15 Wellennatur des Lichts, Interferenz

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1 15 Wellennatur des Lichts, Interferenz Licht trägt Energie, wie man sich anhand eines Vergrößerungsglases zur Fokusierung des Sonnenlichts schnell klar machen kann. Bei der Diskusion elektromagnetischer Wellen hatten wir gesehen, dass diese ebenfalls Energie transportieren, obwohl sich dabei kein materielles Objekt bewegt. Natürlich kann ein Teilchenstrom ebenfalls Energie transportieren (man denke bpsw. an Fließgewässer). Wie aber transportiert Licht Energie als Teilchenstrom oder als Welle? Historisch betrachtet war dies eine lange umstrittene Frage. Erst um ca war die Meinung der meisten Physiker, dass Licht eine Welle ist. Die Quantentheorie hat wiederum ca. 100 Jahre später gezeigt, dass Licht aber auch korpuskularen Charakter (Teilchencharakter) haben kann. Wir betrachten nun die Evidenzen für die Wellentheorie des Lichts und werden sehen, dass sich damit eine große Fülle von Phänomenen erklären lässt Huygens Prinzip Der niederländische Wissenschaftler Christiaan Huygens ( ) war ein Zeitgenosse Newtons und schlug eine Wellentheorie des Lichts vor. Eine seiner damals entwickelten Techniken ist noch heute sinnvoll nutzbar: das Huygens Prinzip. Es besagt Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer elementaren Kugelwelle (= Elementarwelle) angesehen werden. Diese breitet sich vorwärts in Richtung der Welle selbst aus. Die neue Wellenfront ist die Einhüllende all der Elementarwellen.

2 A C Quelle B D Ein einfaches Beispiel der Anwendung des Huygens Prinzip zeigt die Abbildung. Die Welle propagiert in Richtung der roten Pfeile ausgehend von der Quelle. Das Medium wird isotrop angenommen, d.h. die Wellengeschwindigkeit ist in allen Richtungen gleich groß. Zur Zeit t ist die Wellenfront bei AB angelangt. Wir zeichnen kleine Kreise entlang der Wellenfront mit Radius r = vt. Die Einhüllende all der Kreise ist dann nach dem Huygens Prinzip die Wellenfront CD der Welle zur Zeit t+t. Besonders nützlich ist das Huygens Prinzip bei der Beschreibung der Lichtausbreitung, wenn ein Objekt im Lichtweg steht und so die Wellenfronten zum Teil blockiert werden. Im links gezeigten Beispiel wird der obere Teil der Wellenfront blockiert. Die Anwendung des Huygens Prinzips zeigt, dass sich nach der Blockade das Licht auch in den Schattenbereich der geometrischen Objekt ausbreitet. Das Strahlenmodell kann das nicht erklären. Dieses Phänomen wird Beugung genannt. Wir kommen gleich darauf zurück.

3 15.2 Lichtbrechung und das Huygens Prinzip Die Gesetze der Lichtreflexion und Lichtbrechung waren zu Newtons Zeit wohlbekannt. Die Reflexion war nicht geeignet, zwischen dem Partikel und Wellenbild von Licht zu unterscheiden. Bei der Reflexion sagen nämlich beide voraus, dass Ein und Ausfallswinkel gleich sein sollten. Lichtbrechung hingegen lässt sich im Wellenmodell sofort erklären. Nehmen wir an, dass im Medium 2 die Lichtwelle sich mit der Geschwindigkeit v 2 fortpflanzt, im Medium 1 mit der Geschwindigkeit v 1 (v 2 < v 1 ). In der Zeit t bewegt sich die Wellenfront von B zu D über die Strecke v 1 t. In der gleichen Zeit läuft im Medium 2 die Wellenfront von A nach C die Strecke v 2 t. Aus der Huygens Konstruktion folgt für die Dreiecke ADC bzw. ABD: sin= BD AD = v 1 t AD, sin= AC AD = v 2 t AD Daraus ergibt sich Snells Brechungsgesetz: sin sin = v 1 v 2

4 Und v 1 = c/n 1 und v 2 = c/n 2 in der üblichen Notierung sin sin = n 2 n 1 Hörsaal Übung: Welche Vorhersage würde Newtons Partikeltheorie des Lichts für die Lichtbrechung machen? Beim Übergang zwischen den zwei Medien ändert sich die Wellenlänge, nicht aber die Frequenz der Lichtwelle, denn aus der Zeichnung lesen wir über die Position der Wellenkämme ab 2 = v t 2 1 v 1 t = v 2 = n 1 v 1 n 2 Es gilt also allgemein für die Wellenlänge in einem Medium mit Brechungsindex n n = n wenn die Wellenlänge der Welle im Vakuum ist. Die Invarianz der Frequenz beim Übergang ergibt sich aus dem für jede Welle gültigen Zusammenhang v = f.

