Skript zur Vorlesung. Mikroökonomik II. Prof. Dr. Robert Schwager. Georg-August-Universität Göttingen Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät

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1 Skript zur Vorlesung Mikroökonomik II Prof. Dr. Robert Schwager Georg-August-Universität Göttingen Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät

2 Inhaltsübersicht Mikroökonomik I: Einzelwirtschaftliche Entscheidungen Entscheidungen einzelner Wirtschaftssubjekte (Haushalte, Unternehmen) Optimierungsprinzip Mikroökonomik II: Märkte und strategisches Verhalten Interaktion mehrerer Wirtschaftssubjekte (Anbieter und Nachfrager, zwei Anbieter,...) Optimierungsprinzip und Gleichgewichtsprinzip

3 Mikroökonomik II: Märkte und strategisches Verhalten C. Wettbewerbsmärkte. Wettbewerb und Monopol auf einem einzelnen Markt 3. Allgemeines Gleichgewicht 4. Ersparnis und Investition 5. Risiko und Versicherung D. Spieltheorie und oligopolistische Märkte 6. Spiele in Normalform 7. Sequenzielle Entscheidungen 8. Oligopoltheorie 9. Asymmetrische Information 3

4 Literatur Bergstrom, T. und H. Varian: Workouts in intermediate microeconomics, New York: Norton. Böhm, V. : Arbeitsbuch zur Mikroökonomik, Band I, Berlin: Springer. Böhm, V. : Arbeitsbuch zur Mikroökonomik, Band II, Berlin: Springer. Chiang, A. und K. Wainwright: Fundamental methods of mathematical economics, Boston u.a.: McGraw- Hill. Feess, E.: Mikroökonomie: Eine spieltheoretisch- und anwendungsorientierte Einführung, Marburg: Metropolis. Pindyck, R. und S. Rubinfeld: Microeconomics, Upper Saddle River: Pearson. Varian, H.: Intermediate microeconomics: A modern approach, New York: Norton. In der Vorlesung werden die jeweils aktuellen Auflagen der verwendeten Literatur angegeben. 4

5 C. Wettbewerbsmärkte Mikroökonomische Markttheorie Gegenstand: Die Erklärung von Preisen und gehandelten Mengen auf Märkten. Unterscheidung verschiedener Ansätze... danach, wie umfassend die Erklärung sein soll: Gleichgewicht auf einem Markt, Partialmarkttheorie Kap. (Mikroökonomik I), Gleichgewicht auf allen Märkten, Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts Kap nach der Marktform 5

6 Marktformen Marktform Wettbewerb, Konkurrenz, Polypol Oligopol, bzw. Dyopol Zahl der Anbieter viele wenige, bzw. zwei Verhaltensannahme Jeder Anbieter wählt seine Menge für gegebenen Preis, Preisnehmerverhalten Jeder Anbieter wählt seine Menge oder seinen Preis für gegebenes Verhalten der anderen Anbieter und unter Berücksichtigung der Nachfragekurve Monopol einer Der Anbieter wählt Menge und Preis unter Berücksichtigung der Nachfragekurve 6

7 . Wettbewerb und Monopol auf einem einzelnen Markt Kurzfristiges Gleichgewicht Kapitel, Mikroökonomik I Preis S p * D y * Menge Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 7

8 Komparative Statik Wie ändern sich der Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge, wenn sich eine exogene Größe ändert. Beispiele für exogene Größen: Inputpreise Einkommen der Konsumenten Steuersatz Mengensteuer Der Staat erhält t Euro pro Einheit des Gutes, die verkauft wird. Beispiele: Mineralölsteuer, Tabaksteuer Verkäuferpreis, Produzentenpreis Käuferpreis, Konsumentenpreis p s p d p d = p s + t Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 8

9 Die Verkäufer bezahlen die Steuer. Preis t S p d * p s * D y * Menge y * sinkt p d * steigt p s * sinkt. Die Käufer tragen einen Teil der Steuerlast. Die Steuer wird teilweise auf die Käufer überwälzt. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 9

10 Die Käufer bezahlen die Steuer. Preis S p d * p s * t D y * Menge y *, p * d und p * s sind genau so groß wie im Falle der Steuerzahlung durch die Anbieter. Die Überwälzung der Steuer hängt nicht davon ab, wer sie bezahlt. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 0

11 Spezialfälle ) Vollständige Überwälzung auf die Nachfrager a) p D b) p D S p s +t p s S t t y y ) Vollständige Überwälzung auf die Anbieter p a) S b) p t S D D t y y Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol

12 Wohlfahrtswirkung der Mengensteuer p t S p d p s D y y 0 y Durch Steuer geht die Menge von y 0 auf y zurück. KR nach Einführung der Steuer PR nach Einführung der Steuer Steueraufkommen Wohlfahrtsverlust Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol

13 Das langfristige Wettbewerbsgleichgewicht Unterschiede zwischen kurzfristiger und langfristiger Betrachtung langfristige statt kurzfristige Kostenfunktion langfristige statt kurzfristige Angebotsfunktionen der einzelnen Unternehmen häufig: identische Kostenfunktionen, da Imitation möglich ist Markteintritt und Marktaustritt Annahme: Es gibt keine Markteintritts- oder Marktaustrittskosten. Optimierungsprinzip Wenn auf dem Markt Gewinne erzielt werden, treten neue Unternehmen ein. Wenn Verluste gemacht werden, treten Unternehmen aus. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 3

14 Gleichgewichtsprinzip Die Zahl der Unternehmen ändert sich nicht mehr, wenn kein eintretendes Unternehmen einen Gewinn erzielen könnte und kein im Markt aktives Unternehmen Verluste macht. Im langfristigen Gleichgewicht sind die Gewinne 0. Im langfristigen Gleichgewicht ist der Preis so groß wie die Durchschnittskosten. Die notwendige Bedingung für ein Gewinn- Maximum gilt auch langfristig: p = MC. Deshalb gilt: p = MC=AC. Im langfristigen Gleichgewicht ist der Preis so groß wie das Minimum der Durchschnittskosten. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 4

15 Marktzutritt und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht Preis D MC=S S S 3... AC S 8 p * S langfristig y * Menge Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 5

16 Der Gewinn muss nicht exakt null sein, da die Unternehmensanzahl eine ganze Zahl sein muss. p D S m S m+ min A C y Anwendung: Überwälzung einer Mengensteuer Langfristig tragen die Nachfrager einen größeren Teil der Steuerlast als kurzfristig, weil das Angebot elastischer reagiert. Im typischen Fall (waagerechte langfristige Angebotskurve) tragen die Nachfrager die Steuer langfristig alleine. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 6

17 Marktzutrittsschranken Die etablierten Unternehmen wollen Marktzutritt verhindern, um sich Gewinne zu sichern ( Renten ). Rente ist eine Zahlung an einen Anbieter, die nicht notwendig ist, um dessen Leistung hervorzubringen. Beispiele nur beschränkt verfügbare Produktionsfaktoren. Hier ist der Gewinn, der langfristig verbleibt, eine Rente für diesen Faktor. Absprachen der etablierten Anbieter; Drohungen an potentiell eintretende Unternehmen, z. B. Preiskrieg. Problem: Es ist oft nicht im Interesse eines etablierten Unternehmens, sich an die Absprachen zu halten und die Drohung wirklich wahr zu machen. staatlicher Schutz, z. B. durch Lizenzen, Importquoten, Qualitätsstandards,... Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 7

