Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik

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1 UNIVERSITÄT ROSTOCK Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Stochastik Prof. Dr. Friedrich Liese Sommersemester 2007

2 2 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik INHALT Ihalt... 2 Vorlesugsverzeichis Exkurs über Kombiatorik Ereigisse, Häufigkeite ud Wahrscheilichkeite Versuche Eigeschafte der relative Häufigkeit Aufgabe: Schaffe eies mathematische Modells Bedigte Wahrscheilichkeite, uabhägige Ereigisse Beroulli-Schema Poissoscher Grezwertsatz Zufallsvariable, zufällige Vektore ud dere Verteiluge Numerische Charakteristika vo Zufallsvariable Itervallwahrscheilichkeit Quatil: 0 < γ < Media Erwartugswert Variaz Stadardabweichug Spezielle diskrete ud stetige Verteiluge Verteilug Poissoverteilug Geometrische Verteilug Gleichverteilug Expoetialverteilug Normalverteilug Grezwertsätze der Wahrscheilichkeitstheorie Ugleichuge Mathematische Statistik Schätze vo Parameter Statistische Tests Idex... 56

3 Exkurs über Kombiatorik 3 VORLESUNGSVERZEICHNIS

4 4 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik EXKURS ÜBER KOMBINATORIK Die Kombiatorik zählt edliche Mege ab. Sie beschäftigt sich damit mit dem Bestimme des Umfags edlicher Mege. Aus eier gegebee Mege werde Elemete ausgewählt ud ageordet. Die eifachste kombiatorische Aufgabe ist die Aordug vo gegebee Elemete. Das sid die sogeate Permutatioe. Elemete ka ma sich gleich durchummeriert vorstelle, wir habe also die Zahle 1,,. Wie viele Möglichkeite gibt es, diese Zahle azuorde?! = Als erste Schritt gibt es das Auswähle mit bzw. ohe Wiederholug. Der zweite Schritt ist die Aordug etweder mit Berücksichtigug eier Reihefolge oder ohe. Diese Aorduge mit Berücksichtigug der Reihefolge et ma auch Variatio ud dabei hadelt es sich um ei -Tupel. Ei -Tupel ist immer eie Aordug vo Zahle eier Folge. Ohe Berücksichtigug der Reihefolge et ma es (leider icht sehr selbsterkläred) Kombiatioe ud das werde bei us größteteils Teilmege sei. Wir betrachte im Folgede immer das Ziehe aus der Mege Zahle 1,,. 1. Ziehe vo k Zahle mit Berücksichtigug der Reihefolge ud mit Wiederholug. ε 1, ε 2,, ε k, ε i {1,, } k-tupel ANZAHL: = k k-mal 2. Ziehe vo k Zahle ohe Wiederholug mit Beachtug der Reihefolge. ε 1,, ε k, ε i ε j, i j, ε i 1,, alle verschiede ANZAHL: 1 ( k + 1) 3. Ohe Wiederholug, ohe Reihefolge, d. h. vo de Zahle ist eie k-elemetige Teilmege auszuwähle. k = 0,,. Allgemei ist k die Azahl der k-elemetige Teilmege vo 1,,. GESAMTANZAHL: k + k + 1 = + 1 k! = k! k! +! k 1! k + 1!! k k = k! k + 1!! + 1 = k! k Ziehe vo k Zahle mit Wiederholug ud ohe Berücksichtigug der Reihefolge. Wir otiere dieses i Form vo Zelle, i dee die Häufigkeit der Züge der i-te Zahl mit Pukte gekezeichet wird: GESAMTANZAHL: K = + k 1! k 1!! = + k 1

5 Ereigisse, Häufigkeite ud Wahrscheilichkeite 5 2 EREIGNISSE, HÄUFIGKEITEN UND WAHRSCHEINLICHKEITEN I Natur ud Gesellschaft gibt es zwei Type vo Abläufe oder Erscheiuge. Die eie sid icht zufällig ud die adere sid zufällig. Jetzt wolle wir us eifach eimal über Beispiele herataste a diese Begriffswelt. 1. Nicht-zufällige Versuchsabläufe oder Versuche: Ort, Geschwidigkeit ud äußere Kräfte lege i eiem mechaische System de Zustad ach eier gewisse Zeit t eideutig fest. 2. Zufällige Versuchsabläufe oder Versuche: Bestimmte Mege eies bestimmte radioaktive Präparats sei gegebe, ach 10 s wird gemesse, wie viele Teilche zerfalle sid. Bei Wiederholug erhält ma im Allgemeie adere Werte. 2.1 VERSUCHE Nicht-zufällige Versuche: Bei gleiche Versuchsbediguge erhält ma bei Wiederholug immer das gleiche Ergebis. Zufällige Versuche: Bei gleiche Versuchsbediguge erhält ma bei Wiederholug im Allgemeie uterschiedliche Ergebisse. 2.2 EIGENSCHAFTEN DER RELATIVEN HÄUFIGKEIT Wir betrachte Versuche sowie ei gewisses Ereigis A. (A) bezeichet die sogeate relative Häufigkeit des Ereigisses A. Diese relative Häufigkeit hat folgede Eigeschafte: 1. 0 A 1 2. Seie A, B zwei Ereigisse, die icht gleichzeitig auftrete köe. A B = A oder B eigetrete A B = A + (B) 2.3 AUFGABE: SCHAFFEN EINES MATHEMATISCHEN MODELLS 1. Versuchsergebisse: Zahle, Vektore,, die im Versuchsprotokoll gespeichert sid. BEISPIEL: 1 Würfel: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Würfel: Ω = ε 1,, ε ; ε i 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ω heißt Mege der Elemetarereigisse, z. B. ω = (ε 1,, ε ) 2. Ereigisse A, B, Sid Teilmege vo Ω: A, B Ω BEISPIEL: 2 Würfel: Ω = { 1, 1,, 1, 6,, 6, 1,, 6, 6 } A = Summe der Auge 10 = 1, 1,, 1, 6,, 4, 1,, 4, 6,, 5, 1,, 5, 5,, 6,1,, 6, 4 Falls Versuchsergebis ω vorliegt, das i A liegt, so ist das Ereigis A eigetrete.

6 6 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Mit Ereigisse wird wie mit Mege gerechet: A B = Weigstes eies der Ereigisse A oder B ist eigetrete A B = Die Ereigisse A ud B sid gleichzeitig eigetrete A = Ω A = A ist icht eigetrete Ω = Sicheres Ereigis Ω = = umögliches Ereigis Hilfsmittel i der Veraschaulichug hierzu sid beispielsweise VENN-Diagramme: Ω A B A A B B A B B A Für das Eitrete vo A gibt es mehrere Möglichkeite: A zieht B ach sich, falls A B. BEGRÜNDUNG: A eigetrete ω A beobachtet ω B beobachtet B eigetrete. Für die Verküpfuge,, a gelte die übliche Rechegesetze; isbesodere die DE-MORGANsche Regel: BEISPIEL: 1 Würfel Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = gerade Zahl = 2, 4, 6 B = Augezahl 4 = 1, 2, 3, 4 A = 1, 3, 5 A B = A ud B gleichzeitig = 2, 4 A B = A B A B = A B A B = 1, 2, 3, 4, 6 = 5 = keie der Zahle 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist gefalle Ω = weigstes eie der Zahle 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist gefalle Falls Ω uedlich ist, existiere u. U. komplizierte Teilmege. Deshalb wird ur ei Teilsystem F vo Teilmege vo Ω betrachtet, das abgeschlosse gegeüber A 1,, a ist, d. h. 1. A F A F 2. A 1,, A ; A i F; A i F; A i F 3. F, Ω F A 2 A 4 A 5 A 3 A 6 Ω 1. DEFINITION: Ei System F vo Teilmege vo Ω heißt Megealgebra, falls obige 1., 2., 3. erfüllt sid. Gilt statt 2. sogar A i F, A i F A 7 A 8 F = A 1, A 2,, A 9, A F. Dieses F ist och keie Megealgebra. Für jede uedliche Folge A 1, A 2, vo Mege aus F, so heißt F σ-algebra. 3. Bewertug der Ereigisse P A, A F sei eie Abbildug, die jedem A F eie Zahl zuordet mit folgede Eigeschafte: 1. 0 P A 1 A 9

