Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler 1

2 Inhalt der heutigen Vorlesung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenfassung der vorherigen Vorlesung Übersicht über Schätzung und Modellbildung Der χ Test für die Güte der Anpassung Der Kolmogorov Smirnov Test für die Güte der Anpassung Modellvergleiche

3 Zusammenfassung der vorherigen Vorlesung Wir betrachteten die Möglichkeit, die Parameter einer Verteilung basierend auf Beobachtungen/Daten abschätzen zu können. Was haben wir gelernt? Dass die Parameter einer Verteilung geschätzt werden können mit Hilfe von z.b. der: Methode der Momente MoM Methode der maximalen Likelihood MLM 3

4 Zusammenfassung der vorangehenden Vorlesung Methode der Momente (MoM) Punktschätzung Das Prinzip der MoM ist: Wir schätzen die Parameter, indem wir die analytisch berechneten Momente mit den Stichprobenmomenten gleichsetzen. m 1 n = xˆ 1 i n i= 1 1 x fx ( xμ, σ) λ = dx m 1 n = xˆ i n i= 1 x fx ( xμ, σ) λ = dx Dies führt zu k Gleichungen, welche gelöst werden müssen um k Parameter abzuschätzen. 4

5 Zusammenfassung der vorangehenden Vorlesung Methode der maximalen Likelihood (MLM) Schätzung der Parameter und ihrer Verteilung Das Prinzip der MLM ist: Die Parameter werden geschätzt, indem die Likelihood das die Parameter die Beobachtungen/Daten repräsentieren maximiert wird. n L( θ xˆ) = f ( ˆ X xi θ) i= 1 l( θ x) = log( f ( ˆ X xi θ)) min( l ( θ xˆ )) θ n i= 1 μ = Θ ( 1 1 C ΘΘ = H H ij θ, θ,.., θ l( θxˆ) T n ) = θ= θ θ i θ j 5

6 Schätzung und Modellentwicklung Übersicht Unterschiedliche Typen an Information werden genutzt, wenn Ingenieurmodelle entwickelt werden. Subjektive Information Frequentistische Information subjektiv Wahrscheinlichkeitspapier physikalisches Verständnis Erfahrung Beurteilungsvermögen Verteilungsfamilie frequentistisch Daten Verteilungsparameter probabilistisches Modell Stichprobenstatistiken Konfidenzintervalle Statistische Signifikanz Methode der Momente Methode der maximalen Wahrscheinlichkeit 6

7 Nehmen wir an, dass wir eine bestimmte Verteilungsfunktion gewählt haben, um die Unsicherheit eines unsicheren Ereignisses zu modellieren. Daten physikalische Gesetze Verteilungsfamilie f x (x) Druckfestigkeit Beton Daten Verteilungsparameter μ, σ x Nun wollen wir die Wahl unserer Verteilung prüfen Durch statistische Tests. 7

8 Zwei unterschiedliche Fälle werden betrachtet: Verifizierung von 1: Diskreten Verteilungsfunktionen p x (x) CHI Quadrat (χ ) Test x : Kontinuierlichen Verteilungsfunktionen Kolmogorov Smirnov Test f x (x) x 8

9 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Die Idee dahinter ist, dass die Differenzen ε j zwischen der erwarteten und der beobachteten Datenverteilung klein sein sollte, wenn die gewählte Verteilungsfamilie die Stichprobe gut beschreiben kann ε j ε i Beobachtungen Histogramm aus Beobachtungen Histogramm gemäss den erwarteten Beobachtungen entsprechend der gewählten Verteilung und deren Parameter Druckfestigkeit Beton (MPa) 9

10 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Wie wir bereits wissen, ist eine diskrete kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion wie folgt gegeben: i 1 = j= 1 Px ( ) px ( ) i j Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion 10

11 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Sei n die Anzahl Beobachtungen einer diskreten Zufallsvariable X. Die Anzahl an Beobachtungen von X = x i d.h. N i ist eine binomial verteilte Zufallsvariable mit folgendem Erwartungswert und Varianz: [ ] [ ] EN = npx ( ) = N i i pi, Var N = np( x )(1 p( x )) = N (1 p( x )) i i i pi, i Erwartete Anzahl Beobachtungen eines gewissen Wertes 11