18 Monopol Auf dem Markt gibt es nur einen Anbieter. Der Monopolist kann den Marktpreis beeinflussen. Beschränkungen des Monopolisten bei der Gewinnmaximierung technologische Beschränkungen (Kostenfunktion) Marktbeschränkungen (Nachfragefunktion) D(p)=y, d. h., der Monopolist kann nur soviel verkaufen, wie die Nachfrager kaufen wollen. Äquivalente Formulierung mit der inversen Nachfragefunktion (oder Preis-Absatz-Funktion). p = p(y) Preis, den die Nachfrager zahlen, wenn y abgesetzt wird. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 8

19 Gewinnmaximierung des Monopolisten max y p( y) y 443 Erlös c( y) Notwendige Bedingung für ein inneres Gewinnmaximum y > 0 p ( y) + p ( y) y c ( y) = 0 Grenzerlös Grenzkosten Interpretation der Bedingung Grenzerlös = Grenzkosten Eine Erhöhung des Outputs um Einheit verursacht zusätzliche Kosten in Höhe von c' ( y). Sie bringt zusätzlichen Erlös in Höhe von p(y), wenn sie verkauft wird. Der Preis sinkt aber um p'( y). Die Preissenkung betrifft alle y Einheiten, so dass der Erlös wegen der Preissenkung um y p ( y) zurückgeht. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 9

20 Erlös Kosten c (y) Kosten r ( y) = p ( y) y Erlös y Preis p * Cournotscher Punkt D MC=c (y) Grenzkosten y * MR=r (y) Grenzerlös y Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 0

21 Die Wohlfahrtswirkung des Monopols p D p m KR Wohlfahrtsverlust p c PR MC y m y c MR y Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol

22 Die Summe aus KR und PR wird bei der Menge y c maximal. Dies würde erreicht, wenn das Unternehmen sich wie unter vollständiger Konkurrenz verhalten würde, d. h. als Preisnehmer. Vergleich zwischen dem Monopol und einem repräsentativen Unternehmen. Beim Übergang zum Monopol wird die grün umrandete Fläche von den Konsumenten zum Monopolisten umverteilt, d. h. sie wird von KR zu PR. entsteht ein Wohlfahrtsverlust in Höhe der roten Fläche. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol

23 Ursachen für Monopole Zunehmende Skalenerträge, z. B. durch Fixkosten und konstante Grenzkosten. Bei p = MC entstehen Verluste. Das Wettbewerbsgleichgewicht wird durch Marktaustritt zerstört: Natürliches Monopol Preis D Wettbewerbsmenge Wettbewerbspreis Verlust AC MC Menge Staatlicher Schutz z. B. Monopol der Deutschen Post für die Beförderung von Briefen bis 50g (bis 007). Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 3

24 Zusammenfassung Auf einem Wettbewerbsmarkt wird eine Mengensteuer in der Regel teilweise oder vollständig auf die Konsumenten überwälzt. Wenn eine Steuer auf ein Konsumgut erhoben wird, entsteht ein Wohlfahrtsverlust. Im langfristigen Marktgleichgewicht sind die Gewinne 0, wenn Marktzutritt und austritt möglich sind und die beste Technologie imitiert werden kann. Unternehmen auf einem Markt, zu dem kein Marktzutritt möglich ist, erzielen eine Rente. Ein Monopolist setzt seinen Preis so, dass der Grenzerlös und die Grenzkosten gleich sind. Die Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente ist bei monopolistischer Preissetzung nicht maximal. Monopole entstehen durch zunehmende Skalenerträge oder durch staatlichen Schutz. Mikroökonomik II: Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 4

25 3 Allgemeines Gleichgewicht Gleichgewicht auf einem einzelnen Markt Unternehmen Geld Gut Haushalte Allgemeines Gleichgewicht Faktoren Kosten + Gewinn = Einkommen Unternehmen Haushalte Erlös = Konsumausgaben Konsumgüter Mengenströme Wertströme Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 5

26 In der Theorie des Gleichgewichts auf einem einzelnen Markt wird nur ein Preis endogen bestimmt; alle anderen Preise und das Einkommen jedes Konsumenten sind exogen. In der Theorie des allgemeinen Gleichgewichts sind alle Preise endogen. Es wird ein simultanes Gleichgewicht auf allen (Konsumgüter- und Faktor-) Märkten bestimmt. Reiner Tausch Gut Ausgaben für Gut Haushalt A Haushalt B Ausgaben für Gut Gut Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 6

27 Haushalte A, B Güter, Keine Produktion. ω A A ω Ausstattung des Haushalts A mit Gut ω B B Ausstattung des Haushalts A mit Gut ω Ausstattung des Haushalts B mit Gut Ausstattung des Haushalts B mit Gut x A Konsum des Haushalts A von Gut A x Konsum des Haushalts A von Gut x B Konsum des Haushalts B von Gut xb Konsum des Haushalts B von Gut ( x,,, A xa xb xb ) und x x + x = ω + ω erreichbare Allokation + = + A B A B A xb ωa ωb Allokation Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 7

28 Grafische Darstellung erreichbarer Allokationen x A ω B x B O B ω B ω A O A x A ω A x B Edgeworth-Box Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 8

29 Pareto-Effizienz u u A B ( x, x ) A ( x, x ) B A B Nutzenfunktion des Haushalts A Nutzenfunktion des Haushalts B Definition: Eine erreichbare Allokation ist Pareto-effizient, wenn es keine erreichbare Allokation ( x x, x, x ) A, A B B ( x x, x, x ) A, A B B gibt, so dass u A ( x A, x A ) u A ( x A, x A ) und u B ( x B, x B ) u A ( x B, x B ), mit mindestens einem >. Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 9

30 Gut Gut O B Y X O A Gut Gut Allokation X ist nicht Pareto-effizient. Wenn Haushalt A etwas von Gut an Haushalt B abgibt und dafür etwas von Gut von Haushalt B bekommt ( ), dann stellen sich beide besser. Der rote Pfeil illustriert eine Pareto- Verbesserung. Allokation Y ist Pareto-effizient. Hier gilt MRS A = MRS B. Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 30

31 Die Menge aller Pareto-effizienten Allokationen heißt Kontraktkurve. 0 B Gut Gut 0 A Gut Gut Soweit die Kontraktkurve im Inneren der Edgeworth-Box verläuft (d. h., falls ), gilt auf ihr 0,,, > B B A A x x x x ( ) ( ) ( ) ( ). /,, /,, /,, /,, B B B B B B B B A A A A A A A A x x x u x x x u x x x u x x x u = MRS A = MRS B Kontraktkurve Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 3

32 Wettbewerbsgleichgewicht p Preis für Gut p Preis für Gut. Jeder Haushalt maximiert seinen Nutzen unter seiner Budgetbeschränkung. Das liefert die Marshallschen Nachfragefunktionen beider Haushalte nach beiden Gütern. Im Gleichgewicht wird von jedem Gut soviel nachgefragt, wie vorhanden ist. ) ;, ( ) ;, ( ), ( max, A A A A A A A A A A A A A x x p p p p x p p p p x p p x p x p x x u A A A ω ω ω ω ω ω = + u.d.b. : Haushalt Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 3