7 Ereigisse, Häufigkeite ud Wahrscheilichkeite 7 2. P A B = P A + P B ; A, B F, A B = 2*. P Ω = 1, P = 0 3. A 1, A 2, F paarweise disjukt: i j: A i A j = : P A i = P A i Die Eigeschaft 2. heißt Additivität vo P. 2*. heißt σ-additivität 1., 2*., 3. heiße die Axiome der Wahrscheilichkeitstheorie (KOLMOGOROWsche Axiome) 2. DEFINITION: Uter eiem Wahrscheilichkeitsraum versteht ma ei Tripel Ω, F, P, wobei Ω = Mege der Elemetarereigisse, F eie σ-algebra vo Teilmege vo Ω, P ei Wahrscheilichkeitsmaß. 1., 4., 3. Axiome der Wahrscheilichkeitstheorie. Eigeschafte vo P: Mootoie: A B P A P B BEGRÜNDUNG: A B Ω B = A B A disjukt P B = P A + P B A P A 0 3. FOLGERUNG: A B P A P(B) (aus der Mootoie) 4. FOLGERUNG: P A = 1 P A A A = Ω P A + P A = P Ω = 1 Allgemeie Additiosregel: 5. FOLGERUNG: P A B = P A + P B P(A B) A A B B A B = A B A B B A A = A B A B B = B A A B

8 8 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Bisher war P gegebe, u kostruiere wir P. 6. DEFINITION: Ei Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) heißt diskreter Wahrscheilichkeitsraum, falls Ω höchstes abzählbar ist ud F das System aller Teilmege vo Ω ist. Ω lässt sich ummeriere: Ω = ω 1, ω 2,, z. B. Ω = {0, 1, 2, } q ω = Def P ω, w Ω ist eie Abbildug q: Ω [0, 1] ud heißt Wahrscheilichkeitsfuktio. Eigeschafte der Wahrscheilichkeitsfuktio: 0 q ω 1 =1 q ω = ω Ω q ω = 1 Zusammehag vo q ud P A : oder kurz: A = ω i1, ω i2, A = P A = P A = l=1 ω A P ω il q(ω) ω il l=1 disjukt Kostruktio: Gegebe sei eie Wahrscheilichkeitsfuktio q: Ω 0, q ω 1, ω Ω q ω = 1 ANSATZ: P A = ω A q ω Def P A B = ω A B q ω = ω A q ω + ω B q ω (Additivität) P erfüllt alle Aforderuge a ei Wahrscheilichkeitsmaß (siehe Axiome). 8. DEFINITION: Ei Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) heißt klassischer Wahrscheilichkeitsraum oder laplacescher Wahrscheilichkeitsraum, falls die Azahl der Elemete Ω edlich ist ud die Wahrscheilichkeitsfuktio q ω = P ω kostat ist. 8A. FOLGERUNG: I eiem klassische Wahrscheilichkeitsraum gilt q ω = 1 Ω ud BEWEIS: P A = A Ω = Azahl der für A güstige Fälle Azahl aller Fälle ω Ω c = q ω c = 1 c Ω = 1 c = 1 Ω P A = = ω A ω A q ω 1 Ω = A Ω 9. BEISPIEL: -maliger Müzwurf 0 = Zahl, 1 = Wappe, gleiche Chace Ω = ε 1,, ε, ε i 0, 1 Fall = ω.

9 Ereigisse, Häufigkeite ud Wahrscheilichkeite 9 Alle Folge habe die gleiche Chace klassisches Modell. Ω = 2, A k = k Wappe gefalle 0 k : Klassisches Modell: k P A k = A k Ω = k 2 = Azahl der Plätze, wo 1 steht 10. BEISPIEL: -maliges Würfel, regulärer Würfel Ω = ε 1,, ε, ε i 1,, 6 Wege Symmetrie habe alle Folge die gleiche Chace klassisches Modell. Ω = = 6 A = Summe der Auge 10 = 4, 6, 6, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 5, 6, 6 P A = A Ω = 6 36 = Uremodell: N Kugel: M rot, N M schwarz. ziehe ohe Zurücklege, ohe Reihefolge A,k = k der gezogee Kugel sid rot Wir kostruiere u ei Ω mit gleichwahrscheiliche ω. Nummerierugstrick: 1,, M rot, M + 1,, N schwarz Wichtig: Die ausgewählte Teilmege vo Nummer habe die gleiche Chace. Ω = ε 1,, ε, ε i 1,, N, Ω = N A,k = ε 1,, ε, k der ε i aus 1,, M, restliche M + 1,, N 12. M k P A,k = N M k N 0 k mi, M BEISPIEL: Lotto, 6 aus 49, N = 49 M = 6 richtige Zahle, = 6, k = P A 49,6 = 49 = 7, Uremodell mit Zurücklege: Nummerierugstrick, Reihefolge. Ω = ε 1,, ε, 1 ε i N Klassisches Modell, Ω = N, A,k =? Wähle k Plätze aus. Setze auf diese mit Ordug ud Wiederholug die Zahle 1,, M M k Variate. Auf k Plätze Zahle M + 1,, N setze. A,k = k Mk N M k P A,k = k Mk N M k N = k M N k 1 M N 14. Mehrfarbe-Uremodelle N Kugel, r Farbe M 1 1. Farbe,, M r r-te Farbe, M M r = N Kugel ziehe k k r = A,k1,,k r = k 1 der gezogee Kugel 1.Farbe,, k r der gezogee Kugel r-te Farbe k

10 10 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Ohe Zurücklege: Mit Zurücklege: P A,k1,,k r = P A,k1,,k r = M 1 k 1 M 2 k 2 M! k 1! k r! M 1 N k 1 M r N k r

11 Bedigte Wahrscheilichkeite, uabhägige Ereigisse BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN, UNABHÄNGIGE EREIGNISSE Ω A B Bekat: B ist eigetrete. 1. DEFINITION: Gegebe ist der Wahrscheilichkeitsraum Ω, F, P, A, B F Ereigisse; P B > 0. Da heißt P A B = Def P(A B) P(B) Die bedigte Wahrscheilichkeit vo A uter der Bedigug B. BEMERKUNG: I Abhägigkeit vo A ist P A B wieder ei Wahrscheilichkeitsmaß. Ereigisse A werde aders bewertet. Isbesodere gilt 2. ALLGEMEINE MULTIPLIKATIONSFORMEL: P B B = 1. P A B = P A B P B BEISPIEL: 1 Würfel, B = gerade Zahl, B = 2, 4, 6, A = 6 gefalle = 6 P A = 1 6, P B = 3 6 = 1 2 A B = 6, P A B = P A B P B = = DEFINITION: Zwei Ereigisse A, B heiße uabhägig, falls P A B = P A P B gilt. Sid A 1, A 2,, A Ereigisse, so heiße sie (vollstädig) uabhägig, falls die Produktformel für jede Auswahl gilt, d. h. k Auswahle A i1,, A ik ; P A i1 A ik = P A i1 P A ik. BEISPIEL: A 1, A 5 uabhägig P A 1 A 2 = P A 1 P A 2 P A 3 A 5 = P A 3 P A 5 P A 2 A 4 A 5 = P A 2 P A 4 P A 5. BEMERKUNG: P B > 0, P A = PA B A, B uabhägig 3A. FOLGERUNG: Sid A ud B uabhägig, so sid auch A ud B sowie A ud B sowie A ud B uabhägig.

12 12 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik BEWEIS: B = B A B A disjukt P B = P B A uabhägig + P B A = P A P B + P B A P B A = P B P A = P B 1 P A A B 4. BEISPIEL: 2 Würfel A = Summe der Auge 4 B = Im zweite Wurf gerade Zahl A = 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 1 B = 1, 2, 1, 4, 1, 6,, 6, 2, 6, 4, 6, 6 A B = 1, 2, 2, 2 P A = A Ω = 6 36 = 1 6 P B = = 1 2 P A B = P A B P B = P A B = 2 36 = = 1 9 Aber: P A = 1 6 Daraus folgt: A ud B sid icht uabhägig, womit sie abhägig sid. Jetzt: A = Augezahl im erste Versuch 4 A = 1, 1,, 1, 6,, 4, 1,, 4, 6 P A B = 1 3 P B = 1 2 P A = = 2 3 P A B = P A P B A, B uabhägig Werde mehrere Versuche durchgeführt ud gehe i die Ereigisse A ud B gleichzeitig die Ergebisse des gleiche Versuchs ei, so sid A ud B abhägig. Werde A ud B durch uterschiedliche Versuche defiiert, so sid A ud B uabhägig.

