Den Lernenden mit offenen Aufgaben entgegen gehen

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1 Den Lernenden mit offenen Aufgaben entgegen gehen Prof. Dr. Renate Rasch, Universität Koblenz-Landau, Campus Landau, Institut für Mathematik Offene Aufgaben stehen im Zusammenhang mit den Bemühungen der Lehrkräfte, die Heterogenität der Grundschulkinder anzunehmen und dieser durch die Art der Anforderungen im Mathematikunterricht möglichst gerecht zu werden (Rasch, 2004, 2007). Seit 2010 erproben wir in einem gemeinsamen Projekt zwischen der Universität Koblenz-Landau, Fachbereich 7 (Institut für Mathematik), dem saarländischen Landesinstitut für Pädagogik und Medien (LPM), dem Ministerium für Bildung und Kultur und den Lehrkräften der SINUS-Schulen des Saarlandes offene Aufgaben im Mathematikunterricht. Anlass waren die SINUS-Werkstätten und die Überlegung, wie die zahlreichen Materialien und Spiele mit dem größtmöglichen Lerneffekt in den Mathematikunterricht eingebettet werden können. Doch bei den Lernwerkstätten blieb es nicht. Inzwischen sind die am Projekt beteiligten Lehrerinnen und Lehrer längst zu Experten für offene Aufgaben geworden, wie die vorliegende Handreichung zeigt. Hintergrund Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die unterschiedlichen mathematischen Fähigkeiten der Schüler/innen mit Aufgaben möglichst passgenau anzusprechen. Es ist denkbar, den einzelnen Leistungsniveaus mit leichten und schweren Aufgaben entgegen zu kommen. Es ist ebenso möglich, mehrteilige Aufgaben, sogenannte Blütenaufgaben (Reibold & Bruder, 2010), anzubieten. Diese enthalten einfache und anspruchsvolle Teilaufgaben. Hengartner, Hirt & Wälti (2006) entwickelten Lernumgebungen, die unterschiedlich schwierige Teilaufgaben zu einer Ausgangsaufgabe beinhalten, um das gesamte Begabungsspektrum zu erreichen. Abb. 1: Lösungssuche (Florian, Klasse 1) Das Besondere der offenen Aufgaben besteht im Vergleich mit den genannten Aufgabentypen und Ansätzen vor allem darin, dass alle Schüler/innen nur an einer Aufgabe arbeiten: Die Lernenden starten und lösen auf ihre Weise und nehmen in Reflexionsphasen Strategien bzw. Arbeits- und Darstellungsweisen ihrer Mitschüler/innen auf. So kommt das Wissen, das das einzelne Kind im Rahmen der Aufgabenbearbeitung abruft bzw. neu verknüpft und entwickelt, nicht nur dem Kind selbst, sondern auch der Lerngemeinschaft zugute. 3

2 Struktur offener Aufgaben Wenn ein Auftrag alle Kinder einer Klasse gleichermaßen ansprechen und zum Aufgaben- Erfinden und zum Aufgaben-Lösen motivieren soll, dann muss dieser einfach und auch für das schwächste Kind verständlich sein. Dies ist mit sehr offenen, allgemein gehaltenen Aufträgen, die viel Spielraum bieten, zu erreichen. Notiere Rechenaufgaben mit plus und minus. Kurze Sätze, eine einfache Sprache und ein deutlicher Aufforderungscharakter sollten den Auftrag kennzeichnen. Jede Schülerin, jeder Schüler kann sofort mit dem Arbeiten beginnen, ohne dass weitere Erklärungen oder das Nennen von Beispielen nötig werden. Die Aufgaben sollten nicht nur eine niedrige Einstiegsschwelle für die weniger fitten Kinder haben, sie sollten ebenso die Leistungsfähigkeit der starken Schüler/innen nicht begrenzen. Natürlich lassen sich mit offenen Aufgaben auch spezielle Anforderungen transportieren wie die folgende Zuordnung zu den Bildungsstandards zeigt. Einbettung in die Bildungsstandards Werfen wir zunächst einen Blick auf die inhaltlichen Kompetenzen: (1) Zahlen und Operationen: Notiere Rechnungen mit ungeraden Zahlen. Offene Aufgaben ermöglichen das direkte Ansprechen spezieller mathematischer Inhalte, die beim Durchschreiten des Grundschulcurriculums mit Lehrbuch und Arbeitsblatt mitunter in den Hintergrund geraten. Das Bewusstwerden von Besonderheiten beim Rechnen mit ungeraden Zahlen gehört dazu. Nach der Bearbeitung des offenen Auftrags kann es vielfältigen Diskussionsanlass geben z. B., dass das Rechnen mit diesen Zahlen manchmal schwieriger ist, weil man keine Hälfte bilden kann oder dass ungerade Zahlen mitunter unteilbar scheinen und man doch von diesen gleiche Teile bilden kann. Die Entdeckung, dass man 51 Dinge tatsächlich gerecht an drei Kinder verteilen kann, ist für Grundschulkinder meist überraschend. Bei anderen Zahlen geht das mit dem Zerlegen in gleiche Teile tatsächlich nicht wie bei der 53 und schon ist man bei den Primzahlen. 4