33 Ebenso für Haushalt B: x B ( p, p ; p ω B + p ω B ) x B ( p, p ; p ω B + p ω B ) Definition des Gleichgewichts: Preise p, p * *, so dass die Markträumungs-Bedingungen x ( p, p ; p ω + p ω ) + x ( p, p ; p ω + p ω ) = ω + ω * * * * * * * * A A A B B B A B und x ( p, p ; p ω + p ω ) + x ( p, p ; p ω + p ω ) = ω + ω * * * * * * * * A A A B B B A B erfüllt sind. Walras-Gleichgewicht, Wettbewerbsgleichgewicht Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 33

34 Gesetz von Walras Für alle Preise p, p ist der Wert der gesamtwirtschaftlichen Überschussnachfrage 0. + p p [ xa( p, p ) + xb ( p, p ) ω A ω B ] x ( p, p ) + x ( p, p ) ω ω [ ] = 0. A B A B Beweis: Die Nachfragefunktionen erfüllen die Budgetgleichungen. Folgerung: Wenn Markt geräumt ist, dann muss auch Markt geräumt sein. Es genügt zur Bestimmung des Gleichgewichts, einen der beiden Märkte zu betrachten. Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 34

35 Grafische Bestimmung des Wettbewerbsgleichgewichts Schnittpunkt der Preiskonsumkurven (offer curves) Gut Gut O B x ) ω ( A A Überschussnachfrage des Hh A, Gut Gleichgewicht OC B OC A Ausstattung O A ω A x A ( ) Überschussangebot des Hh A, Gut p p * * Gut Gut Die rote Gerade ist die gemeinsame Budgetgerade beider Haushalte zum Gleichgewichts- Preisverhältnis p * /p *. Gestrichelte Kurven: Indifferenzkurven durch die Gleichgewichts-Allokation. Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 35

36 Gleichgewicht und Pareto-Effizienz Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik Die Allokation jedes Wettbewerbsgleichgewichts ist Pareto-effizient. Beweis: Es seien ( x x, x, x ) Gleichgewicht und die Allokation im die Gleichgewichts-Preise. Entgegen der Behauptung gebe es eine erreichbare Allokation, die den einen besser und den anderen nicht schlechter stellt. Dann gibt es auch eine erreichbare Allokation ( x x, x, x ), die beide besser stellt, d. h. A, A B B u A p, p * * A, A B B ( x, x ) > u ( x, x ) ( x, x ) > u ( x, x ). und u B A B A B A B A B A B Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 36

37 Da Haushalt A das bessere Güterbündel im Gleichgewicht nicht gewählt hat, konnte er es sich nicht leisten: Ebenso Haushalt B: Addieren der beiden Ungleichungen liefert: Die Preise sind positiv. Deshalb muss eine der beiden Klammern positiv sein. Die Allokation ist also nicht erreichbar.. * * * * A A A A p p x p x p ω ω + > +. * * * * B B B B p p x p x p ω ω + > + ( ) ( ). 0 * * > B A B A B A B A x x p x x p ω ω ω ω ( ),,, B B A A x x x x ), ( x A x A Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 37

38 Der zweite Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik Wenn alle Haushalte konvexe Präferenzen haben, dann gibt es zu jeder Pareto-effizienten Allokation eine Verteilung der Anfangsausstattung, so dass diese Allokation ein Wettbewerbsgleichgewicht ist. Gut Gut Y 0 B Pareto-effiziente Allokation 0 A X Gut Begründung: Gut Die gemeinsame MRS einer Pareto-effizienten Allokation definiert das Gleichgewichts- Preisverhältnis. Die Anfangsausstattung kann dann beliebig auf der so erzeugten Budgetgeraden gewählt werden, z. B. X oder Y. Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 38

39 Produktion Bestandteile einer Produktionsökonomie Anfangsausstattungen an Gütern und Produktionsfaktoren Technologiemengen der Unternehmen Präferenzen der Haushalte Erreichbare Allokationen Jedes Unternehmen führt einen technisch möglichen Produktionsplan aus. Die ursprünglich vorhandene und die produzierte Menge eines Gutes sind zusammen so groß wie die konsumierte und die als Input verwendete Menge dieses Gutes. Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 39

40 Effizienz Pareto-effiziente Allokationen werden durch drei Teilaspekte charakterisiert. Tauschoptimum, effiziente Konsumstruktur Es ist nicht möglich, durch Tausch der vorhandenen Konsumgüter einen Haushalt besser zu stellen ohne einen anderen schlechter zu stellen (siehe Definition S. 34). Bedingung für jeweils zwei Haushalte A, B: MRS des Haushalts A = MRS des Haushalts B Produktionsmaximum Es ist nicht möglich, mit den vorhandenen Inputs mehr von einem Gut zu produzieren ohne von einem andern Gut weniger zu produzieren. Bedingung für jeweils zwei Unternehmen, : TRS in Unternehmen = TRS in Unternehmen Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 40

41 Effiziente Produktionsstruktur Es ist nicht möglich, durch Umschichtung der Produktion von einem Konsumgut zu einem anderen einen der beiden Haushalte besser zu stellen. Die Produktionsmöglichkeitenmenge gibt an, welche Outputkombinationen mit den vorhandenen Inputs möglich sind. Sie wird von der oder Transformationskurve begrenzt. Gut Produktionsmöglichkeitenmenge Transformationskurve MRT Gut Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 4

42 Die Grenzrate der Transformation MRT gibt an, um wie viele Einheiten die von Gut hergestellte Menge verändert (d. h. gesenkt) werden muss, wenn von Gut eine Einheit mehr hergestellt werden soll. MRT = Steigung der Transformationskurve Bedingung für effiziente Produktionsstruktur: MRT = MRS Gut Transformationskurve Effiziente Allokation Indifferenzkurve Gut Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 4

43 Produktionsökonomie mit Privateigentum Eigentumsrechte und Ziele Die Anfangsausstattungen an allen Gütern (Produktionsfaktoren und Konsumgüter) gehören den Haushalten. Die Eigentumsrechte an den Unternehmen sind zwischen den Haushalten aufgeteilt. Unternehmen maximieren den Gewinn. Haushalte maximieren den Nutzen. Das Einkommen jedes Haushalts besteht aus dem Wert seiner Anfangsausstattung und den auf ihn entfallenden Anteilen an den Unternehmensgewinnen. Gewinnmaximierung Ein Unternehmen produziert mit vorgegebenen Inputs die Güter x und x. Der Gewinn ist π = p x + p x Kosten. Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 43

44 Isogewinnlinien x π + Kosten = p p p Der gewinnmaximierende Produktionsplan wird durch die höchste Isogewinnlinie bestimmt, die mit der Transformationskurve noch einen Punkt gemeinsam hat. Dort gilt MRT = p / p. x Gut Isogewinnlinien π + Kosten p Gewinnmaximierender Produktionsplan p p Gut Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 44

45 Wettbewerbsgleichgewicht Preise, so dass auf allen Märkten Angebot und Nachfrage gleich sind. Das Wettbewerbsgleichgewicht in einer Produktionsökonomie mit Privateigentum ist Pareto-effizient. Gut (Gewinn + Kosten) / p = Einkommen / p Effiziente Allokation = Gleichgewicht p p * * Gut Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 45