13 Bedigte Wahrscheilichkeite, uabhägige Ereigisse ZUVERLÄSSIGKEIT VON REIHEN-PARALLELSCHALTUNGEN Reiheschaltug A B System arbeitet A ud B arbeite beide gleichzeitig: A B A, B uabhägig Wahrscheilichkeit dafür, dass das System arbeitet: P A B = P A P B P A = 0,9, P B = 0,9 P A B = 0,81 Parallelschaltug A B System arbeitet, we weigstes ei Bauteil arbeitet: A B, P A B = P A + P B P(A B) P A = P B = 0,9 A B P A B = 0,9 + 0,9 0,81 = 0,99 Zerlegug vo Ω: B 1 A Ω B 5 B 3 B 2 B 4 Zerlegug B 1, B 2,, B B i B j =, i j, B i = Ω Es gilt: A = A B i disjukt

14 14 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik allgemeie Produktformel P A = P A B i, P A B = P A B P(B) 6. FORMEL FÜR DIE TOTALE WAHRSCHEINLICHKEIT P A = 7. Stazerei liefert a Prüfstelle 3 Behälter mit Teile. P A B i P B i 1. Behälter Stück 5 % Ausschuss 2. Behälter Stück 1 % Ausschuss Die Teile werde gemischt, der Prüfer etimmt ei zufälliges Teil. Wie hoch ist die Wahrscheilichkeit für Ausschuss A mit B 1 = aus 1. Behälter bzw. B 2 = aus 2. Behälter? P A B 1 = 0,05 P A B 2 = 0, P B 1 = = 2 3 P B 2 = 1 3 P A = P A B 1 P B 1 + P A B 2 P B 2 = 0, , = 0,037

15 Bedigte Wahrscheilichkeite, uabhägige Ereigisse Umkehrug der Formel für totale Wahrscheilichkeit: B 1,, B disjukt werde iterpretiert als uterschiedliche Ursache für eie eigetretee Effekt (Ereigis A). Ziel: für eigetretee Effekt A die wahrscheilichste Ursache zu ermittel! 8. BAYESSCHE FORMEL P B i A = P B i A P A = P A B i P B i P A tot. Wk. P A B i P B i = P A B 1 P B P A B P B = j =1 A B i P B i P A B j P B j = P B i A BEISPIEL: 3 gleichartige Maschie, Ateil a Gesamtproduktio: % % % Ausschusswahrscheilichkeite: 1. 5 % 2. 4 % 3. 2 % Gesucht: Zufälliges Teil Ausschuss aus Produktio: Mit welcher Wahrscheilichkeit stammt dies vo Maschie 1? A = Stück ist Ausschuss B Stück stammt aus Maschie i, i = 1,, 3 1 P B i A = P A B 1 P B 1 3 P A B i P B i 0,05 0,3 = 0,05 0,2 + 0,04 0,3 + 0,02 0,5 = 0,31 BEISPIEL 8A. Teste eier bestimmte Krakheit. Die Krakheit tritt bei 0,5 % der Bevölkerug auf. Der Test zeigt bei Krake i 99 % der Fälle eie Reaktio, aber auch bei 2 % der Gesude. Nu habe wir eie positive Test. Gibt es Grud zur Paik bzw. mit welcher Wahrscheilichkeit liegt die Krakheit vor? K = krak K = gesud A = Test zeigt Reaktio P A K P K P K A = P A K P K + P A K P K 0,99 0,005 = 0,99 0, ,002 0,995 = 0,2

16 b, p (k) 16 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik 3.1 BERNOULLI-SCHEMA uabhägige Versuche, wobei es i jedem Versuch ur Erfolg oder Misserfolg gibt, diese jeweils mit kostater Wahrscheilichkeit p (0 < p < 1) bzw. 1 p. Der Wahrscheilichkeitsraum Ω besteht da aus alle Folge vo Werte, vo dee jeder Wert lediglich 0 oder 1 werde ka: Wahrscheilichkeit: Ω = ε 1,, ε ε i 0, 1 F = System aller Teilmege q ε 1,, ε = p falls ε 1 = 1 1 p falls ε 1 = 0 = p ε 1 1 p 1 ε 1 p ε 1 p 1 ε = p ε i 1 ε 1 p i = p ε i 1 p ε i Sei A,k = Ereigis bei Versuche geau k Erfolge zu erziele, so errechet sich die Wahrscheilichkeit für dieses Ereigis folgedermaße: P A,k = q(ε 1,, ε ) = A,k p k 1 p k ε 1,,ε A,k wobei A,k = Azahl der Plätze vo mögliche mit 1 = k. 9. DEFINITION: Die Zahlefolge b,p k = k pk 1 p k, k = 0,, heißt Biomialverteilug ud die b,p k heiße Eizelwahrscheilichkeite der Biomialverteilug. 10. SATZ: Die Wahrscheilichkeit für k-fache Erfolg wird im Beroulli-Schema gegebe durch die Eizelwahrscheilichkeite der Biomialverteilug. Daraus folgt: k=0 b,p k = k

17 Bedigte Wahrscheilichkeite, uabhägige Ereigisse 17 Pfadregel: ε = 1 k ε 1 = 1 ε 1 ε 2 ε 3... ε 3.2 POISSONSCHER GRENZWERTSATZ Falls das sehr groß ud p sehr klei ist, da sid b,p k, k = 0,, schlecht berechebar. Wir betrachte u de Fall p = λ, wobei λ fest gewählt sei. Da ist b,p k = k p k 1 p k =! k! k! λ k 1 λ k λ k k! e λ. b,p k =! k! k! λ k 1 λ k = λk 1 k + 1 k! k 1 λ 1 λ = λk k! 1 k λ 1 λ = λk k! k 1 1 λ λ e λ k k k 11. SATZ (POISSONSCHER GRENZWERTSATZ): Falls eie Folge vo Beroulli-Schemata mit p = λ strebe die Eizelwahrscheilichkeite b,p k gege λk k! e λ. Die Folge λk k! e λ, k = 0, 1, heißt Poisso- Verteilug ud die Elemete Eizelwahrscheilichkeite der Poissoverteilug. Wa wird die Poissoverteilug agewedet? Große Azahl vo Versuche mit kleie Erfolgswahrscheilichkeite Beispiel: Radioaktiver Zerfall, Ufallgeschehe.

18 18 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik ZUFALLSVARIABLE, ZUFÄLLIGE VEKTOREN UND DEREN VERTEILUNGEN 1. DEFINITION: Gegebe sei ei Wahrscheilichkeitsraum Ω, F, P. Eie Fuktio X: Ω R heißt Zufallsvariable, falls für alle t R gilt ω: X ω < t F. BEMERKUNG: Die letzte Bedigug ist otwedig, weil P A ur für A F defiiert ist. 1A. DEFINITION: Ei Vektor, desse Kompoete Zufallsvariable sid, heißt zufälliger Vektor: X 1 ω,, X ω. Für = 2 ergibt sich ei zufälliger Pukt i der Ebee, für = 3 ei zufälliger Pukt im Raum. BEISPIEL: Beroulli-Schema, Ω = ε 1,, ε : ε i 0, 1 X ε 1,, ε = ε i = Gesamtazahl der Erfolge Y ε 1,, ε = ε 1 + ε 3 + ε 5 = Gesamtazahl im 1., 3., 5. Versuch 2. DEFINITION: X sei Zufallsvariable, t R. da heißt F X t = Def P X < t P ω: X ω < t die Verteilugsfuktio vo X. Verteilugsfuktio des zufällige Vektors: F X1,,X t 1,, t = P X 1 < t 1,, X N < t = 2 t 2 F X1,X 2 t 1, t 2 = Wahrscheilichkeitspukt x 1, x 2 liegt i G G t 1 3. MONOTONIE: t 1 < t 2 ; A = X < t 1 B = X < t 2 4. LIMESVERHALTEN FÜR t, t P A P B F X t 1 F X t 2 lim F X(t) = lim P X < t = 1 t t