5 Hörsaal Übung: Blickt an einem heissen Tag eine gerade Straße entlang, so wird man oftmals feststellen, dass die Straßendecke von Wasser bedeckt scheint. Wie kommt diese optische Täuschung zustande? 15.3 Interferenz; Youngs Doppelspaltexperiment 1801 konnte Thomas Young ( ) in seinem berühmten Doppelspaltexperiment die Wellennatur des Lichts überzeugend belegen. Er konnte damit sogar einen ungefähren Wert für die Wellenlänge des sichtbaren Lichts bestimmen. Licht von einer einzelnen Quelle (die Sonne, in Youngs Experiment) fällt auf einen Schirm mit zwei Schlitzförmigen Öffnungen im Abstand d. Nach Huygens breiten sich hinter den Schlitzen Elementarwellen aus. Welche Lichtverteilung ergibt sich auf dem Schirm? Wir diskutieren das in einer im Vergleich zum Young Experiment einfacheren Variante, nämlich mit monochromatischem Licht, also Licht mit nur einer Wellenlänge. Dies führt uns auf die Grundkonstruktion der Interferenz. Schlitzblenden Schirm

6 Durch zwei feine Löcher in einer Blende vor einer monochromatischen Lichtquelle erzeugen wir zwei in Phase schwingenden Lichtquellen im kleinen Abstand d. d sin d In der Praxis ist der Abstand d immer sehr viel kleiner, als der Abstand zwischen den Lichtquellen und dem Beobachtungspunkt P (auf dem Schirm bspw.). Für den Wegunterschied x der bei P zusammentreffenden Wellenzügen aus den beiden Löchern gilt dann: x=d sin P Kommt bei P Wellenberg (also maximale Feldamplitude) auf Wellenberg, so addieren sich die Wellenzüge. Trifft aber Wellenberg auf Wellental, so subtrahieren sich die Amplituden. Da beide Lichtwellenzüge in Phase schwingen gilt diese Phasenbeziehung zu allen Zeiten. Bei Addition der Wellenzüge liegt konstruktive Interferenz vor. Ihre Bedingung lautet: x=z d sin max =z sin max max = z z ganze Zahl d

7 Bei Substraktion der Wellenzüge liegt destruktive Interferenz vor. Ihre Bedingung lautet: x= 2 z1 2 d sin min = 2 z1 2 sin min min = z1/2 d z ganze Zahl Es treten also auf dem Schirm wechselweise Zonen hoher und verschwindender Lichtintensität auf. Dies ist im Partikelbild nicht zu erklären. Beugungsmuster auf einem halbkreisförmig angeordneten Schirm. Lichtwellenlänge 630 nm (rot) Spaltabstand 5 µm.

8 Hörsaal Übung: Wird es auf dem Schirm eine unendliche Anzahl von Interferenzstreifen geben oder ist die Streifenzahl begrenzt? Wie ist der Abstand benachbarter Streifen? Gemäß unserer Ableitung hängt die Bedingung für konstruktive und destruktive Interferenz von der Lichtwellenlänge ab. Sonnenlicht wird deshalb beim Doppelspaltexperiment in ein Spektrum von Linien aufgespalten. Nur im zentralen Streifen (Maximum 0. Ordnung) tritt dieser Effekt nicht auf. Young hat diese spektrale Aufspaltung ausgenutzt und die Wellenlänge der im Sonnenlicht enthaltenen Farben bestimmt Kohärenz Das Thema Kohärenz ist vergleichsweise kompliziert. Wir werden es nur qualitativ diskutieren. Kohärenz ist die Voraussetzung, damit bei der Überlagerung von zwei oder mehr Lichtwellen eine stationäre und geordnete Interferenzerscheinung beobachtet werden kann. Kohärenz meint, dass bei den sich überlagernden Wellen die Zeitabhängigkeit der Amplituden der Lichtwellen bis auf eine feste Phasenverschiebung gleich sind. Das heisst für rein harmonische Wellen, dass sie alle die gleiche Frequenz haben müssen.

9 Die Erzeugung von Licht durch thermischen Lichtquellen (spontane Emission) ist statistisch. Licht wird emittiert, wenn Elektronen in der Hülle eines Atoms von einem energetisch höher liegenden Zustand in einen energetisch niedriger liegenden Zustand übergehen. Wann dies in einem beliebig herausgegriffenen, angeregten Atom geschieht, ist durch den Zufall bestimmt. Es wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 67 % innerhalb der sogenannten Lebensdauer des angeregten Zustands stattfinden. Deshalb müssen Wellenzüge, die zur Interferenz gebracht werden sollen, aus der gleichen Lichtquelle stammen. Spiegelung, Brechung und Beugung können für solche Wellenzüge vor der Überlagerung aber verschieden sein. Dies resultiert in einem Gangunterschied der Wellenzüge. Wir schauen uns die Lichtemission noch ein bisschen genauer an. Der von einem Atom emittierte Lichtwellenzug hat eine endliche Länge L. L ist durch die mittlere Dauer des Emissionsaktes bestimmt L=c Die Kohärenz gilt nur solange der Gangunterschied nicht größer wird als L, da sonst die sich überlagernden Wellenzüge gar nicht mehr vom selben Atom stammen können. L heisst deshalb Kohärenzlänge. Typische Werte für isolierte Atome ergeben sich mit 10 8 s zu L einige Meter.

