ma beachte, dass ach erfolgter Ziskapitalisierug die dem Kapital zugeschlagee Zise juristischer Bestadteil der Schuld/Forderug werde ud deshalb vo diesem Zeitpukt a mitzuverzise sid (ma beachte aber 48 BGB). K : Edkapital ach eier Laufzeit Zum Uterschied vo K N ka K auch Bruchteile vo Zisperiode umfasse..6 Eifache Zise Wird ei Afagskapital K 0 auf Jahre ausgeliehe, so bleibe, im Falle der eifache Verzisug, die jährlich fällig werdede Zise immer gleich, de sie sid stets vom ursprügliche Kapital K 0 zu bereche. K p Der Zis für das erste volle Jahr beträgt z = 0 = K 0 i. Für die N volle Jahre gilt z 00 = z =... = z N. I die Zisrechug köe auch Jahresteile mit aufgeomme werde. Allgemei ergibt sich: K = K + z = K + K i 0 0 o K = K 0 ( + i) (7) Der Zisateil ist dabei z= K 0 i i So erhält ma zum Beispiel für eie Moat K + 0 als Edkapital bzw. K 0 i als Zise. Misst ma die Laufzeit i Tage ud setzt für die Zahl der Verzisugstage gleich t, so geht die Gleichug (7) über i t i t p K = K 0 ( + ) = K 0 ( + ) = K0 + z (8) t i t p I (8) gilt z= K 0 = K Dieser Zusammehag ist als kaufmäische Zisformel bekat.

20 8. Mathematische Grudlage ud Grudketisse Aufgabe 7: Gegebe sid: K 0 = 000; t = 80; p = 0 (p.a.). Bereche Sie die Zise z Lösug: z = 000 = Ma beachte, dass die kaufmäische Zisformel als 30/360-Tagemethode geauer 30E/360-Methode oder deutsche Methode verwedet wird. Das bedeutet, das Jahr wird i gleich lage Moate zu je 30 Tage uterteilt. Jeder Moat zählt geau 30 Zistage ud jedes Jahr umfasst 360 Zistage. Fällt ei Zistermi auf de 3. Tag eies Moats, da wird das Ereigis auf de 30. Tag des Moats gelegt. Bei der Berechug der Zise für eie Fälligkeitszeitpukt ugleich 3. des Moats wird ageomme, dass der Moat 30 Tage besitzt, auch we der Moat der Februar ist. Zum Beispiel werde vom bis zum Zistage veraschlagt. Bei eiem am 8.Februar edede Geschäft umfasst der Februar allerdigs ur 8 Tage. Dies gilt uabhägig vom Starttermi. Daebe existiert im iteratioale Gebrauch die 30/360 -Methode, bei der zur deutsche Methode folgeder Uterschied besteht: edet ei Geschäft a eiem 3. ud hat es icht am 30./3. eies Moats begoe, da wird das Geschäft im Schlussmoat mit 3 Zistage gerechet. Edet das Geschäft am 8.., da bleibt es bei 8 Zistage (letzter Moat wird also kaledertagegeau gerechet). I der Bakpraxis existiere weitere Variate: Hervorzuhebe sid: Eurozismethode (actual/360-methode, frazösische Methode): die Zistage werde kaledergeau gezählt, das Jahr umfasst 360 Tage actual/365(fixed)-methode: das Jahr umfasst bei kaledergeauer Zählug der Zistage 365 Tage. actual/actual-methode (= actual/365-methode; eglische Methode): wie actual/365(fixed); bei Schaltjahre aber 366 Zistage. Falls ei Ziszeitraum sowohl Tage im Schaltjahr als auch Tage außerhalb des Schaltjahres besitzt, da wird der Zis zeitraumabhägig ach Schaltjahrateil ud Nicht- Schaltjahrateil berechet: Zis = Kapital Nomialzissatz (Azahl der Tage im Schaltjahr/366 + Azahl der Tage außerhalb des Schaltjahres/365). Beim sogeate amtliche Reche (z.b. bei zivilrechtliche Auseiadersetzuge) wird die actual/365-methode verwedet. Beispiel 3: Herr X zahlt bei eier Bak am 8. Juli 800,- ei, am 3. September 3 600,-, am 9. September 00,- ud am 8. November 3 000,-. Die Beträge werde jeweils vom zweite Tag ach der Eizahlug ab mit 3% verzist. Wie hoch ist das Guthabe des Herr X am 3. Dezember? Lösug: Um das durch Zise bis zum 3.. agewachsee Kapital zu bestimme, ka ma de jeweils auf dem Koto stehede Betrag für so viele Tage verzise, wie er sich icht durch Eizahlug oder Auszahlug bzw.