19 Zufallsvariable, zufällige Vektore ud dere Verteiluge 19 lim F X t = 0 t F X (t) t 5. INTERVALLWAHRSCHEINLICHKEIT t 1 < t 2 ; A = ω: X ω < t 1 B = ω: X ω < t 2, A t 1 X < t 2 disjukt = B 6. DEFINITION: Eie Zufallsvariable X heißt diskret, falls sie höchstes abzählbar viele verschiedee Werte x 1, x 2, aehme ka. p i = q x i = P X = x i heißt Wahrscheilichkeitsfuktio. x 1 x 2 p 1 p 2 heißt Wahrscheilichkeitstabelle. Verteilugsfuktio eier diskrete Zufallsvariable: ω: X ω < t = i:x i <t ω: X ω = x i P X < t = P X = x i = p i i:x i <t i:x i <t 1 p 3 ] x 1 p 1 p 2 x 2 x 3 x

20 f X (s) F X (t) 20 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik 7. DEFINITION: Eie Zufallsvariable X heißt stetige Zufallsvariable, falls eie Fuktio, Dichtefuktio geat, mit folgede Eigeschafte existiert: Dichtefuktio: f X t 0 f X t dt = 1 F X t = f X s ds t 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 t F X x = Fläche uter f X s bis s t 0 t Itervallwahrscheilichkeit: P a X < b = F X b F x a b = f X s ds f X s ds b = f X s ds a b 8. P a X < b = f X s ds falls X stetig ist ud die Dichte f a X s hat. Wie erhält ma u aus der Verteilugsfuktio die Dichte? 9. F X t = f x t 1 F X t + F X t = 1 t+ t a f X s ds f X t DEFINITION: Ei zufälliger Vektor X, Y heißt stetig, falls F X,Y s, t existiert mit f X,Y s, t 0 f x,y s, t ds dt = 1 t s F X,Y s, t = f X,Y u, v du dv

21 Zufallsvariable, zufällige Vektore ud dere Verteiluge 21 X, Y heißt diskret, falls höchstes abzählbar viele Pukte x i, y i existiere, so dass X, Y ur die Werte p i,j = P X = x i, Y yi Werte aimmt. 11. F X,Y s, t = P X, Y B. Allgemeier: t B s P a X < b, c Y < d = c d a b f X,Y u, v du dv d Wahrscheilichkeit, dass (X, Y) i diesem Bereich liegt, ist obiges Doppelitegral c a b 12. RANDDICHTEN P a X < b, Y beliebig = P a x < b, < Y < + c d + b = f X,Y u, v du dv a b + = f X,Y u, v dv du a Fuktio vo u Also ist f X u = f X,Y u, v dv Eie Dichtefuktio vo X. f X,Y u, v dv

22 22 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik heißt Raddichte. Etspreched heißt auch Raddichte = Dichte f Y v vo Y. 13. RANDVERTEILUNGEN DISKRETER VEKTOREN f X,Y u, v du p i,j = P X = x i, Y = y j p i = p i,j = P X = x i q j = j p i,j = P Y = y j Radwahrscheilichkeit i

23 Zufallsvariable, zufällige Vektore ud dere Verteiluge DEFINITION (UNABHÄNGIGKEIT VON ZUFALLSVARIABLEN): Seie X 1, X 2,, X Zufallsvariable. Diese heiße uabhägig, falls für a i < b i die Ereigisse a 1 X 1 < b 1,, a < X < b uabhägig sid für alle a i < b i. 15. FOLGERUNG: Ist (X, Y) ei stetiger zufälliger Vektor, so sid X ud Y uabhägig f X,Y s, t gemeisame Dichte = f X s Dichte vo X f Y t Dichte vo Y Ist X, Y ei diskreter zufälliger Vektor, so sid X ud Y uabhägig BEWEIS (TEILWEISE): P X = x i, Y = y i = P X = x i P Y = y i. Falls f X,Y s, t = F X s f Y t gilt, so sid X ud Y uabhägig. P a X < b, c Y < d = d c d b a b f X,Y s, t ds = f X s f Y t ds c d a = f Y t f X s ds c b a b. dt dt = f X s ds f Y t dt a c d dt = P a X < b P c Y < d. Summe uabhägiger Zufallsvariable: Seie X ud Y uabhägig ud X, Y N 0. p i = P X = i, q j = P(Y = j) P X + Y = k = P i,j i+j =k X = i, Y = j = P X = i, Y = j i,j i+j =k = p i q j i+j =k k = p i q k i 15A. FALTUNGSFORMEL: Sei r k = P X + Y = k sowie X, Y uabhägig. Daraus folgt i=0 k r k = p i q k i i=0

24 24 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Aalog für stetige Zufallsvariable: 16. FALTUNGSFORMEL FÜR DICHTEN: X, Y seie stetige Zufallsvariable mit de Dichte f X bzw. f Y ud X ud Y seie uabhägig. Wir betrachte Versuche uabhägig: f X+Y t = f Y t s f X s ds X i = 1 im i-te Versuch Erfolg 0 sost Y = X X = Azahl der Erfolge bei Versuche P X i = 1 = p, 1 i 17. SATZ UND DEFINITION: Y besitzt eie Biomialverteilug, d. h. Y immt die Werte 0, 1,, mit de Wahrscheilichkeite P Y = k = b,p k = k pk 1 p k a. BEWEIS: = 1 Y 1 = X 1, P Y 1 = 0 = 1 p, P Y 1 = 1 = p = 2 P Y 2 = 0 = P X 1 = 0, X 2 = 0 = 1 p 1 p = 1 p 2 P Y 2 = 2 = P X 1 = 1, X 2 = 1 = p p = p 2 P Y 2 = 1 = P X 1 = 0, X 2 = 1 + P X 1 = 1, X 2 = 0 = 1 p p + p 1 p = 2p(1 p) P Y = 0 P Y = 1 P Y = 1 1 p p 2 1 p 2 2p 1 p p 2 beliebig P Y = k = k pk 1 p k Iduktiosbeweis: Y +1 = Y + X +1 uabhägig MINIMUM UND MAXIMUM VON ZUFALLSVARIABLEN: Seie X, Y uabhägige Zufallsvariable 18. U ω = mi X ω, Y ω V ω = max X ω, Y ω P V < t = P X < t, Y < t = P X < t P Y < t F V t = F X t F Y t P U t = P X t, Y t 1 F U t = P X t P Y t = 1 F X t 1 F Y t F max X,Y t = F X t F Y t F mi X,Y t = 1 1 F X t 1 F Y t

25 Zufallsvariable, zufällige Vektore ud dere Verteiluge 25 Awedug auf Reihe- ud Parallelschaltug: a) mi X, Y = Lebesdauer des Systems b) max X, Y = Lebesdauer des Systems 19. DEFINITION: X hat eie Expoetialverteilug mit Parameter λ = 0, falls X eie stetige Zufallsvariable mit der Dichte ist. Verteilugsfuktio: f X (t) = λe λt t 0 0 t < 0 F X t = 1 e λt t > 0 0 t 0 f X (t) F X (t) t t Betrachte: X 1 X 2 X i hat Expoetialverteilug mit Parameter λ i > 0. U = mi X 1, X 2 = Lebesdauer des Systems F U = 1 1 F x t 1 F Y t = e λ 1t 1 1 e λ 2t = 1 e λ 1t e λ 2t = 1 e λ 1+λ 2 t U hat wieder Expoetialverteilug mit euem Parameter λ 1 + λ 2.