12 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Sei n die Anzahl Beobachtungen einer diskreten Zufallsvariable X. Die Anzahl an Beobachtungen von X = x i d.h. N i ist eine binomial verteilte Zufallsvariable mit folgendem Erwartungswert und Varianz: [ ] [ ] EN = npx ( ) = N i i pi, Var N = np( x )(1 p( x )) = N (1 p( x )) i i i pi, i Erwartete Anzahl Beobachtungen eines gewissen Wertes Wenn das postulierte Modell korrekt und n gross genug ist, dann ist gemäss dem zentralen Grenzwertsatz die Differenz ε i standard normalverteilt. ε = i N N oi, pi, pi, N (1 p( x)) i Beobachtete Anzahl Beobachtungen eines gewissen Wertes 1

13 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Werden die quadrierten Differenzen von beobachteten und erwarteten Anzahl Beobachtungen summiert, dann erhalten wir: ε ( N N ) k k oi, pi, = εi = i= 1 i= 1 Npi, p xi (1 ( )) CHI Quadrat verteilt mit k 1 Freiheitsgraden ε ε 1 Anzahl an Beobachtungen ε m k ( Noi, Npi, ) = N i= 1 pi, ε 3 ε 4 Histogramm aus Beobachtungen Histogramm der erwarteten Beobachtungen Anzahl Unfälle pro Monat 13

14 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Es wird nun auf einem Signifikanzniveau α getestet, ob die Summe aller beobachteten quadrierten Differenzen plausibel ist, d.h. Es wird die Nullhypothese H 0 aufgestellt, dass die gewählte Verteilungsfunktion die beobachtete Stichprobe repräsentiert. Die Vorgehensregel lautet dann P ε ( m ) Δ = α Die Alternativhypothese H 1 ist weit weniger informativ, weil mit ihr ausser der gewählten Verteilung alle anderen Verteilungen akzeptiert werden. Δ α χ 1 v= k j ist der Fraktilwert der Verteilung mit Freiheitsgraden. 14

15 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Wir betrachten folgendes Beispiel: Als Verteilungsfunktion für 0 Beobachtungen der Betondruckfestigkeit nehmen wir die Normalverteilung an. Der Mittelwert beträgt Und die Standardabweichung 33 Mpa 5 Mpa Wobei die Parameter nicht aus den vorhandenen Beobachtungen geschätzt werden. Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Verteilung. Aber sie kann ganz einfach diskretisiert werden! 15

16 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Die Dichtefunktion der gewählten Verteilungsfunktion wird diskretisiert: Gewählte Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte Druckfestigkeit Beton (MPa) 16

17 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Die Dichtefunktion der gewählten Verteilungsfunktion wird diskretisiert: Wahrscheinlichkeitsdichte Gewählte Verteilungsfunktion Druckfestigkeit Beton (MPa) Intervall 0 5: Φ Φ ) Totale Anzahl an Versuchen ( ) ( = =

18 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Die Dichtefunktion der gewählten Verteilungsfunktion wird diskretisiert: Wahrscheinlichkeitsdichte Gewählte Verteilungsfunktion Druckfestigkeit Beton (MPa) Anzahl Beobachtungen Erwartetes Histogramm Druckfestigkeit Beton (MPa) Intervall 0 5: Φ Φ ) Totale Anzahl an Versuchen ( ) ( = =

19 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Die beobachteten und erwarteten Histogramme können nun verglichen werden. 10 Anzahl an Beobachtungen Druckfestigkeit Beton (MPa) Histogramm aus Beobachtungen Histogramm der erwarteten Beobachtungen 19

20 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Die beobachteten und erwarteten Histogramme können nun verglichen werden. Aufgrund der kleinen Anzahl an Stichproben im unteren Bereich werden die zwei unteren Intervalle zusammengeführt. Anzahl an Beobachtungen Druckfestigkeit Beton (MPa) Histogramm aus Beobachtungen Anzahl an Beobachtungen 10 Histogramm der erwarteten 1 Beobachtungen Druckfestigkeit Beton (MPa) 0

21 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Berechnungen zum genannten Beispiel Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Intervall x j (MPa) Anzahl Beobachtungen N o,j Erwartete Wahrscheinlichkeiten Erwartete Anzahl Beobachtungen N p,j, Stichprobenstatistik Summe ε N N k ( o, j p, j ) m = j= 1 N p, j Auf einem Signifikanzniveau von 5% erhalten wir für die CHI Quadrat Verteilung Mit N=3 1= Freiheitsgraden aus der Tabelle: Δ = Da kleiner ist als 5.99, kann die Nullhypothese H 0 nicht verworfen werden. 1

22 Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Wird eines, oder mehrere (m) Parameter der gewählten Verteilung aus den gleichen Daten bestimmt wurde, welche auch für den Test verwendet wurden, dann muss die Anzahl der Freiheitsgrade entsprechend reduziert werden: v= k 1 j Unter der Annahme, dass die Varianz aus den Daten bestimmt wurde, aber nicht der Mittelwert, erhalten wir n= 3-1-1=1 Freiheitsgrad.