3 (2) Muster und Strukturen Bilde Aufgaben mit 3, 33 und 333. Abb. 2: Beim Entwickeln der Aufgaben werden Muster genutzt. (Klasse 2) Fast von selbst kommen die Lernenden mit offenen Aufgaben zu Mustern und Strukturen. Beim Entwickeln der Aufgaben nutzen sie in der Regel Zusammenhänge - auf eine Aufgabe folgt eine verwandte. Auf diese Weise schieben sich die Grundschulkinder von einfachen Einstiegsaufgaben zu schwierigeren. Das Entwickeln von Beziehungen zwischen Aufgaben geschieht zunächst spontan. Durch das Reflektieren darüber und entsprechende Folgeaufträge werden die Schüler/innen dazu angehalten, Muster zu bilden und Strukturen bewusst zu nutzen. (3) Raum und Form Zeichne Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten. Im Bereich Raum und Form ist zu beobachten, dass es den Kindern von sich aus weniger gut gelingt, Beziehungen zu erkennen als im Bereich Zahlen und Operationen, in dem durch die regelmäßige Struktur unseres Zahlsystems Analogien förmlich ins Auge fallen. Allerdings lässt sich durch offene Aufgaben auf Strukturen verweisen. Bei der Aufgabe Zeichne Dreiecke mit zwei gleichlangen Seiten. kann die Reflexion dazu genutzt werden, um auf die sich ergebende Symmetrieeigenschaft oder auf die unterschiedliche Form innerhalb dieser Dreiecksgruppe aufmerksam zu machen (z. B.: Es können dabei spitze und flache (stumpfe) Dreiecke entstehen). (4) Größen und Messen Skizziere Gegenstände (Gebäude, Formen) und schreibe geschätzte Längen (Höhen, Breiten) daran. Offene Aufgaben zu diesem Bereich zeigen, inwieweit sich Größenvorstellungen und sicheres Wissen zu Größen über einen längeren Zeitraum entwickelt haben. 5