46 Zusammenfassung Die Theorie des allgemeinen Gleichgewichts beschreibt die simultane Preisbildung auf allen Märkten. In der Edgeworth-Box werden erreichbare Allokationen dargestellt. Die Transformationskurve begrenzt die Menge der Outputkombinationen, die mit gegebenen Inputs hergestellt werden können. Die Grenzrate der Transformation gibt an, um wie viele Einheiten die Produktion eines Gutes eingeschränkt werden muss, wenn von einem anderen Gut eine zusätzliche Einheit produziert werden soll. Pareto-effiziente Allokationen sind dadurch gekennzeichnet, dass - die Grenzraten der Substitution zwischen zwei Gütern bei allen Haushalten übereinstimmen, Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 46

47 - die Technischen Raten der Substitution zwischen zwei Inputs bei allen Unternehmen übereinstimmen, und - die Grenzrate der Transformation zwischen zwei Gütern mit der Grenzrate der Substitution zwischen diesen Gütern übereinstimmt. Im Wettbewerbsgleichgewicht passen sich die Preise so an, dass alle Märkte geräumt sind. Das Gesetz von Walras besagt, dass der Wert der gesamtwirtschaftlichen Überschussnachfrage für alle Preise gleich null ist. Die Allokation jedes Wettbewerbsgleichgewichts ist Pareto-effizient. Jede Pareto-effiziente Allokation ist eine Gleichgewichts-Allokation, wenn die Anfangsausstattungen passend umverteilt werden. Mikroökonomik II: 3 Allgemeines Gleichgewicht 47

48 4 Ersparnis und Investition Intertemporale Entscheidungen sind Entscheidungen, die Auswirkungen in mehreren Perioden haben. Entscheidung eines Haushalts zwischen Konsum und Ersparnis. Entscheidung eines Unternehmens über eine Investition. Haushaltsentscheidung Ein Haushalt lebt zwei Perioden und ( heute und morgen ). In jeder Periode gibt es ein Konsumgut, dessen Preis Geldeinheit ist. Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 48

49 c Konsum in Periode, Gegenwartskonsum c Konsum in Periode, Zukunftskonsum m > 0 Einkommen in Periode m 0 Einkommen in Periode Kaufkrafttransfer zwischen Perioden r Zinssatz. Für jede in Periode gesparte Geldeinheit erhält der Haushalt in der zweiten Periode r Geldeinheiten Zins; für jede Geldeinheit Kreditaufnahme in Periode muss er in der zweiten Periode r Geldeinheiten Zins bezahlen. Budgetgleichung der Periode : c + s = m s > 0 Ersparnis s < 0 Kreditaufnahme Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 49

50 Budgetgleichung der Periode : c m + s + rs = s Rückzahlung der Ersparnis, Tilgung des Kredits Auflösen der Budgetgleichung in Periode nach s und Einsetzen in die Budgetgleichung der Periode liefert die Intertemporale Budgetgleichung ( + r) c + c = ( + r) m + m () c m c + = m + ( + r) ( + r) () Vgl. Budgetgleichung mit m, m als Anfangsausstattung (Kap. 6, Mikroökonomik I): In () ist In () ist p + c + pc = pm pm p p = ( + r), p =, p =. =. + r Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 50

51 p / p = + r ist der Preis des Gegenwartskonsums relativ zum Preis des Zukunftskonsums. Der Zinsfaktor + r ist das Tauschverhältnis zwischen zukünftigem und heutigem Konsum. Für eine zusätzliche Einheit Konsum in Periode muss man in Periode auf + r Einheiten Konsum verzichten. () Intertemporale Budgetgleichung in Zukunftswerten. () Intertemporale Budgetgleichung in Gegenwartswerten. Auflösen nach c Budgetgerade liefert die intertemporale c = ( + r) m + m ( + r) c. Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 5

52 c ( + r ) m + m m Ausstattungspunkt m Steigung = ( + r) m m + ( + r) c Vollkommener Kapitalmarkt: Der Haushalt kann zum Zinssatz r beliebig viel sparen oder Kredit aufnehmen. Beispiele für unvollkommenen Kapitalmarkt: Kreditrationierung: Eine Kreditaufnahme ist nur bis zu einer Obergrenze z möglich. Der Sollzinssatz r s ist größer als der Habenzinssatz r h. Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 5

53 Kreditrationierung c ( + r ) m + m m m m + z c Unterschiedliche Soll- und Habenzinsen c h ( + r ) m+ m h Steigung = ( +r ) m Steigung = +r s ( ) m m m + + r s c Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 53

54 Haushaltsoptimum u (c, c ) Nutzenfunktion max uc (, c) ( c, c ) u.d.b. c c m + = m + ( + r) ( + r) c Der Haushalt ist Sparer. Rückzahlung + Zinseinnahme c * m c * m c Ersparnis s* > 0 Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 54

55 c Der Haushalt ist Kreditnehmer. Tilgung + Zinsausgabe m c * m c * c Kredit s* < 0 Notwendige Bedingung für ein Nutzenmaximum mit c *, c * > 0: MRS uc (, c)/ c = = + r uc ( / * * * *, c) c Grenzrate der Substitution = Zinsfaktor Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 55

56 Der Haushalt ist bereit, für eine Einheit zusätzlichen Konsum heute auf MRS Einheiten zukünftigen Konsum zu verzichten. Der Haushalt muss für eine Einheit zusätzlichen Konsum heute auf + r Einheiten zukünftigen Konsum verzichten. > Wenn MRS + r ist, dann lohnt es sich für < den Haushalt, seine Kreditaufnahme auszuweiten einzuschränken zu verringern bzw. seine Ersparnis zu vergrößern MRS - heißt auch subjektiver Zinssatz oder Zeitpräferenzrate. Übungsfrage: Ist es möglich, dass ein Haushalt bei negativem Zinssatz spart, d. h. s* = m - c * > 0, obwohl r < 0? Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 56

57 Inflation Der Preis des Konsumgutes steigt im Zeitablauf. p Preis des Konsums in Periode p Preis des Konsums in Periode c, m Konsum, Ausstattung in Periode c, m Konsum, Ausstattung in Periode ρ Geldeinheiten der Periode Gütereinheiten der Periode Geldeinheiten der Periode Gütereinheiten der Periode [ Gütereinheiten der Periode ] [ Gütereinheiten der Periode ] Zinssatz Geldeinheiten der Periode Geldeinheiten der Periode Budget der Periode p c + s = p m Budget der Periode pc = pm + s( + ρ) Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 57

58 Intertemporale Budgetgleichung p ( + ρ) c = m + ( m c ) Der Relativpreis ist p p ( + ρ). p Für eine Mengeneinheit Konsumverzicht in Periode erhält der Haushalt p (+ ρ )/ p Einheiten zusätzlichen Konsum in Periode. Inflationsrate ϕ : = p p p Es folgt +ϕ = p / p und p ( + ρ) + ρ = = :+ r p + ϕ Gütereinheiten Periode Gütereinheiten Periode +r ist der Realzinsfaktor, r heißt Realzinssatz. Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 58