21 .6 Eifache Zise 9 Gutschrift oder Lastschrift ädert. Geschieht dies, so wird ab diesem Zeitpukt mit dem umehr am Koto ausgewiesee Betrag i gleicher Weise verfahre, usw. Zise werde vom Tage der Wertstellug des Kapitals ab berechet. Dieser Termi, de ma abgekürzt auch mit Wert bezeichet, ist auf Kotoauszüge ud dergleiche stets agegebe. Der Buchugstag ist higege für die Zisberechug bedeutugslos. Wert Kapital Tage (bis zur Äderug) , , , , 40 Für de Zisateil z des Edkapitals gemäß (7) erhält ma: z = 800 0, , , , 03 = ,40; Guthabe: 0 685,40. Aufgabe 8: Ei Kapital vo 0 000, ist bei eiem Zisfuß vo i = 8% auf ei Jahr ud 38 Tage ausgeliehe. Wie hoch sid die eifache Zise am Ede der Laufzeit? Lösug: 768,89. Aufgabe 9: Ei am.. eies Kalederjahres ausgeliehees Kapital ist bei eiem Zissatz vo i = 9 % bis 5.0. des ächste Kalederjahres ausgeliehe ud erbrigt i dieser Zeit 600, eifache Zise. Welches Kapital wurde ausgeliehe? Das Edkapital K 34/360 ist um 600, größer als das Afagskapital K 0 ; 34 K = K 0 + 0, 09 K0 K 0 = 7 407, Aufgabe 0: Ei Kapital vo 0 000, wird für 70 Tage ausgeliehe ud erbrigt i dieser Zeit 850, eifache Zise. Mit welchem Zissatz wird das Kapital verzist? Lösug: i = 9 %.

22 0. Mathematische Grudlage ud Grudketisse.7 Nomial- ud Effektivverzisug Zwische Nomial- ud Effektivverzisug besteht i viele Fälle ei großer Uterschied, der sich wie folgt darstellt (Beispiel Kreditvertrag): Die Nomialverzisug bezieht sich immer auf de Nomialbetrag wird i.d.r. als p.a.-satz agegebe liegt dem Zis- ud Tilgugspla ( echtes Kreditkoto ) zugrude. Die jeweils laut ( echtem ) Kreditkoto bestehede Restschuld wird vom Kreditehmer geschuldet. Die Effektivverzisug bezieht sich auf de tatsächlich ausgezahlte Kreditbetrag gibt (prizipiell) die tatsächliche Belastug des Kreditehmers a ka durch das sogeate Vergleichskoto ( effektives Kreditkoto ) achgewiese werde. Das echte Kreditkoto beruht somit auf eier Staffeldarstellug auf Basis des Nomialbetrags ud der Nomialzise, währed beim Vergleichskoto der effektive Kreditbetrag ud der Effektivzissatz zugrude gelegt werde. Beispiel 4: Ei Kude immt ei edfälliges Darlehe auf (keie Tilgug währed der Laufzeit); Laufzeit 3 Jahre; Nomialzissatz 6 % p.a. (achschüssige jährliche Zahlug). a) Der Kude erhält das Darlehe zu 00 % ausbezahlt: Nomial-gleich Effektivverzisug (= 6 %). b) Die Bak zieht vom Darlehesbetrag % Bearbeitugsgebühre ab ud zahlt ur 98 % aus. Der Kreditehmer muss jedoch 00 % verzise ud tilge. Die Nomialverzisug beträgt uverädert 6 %, währed die Effektivverzisug auf 6,759 % asteigt. Ma beachte, dass sich letztere icht durch die Faustformel Nomialzissatz zuzüglich Bearbeitugsgebühr i % geteilt durch die Laufzeit ergibt. Die Berechug wird ute och detailliert beschriebe. A dieser Stelle soll die Gegeüberstellug im Nomial- ud Effektivkoto geüge.