4 (5) Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit Beim Verteilen von Gewinnen soll der Zufall eine Rolle spielen. Welchen Zufallsgenerator würdest du wählen und welche Regeln würdest du aufstellen? Bei diesem, dem jüngsten Inhaltsbereich des mathematischen Grundschulunterrichts, ist es besonders spannend mit offenen Aufgaben zu arbeiten. Insbesondere bei Aufgaben, in denen Gewinnchancen abzuwägen sind und der Zufall eine Rolle spielt, können Grundschulkinder ihr Wahrscheinlichkeitsdenken schulen. Die Aufgabenbearbeitungen der Grundschulkinder zeigen uns nicht nur recht genau das individuelle Wissen und Können der Kinder sondern sind auch Spiegel des eigenen Unterrichts: Was ist gut gelungen? Woran müsste man noch arbeiten? Was würde man beim nächsten Durchgang anders machen? Die Entwicklung der allgemeinen Kompetenzen ergibt sich aus der Arbeit mit den fachlichen Inhalten, die im Unterricht gerade betrachtet werden. Bei der Planung der Unterrichtsaktivitäten sollte man sicherlich hin und wieder auch ausgehend von den allgemeinen Kompetenzen denken, um diese nicht aus den Augen zu verlieren: - Problemlösen: Skizziere Dreiecke, die unterschiedlich viele Symmetrieachsen haben. - Darstellen: Du willst deine Bücher ordnen und machst dir vorher eine Aufstellung. Entwerfe eine Tabelle, die passen würde und trage einige deiner Bücher dort ein. - Modellieren: Schreibe einen Text zum Einkaufen. Notiere passende Rechnungen dazu. - Argumentieren: Geometrische Figuren haben unterschiedlich viele Symmetrieachsen. Was meinst du, warum ist das so? - Kommunizieren: Notiere für deine Mitschüler, wie du Divisionen mit großen Zahlen rechnest. Von den Grundschulkindern lernen Die selbstgenerierten Aufgabenbearbeitungen der Schüler, die bei offenen Aufgaben entstehen, gestatten Einblicke in ihre mathematische Leistungsfähigkeit und mitunter auch in die Art ihres Denkens. Diese Einblicke sollten wir nutzen, um den Unterricht optimal an die Voraussetzungen der Lernenden anpassen zu können. 6

5 Beispiel 1: Besonderheiten beim Notieren von Divisionen Juliane war eine der wenigen Schülerinnen, die in Klasse 2 vor der Behandlung des Stoffgebiets schon Divisionsaufgaben notierte (Schreibe Malaufgaben auf, die du schon kennst. Vielleicht kennst du ja auch schon Geteiltaufgaben.). Wenn man sich die Aufgaben in Abb. 3 anschaut, wirken diese auf den ersten Blick fehlerhaft. Abb. 3: Notationsversuche aus Klasse 2 Spätestens aber, wenn man die Notation öfter sieht und sie auch in folgenden Schuljahren bei leistungsschwächeren Schülern immer noch zu beobachten ist, weiß man, dass diese Art des Aufschreibens wahrscheinlich besser zu den Vorerfahrungen und zum ersten Denken der Kinder passt (100 ist 50 und ist 7 und 7.) als die reguläre Notation (100:2=50, 14:2=7). Solche Beispiele entdeckt man in Kinderdokumenten, denen keine Formatvorgabe zugrunde liegt, wie man sie in Schulbüchern oder auf Arbeitsblättern findet. Noch in Klasse 3 begegnete uns bei Divisionen mitunter Gleichungsnotationen wie in Abbildung 4. Abb. 4: Notationsbeispiel aus Klasse 3 In diesem Fall wurden die Aufgaben von einer Schülerin mit Lernschwierigkeiten notiert, aber wir fanden diese Art der Notation auch bei Schüler/innen mit durchschnittlichen Leistungen. Es scheint so einfacher zu sein, sich in die Zusammenhänge hineinzudenken: Die 5 steckt in der 25 fünfmal. Sicherlich ist es an solchen Stellen insbesondere für Kinder mit Lernproblemen wichtig, dass man ihre Herangehensweise aufgreift und ihnen hilft, ihr Denken mit der regulären Notation zu verbinden. 7