59 + ρ ist der Nominalzinsfaktor, ρ der Nominalzinssatz. Der Realzinsfaktor +r gibt das Tauschverhältnis zwischen dem Konsumgut der Zukunft und dem Konsumgut der Gegenwart an. Der Nominalzinsfaktor + ρ gibt das Tauschverhältnis zwischen Geldeinheiten der Zukunft und Geldeinheiten der Gegenwart an. Es gilt r + ρ = + ϕ ρ ϕ = + ϕ Näherungsformel für kleine Inflationsraten ϕ : r = ρ ϕ Realzinssatz = Nominalzinssatz -Inflationsrate. Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 59

60 Investition Eine Investition ist eine intertemporale Produktionsentscheidung: Gegenwärtiger Input liefert zukünftigen Output. Beispiel Ein Unternehmen kauft in Periode Maschinen, die (nur) zur Produktion in Periode eingesetzt werden können. Der Preis einer Maschine in Periode ist Geldeinheit, ebenso wie der Preis des Outputs in Periode. k Investitionsausgaben in Periode, kreditfinanziert y = f (k) Output = Erlös in Periode, f >0, f <0 r Realzinssatz Zahlungsströme Periode : Einzahlung aus der Kreditaufnahme: k Auszahlung für die Investition: - k Nettoauszahlung = 0 Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 60

61 Periode : Einzahlung aus Umsatzerlös: Auszahlungen Tilgung: Zinsen: Nettoauszahlung y - k - rk = y (+r)k Gewinnmaximierung max π = f ( k) ( + r) k k Notwendige Bedingung für ein positives optimales Investitionsniveau k: f (k) = + r + r sind die Kosten für eine Einheit Investition, d. h. der Preis des Kapitals. Um in Periode den Kapitalbestand um eine Einheit erhöhen zu können, muss man in Periode Zahlungen in Höhe von + r leisten. Wie für den Haushalt ist auch für das Unternehmen + r der Relativpreis zwischen heutigen und zukünftigen Gütern. Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 6

62 Interpretation der notwendigen Bedingung f (k) = r Grenzprodukt Abschreibung = Zinssatz des Kapitals Nettogrenzprodukt des Kapitals = Zinssatz Grafische Lösung y f (k) + r (+r)k* f (k*) π* k* k Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 6

63 Gleichgewicht auf dem Kapitalmarkt Es gibt einen Haushalt, der Eigentümer des Unternehmens ist. Seine Ausstattungen sind m > 0, m = 0. Im Gleichgewicht gilt MRS = + r* = f (k*), also Zeitpräferenzrate = Nettogrenzprodukt des Kapitals. Gut der Per. Gewinn + Zukunftswert der Ausstattung Gleichgewicht Indifferenzkurve c * = f (k*) c * k* = s* m * ( r ) + Gut der Periode Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 63

64 Zusammenfassung Intertemporale Entscheidungen betreffen mehrere Perioden. Der Realzinsfaktor gibt an, zu welchem Verhältnis Güter verschiedener Perioden gegeneinander getauscht werden können. Der Realzinssatz ist die Differenz zwischen Nominalzinssatz und Inflationsrate. Die optimale Entscheidung über Konsum und Ersparnis ist dadurch gekennzeichnet, dass der Betrag der Grenzrate der Substitution zwischen zukünftigem und gegenwärtigem Konsum gleich dem Realzinsfaktor ist. Bei einer optimalen Investitionsentscheidung ist das Nettogrenzprodukt des Kapitals gleich dem Realzinssatz. Im Wettbewerbsgleichgewicht auf dem Kapitalmarkt gleichen sich Nettogrenzprodukt des Kapitals und Zeitpräferenzrate an. Mikroökonomik II: 4 Ersparnis und Investition 64

65 5 Risiko und Versicherungsmärkte Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen, die mehrere mögliche Auswirkungen haben. Kauf eines Lotterieloses Kauf einer Aktie Mitnahme eines Regenschirms Abschluss einer Versicherung Versicherung Ein Haushalt besitzt ein Vermögen in Höhe von m [ ]. Er erleidet möglicherweise einen Schaden in Höhe von d [ ]. Er kann eine Versicherung abschließen, die ihm im Schadensfall K [ ] ersetzt. Dies kostet pro des zu ersetzenden Schadens eine Prämie in Höhe von γ [ pro Versicherungssumme]. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 65

66 Bedingter Konsum Die beiden möglichen Ereignisse Schaden und Kein Schaden beschreiben zwei Naturzustände. Konsum in den beiden Naturzuständen wird als zwei unterschiedliche Konsumgüter betrachtet. Dieser Konsum ist bedingt darauf, dass der jeweilige Naturzustand eintritt. m = m - d Ausstattung im Naturzustand Schaden m = m Ausstattung im Naturzustand kein Schaden c Konsum im Naturzustand Schaden c Konsum im Naturzustand kein Schaden Die Versicherung erlaubt einen Kaufkrafttransfer zwischen beiden Naturzuständen: c c = m = m γk + K γk Elimination von K aus diesen Gleichungen liefert die Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 66

67 Budgetgleichung γc ( γ) c = γm + ( γ) m + Vgl. Budgetgleichung mit m, m Anfangsausstattung (Kap. 0): p + c + pc = pm pm als Beide Formulierungen sind äquivalent, wenn p = γ ; p = -γ. c m Prämie c = m -γk Ausstattung Konsum bei Versicherungssumme K Steigung = γ /( γ ) m c = m -γk+k c Versicherungsleistung - Prämie Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 67

68 p / p = γ / (-γ ) ist das Tauschverhältnis zwischen Konsum in beiden Naturzuständen. Für eine zusätzliche Einheit Konsum im Schadensfall muss man im Naturzustand ohne Schaden auf γ / (-γ ) Einheiten Konsum verzichten. Präferenzen Die Wünsche des Haushalts über bedingten Konsum lassen sich ebenso wie beim Konsum anderer Güter allgemein durch eine Präferenzrelation oder eine Nutzenfunktion darstellen, die durch Indifferenzkurven im c c Diagramm illustriert wird. Es ist plausibel, dass die Bewertung des Konsums in verschiedenen Naturzuständen davon abhängt, für wie wahrscheinlich der Haushalt die Naturzustände hält. π Wahrscheinlichkeit des Naturzustands π Wahrscheinlichkeit des Naturzustands Bei nur zwei Naturzuständen gilt π + π =. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 68

69 Dann hängt der Nutzen nicht nur von den in den beiden Naturzuständen konsumierten Mengen ab, sondern auch von den Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Naturzustände eintreten: U (c, c, π, π ) Eine häufig verwendete spezielle Form von Präferenzen ist gegeben durch die Erwartungsnutzenhypothese Es gibt eine Funktion u (c), so dass die Präferenzen des Haushalts über bedingten Konsum c und c durch den erwarteten Nutzen dargestellt werden, d. h. U (c, c, π, π ) = π u(c ) + π u(c ) Die Funktion u (c) drückt die Bewertung sicheren Konsums aus. Sie heißt von-neumann- Morgenstern-Nutzenfunktion. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 69

70 Positiv affine Transformation v(u) = au + b mit a > 0 Die Funktion v drückt dieselben Präferenzen aus wie die Funktion u und genügt ebenfalls der Erwartungsnutzenhypothese. Diskussion der Erwartungsnutzenhypothese Die Grenzrate der Substitution zwischen dem Konsum zweier Naturzustände hängt nicht vom Konsum in einem dritten Naturzustand ab. Beispiel: U (c, c, c 3, π, π, π 3 ) = π u (c ) + π u ( c ) + π 3 u ( c 3 ) U / c πu'( c) MRS, = = U / c π u'( c ) hängt nicht von c 3 ab. Motivation: Naturzustand ist die Gegenwart, Naturzustände und 3 sind zwei mögliche Zustände in der Zukunft. Dann schließen sich die Naturzustände und 3 gegenseitig aus. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 70