26 26 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Verteilug vo Fuktioe vo Zufallsvariable: φ: R R = reelle Achse, streg mooto ud stetig sowie differezierbar. Y = φ X F Y t = P Y < t = P φ X < t = P X < φ 1 t, φ 1 = Umkehrfuktio = F X φ 1 t 20. SATZ: X habe Verteilugsfuktio F X, Dichte f X, φ sei streg mooto ud stetig sowie differezierbar. Da gilt: F Y y = F X φ 1 y falls φ wachsed 1 F X φ 1 y falls φ falled f Y y = F Y y

27 Zufallsvariable, zufällige Vektore ud dere Verteiluge X sei Zufallsvariable, Y = φ X, φ streg mooto wachsed. 21. BEISPIEL: Da gilt: F Y t = F X φ 1 t f Y = F Y t Y = ax + b, a 0 φ 1 t b t = a t b F X F Y t = a t b 1 F X a f Y t = 1 a f t b X a für a > 0 für a < BEISPIEL: X habe Expoetialverteilug mit Parameter λ, Y = ax, f X t = λe λt für t > 0 0 sost Daraus folgt: f X t = 1 a f X t a = 1 a λe λt a = λe λt, λ λ a Folglich hat Y wieder eie Expoetialverteilug.

28 28 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik 5 NUMERISCHE CHARAKTERISTIKA VON ZUFALLSVARIABLEN 5.1 INTERVALLWAHRSCHEINLICHKEIT 1. b P a Y < b = a f X t dt p(x = x i ) a x i <b X sei stetig: P x = a P a X < a + 1 a+ 1 = f X s ds a 0 Also gilt: a: P X = a = 0. Daraus folgt: P a X < b = P a X b = P a < X b = P(a < X < b) Wichtig: X hat Dichte. 5.2 QUANTIL: 0 < γ < 1 2. X sei stetige Zufallsvariable. 1 F x t γ 0 x γ

29 Numerische Charakteristika vo Zufallsvariable 29 γ x γ γ-quatil heißt jede Zahl x γ mit F X x γ = γ. Falls F x Dichte besitzt, existiert weigstes ei x γ, falls F X dort streg mooto wachsed gemeisame Lösug. BEISPIEL: X habe Expoetialverteilug. F X t = 1 e λt = γ λt = l 1 γ e λt = 1 γ x γ = 1 l 1 γ > 0 λ 5.3 MEDIAN 3. Media ist 1 2 -Quatil. Media m = x1 2, F X x1 2 = m 5.4 ERWARTUNGSWERT 4. DEFINITION: X sei diskrete Zufallsvariable mit Werte x 1, x 2, ud de Eizelwahrscheilichkeite p i = P X = x i.

30 30 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Falls x i p i <, so heißt E X = x i p i Def der Erwartugswert 1 vo X. Ist X eie stetige Zufallsvariable mit Dichte f X ud gilt t f X t dt der Erwartugswert vo X. Iterpretatio als Masseschwerpukt: E X = Def t f X t dt <, so heißt a x 1 x 2 p 1 p Masseschwerpukt 2 p x Gewichte a = i x i p i = E X 5. BEISPIEL: X = Azahl der Auge vo Würfel E X = = 7 2 = 3,5 6. BEISPIEL: X habe Gleichverteilug i a, b φ X t = 1 für a t b b a 0 sost E X = b tf X t dt 1 = t b a dt a = 1 b a 1 2 b2 a 2 = 1 2 b + a E X = 1 2 a + b Media m = 1 (a + b) Media vo X Übereistimmug. 2 1 Wird auch mit EX bezeichet.

31 Numerische Charakteristika vo Zufallsvariable DEFINITION: X sei Zufallsvariable, g: R R, y = g X E g x = i g x i p i g t f X t dt falls X diskret falls x stetig / x hat Dichte 8. DEFINITION: (Erwartugswert vo Fuktioe zweier Zufallsvariable) X, Y Zufallsvariable, g: R² R Z = g x, y ist wieder Zufallsvariable E g X, Y = g x i, y j p i,j, p i,j = P X = x i, Y = y j i,j g s, t f X,Y s, t ds dt 9. RECHENREGELN FÜR DEN ERWARTUNGSWERT a) E ax + b = a E X + b, a, b R b) E X + Y = E X + E Y c) E XY = E X E Y, falls X ud Y uabhägig sid. BEGRÜNDUNG: Zu a) X sei stetig. Y = ax + b = Fuktio vo X Daraus folgt: Zu c) EY = Eg X = g t f X t dt = at + b f X t dt = a tf X t dt + b f X t dt E XY = EX g s, t st =1 f X,Y s, t ds f X s f Y t = stf X s f Y t ds = tf Y t sf X s ds = EX tf Y t dt = EX EY EX dt dt dt

32 32 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik 5.5 VARIANZ 11. BERECHNUNG DER VARIANZ MIT DICHTE BZW. EINZELWAHRSCHEINLICHKEITEN Sei μ = E X V X = E X μ 2 = 12. BEISPIEL: X habe Gleichverteilug i a, b i x i μ 2 p i t μ 2 f X t dt μ = E X = 1 2 V X = = 1 12 a + b t μ 2 f X t dt b a 2 Variaz klei Variaz groß a g a k 1 2 a + b b k b g

33 Numerische Charakteristika vo Zufallsvariable RECHENREGELN FÜR DIE VARIANZ a) V X = E X 2 E X 2 b) V ax + b = a 2 V(X) c) X 1, X 2 uabhägig; V X 1 + X 2 = V X 1 + V X 2 d) X 1, X 2,, X uabhägig mit gleicher Dichte bzw. Eizelwahrscheilichkeit; Behauptug: V 1 BEGRÜNDUNG: μ = E X X i = 1 V X i = = 1 V X a) b) c) EX i μ i, a) awede V X = E X μ 2 = E X 2 2μX + μ 2 = E X 2 2μ E X = E X 2 μ 2 μ + E μ 2 V ax + b = E ax + b E ax + b 2 = E ax + b ae X B 2 = a 2 E X E X 2 = a 2 V X. d) μ 1 +μ 2 2 V X 1 + X 2 = E X 1 + X 2 2 E X 1 + X 2 = E X X 1 X 2 + X 2 μ 1 + μ = E X E X 1 X 2 + E X 2 μ 2 1 μ 2 2 2μ 1 μ 2 EX 1 X 2 = E X 1 E X 2 = μ 1 μ 2 uabh. = V X 2 + V X 2 V 1 X i = 1 2 V X i = 1 2 V X 1 = 1 V X STANDARDABWEICHUNG 14. STANDARDABWEICHUNG EINER ZUFALLSVARIABLE X σ = V X Stadardabweichug X μ Y = E Y = 0 σ V Y = 1 V X μ = 1 σ2

34 34 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik 15. DEFINITION: X 1, X 2 Zufallsvariable. Da heißt cov X 1, X 2 = Def. E X 1 μ 1 X 2 μ 2 die Kovariaz ud heißt Korrelatioskoeffiziet. ρ X1,X 2 = cov X 1, X 2 σ 1 σ 2 μ i = EX i, σ i 2 = V X i 16. EIGENSCHAFTEN DER KOVARIANZ UND KORRELATION a) V X 1 + X 2 = V X 1 + V X cov X 1, X 2 b) X 1, X 2 uabhägig cov(x 1, X 2 ) = 0, ρ X1,X 2 = 0 c) 1 ρ X1,X 2 1 Begrüdug: a) E X 1 + X 2 μ 1 + μ 2 2 = E X 1 μ 1 + X 2 μ 2 2 = E X 1 μ X 1 μ 1 X 2 μ 2 + X 2 μ 2 2 = V X cov(x 1, X 2 ) + V X BEMERKUNG: X 1, X 2 uabhägig ρ X1,X 2 = 0; aber ρ X1,X 2 = 0 X 2, X 2 uabhägig

35 Spezielle diskrete ud stetige Verteiluge 35 6 SPEZIELLE DISKRETE UND STETIGE VERTEILUNGEN VERTEILUNG 1. X hat 0-1-Verteilug, falls P X = 1 = p, P X = 0 = 1 p p p, EX = 0 1 p + 1 p = p V X = E X 2 EX 2 = p p p 2 = p 1 p 2. X 1, X 2,, X seie uabhägig ud 0-1-verteilt. Y = X i = Azahl der Erfolge Biomialvert. EY = EX i = p = p V Y = V X i = V X i = p 1 p = p 1 p 3. Scho bekat: b, λ b, λ k λ k k = k! e λ (poissoscher Grezwertsatz)! k! k! = λk k! π λ k = λk k! e λ 1 λ e λ λ k 1 λ k k mal 1 k + 1 k 1 1 λ 1 k 6.2 POISSONVERTEILUNG 4. DEFINITION: X hat Poissoverteilug, falls X die Werte 0, 1, mit der Wahrscheilichkeit aimmt. 5. POISSONVERTEILUNG E X = λ, V X = λ π λ k = λk k! e k