6 Beispiel 2: Besonderheiten beim Multiplizieren. Auch bei der Multiplikation können uns die Schülerdokumente Hinweise geben auf Schwierigkeiten im Lernprozess und auf allzu schnelle Analogien, die im nachfolgenden Unterricht gezielt aufgegriffen werden sollten. Letztere (die Analogien) kann man förmlich erwarten im Zusammenhang mit der Aufgabe 10 10=100. Fast alle Kinder beherrschen diese Aufgabe ohne, dass sie gelehrt werden muss und fast alle notieren ausgehend von dieser mindestens noch eine weitere, z. B =1000. Frühzeitig kann die Lehrperson solchen fehlerhaften Analogien entgegengehen: Ihr habt recht, 10 10=100 und weiter geht es mit =1000 usf. Häufig erlebten wir im Zusammenhang mit offenen Aufgaben, wie schwierig es für lernschwächere Kinder ist, Faktenwissen zum Einmaleins zu erwerben. Mitunter können nur wenige Einmaleinsaufgaben dauerhaft eingeprägt werden (Abb. 5). Es wird deutlich, dass jede eingeprägte Aufgabe ein Gewinn für die Schülerin ist. Abb. 5: Faktenkenntnisse einer Drittklässlerin zum Einmaleins Abb. 6: Faktenwissen einer Zweitklässlerin vor der Behandlung des Einmaleins Auf der anderen Seite erleben wir Schülerinnen, die schon vor Beginn der Behandlung des Einmaleins eine stattliche Anzahl Aufgaben des kleinen und großen Einmaleins kennen (Abb. 6). Es wird sichtbar, dass offene Aufgaben die Unterschiede nicht minimieren. Sie zeigen diese ganz deutlich. Es bestätigt uns, dass wir die lernschwächeren Kinder immer wieder auffangen und schon für kleine Fortschritte bekräftigen sollten und die leistungsstärkeren wahrscheinlich noch geschickter fördern müssen. Im Schülerdokument in Abbildung 6 wird deutlich, dass fitte Kinder dem Curriculum nicht nur voraus sind, sondern häufig auch eine viel breitere Sicht auf Aufgaben haben, als wir sie im Unterricht eröffnen. Wir schränken die Multiplikation viele Unterrichtswochen lang auf das kleine Einmaleins ein, leistungsstärkere Kinder haben aber von Anfang an auch größere Malaufgaben im Blick (vgl. Abb. 6). 8

7 Unterschiedliche Schülerdokumente machen uns darauf aufmerksam, dass die Schüler/innen untereinander die Leistung des anderen wahrnehmen (sich darüber austauschen) sollten. Und wenn das schwächere Kind nur eine weitere Aufgabe von Mitschülern aufnehmen könnte, wäre die Kommunikation für das Kind erfolgreich gewesen. Einbettung in den Unterricht Offene Aufgaben lassen sich gut in ein dialogisches Unterrichtskonzept integrieren. Das Konzept von Gallin & Ruf (1998) folgt der Auffassung, dass es, um Lernerfolge bei allen Kindern zu erreichen, nicht ausschließlich auf die didaktische Planung und Steuerung des Unterrichts ankommt. Mindestens ebenso bedeutsam ist das Bemühen um einen verstehenden Nachvollzug des Lernens der Schüler/innen (Ruf, Keller & Winter, 2008). Abb. 7: Drittklässler beim eigenständigen Lösen Auf der Grundlage des dialogischen Lernens sind für den Einsatz offener Aufgaben je nach Zielsetzung verschiedene Unterrichtsabläufe denkbar. Wichtig ist ein individueller Start des Kindes auf der Basis seines Wissens. Danach kann ein Austausch mit Partnern erfolgen. Eine gemeinsame Reflexion kann sich anschließen. Das individuelle Eingehen auf die Leistung des Kindes kann durch einen kleinen motivierenden Vermerk unter der Schülerbearbeitung bis zur kommenden Stunde erfolgen. Offene Aufgaben können das ganze Schuljahr in der einen oder anderen Funktion (s. folgende Ausführungen) den Mathematikunterricht begleiten. Ideal ist ein Abstand von etwa zwei Wochen. (1) Die offene Aufgabe kann am Anfang der Unterrichtsstunde stehen, wenn keine besonderen Voraussetzungen geschaffen werden müssen. Die Aufgabe kann mit dem Ziel gestellt werden, gerade Behandeltes unter einer speziellen Perspektive aufzugreifen: Schreibe Rechnungen, in denen gerade und ungerade Zahlen stecken. (Kl. 2, November) Sie kann zurückliegende Unterrichtsinhalte ansprechen: Skizziere geometrische Figuren und benenne sie. (Kl. 4, September) Sollen neue Inhalte betrachtet werden, kann eine offene Aufgabe die Voraussetzungen der Schüler/innen zeigen, an die der nachfolgende Unterricht anknüpfen kann: 9