71 Was geschieht, wenn der Haushalt gar keine Wahrscheinlichkeiten bestimmen kann? Die Entscheidung wird so getroffen, als seien alle Naturzustände gleich wahrscheinlich. Prinzip des unzureichenden Grundes Risikoaversion Sicherer Konsum wird höher geschätzt als unsicherer Konsum mit demselben Erwartungswert: Beispiel: u(π c + π c ) > π u(c ) + π u( c ) π = π = ½ c = 500, c = 500 π c + π c = 000 Ein risikoaverser Haushalt hat lieber 000 sicher als 500 und 500 mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 50%. Die von-neumann-morgenstern-nutzenfunktion ist streng konkav, u < 0. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 7

72 Nutzen u(c ) u(π c +π c ) π u(c )+π u(c ) Risikoaversion: u < 0 u(c) u(c ) c π c +π c c Konsum Nutzen Risikofreude: u > 0 u(c) u(c ) π u(c )+π u(c ) u(π c +π c ) u(c ) c π c +π c (ohne Grafik:) Risikoneutralität: u = 0 c Konsum Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 7

73 Der Versicherungsmarkt Vgl. S Die Wahrscheinlichkeit des Schadens sei π. Der Haushalt sei risikoavers und habe die von- Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion u. Die nachgefragte Versicherungssumme wird bestimmt durch den Optimierungsansatz max πu c c, c u.d.b. ( ) + ( π ) u( c ) ( ) ( ) γc + γ c = γm + γ m Lösung: MRS = Preisverhältnis, also πu' ( c ) γ = ( π ) u' ( c ) ( γ) Versicherungsunternehmen Erwarteter Gewinn = γk - πk - (-π ) 0 = (γ -π )K Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 73

74 Wenn das Versicherungsunternehmen Nullgewinne macht, folgt γ = π Die Versicherungsprämie ist fair. Einsetzen in die Optimalitätsbedingung des Haushalts liefert πu' ( c ) π = ( π ) u' ( c ) ( π ) u' ( c ) = u' ( c ) Da u < 0 gilt, folgt für den optimalen Konsumplan bzw. c = c K = d Ein risikoaverser Haushalt versichert sich vollständig, wenn ihm eine faire Versicherung angeboten wird. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 74

75 Risikoteilung Versicherungsverein auf Gegenseitigkeit: Mehrere Individuen, die ähnlichen Risiken ausgesetzt sind, verpflichten sich vertraglich, gemeinsam für die bei allen Vertragspartnern auftretenden Schäden aufzukommen. Beispiel: Teilnehmer π = 0% d = Die Schadensfälle bei beiden Teilnehmern sind unabhängige Ereignisse. Verteilung der Schäden Mit Wahrscheinlichkeit % (= 0% 0%) tritt bei beiden ein Schaden auf, jeder trägt dann Mit Wahrscheinlichkeit 8% (= 90% 90%) tritt bei keinem ein Schaden auf. Mit Wahrscheinlichkeit 8% (= 0% 90%) tritt bei einem ein Schaden auf, jeder trägt dann Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 75

76 Der erwartete Schaden ist nach wie vor % von % von = 000. Das Risiko, z. B. gemessen an der Varianz der Schadensverteilung, ist geringer. Wenn die Zahl der Vertragspartner groß ist und die Schadensfälle bei den einzelnen Vertragspartnern voneinander unabhängige Ereignisse sind, dann wird fast sicher der durchschnittliche Schaden eintreten. Deshalb kann ein Versicherungsverein eine faire Versicherung anbieten, auch wenn seine Mitglieder risikoavers sind. Grenzen der Risikoteilung Größe des Marktes Korrelierte Schäden (z. B. Naturkatastrophen) Abhilfe: Rückversicherungen versichern Versicherungen. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 76

77 Zusammenfassung Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen mit mehreren möglichen Konsequenzen. Konsum in verschiedenen Naturzuständen kann als Konsum verschiedener Güter angesehen werden. Ein Versicherungsvertrag erlaubt den Tausch zwischen Konsum in verschiedenen Naturzuständen. Präferenzen für bedingten Konsum erfüllen die Erwartungsnutzenhypothese, wenn der Nutzen durch den Erwartungswert des Nutzens des Konsums in den möglichen Naturzuständen gegeben ist. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 77

78 Risikoaverse Risikoneutrale Konsumenten haben eine Risikofreudige streng konkave lineare streng konvexe von-neumann-morgenstern- Nutzenfunktion. Durch gegenseitige Übernahme des Schadens können Individuen ihr Risiko vermindern, wenn ihre Schäden unabhängig voneinander sind. Mikroökonomik II: 5 Risiko und Versicherungsmärkte 78

79 D Spieltheorie und oligopolistische Märkte Verhaltensannahmen in der Markttheorie, die bisher analysiert wurden Konkurrenz: viele sehr kleine Wirtschaftssubjekte, die für sich genommen keinen Einfluss auf das Marktergebnis haben. Monopol: Ein Anbieter bestimmt das Marktergebnis alleine. Spieltheorie: Das Verhalten der anderen Markteilnehmer ist relevant für die eigene Entscheidung und wird bei der Optimierung einbezogen. Jeder Einzelne beeinflusst das Ergebnis für die anderen. Strategische Interaktion von Wirtschaftssubjekten. 79

80 6 Spiele in Normalform Beispiel: Zwei Gemeinden wollen eine Kläranlage bauen. Diese hat eine für beide Gemeinden ausreichende Kapazität. Zahlungsbereitschaft jeder Gemeinde für die Kläranlage: 8 [Mio ] Kosten der Kläranlage: 0 [Mio ]. Entscheidungsregel: Jede Gemeinde gibt an, ob sie für oder gegen die Kläranlage ist. Wenn mindestens eine Gemeinde dafür ist, wird die Kläranlage gebaut, sonst nicht. Die Kosten werden unter den Befürwortern aufgeteilt. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 80

81 Formulierung des Beispiels als Spiel in Normalform: Spieler = die Gemeinden Strategien = die Entscheidungsmöglichkeiten dafür und dagegen Auszahlungen = Zahlungsbereitschaft Kostenanteil, falls die Kläranlage gebaut wird 0 sonst Auszahlungsmatrix Gemeinde für Kl. gegen Kl. Gemeinde für Kl. gegen Kl. 3, 3 8, - -, 8 0, 0 Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 8

82 Optimierung durch Gemeinde Wenn Gemeinde für die Kläranlage ist, dann erhält Gemeinde 3, wenn Gemeinde auch dafür ist. 8, wenn Gemeinde dagegen ist. Wenn Gemeinde für die Kläranlage ist, dann ist es besser für Gemeinde, dagegen zu sein. Die Strategie gegen Kläranlage ist beste Antwort der Gemeinde auf die Strategie für Kläranlage der Gemeinde. Wenn Gemeinde gegen die Kläranlage ist, dann erhält Gemeinde - bei Wahl der Strategie für Kläranlage 0 bei Wahl der Strategie gegen Kläranlage Die Strategie gegen Kläranlage ist auch beste Antwort auf die Strategie für Kläranlage. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 8