36 36 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik EX = k=0 k λk k! e λ = λ 1! e λ + 2 λ2 2! e λ + 3 λ3 3! e λ + = λe λ + λ 2 e λ + λ3 2! e λ + = λe λ 1 + λ + λ2 2! + = λ Betrachte wir eie Folge vo Versuche k = 0, 1, 2, e λ k=0 1 im i-te Versuch Erfolg X i = 0 im i-te Versuch Mißerfolg Y = Zeitpukt des erste Erfolges Y = k = X 0 = 0 X 1 = 0 X k 1 = 0 X k = 1 P Y = k = 1 p k p, k = 0, 1, 1 p q p = p 1 q = p 1 1 p = p p = GEOMETRISCHE VERTEILUNG 6. DEFINITION: Y hat geometrische Verteilug mit dem Parameter 0 < p < 1, falls P Y = k = 1 p k p, k = 0, 1, 2, 7. P Y = k + 1 Y k = P(Y = 0) weil P Z = k + 1, Y k P Y k 6.4 GLEICHVERTEILUNG = P X 0 = 0, X 1 = 0,, X k 1 = 0, X k = 1 P X 0 = 0,, X k 1 = 0 = 1 p k p = p 1 p k P Y = 0 = P X 0 = 1 = p 8. X hat Gleichverteilug i a, b, falls X Dichte f X t = 1 a t b b a 0 sost besitzt. EX = 1 2 a + b, V X = 1 12 b a 2 F X t = 0 t a t a a < t < b b a 1 t b 6.5 EXPONENTIALVERTEILUNG 9. X hat Expoetialverteilug mit Parameter λ > 0, X hat Dichte

37 Spezielle diskrete ud stetige Verteiluge 37 f X t = λe λt t > 0 0 t 0 sowie die Wahrscheilichkeitsverteilug F X t = 0 t 0 1 e λt t > 0 Daraus ergibt sich der Erwartugswert EX = tλe λt 0 = 1 λ Ud die Variaz: V X = 1 λ 2 Media: F X t = Nichtalterug der Expoetialverteilug 1 e λt = = e λt m = 1 λ l 2 P t X t + Ausfall i t,t+ X t uter der Bedigug bis t gearbeitet = = P t X < t + X t P X t P t X < t + 1 F X t = 1 e λ t+ 1 e λt 1 1 e λt = e λt λ t+ e e λt = F X = P X < P t X t + X t = P X <

38 38 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik NORMALVERTEILUNG 11. DEFINITION: Eie Zufallsvariable X besitzt eie Normalverteilug mit de Parameter μ R ud σ² > 0, falls X folgede Dichte hat: Verteilugsfuktio: φ μ,σ 2 t = 1 1 2πσ e 2 t μ 2 σ 2 Φ μ,σ 2 t = φ μ,σ 2 s ds X heißt stadardormalverteilt, falls μ = 0, σ 2 = 1. Bezeichug: X Φ μ,σ 2 bzw. X Φ 0,1. Bild: t 1 2π σ φ μ,σ 2 φ μ,σ 2 μ μ μ < μ, σ 2 gleich

39 Spezielle diskrete ud stetige Verteiluge 39 φ μ,σ 2 φ μ,σ 2 σ 2 < σ 2, μ gleich 12. STATISTISCHE BEDEUTUNG DER PARAMETER: X Φ μ,σ 2 E X = μ, V X = σ² BEWEIS: E X = tφ μ,σ 2 t dt = μ V X = t μ 2 φ μ,σ 2 t dt = σ 2 Weiterhi ist μ auch der Media, bzw. das 1 -Quatil Falls X Φ μ,σ 2, Y = ax + b Y Φ aμ +b,a 2 σ 2 Isbesodere gilt für X Φ μ,σ 2, da Z = X μ Φ 0,1 stadardormalverteilt. σ Begrüdug: a = 1 σ, b = μ σ aμ + b = 1 σ μ μ σ = a²σ² = 1 σ 2 σ² = INTERVALLWAHRSCHEINLICHKEIT: X Φ μ,σ 2

40 40 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik 15. SYMMETRIEEIGENSCHAFT: P a X, b = P a μ X μ < b μ a μ X μ b μ = P < σ σ σ b μ a μ = Φ 0,1 Φ σ 0,1 σ φ 0,1 Φ 0,1 t 1 Φ 0,1 t t Φ 0,1 t = 1 Φ 0,1 t Etspreched Dichte: 1,25 1 Φ 0,1 0,75 0,5 0,25 0

41 Spezielle diskrete ud stetige Verteiluge σ-REGEL: X μ P X μ kσ = P k σ = P k Z k = Φ 0,1 k Φ 0,1 k = Φ 0,1 k 1 Φ 0,1 k = 2Φ 0,1 k 1 P μ σ X μ + σ = 0,68269 P μ 2σ X μ + 2σ = 0,95450 P μ 3σ X μ + 3σ = 0, SUMMEN UNABHÄNGIGER ZUFALLSVARIABLE: X 1, X 2 uabhägig, X i Φ μi,σ i 2 Da gilt: X 1 + X_2 Φ μ 1 +μ 2,σ 2 1 +σ2 2 Beweis beruht auf Allgemei: f X1 +X 2 t = f X2 t s f X1 s ds = φ μ 2,σ 2 2 t s φ μ 1,σ 2 1 = φ μ 1 +μ 2,σ 2 1 +σ2 2(t) Seie X 1, X 2,, X Zufallsvariable ud es sei bekat: X i Φ μ,σ 2, für i = 1,,. Da gilt: μ lässt sich durch X = 1 X i schätze. Gesucht: P X μ ε. Lösug: X_ Φ μ,σ 2 Begrüdug: V 1 X i = 1 2 V X i = 1 2 γ2 = 1 2 γ2 = 1 γ2 P X μ ε = P X μ σ lim P Z ε σ = 0 ε σ, Z X μ σ

42 42 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik 7 GRENZWERTSÄTZE DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 7.1 UNGLEICHUNGEN 1. TSCHEBYSCHEFF SCHE UNGLEICHUNG Sei Z Zufallsvariable mit E Z = μ, V Z = σ 2, da gilt: P Z μ ε < 1 ε 2 σ2 2. HÖFFDING SCHE UNGLEICHUNG Seie X 1, X 2,, X uabhägige Zufallsvariable ud i: P X i = 0 = 1 p, P X i = 1 = p, sowie X die relative Häufigkeit des Erfolgs. Da gilt: 3. SCHWACHES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN P X p ε 2e 2 ε2 Seie X 1, X 2,., X uabhägig ud idetisch verteilt (gleiche Dichte/Eizelwahrscheilichkeite), da gilt: Behauptug: X strebt stochastisch gege μ, d. h. μ = E X 1 = E X 2 = = E X ε 0, : lim P( X μ ε = 0 Dies ist keie Zahlekovergez, soder eie stochastische Kovergez, d. h. eie Beschreibug eies allgemei zu erwartede Treds, d. h. die Wahrscheilichkeit eier Verletzug strebt gege 0. Begrüdug: Z = X ach Tschebyscheff scher Ugleichug STARKES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN lim P X μ ε 1 ε 2 = lim V X = 1 ε 2 1 V X 1 = 0 P lim X = μ = 1 4. BERNOULLI SCHES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN Seie Versuche, Ereigis A i: X i = 1 A eigetrete 0 A icht eigetrete sowie H A ist die relative Häufigkeit vo A = X, da gilt: p = P A = P X i = 1 H A strebt stochastisch gege p i dem Sie, dass P H A p > ε 0 Begrüdug: folgt aus Höffdig scher Ugleichug