8 Schreibe Malaufgaben, die du schon kennst. Vielleicht kennst du ja auch schon Geteiltaufgaben. (Klasse 2, Januar) (2) Die offene Aufgabe kann sich an einen instruktionellen Unterrichtsteil anschließen. Werden neue Unterrichtsinhalte vorgestellt, können diese häufig nicht von allen Schüler/innen in gleicher Vollständigkeit und Tiefe aufgenommen werden. Abb. 8: Drittklässler beim Aufnehmen der Erklärungen Zu einer ersten individuellen Auseinandersetzung mit dem Neuen eignen sich deshalb offene Aufträge wie bei dem folgenden Beispiel aus dem Geometrieunterricht. Die Lehrperson machte die Drittklässler darauf aufmerksam, dass geometrische Flächen unterschiedlich viele Symmetrieachsen haben. Anhand von Skizzen und Faltbeispielen wurde noch einmal auf Mittellinien (Faltlinien) in Figuren hingewiesen. Der Begriff Symmetrieachsen wurde dem bisher verwendeten Begriff Mittellinien hinzugefügt. Daran schloss sich ein offener Auftrag an: Skizziere (falte) Flächen und ordne sie der nach der Anzahl der Symmetrieachsen. (Kl. 3, März) (3) Offene Aufgaben können Bestandteil der Arbeit in Lernwerkstätten sein. Lehrer/innen der saarländischen SINUS-Schulen entwickelten zu den Spielen und Materialien in den Lernwerkstätten eine Kartei mit offenen Aufgaben. Auf diese Weise gelang eine breitere Anwendung der Materialien als es die Produktbeschreibungen vorgeben und eine vielfältigere Einbindung in den Mathematikunterricht. Darüber hinaus konnte das Schülerwissen und können besser berücksichtigt werden. Im Zusammenhang mit dem handelsüblichen Tangram entstand z. B. die folgende Aufgabe: Zeichne die Figuren des Tangrams nach und schneide sie aus. Lege die Figuren auf verschiedene Weise aufeinander. Notiere deine Entdeckungen. 10

9 Fazit Offene Aufgaben können die Begegnung der Grundschulkinder mit Mathematik kontinuierlich begleiten und zu einer natürlichen Differenzierung beitragen. - Sie können Lernende auf besondere mathematische Zusammenhänge aufmerksam machen. - Sie sind ein ergiebiges diagnostisches Instrument für Lehrpersonen. Die Schülerprodukte weisen nicht nur auf ganz spezielle individuelle Leistungen hin. Sie ermöglichen einen Blick auf Unterrichtsinhalte aus der Schülerperspektive. Sie weisen sowohl auf Umfang und Tiefe schon betrachteter Inhalte als auch auf die Vorerfahrungen der Schüler/innen hin. - Sie fördern den Dialog, da man auf der Grundlage des gleichen Auftrags unterschiedliche Lernerfahrungen machen und sich mit den Gleichaltrigen und mit der Lehrperson darüber austauschen kann. Literatur Hirt U.& Wälti, B. (2006). Lernumgebungen im Mathematikunterricht. Natürliche Differenzierung für Rechenschwache bis Hochbegabte. Seelze: Kallmeyer. Rasch, R. (2004): Offene Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. In: Esslinger- Hinz, I./H. Hahn (Hrsg.). Kompetenzen entwickeln Unterrichtsqualität in der Grundschule steigern. Baltmannsweiler: Schneider Verlag Hohengehren. Rasch, R. (2007): Offene Aufgaben für individuelles Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule 1/2 und 3/4 Lernbuchverlag. Seelze: Kallmeyer. Reibold, J. & Bruder, R. (2010). Ein binnendifferenzierendes Unterrichtsprojekt für die Sekundarstufe I im Projekt MABIKOM: Unterrichtsbeispiele und erste Evaluationsergebnisse. In Beiträge zum Mathematikunterricht. Münster: WTM. Ruf, U. & Gallin, P. (1998). Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik. Band 1: Austausch unter Ungleichen. Seelze: Kallmeyer. Ruf, U., Keller, S. & Winter, F. (2008). Besser lernen im Dialog. Dialogisches Lernen in der Unterrichtspraxis. Seelze/Stuttgart: Klett, Kallmeyer. 11