83 Ergebnis: Wie immer Gemeinde sich entscheidet, für Gemeinde ist es optimal, sich gegen den Bau der Kläranlage auszusprechen. Eine Strategie, die für jede mögliche Strategie des anderen Spielers optimal ist, heißt dominante Strategie. Gleichgewicht Wegen der Symmetrie des Spiels ist gegen Kläranlage auch eine dominante Strategie für Gemeinde. (gegen Kläranlage, gegen Kläranlage) ist ein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Im Gleichgewicht wird die Kläranlage nicht gebaut. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 83

84 Gefangenendilemma Nach einer gemeinsam begangenen Straftat werden die beiden Täter getrennt voneinander verhört. Nur wenn einer gesteht, kann beiden die Tat nachgewiesen werden. Lohnt es sich, zu leugnen? Auszahlungsmatrix Gefangener Leugnen Gestehen Leugnen -, - -6, 4 Gefangener Gestehen 4, -6-4, -4 Im Gleichgewicht in dominanten Strategien gestehen beide Gefangenen und werden verurteilt. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 84

85 Nash-Gleichgewicht Viele Spiele haben kein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Beispiel: Kampf der Geschlechter Er Theater Kino Theater, 0, 0 Sie Kino 0, 0, Beste Antwort auf Theater ist Theater, beste Antwort auf Kino ist Kino. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 85

86 Ihre optimale Entscheidung hängt von ihrer Erwartung über seine Strategie ab. Seine optimale Entscheidung hängt von seiner Erwartung über ihre Strategie ab. Wenn beide erwarten, dass der/die andere ins Theater geht und sich dementsprechend optimal verhalten, dann werden die Erwartungen bestätigt. rationale Erwartungen Gleichgewichtsprinzip (Theater, Theater) ist ein Nash-Gleichgewicht. Ein Nash-Gleichgewicht ist eine Strategiekombination mit der Eigenschaft, dass jeder Spieler eine beste Antwort auf die Strategien der anderen wählt. Kein Spieler hat einen Anreiz, von einem Nash- Gleichgewicht abzuweichen. Auch (Kino, Kino) ist ein Nash-Gleichgewicht. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 86

87 Gemischte Strategien Es gibt Spiele, in denen keine Strategiekombination ein Nash-Gleichgewicht ist. Beispiel: Spaltenspieler links rechts oben 0, 0 0, - Zeilenspieler unten, 0 -, 4 Gemischte Strategie Mehrere (reine) Strategien werden mit positiver Wahrscheinlichkeit gespielt. Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: Jeder Spieler wählt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien, die optimal ist, gegeben die Wahrscheinlichkeitsverteilung der anderen Spieler. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 87

88 Bestimmung der Nash-Gleichgewichte Beispiel: Kampf der Geschlechter Es seien r die Wahrscheinlichkeit, dass sie Theater wählt und c die Wahrscheinlichkeit, dass er Theater wählt. Ihre Auszahlung ist rc +0 r(-c) + 0 (-r)c + (-r)(-c) = - c + r(3c - ). > steigt Wenn 3c 0, dann ihre Auszahlung, < fällt wenn r steigt. Wenn 3c = 0, dann ist sie indifferent zwischen beiden reinen Strategien. Zwischenergebnis: Ihre beste Antwort auf c ist 0 wenn c < /3 beliebig zwischen br () c = wenn c = /3 0 und wenn c > /3 Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 88

89 Analog ergibt sich für seine Auszahlung cr +0 c(-r) + 0 (-c)r + (-c)(-r) = ( - r) + c(3r - ). Seine beste Antwort auf r ist 0 wenn r < /3 beliebig zwischen bc () r = wenn r = /3 0 und wenn r > /3 Definition: (r*, c*) ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn b r (c*) = r* und b c (r*) = c*. Es gilt b r (0) = 0 und b c (0) = 0, sowie b r () = und b c () =. Die Strategiekombinationen r* = c* = 0 und r* = c* = sind also Nash- Gleichgewichte. Ein weiteres Nash-Gleichgewicht ist gegeben durch r* = /3 und c*= /3. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 89

90 Grafische Darstellung der besten Antworten Beispiel: Kampf der Geschlechter c b c (r) Nash-Gleichgewichte /3 b r (c) 0 /3 r Übung: Bestimme das Nash-Gleichgewicht im Spiel auf Seite 88. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 90

91 Anwendungen Wettrüsten UdSSR Abrüsten Aufrüsten Abrüsten 4, 4, 3 USA Aufrüsten 3,, Im Gleichgewicht rüsten beide auf oder beide ab. Koordinationsspiel Elfmeter Der Schütze entscheidet sich, ob er in die linke oder rechte Ecke des Tores schießt. Der Torwart entscheidet sich, ob er sich in die linke oder rechte Ecke wirft. Die Auszahlungen ergeben sich aus der Wahrscheinlichkeit eines Tores: Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 9

92 Torwart nach links nach rechts nach links 0,5; -0,5 0,8; -0,8 Schütze nach rechts 0,9; -0,9 0,; -0, Es gibt kein Gleichgewicht in reinen Strategien. Es seien p bzw. q die Wahrscheinlichkeiten des Schützen bzw. des Torwarts für die Strategie nach links. Im Gleichgewicht in gemischten Strategien muss gelten: Indifferenz des Schützen: 0,5q +0,8(-q) = 0,9q +0,(-q) q* = 0,6 Indifferenz des Torwarts: -0,5p - 0,9(-p) = -0,8p -0,(-p) p* = 0,7 Nullsummenspiel: Die Summe der Auszahlungen ist eine Konstante, d. h. der Gewinn des einen ist der Verlust des anderen. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 9

93 Spieltheorie in der Biologie Falken und Tauben Die Population einer Tierart bestehe aus Individuen, die genetisch entweder aggressiv ( Falken ) oder defensiv ( Tauben ) veranlagt sind. Wenn zwei Individuen aufeinander treffen, ergeben sich folgende Auszahlungen ( Fitness ): Individuum aggressiv defensiv aggressiv -, - 4, 0 Individuum defensiv 0, 4, Es sei p die Anzahl der Individuen, die sich aggressiv verhalten. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 93

94 Fitness der aggressiven Individuen H = -p +4(-p) = 4-6p Fitness der defensiven Individuen D = 0 p +(-p) = -p Fitness 4 H D 0 p* = / /3 p Die Individuen mit der höheren Fitness vermehren sich schneller und vererben ihr Verhalten an die Nachkommen. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 94

95 Wenn der Anteil der aggressiven Individuen p* = / beträgt, ändert sich die Zusammensetzung der Population nicht mehr. Ausgehend von jeder anderen Zusammensetzung wird p* = / erreicht. Die Strategie p* = / ist eine evolutionär stabile Strategie: a) Wenn die Population die Strategie p* spielt, kann kein Mutant sie infiltrieren (d. h. keine andere Strategie erzielt eine höhere Fitness, wenn alle p* spielen). b) Wenn eine Population eine andere Strategie als p* spielt, die beste Antwort auf p* ist, dann setzt sich ein Mutant durch, der p* spielt (d. h. die Fitness von p* ist in einer solchen Population höher als die Fitness dieser Population) Jede evolutionär stabile Strategie ist ein Nash- Gleichgewicht, aber nicht umgekehrt. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 95