43 Grezwertsätze der Wahrscheilichkeitstheorie Gesetz der große Zahle: X μ = EX 1 stochastisch Jetzt aalysiere wir X μ 0 Betrachte wir X μ 0 oder 1 X i μ = 1 X i μ = 1 X i μ Betrachte wir die ormierte Summe Y = 1 σ E Y = 0 V Y = 1 σ 2 X i μ V X i μ = 1 σ 2 σ² = 1 5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Falls X 1, X 2,, X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable sid mit E X i = μ, V X i = σ², da gilt F Y t & = P 1 σ X i μ < t Φ 0,1 t = Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug = t 1 s 2 2π e 2 ds. Approximatio ist scho gut für > 30. Awedug: X 1, X 2,, X. Suche P a X 1 + X X < b = P a μ σ X 1 + X X μ σ b μ < σ Y = 1 σ X i μ

44 44 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Gesuchte Wahrscheilichkeit = F Y b μ σ F Y a μ σ Jetzt F Y t Φ 0,1 t. Ergebis: 6. P a X X < b Φ 0,1 b μ σ Φ 0,1 a μ σ Speziell: X 1, X 2,, X uabhägig. P X i = 0 = 1 p, P X i = 1 = p. X X = Gesamtazahl der Erfolge hat Biomialverteilug mit Parameter, p. 7. GRENZWERTSATZ VON MOIVRE-LAPLACE Z = X X, X i wie obe Z biomialverteilt. Behauptug: P Z p p 1 p < t Φ 0,1 t 8. APPROXIMATION DER BINOMIALVERTEILUNG DURCH DIE NORMALVERTEILUNG Z habe Biomialverteilug. Gesucht: P a Z < b = P a p p 1 p Z p p 1 p b p p 1 p. Ergebis: P a Z b Φ 0,1 b p p 1 p Φ 0,1 a p p 1 p.

45 Grezwertsätze der Wahrscheilichkeitstheorie 45 Stetigkeitskorrektur: P a Z b Φ 0,1 b p p 1 p Φ 0,1 a 1 2 p p 1 p Dichte φ μ,σ 2(t) mit μ = p, σ 2 = p 1 p b,p k = k pk 1 p k

46 8 MATHEMATISCHE STATISTIK Die Statistik bildet eie Brücke zwische Date ud der Wahrscheilichkeitstheorie. Die Statistik liefert Aussage über beötigte Parameter ud bei Etscheiduge, die auf zufallsbehaftete Werte beruhe. 1. DEFINITION: Grudgesamtheit = Zufallsvariable eischließlich Dichte bzw. Eizelwahrscheilichkeite. Modell: Versuch läuft ab, ω Ω wird vo Natur oder Gerät ausgewählt. Wir beobachte X ω = Zahl = Realisierug (kokreter Wert). Bei zweitem Versuch ω 1 Ω; Beobachtug X ω 1. X ω, ω Ω Gesamtheit aller kokrete Beobachtuge. 2. DEFINITION: Eie mathematische Stichprobe vom Umfag ist die Gesamtheit vo uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable X 1,, X. Die Realisierug x 1 = X 1 ω,, x = X ω heiße die kokrete Stichprobe. Modellbildug: Messug vo Umfag, x 1,, x. Übersichtliche Darstellug Klasse bilde:, a 0, a 0, a 1,, a k 1, a k, a k, Histogramm: Histogramm relative Häufigkeit a,b = 1 # i: a < x i < b a 1 a k a k+1 Gleiche Läge, icht mehr als 20 Itervalle.

47 Mathematische Statistik 47 Die Wahl der Dichte erfolgt so, dass sie gut zum Histogramm passt.

48 48 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik SCHÄTZEN VON PARAMETERN MAXIMUM-LIKELIHOOD-SCHÄTZER X 1, X 2,, X Beobachtug, z. B. Azahl vo Ufälle i de Jahre 1,,. Scho bekat, dass X i diskrete Verteilug besitze P k θ, θ ubekater Parameter. Kokrete Stichprobe k 1,, k. P X 1 = k 1,, X = k = P k1 θ P k θ = P X 1 = k 1 P X = k Der plausibelste Wert θ ergibt sich durch Maximiere des Produktes P ki θ i. Weil der Logarithmus eie mooto wachsede Fuktio ist, ka ma auch l i P ki θ = l P ki θ verwede. 3. BEISPIEL: Voraussetzug: X 1,, X habe Poissoverteilug P X i = k = λk k! e λ, λ ubekat Likelihood-Fuktio L k 1,, k, λ = l L k 1,, k, λ = λ k i k i! e λ = P X 1 = k 1,, X = k k i l λ l k i! λ Max Suche wir das Maximum für l L: 1 λ k i l L = = 0 k i λ 1 = 0 λ = 1 Falls X 1,, X stetige Date mit der Dichte f θ t, θ Parameter sowie x 1,, x kokrete Stichprobe ist, so gilt: Likelihood-Fuktio: k i L x 1,, x, θ = f θ x i Beobachtug 4. DEFINITION: Uter eier Maximum-Likelihood-Schätzfuktio θ x 1,, x versteht ma eie Fuktio der Beobachtuge x 1,, x mit der Eigeschaft L x 1,, x, θ L x 1,, x, θ x 1,, x, wobei θ Maximumstelle der Likelihoodfuktio L x 1,, x, θ als Fuktio vo θ. BEMERKUNG: Zur Bestimmug der Maximumstelle ist auch die Maximierug vo l L astelle vo L möglich.

49 Mathematische Statistik X 1,, X seie ormalverteilt mit de Parameter μ ud σ 2. Likelihood-Fuktio: L x 1,, x, μ, σ 2 = φ μ,σ 2 x i l L x 1,, x, μ, σ 2 = l 1 2π σ e 1 2 x i μ 2 σ 2 φ μ,σ 2 x i =Normalverteilug, Dichte = 1 2 l 2π 1 2 l σ2 1 2 x i μ 2 σ 2 l L μ = 0, l L σ 2 = 0 auflöse μ = 1 x i σ 2 = 1 x i x 2 x = 1 6. FOLGERUNG: Liegt eie Stichprobe X 1,, X aus eier ormalverteilte Gesamtheit vor, so sid μ = x ud σ 2 = 1 x i x 2 die Maximum-Likelihood-Schätzfuktio. Zuächst ist eie Schätzfuktio θ x 1,, x eie Fuktio der Date. Was ist sivoll? 7. DEFINITION: θ heißt erwartugstreu, falls E(θ x 1,, x = θ, wobei X 1,, X die Dichte f 0 t bzw. die Eizelwahrscheilichkeite p k θ habe. 8. BEISPIEL: X 1,, X sei eie Stichprobe aus eier ormalverteilte Grudgesamtheit. x i μ X 1,, X = 1 E μ X 1,, X = 1 X i E X i = 1 μ = μ. μ ist erwartugstreu. σ 2 ist icht erwartugstreu. E σ 2 X 1,, X = E 1 X i X 2 = 1 σ2 Aber S 2 = 1 1 X i X 2 : E S 2 = E 1 1 X i X 2 = 1 E σ2 = σ 2 S 2 ist erwartugstreuer Schätzer für σ 2. Bisherige Schätzuge ware Puktschätzuge, d. h. aus de Date wird ei Wert als Schätzwert berechet.

50 50 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik 9. DEFINITION: Uter eiem Kofidezitervall zum Niveau 1 α (α 0,1 ) oder zur Sicherheitswahrscheilichkeit 1 α versteht ma zwei Fuktioe G 1 X 1,, X G_2 X 1,, X mit folgeder Eigeschaft: oder P G 1 X 1,, X Θ G 2 X 1,, X = 1 α P Θ G 1 X 1,, X, G 2 X 1,, X = 1 α Liegt eie kokrete Stichprobe vor, so erhält ma zwei kokrete Schrake g 1 = G 1 x 1,, x ud g 2 = G 2 x 1,, x, g 1, g 2, statt eier Wahrscheilichkeit. D. h. etweder Θ g 1, g 2 oder Θ g 1, g 2. Aber bei mehrfacher Wiederholug ähert sich die relative Häufigkeit, dass der Parameter i dem bestimmte Itervall liegt, 1 α a. 10. Beispiel: X 1,, X sei eie Stichprobe aus eier ormalverteilte Grudgesamtheit; X i φ μ,σ 2. Da gilt: X φ σ 2. μ, X μ σ 2 = X μ σ = Z Z stadardormalverteilt.