23 .8 Wechseldiskotierug (Hiweis zu der Tabelle: t 0 bezeichet heute, t etspricht Jahr ach t 0 usw.) Nomialkoto Nomialzissatz 6,00 % Datum Zise Rate Tilgug Restkapital t ,00 t 6 000, , ,00 t 6 000, , ,00 t , , ,00 Summe 8 000, , ,00 Vergleichskoto (Effektivkoto) Effektivzissatz 6,759 % Datum Effektivzise Rate effektive Tilgug effektives Restkapital t ,00 t 6 63, ,00 63, ,57 t 6 665, ,00 665, ,9 t , , ,9 Summe 0 000, , ,00.8 Wechseldiskotierug Der Wechsel ist eie ubedigte Zahlugsaweisug des Ausstellers (Gläubigers) a de Bezogee (Schulder), eie bestimmte Geldsumme zu zahle (Art. Wechselgesetz). Der Wechselihaber ka de Wechsel bis zum Verfallstag behalte ud da dem Bezogee zur Zahlug vorlege, sofort eiem Dritte zur Begleichug eier eigee Schuld übergebe oder sich sofort de Gegewert des Wechsels durch Diskotierug bei eier Bak auszahle lasse. Da der Wechsel erst i der Zukuft fällig ist, stellt die Bak de Barwert des Wechsels fest ud zahlt diese gege Übergabe des Wechsels aus. Bei der Barwertfeststellug uterscheidet ma zwische kaufmäischer Diskotierug ud amtlicher Diskotierug.

24 . Mathematische Grudlage ud Grudketisse Beispiel 5: Ei Wechsel über , wird 90 Tage vor seier Fälligkeit zur Diskotierug eigereicht. Eie Bak immt de Wechsel a, verlagt aber 5 % des omielle Wechselbetrages vo , als Diskot. Dieses Verfahre heißt kaufmäische Diskotierug (Bake zähle im Wechselgeschäft die Tage ach der Eurozismethode). Hierbei wird der Barwert K 0 dadurch festgestellt, dass ma vom omielle Edwert K om des Wechsels 5 % a Zise für 90 Tage abzieht. Ma hat also (t = Zistage): t t K0 = K om K om i= K om ( i) (9) K0 = , 05 = 965 Hiweis: Ma beachte, dass die Effektivverzisug 5,6 % beträgt (wege = 0, 056); auf die Berechugsmethode wird i Kapitel 6 eigegage). 965 Dieses Verfahre, desse sich die Bake bediee, steht im Widerspruch zur fiazmathematisch richtige Methode, wie sie durch Formel (7) festgelegt wird. Durch sie ergibt sich der omielle Edwert K des Wechsels dadurch, dass zum Barwert K 0 des Wechsels 8% des Barwertes a Zise hizugefügt werde. Ma et dieses Verfahre amtliche Diskotierug. t Aus Kom = K 0 ( + i) ergibt sich: 360 K om K0 = t + i 360 (0) K 0 = = 969, 63 3 ( + 0, 05) Hiweis: Die Effektivverzisug beträgt jetzt 5,095 %..9 Iterpolatiosverfahre I der Fiazmathematik trete oft Gleichuge auf, die i geschlosseer Form icht lösbar sid, bei dee ma also auf Näherugslösuge agewiese ist. Näherugslösuge köe durch Iterpolatio gefude werde. Beispiel 6: 5 Für die Gleichug 000 q + 60 q = 500 ist eie Näherugslösug zu ermittel. Es soll also für die zugeordete Fuktio f(q) = 000 q q 500 eie Nullstelle berechet werde. Oft wird ma durch Sachketis des zugrude liegede fiazmathematische Problems bereits eie Vorgabe habe, i welchem Bereich die gesuchte Lösug