96 Pareto-Effizienz und Nash- Gleichgewicht Auszahlungen in einigen Beispielen Gefangenendilemma Gleichgewicht: (-4,-4) wenn beide leugnen würden: (-,-) Das Gleichgewicht ist nicht Pareto-effizient. Kampf der Geschlechter Gleichgewichte: (,) oder (,) sonst: (0,0) Beide Gleichgewichte in reinen Strategien sind Pareto-effizient. Elfmeter Die Summe der Auszahlungen ist in jeder Strategiekombination 0 (Nullsummenspiel). Alle Strategiekombinationen sind Paretoeffizient. Fazit Nash-Gleichgewichte sind manchmal Paretoeffizient, manchmal nicht. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 96

97 Zusammenfassung Die Spieltheorie analysiert strategische Interaktionen zwischen Wirtschaftssubjekten aller Art. Eine dominante Strategie ist optimal, unabhängig davon, welche Strategie die anderen Spieler wählen. Im Nash-Gleichgewicht wählt jeder Spieler eine Strategie, die optimal ist, gegeben die Strategie der anderen Spieler. In einem Gleichgewicht in gemischten Strategien wählen die Spieler Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die möglichen reinen Strategien. Evolutionär stabile Strategien sind Nash- Gleichgewichte. Nash-Gleichgewichte können sowohl Paretoeffizient als auch ineffizient sein. Mikroökonomik II: 6 Normalformspiele 97

98 7 Sequenzielle Spiele Beispiel: Preiskrieg Ein alteingesessenes, marktbeherrschendes Unternehmen fürchtet den Markteintritt eines neuen Konkurrenten. Es droht damit, in diesem Fall den Konkurrenten aggressiv zu bekämpfen, z. B. durch eine massive Preissenkung, auch wenn dadurch für beide die Gewinne sinken. Auszahlungsmatrix des Normalformspiels: Altes Unternehmen falls Markteintritt: kämpfen falls Markteintritt: nachgeben Neues Unternehmen kein Markteintritt Markteintritt 0,0,9,,9 Mikroökonomik II: 7 Sequenzielle Spiele 98

99 Dieses Spiel in Normalform hat zwei Nash- Gleichgewichte: ( Markteintritt, falls Markteintritt: nachgeben ) und ( kein Markteintritt, falls Markteintritt: kämpfen ). Diese Analyse nutzt die Information über die zeitliche Struktur der Entscheidungen nicht. Das alteingesessene Unternehmen weiß, ob Markteintritt stattgefunden hat, wenn es über die Preissenkung entscheidet. Dies wird durch die Extensivform des Spiels dargestellt. Neues Unternehmen Markteintritt Kein Markteintritt Altes Unternehmen kämpfen nachgeben Auszahlungen 0 Neues Untern. 0 9 Altes Untern. Mikroökonomik II: 7 Sequenzielle Spiele 99

100 Sobald das neue Unternehmen in den Markt eingetreten ist, ist es nicht optimal für das alte Unternehmen, die Preissenkung durchzuführen. Es ist nicht glaubwürdig, mit der Preissenkung zu drohen, weil es nicht im Interesse des alten Unternehmens ist, die Drohung wahr zu machen. Das Nash-Gleichgewicht ( kein Markteintritt, falls Markteintritt: kämpfen ) ist keine sinnvolle Beschreibung rationalen Verhaltens. An jedem Entscheidungsknoten der Extensivform beginnt ein neues Teilspiel. Ein Nash-Gleichgewicht, dessen Strategien in jedem möglichen Teilspiel wieder ein Nash-Gleichgewicht bilden, heißt teilspielperfektes Nash- Gleichgewicht. Das Nash-Gleichgewicht ( kein Markteintritt, falls Markteintritt: kämpfen ) ist nicht teilspielperfekt. Mikroökonomik II: 7 Sequenzielle Spiele 00

101 Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte findet man durch Rückwärts-Induktion: Suche einen Knoten, dessen Entscheidungen nur zu Endknoten führen. Bestimme die optimalen Entscheidungen in diesem Teilspiel. Streiche dieses Teilspiel und ordne dem so entstandenen Endknoten die Auszahlungen einer optimalen Entscheidung im gestrichenen Teilspiel zu. Wiederhole dieses Verfahren, bis der Anfangsknoten erreicht ist. Beispiel (nächste Seite): Ein Unternehmen ist in der Krise. Durch eine Subvention kann der Staat Arbeitsplätze retten. Nach der Subvention entscheidet das Unternehmen, ob es kostspielige Umstrukturierungsmaßnahmen durchführt. Ohne diese kommt es zur nächsten Unternehmenskrise. Wird der Staat erneut subventionieren? Mikroökonomik II: 7 Sequenzielle Spiele 0

102 Anpassungs- und Erhaltungssubventionen keine Subvention Staat Subvention -3 0 keine Umstrukturierung Umstrukturierung Unternehmen keine erneute Subv. Staat erneute Subv. keine erneute Subv. Staat erneute Subv Spielverlauf im teilspielperfekten Gleichgewicht: Subvention - keine Umstrukturierung - erneute Subvention Mikroökonomik II: 7 Sequenzielle Spiele 0

103 Übertragung der Extensivform in die Normalform Im Beispiel von S. 0 trifft der Staat drei Entscheidungen:. Subvention am Anfang des Spiels? nein: K, ja: S. Erneute Subvention, falls eine Umstrukturierung stattgefunden hat? nein: k, ja: s 3. Erneute Subvention, falls keine Umstrukturierung stattgefunden hat? nein: κ, ja: σ Jede Kombination dieser drei Entscheidungen ist eine mögliche Strategie. Beispiel: Die Strategie (K s σ) bedeutet, dass der Staat am Anfang keine Subvention zahlt: K. Wenn es dennoch dazu kommt, dass er nach einer Umstrukturierung nochmals um eine Subvention gebeten wird, dann zahlt er sie: s, ebenso wie im Falle der unterlassenen Umstrukturierung: σ. Mikroökonomik II: 7 Sequenzielle Spiele 03

104 Normalform zum Subventionsspiel von S. 0 Keine Umstrukturierung Umstrukturierung Unternehmen K k κ -3,0-3,0 K k σ -3,0-3,0 K s κ -3,0-3,0 Staat K s σ S k κ S k σ S s κ S s σ -3,0-3,0 3, -4, 3, -,4,3-4,,3 -,4 Mikroökonomik II: 7 Sequenzielle Spiele 04

105 Selbstbindung Im Subventionsspiel würde sich der Staat gerne im vorhinein unwiderruflich darauf festlegen, keine erneute Subvention zu zahlen. In vielen sequenziellen Entscheidungssituationen ist es von Vorteil, wenn man seine späteren Handlungsmöglichkeiten einschränken kann. Dies nennt man Selbstbindung (commitment ). Beispiel: Entführung Der Entführer kann das Opfer freilassen oder töten. Wenn es freigelassen wird, entscheidet es darüber, ob es den Entführer identifiziert. Entführer freilassen töten Opfer identifizieren nicht identifizieren Mikroökonomik II: 7 Sequenzielle Spiele 05