10 Die endliche Dauer des Emissionsaktes impliziert auch eine spektrale Verbreiterung des Wellenzuges er ist nicht monochromatisch. Bei der induzierten Emission, wie sie im Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) ausgenutzt wird, bleibt eine feste Phasenbeziehung zwischen den einzelnen Emissionsakten erhalten Intensitätsverteilung bei Interferenz am Doppelspalt und Gitter d Gitter Wir verallgemeinern unsere Betrachtung auf den Fall mit N kohärenten Lichtquellen im Nächste Nachbar Abstand d, also einem Gitter. Der Doppelspalt ist davon ein Spezialfall mit N = 2. L Der Abstand Gitter Schirm L sei groß gegen die Gitterlänge N d. Zwischen zwei Wellenzügen von Nachbarquellen ist der Wegunterschied x wieder d sindie resultierende Phasendifferenz also: Schirm = 2 x = 2 d sin

11 Die Amplituden der Einzelwellen {A'} addieren sich am Beobachtungspunkt zur Gesamtamplitude A. Diese Addition können wir im Zeigerdiagramm duchführen. ½ N r A A N(=8) ' Benachbarte Zeiger sind gegeneinander um den Phasenwinkel verdreht. A ergibt sich als Sehne des Polygonzuges. Dieser ist einbeschrieben in einen Kreis mit dem Radius r, der sich aus der Bedingung A 5 ' A' /2 r =sin/2 A 1 ' A' ergibt. Der Gesamtphasenwinkel ist N Wir lesen also für die Gesamtamplitude A ab: A=2 r sin N 2 Wir setzen den Ausdruck für r ein und erhalten A=2 r sin N 2 =A' sin N 2 sin 2

12 Wir drücken noch den Phasenwinkel über den Gangunterschied aus und erhalten A=A' sin N d sin sin d sin Maxima der Amplitude A erhalten wir dann, wenn der Nenner 0 wird. Dann wird zwar auch der Zähler 0, aber der Grenzwert von sin(nx)/sinx für x gegen 0 ist N. Wir sehen also konstruktive Interferenz unter der Bedingung d sin =z z ganze Zahl sin= z z ganze Zahl d Beziehungsweise in der üblicheren Schreibweise d sin=z z ganze Zahl

13 Zwischen zwei Maxima verschwindet der Zähler und zwar an den Stellen N d sin =z z ganze Zahl sin= z z ganze Zahl N d Eine dieser Nullstellen im Zähler fällt mit einer Nullstelle im Nenner zusammen und gibt insgesamt ein Nebenmaximum. Dazwischen liegen dann N 1 Nullstellen der Amplitude. Wir haben also zwischen den Hauptmaxima, d.h. den Stellen maximaler Helligkeit, N 1 Stellen mit verschwindender Amplitude, d.h. destruktive Interferenz. Die Winkelbreite der Maxima ist um den Faktor N kleiner als die beim Doppelspalt, da sie ja durch die benachbarten Dunkelzonen begrenzt sind. Wir halten fest: Das Gitter macht umso schärfere Intensitätsmaxima, je mehr Striche (Öffnungen) N es hat. Dies wird in Gittermonochromatoren oder auch Gitterspektralapparaten ausgenutzt.

14 Beispiel: N=10 bzw. N=50 bei d = 2µm & λ = 500 nm

15 15.6 Intensitätsverteilung bei Beugung am Einfachspalt Zur Ableitung der Beugung am Einzelspalt der Breite D stellen wir uns vor, dass der Spalt aus einem Gitter der Gesamtbreite D mit beliebig dicht liegenden Gitterlinien besteht. d muss demnach gegen Null gehen und N gegen unendlich, so dass N d = D stets gilt. Ersetzen wir zunächst d durch D/N im Gesamtamplitudenausdruck fürs Gitter: A=A' sin Dsin sin D/ N sin =A' sin Dsin D/ N sin Letztere Gleichheit ergibt sich daraus, dass der Phasenwinkel im Nenner beliebig klein wird und der Sinus durch sein Argument ersetzt werden kann. Mit kleiner werdendem d wandern die Hauptmaxima immer weiter nach aussen. Was wir also noch auf dem Schirm sehen können, sind nur die Nebenmaxima. Die normierte Gesamtamplitude ist sin D sin A A N A' = D sin

16 Beispiel: Intensitätsverteilung bei Beugung am Einzelspalt