23 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Der CHI Quadrat Test der Güte der Anpassung Wenn wir eine Normalverteilung annehmen mit folgenden Parametern: μ = σ = 4.05 erhalten wir folgendes Ergebnis: Intervall x j (MPa) Anzahl Beobach Tungen N o,j Erwartete Wahrscheinlichkeiten p(x j ) Erwartete Anzahl Beobachtungen N p,j=, 0p(x j ) Stichprobenstatistik Summe Auf einem Signifikanzniveau von 5% erhalten wir für die CHI Quadrat Verteilung mit N=3 1 1=1 Freiheitsgraden aus der Tabelle: Δ = Da kleiner ist als 3.84, kann die Nullhypothese H 0 nicht verworfen werden. 3

24 Der Kolmogorov Smirnov Test der Güte der Anpassung Die Idee hinter dem Kolmogorov Smirnov Test ist folgende: Wenn die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der gewählten Verteilung für die Beobachtungen in Betracht kommt, dann sollte die maximale Differenz zwischen der beobachteten und der erwarteten kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion klein sein. ε max ε max < Δ n, α 4

25 Der Kolmogorov Smirnov Test der Güte der Anpassung Die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Beobachtungen kann berechnet werden als: F o ( x i ) = i n Folgende Stichprobenstatistik wird benutzt: i ε max = max F x F x = max F x n ( ) ( ) ( ) o i p i p i 5

26 Der Kolmogorov Smirnov Test der Güte der Anpassung Die Kolmogorov Smirnov Stichprobenstatistik wird folgendermassen ermittelt: Φ -1 (F x (x)) F x (x) x 0.0 6

27 Der Kolmogorov Smirnov Test der Güte der Anpassung Die Kolmogorov Smirnov Statistik ist tabelliert: Für n = 0 und α = 5% erhalten wir 0.941, im Vergleich zur beobachteten Statistik von die Nullhypothese H 0 kann nicht verworfen werden auf einem Signifikanzniveau von 5%. 7

28 Modellvergleich Modellverifizierung durch statistische Tests kann genutzt werden, um die Plausibilität eines bestimmten Modells in Bezug auf ein bestimmtes Datenset zu quantifizieren. Zwei Fälle müssen in Betracht gezogen werden: 1. Es kann gezeigt werden, dass die Hypothese akzeptiert werden kann.. Es kann gezeigt werden, dass die Hypothese verworfen werden muss. Welche Information ist in diesen beiden Fällen enthalten? 8

29 Modellvergleich Wenn ein Signifikanztest zeigt, dass eine Hypothese akzeptiert werden kann: Wir müssen uns daran erinnern, dass auch andere Modelle (Verteilungen) in Frage kommen tatsächlich ist es oft der Fall, dass mehrere Modelle den Signifikanztest bestehen! Wenn ein Signifikanztest zeigt, dass eine Hypothese verworfen werden muss: Dies heisst nicht unbedingt, dass das gewählte Modell schlecht ist es könnte bedeuten, dass der Beweis einfach nicht stark genug ist, um die entsprechende Signifikanz zu zeigen zu wenig Daten! 9

30 Modellvergleich Wenn zwei Modellhypothesen akzeptiert werden können, d.h. beide Modelle plausibel sind, dann können wir die Güte der Anpassung der zwei Modelle testen entweder durch: Die Stichprobenstatistik direkt vergleichen kann nicht beweiskräftig sein, u.a. aufgrund unterschiedlicher Freiheitsgrade Die Likelihood vergleichen!!! 30

31 Modellvergleich Betrachten wir ein Beispiel mit zwei unterschiedlichen Modellen: Modell 1: N(33;5) Parameter nicht aus den gleichen Daten geschätzt n=3 1= CHI Quadrat Stichprobenstatistik = Stichprobenwahrscheinlichkeit = Modell : N(33;4.05) Parameter aus den gleichen Daten geschätzt n=3 1 1= CHI Quadrat Stichprobenstatistik = Stichprobenwahrscheinlichkeit =

32 Zusammenfassung Die Wahl eines geeigneten probabilistischen Modells kann durch Signifikanztests an der Modellhypothese unterstützt werden. Der CHI Quadrat Test wurde für diskrete Verteilungen entwickelt. Der Kolmogorov Smirnov Test wurde für kontinuierliche Verteilungen entwickelt. Die Güte der Anpassung verschiedener Modellalternativen kann durch den Vergleich verschiedenen Likelihoods geprüft werden. 3

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