25 .9 Iterpolatiosverfahre 3 liege dürfte. Ist dies icht der Fall, so muss ma durch mehrmaliges Eisetze i die Nähe der Lösug gelage. 5 Für q =, 07 ergibt sich: f(q ) = 000, , = 33, 5. Für q =, 08 errechet sich aalog f(q ) = 34, 3. 5 für q: 000 q + 60 q = 500; d = 33, 5 Als Differez der beide Ergebisse erhält ma d = 67, 38 f(q ) ; differiert um 33,5 vo 0. Folgeder Sachverhalt ist gegebe:. Durch Zuahme um d = 67, 38 steigt der Wert für q vo,07 auf,08, also um 0,0 (gegebe!),. Durch Zuahme um d = 33, 5 steigt der Wert für q um wie viel bzw. vo,07 auf 0, 7+ x(gesucht!), 0, 0 d 0, 0 33, 5 3. x = = = 0, 00493, also q =, (Atwort!) d 67, 38 d = 33,5 d = 67,38 x,07,08 0,0 Das Prizip des Dreisatzes im Schema: d 0, 0 (gegebe!) d x (gesucht!) x 0, 0 d d = (Atwort!) Setzt ma de für q gefudee Wert i die Ausgagsgleichug ei, so 5 erhält ma: 000, , = 499, 66, also eie um 0,34 zu kleie Wert. Durch eie zweite Iterpolatio zwische de Werte,07493 ud,08 ka eie Verbesserug erzielt werde. Bei wiederholter Awedug ist eie beliebig feie Aäherug möglich. Hireichede Voraussetzug für Iterpolatio ist die Stetigkeit ud Mootoie der jeweilige Fuktio. Diese Voraussetzug ist bei de Fuktioe der Fiazmathematik i der Regel erfüllt.

26 . Zis ud Ziseszise. Begriff Außer de i Kapitel.5 (Zisrechug) bereits eigeführte Größe werde i de folgede Ausführuge weitere drei beötigt. j: Zissatz bei vorschüssiger Verzisug Eie eigee Bezeichug des Zissatzes bei vorschüssiger Verzisug erweist sich als vorteilhaft. Die vorschüssige Verzisug et ma auch atizipative Verzisug. q: Aufzisugsfaktor p Es gilt q= + i= + 00 v: Abzisugsfaktor 00 Es gilt v = = = q + i 00 + p Gebräuchliche Poteze sowohl des Aufzisugsfaktors q als auch des Abzisugsfaktors v sid im Ahag für verschiedee Zissätze aufgeführt. Der Abzisugsfaktor v wird auch als Diskotierugsfaktor oder Barwertfaktor bezeichet. Wie bereits i Kapitel.5 erwäht, wird die Laufzeit i Zisperiode gemesse. Bei Bakgeschäfte wird die Nomialverzisug als Verzisug p.a. agegebe. Bei achschüssiger Verzisug werde dem Gläubiger jeweils am Ede eier Zisperiode Zise gutgeschriebe, ei Schulder bzw. Darlehesehmer wird zu deselbe Termie etspreched belastet. De Termi eier Gutschrift bzw. Lastschrift bezeichet ma als Wertstellug oder Wert derselbe. Baküblich ist weiter, Spareilagezise am Jahresede zu kapitalisiere, d.h. de Zis dem Kapital zuzuschlage. Währed die Zisformel (7) ur eifache Zise für das Afagskapital K 0 gelte lässt, berücksichtigt die Ziseszisrechug auch Zise, die sich aus Zisgutschrifte bzw. aus Zisbelastuge am Ede eier Zisperiode ergebe. I rechtlicher Hisicht ist das Ziseszisverbot ach 48 Abs. BGB als Schutzvorschrift zu Guste des Schulders zu beachte. 48 Abs. BGB bezieht sich ur auf die Vereibarug im Voraus. Nachträglich ist es im Umkehrschluss zulässig, aufgelaufee Zise dem Kapital zuzuschlage ud mit zu verzise (typischer Fall i der Bakpraxis). Weiter dürfe Bake im Voraus vereibare, icht erhobee Zise auf Eilage als eue zu verzisede Eilage zu behadel. Überdies erlaubt 355 HGB als weitere Ausahme vo 48 Abs. BGB im Kotokorretverkehr die Berechug vo Ziseszise. Der festgestellte Saldo des Kotokorrets ist damit auch isoweit zu verzise, als er auf ursprüglich berechete Zise zurückzuführe ist.