51 9 STATISTISCHE TESTS Beispiel 1: Welle werde produziert; geprüft werde soll, ob Nemaß eigehalte wird. Beispiel 2: Kotrolle, ob ei Ausschussateil icht überschritte wird. Beispiel 3: Prüfe, ob zwei verschiedee Medikamete sich i ihrer Wirkug uterscheide oder icht. Beispiel 4: Bauteil wird produziert, Nemaß μ 0 = 4 mm bekat. σ 2 = , = 25 Messuge, X = 4,0012. X 4 σ 25 stadardormalverteilt, falls 4 der wahre Wert. Eie stadardormalverteilte Zufallsvariable schwakt mit großer Wahrscheilichkeit i 3, 3. Hier besteht kei schwerer Verdacht auf eie systematische Abweichug. HYPOTHESEN: Aussage über eie Parameter. Geprüft wird, ob das Datematerial dieser Aussage widerspricht oder icht. Vorgehe: A) Aufstelle der Hypothese. H 0 : θ = θ 0, H A : θ θ 0 zweiseitige Fragestellug H 0 : θ θ 0, H A : θ > θ 0 eiseitige Fragestellug H 0 : θ θ 0, H A : θ < θ 0

52 52 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik FEHLER BEI STATISTISCHEN TESTS H 0 ageomme H 0 abgeleht Etscheidug H 0 richtig kei Fehler Fehler 1. Art mithilfe vo Date. H 0 falsch Fehler 2. Art kei Fehler Natur Beide Fehlerwahrscheilichkeite köe icht gleichzeitig klei gehalte werde. Deshalb ur Fehlerwahrscheilichkeit 1. Art klei α = 0,05; 0,01; Fehlerwahrscheilichkeit 2. Art ubekat. Dies ist das Kozept des α-tests. B) Testgröße aufstelle. Diese Testgröße ist i der Regel die Schätzug des ubekate Parameters, vergliche mit hypothetischem Wert θ 0, evetuell och gewisse Normieruge. C) Aufstelle des kritische Bereiches. Dieser kritische Bereich wird so gewählt, dass die Testgröße uter der Nullhypothese ur mit eier Wahrscheilichkeit vo α im kritische Bereich liegt D) Aus Date ud Messuge heraus, die vorliege, wird der Wert der Testgröße berechet ud eie Etscheidug getroffe. Liegt der Wert im kritische Bereich, so folgt daraus, dass H 0 abgeleht wird. Liegt der Wert higege icht im kritische Bereich, so lehe wir H 0 icht ab. PRÜFEN VON μ BEI BEKANNTEM σ 2 A) H 0 : μ = μ 0, H A : μ μ 0 zweiseitige Fragestellug; Abweichug vo Normwert H 0 : μ μ 0, H A : μ > μ 0 zwei eiseitige Fragestelluge H 0 : μ μ 0, H A : μ < μ 0 B) X μ 0 σ = U uter H 0 stadardormalverteilt C) Kritischer Bereich, im erste Fall: μ = μ 0 gege μ μ 0 α 2 α 2 z 1 α 2 z 1 α 2

53 Statistische Tests 53 H 0 : μ μ 0, H A : μ > μ 0, U = X μ + μ μ 0 σ σ Ist großud μ der wahre Erwartugswert es gilt also H A so folgt: U immt große Werte a kritischer Bereich ist weit rechts. α z 1 α H 0 : μ μ 0, H A : μ < μ 0 etspreched D) Wert vo U bereche; Etscheidug treffe H 0 ablehe: große Sicherheit H 0 aehme: Fehlerwahrscheilichkeit ubekat BEISPIEL: Messug der Azahl der Drehuge eies Gars = 16, μ 0 = 250 Drehuge Meter σ 2 = 144 bekat X = 245,2 Geprüft werde soll u die Abweichug vom Normwert μ 0. A) H 0 : μ = μ 0, H A : μ μ 0 B) U = X μ 0 = 245, = 1,60 σ 12 C) Kritischer Bereich, α = 0,05 (gegebe), z α 1 = 1,96 (ach Tabelle) 2 K = ; 1,96 1,96; 0 1,96 1,6 1,96 D) Wert vo U = 1,60 liegt icht im kritische Bereich. Folglich lehe wir H 0 icht ab. BEISPIEL FÜR EINSEITIGE FRAGESTELLUNG: Druckfestigkeit eier Betosorte soll geprüft werde: σ 2 = 6,76 ist bekat = 10 X = 22,8 Midestfestigkeit μ 0 = 28

54 54 Mathematik IV für Maschiebau ud Iformatik Frage: Wird die Druckfestigkeit deutlich uterschritte? A) H 0 : μ μ 0, H A : μ < μ 0 B) Teststatistik: U = X μ 0 = 2 σ C) Kritischer Bereich K =, Z 1 α α = 0,05 Z 1 α = 1,64 K = ; 1,64 1,64 0 D) Ablehe der Nullhypothese. Wert vo U bereche, U = 2 σ 2 UNBEKANNT, TESTS ÜBER μ. 2 A) H 0 : μ = μ 0, H A : μ μ 0 bzw. B) Testgröße H 0 : μ μ 0, H A : μ > μ 0 H 0 : μ μ 0, H A : μ < μ 0 t 1 = X μ 0 s s 2 = 1 X 1 i X 2 Für μ = μ 0 hat t 1 eie t-verteilug mit 1 Freiheitsgrade. C) Kritischer Bereich t-verteilug mit ( 1) Freiheitsgrade t 1 α 2, 1 t 1 α 2, 1 K =, t 1 α 2, 1 t 1 α 2, 1, μ = μ 0 gege μ μ 0 K = t 1 α, 1, μ μ 0 gege μ > μ 0 K =, t 1 α, 1 μ μ 0 gege μ < μ 0 D) Bereche des Wertes der Teststatistik ud Etscheidug treffe. BEISPIEL: Welledurchmesser: Abweichug vo Normwert ach ute. = 20, X = 42, s 2 = 25 Normwert μ 0 = 45, α = 0,05 H 0 H A

55 Statistische Tests 55 A) H 0 : μ μ 0, H A : μ < μ 0 B) Testgröße: C) Kritischer Bereich: D) Wert vo t 1 ist t 1 = X μ 0 s K =, t 1 α,19 = ; 1, = 2,683. Folglich lehe wir H 0 ab.

56 INDEX A Axiome der Wahrscheilichkeitstheorie... 7 B Bayessche Formel D de Morgasche Regel... 6 Dichtefuktio E Ereigis... 5 uabhägiges erwartugstreu Erwartugswert Recheregel Expoetialverteilug... Siehe Verteilug, Expoetial- F Faltugsformel Fehler bei statistische Tests G Gesetz der große Zahle Gleichverteilug... Siehe Verteilug, Gleich- Grezwertsatz Zetraler Grezwertsatz vo Moivre-Laplace Grudgesamtheit H Häufigkeit relative... 5 Höffdig sche Ugleichug I Itervallwahrscheilichkeit K Kolmogorowsche Axiome... 7 Kombiatio... 4 Kofidezitervall Korrelatioskoeffiziet Kovariaz Eigeschafte L Likelihood-Fuktio M Maximum-Likelihood-Schätzer Maximum-Likelihood-Schätzfuktio Defiitio Media Multiplikatiosformel N Normalverteilug σ-Regel Erwartugswert Itervallwahrscheilichkeit Media Symmetrie Variaz P Parallelschaltug Permutatio... 4 Poissoscher Grezwertsatz Poissoverteilug R Reiheschaltug S Stadardabweichug T Tschebyscheff sche Ugleichug U Uremodell... 9 mehrfarbig... 9 mit Zurücklege... 9 V Variaz Recheregel Variatio... 4 Vektor zufälliger Ve-Diagramm... 6 Versuch icht zufällig... 5 zufällig... 5 Verteilug Expoetial , 36 geometrische Gleich Normal-... Siehe Normalverteilug

57 Statistische Tests 57 Poisso Verteilugsfuktio W Wahrscheilichkeit bedigte totale Wahrscheilichkeitsfuktio... 8 Wahrscheilichkeitsmaß... 7 Wahrscheilichkeitsraum... 7 diskreter... 8 klassischer... 8 laplacescher... 8 Wahrscheilichkeitstabelle Z Zufallsvariable diskrete stetige Uabhägigkeit γ-quatil... 29