Interferenz von Kreiswellen

Transkript

1 Interferenz von Kreiswellen In einer Wellenwanne werden mit einem geradlinigen Erreger Wellen mit geraden Wellenfronten erzeugt. Treffen diese auf ein Hindernis mit einem kleinen Spalt, so bilden sich hinter dem Spalt gemäß dem Huygenschen Prinzip kreisförmige Elementarwellen aus. Fügt man zu dieser Anordnung einen zweiten Spalt hinzu, so kann man erneut beobachten, dass sich hinter den beiden Spalten Elementarwellen ausbreiten. Die Elementarwellen des einen Spaltes überlagern sich dabei mit den Elementarwellen des anderen Spaltes und es kommt zur Interferenz beider Wellen: Betrachtet man das Wellenbild genauer so kann man beobachten, dass es Bereiche gibt in denen die Wellenbewegung sehr stark ist und andere Bereiche in denen die Wellenbewegung fast zur Ruhe

2 kommt. Diese Bereiche liegen auf Kurven in Form von sog. konfokalen Hyperbeln. Auf Kurven mit starker Wellenbewegung liegt konstruktive Interferenz vor, wohingegen auf Kurven mit sehr geringer Wellenbewegung destruktive Interferenz vorliegt. Man spricht von Interferenzmaxima und Interferenzminima. Die Interferenzmaxima und Minima werden von der Mitte aus durchnummeriert und mit einer Ordnungsnummer versehen. Das zentrale Maximum wird mit nullter Ordnung bezeichnet. Nach rechts und nach links folgen abwechselnd Minima und Maxima, der ersten, zweiten, dritten, Ordnung. Im Folgenden soll nun geklärt werden wie die Bereiche konstruktiver und destruktiver Interferenz zustande kommen. Hierzu betrachtet man zunächst einen Punkt P 1 in dem ein Minimum, also destruktive Interferenz vorliegt. Dieser Punkt soll von einem Spalt E 2 etwas weiter entfernt sein als vom anderen Spalt E 1. Die von beiden Spalten ausgehenden Elementarwellen müssen somit bis zum Punkt P 1 unterschiedlich lange Strecken zurücklegen. Strecke vom ersten Spalt zum Punkt P 1 : Strecke vom zweiten Spalt zum Punkt P 1 :

3 Der geometrische Wegunterschied zwischen beiden Wellen beträgt dann für. Entspricht dieser Wegunterschied gerade einer halben Wellenlänge, so trifft am Punkt P 1 ein Wellenberg der einen Welle auf ein Wellental der anderen Welle und es kommt zur Auslöschung. Betrachtet man nun einen anderen Punkt P 2 in dem konstruktive Interferenz vorliegt, so entspricht dort der geometrische Wegunterschied gerade einer ganzen Wellenlänge. Wellenberg trifft also auf Wellenberg und es kommt zur maximalen Verstärkung. Zusammenfassung: Bei Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz ergibt sich: 1. Maximale Verstärkung (konstruktive Interferenz) bei einem Gangunterschied von: (Die Phasenverschiebung beträgt: ) 2. Maximale Auslöschung (destruktive Interferenz) bei einem Gangunterschied von: (Die Phasenverschiebung beträgt: ) Energieverteilung im Interferenzfeld: Abschließend soll nun noch die Frage geklärt werden, wie die Energie der interferierenden Wellen im sog. Interferenzfeld (Bereich in dem die Wellen interferieren) verteilt ist. Hierzu wird zunächst die Energie einer einzelnen Welle, die nicht mit anderen Wellen interferiert, betrachtet:

4 Da eine Welle aus elastisch aneinander gekoppelten Elementarschwingern besteht, setzt sich die Gesamtenergie einer Welle aus der Summe der Energien der einzelnen Elementarschwinger zusammen. Die Energie eines einzelnen Elementarschwingers beträgt: Beim Durchgang durch die Ruhelage besitzt der Elementarschwinger nur kinetische Energie: Bei maximaler Auslenkung beträgt die Energie eines einzelnen Elementarschwingers: Die Energie der gesamten Welle erhält man nun indem man die Energien sämtlicher Elementarschwinger aufsummiert: Da die Energie der einzelnen Elementarschwinger proportional zum Quadrat der Amplitude ist, ist somit auch die Energie der gesamten Welle proportional zum Quadrat der Amplitude: Betrachtet man nun das Interferenzfeld der zwei oben beschriebenen Elementarwellen, so konnte beobachtet werden, dass es Bereiche gibt in denen sich die Wellen auslöschen und Bereiche in denen die Wellen sich verstärken. In den Bereichen in denen die Wellen sich gegenseitig auslöschen sind die Amplituden der Wellen zu jedem Zeitpunkt gleich Null. Die Energie ist dort somit auch gleich Null: In den Bereichen maximaler Verstärkung addieren sich die Amplituden der Einzelwellen:. Für die Energie an diesen Stellen ergibt sich somit: Bildet man nun den Mittelwert über das gesamte Interferenzfeld, so erhält man:

5 Im Mittel ist der im Interferenzfeld vorhandene Energiebetrag doppelt so hoch wie die Energie einer einzelnen Welle. Dieses Ergebnis wird durch den Energieerhaltungssatz bestätigt wonach die Energie der beiden einzelnen Wellen bei der Interferenz erhalten bleibt. Ergebnis: Durch Interferenz wird die Energieverteilung im Wellenfeld geändert. Die Energiesumme bleibt jedoch erhalten.