Kaufmännische Berufsmatura 2014

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1 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen Serie a - Lösungen Prüfungsdauer: Max. zahl: 50 Minuten 00 Bewertungshinweise: Mehrfachlösungen sind nicht gestattet. Als Resultate gelten nur eindeutig gekennzeichnete Zahlen, Mengen oder Sätze. Die Diagramme müssen korrekt beschriftet sein. Bei fehlenden Antwortsätzen oder Lösungsmengen werden abgezogen. Bei den einzelnen Ausrechnungsteilschritten gilt allgemein:. Fehler: Abzug von 50% der maximalen Punktzahl dieses Teilschritts. Fehler: 0 für diesen Teilschritt Es gibt keine halben. Ist bei grafischen Lösungen die zugrunde liegende Funktionsgleichung falsch, diese falsche Funktion jedoch korrekt gezeichnet, müssen die für die grafische Darstellung gegeben werden. Als Grundlage gilt das Dokument : Hinweise zur Lösungsdarstellung vom Dieser Lösungs- und Bewertungsschlüssel darf nur von -Lehrenden kaufmännischer Berufsschulen verwendet werden. Insbesondere darf er in späteren Jahren im Unterricht zu Übungszwecken nicht : kopiert und an Lernende abgegeben werden. Jede weitere Verwendung der Originalprüfung wie auch dieses Schlüssels bedarf der Bewilligung der Kommission Kaufmännische Berufsmatura, Kt. ZH. Kommerzielle Verwendung - auch nur auszugsweise - bleibt untersagt. Seite von 4

2 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen Aufgabe a) Ermitteln Sie die Definitions- und Lösungsmenge (G = R) x = x +3x 8 x x D = R\{} 6 + 5(x ) + x(x ) = x + 3x 8 x + 4 = 0 bzw. x = 4 x = x = L = { } b) Zwei positive Zahlen unterscheiden sich um 50. Ebenso ist ihr Produkt um 50 grösser als ihre Summe. Bestimmen Sie die beiden Zahlen mit Hilfe einer Gleichung oder eines Gleichungssystems. x = kleinere Zahl x + 50 = grössere Zahl x + (x + 50) + 50 = x(x + 50) D = Q + x + 00 = x + 50x 0 = x + 48x 00 x = x = 50 grössere Zahl: +50=5 Die Zahlen sind und 5. Keine Variablendeklaration Kein AS - - Seite von 4

3 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen Aufgabe 3 Die Abschlussklasse M4 organisiert einen Kinoabend für die gesamte Schule. Dafür muss die Klasse Stühle mieten. Eine Anmietung der Stühle kostet pauschal CHF Darüber hinaus kostet jeder Stuhl CHF Falls mehr als 00 Stühle gemietet werden, wird der Klasse von der Stuhl-Vermietungsfirma ein Rabatt von 0% für die zusätzlichen Stühle gewährt. a) Stellen Sie die Gleichungen der Kostenfunktion auf. x = Stühle in Stk, y = Gesamtkosten in CHF y K = 5x (0 x 00) y K = x + q 3300 = 00 + q q = 900 y K = x (x > 00) Keine Grenzen - b) Stellen Sie diesen Sachverhalt in einem geeigneten Diagramm grafisch dar. je P(00/3300) Keine oder falsche Achsenbeschriftung - Seite 3 von 4

4 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen Für einen anderen Anlass rechnet die Klasse mit folgender Gewinnfunktion (siehe untenstehende Grafik). c) Wie lautet die Gewinnfunktion und wie viele Stühle müssen mindestens besetzt werden, damit die Klasse keinen Verlust macht? y G = 5x 500 x = 00 Es müssen mindestens 00 Stühle besetzt sein. Kein AS - d) Welche Gebühr muss die Klasse von jedem Kinobesucher verlangen, damit der prognostizierte Gewinn (siehe Teilaufgabe c)) erreicht werden kann, wenn die Miete pro Stuhl nur CHF 0.00 beträgt und die Grundgebühr CHF ? y E= 5x x = 5x Die Klasse muss CHF 5.00 verlangen. Kein AS - Seite 4 von 4

5 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen Aufgabe 3 7 Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der Geraden g, h und f unter folgenden Bedingungen: Auf der Geraden g liegen die P(-5/0) und Q(6/7). Die Gerade h mit der Steigung 5 schneidet die Gerade g auf der y-achse. 7 Die Gerade f verläuft parallel zur Geraden g und schneidet die Gerade h auf der x-achse. m g = = 3 7 = q g q g = 5 y g = 3 x + 5 q h = 5, m h = 5 7 y h = 5 7 x = 5 7 x + 5, S x(7/0) m f = 3 0 = q f q f = 7 3 y f = 3 x 7 3 Seite 5 von 4

6 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen Aufgabe 4 0 Eine Parabel wird durch die Funktionsgleichung y = (x + 3)(x 7) beschrieben. a) Ermitteln Sie die Nullstellen, den y-achsen-schnittpunkt und den Scheitelpunkt der Parabel. y = x x N (-3/0), N (3.5/0) S y(0/-) S(0.5/-.5) nicht korrekt dargestellt Max - b) Ermitteln Sie allfällige Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden mit der Gleichung y = 0.5x 0 x x = 0.5x 0 x =, x =.75 S (-/-) S (.75/-8.65) nicht korrekt dargestellt - c) Wie lautet die Funktionsgleichung der Parabel, wenn man sie vertikal so verschiebt, dass eine ihrer Nullstellen die x-koordinate 0 erhält? y = x x Seite 6 von 4

7 Kaufmännische Berufsmatura 04 Aufgabe 5 Serie a: Lösungen 4 Die Svinesund-Brücke an der Grenze zwischen Schweden und Norwegen wird von einem parabelförmigen Träger getragen, dessen Form mit der Gleichung y = x beschrieben werden kann. a) Schliessen Sie aufgrund der Funktionsgleichung darauf, wie die x- und y-achsen liegen müssen. Tragen Sie diese im Foto ein. Lösung: s. Bild b) Die Fahrbahn hängt 30m unter dem höchsten Punkt des Brückenbogens. Wie lange ist das Fahrbahnstück unter dem Bogen (auf ganze Meter genau)? y x Lösung: s. Bild a) Lösung: siehe Foto. Achsen korrekt eingezeichnet b) 30 = x x = x = 70.53, x = = 4.06 Die Fahrbahnlänge beträgt 4m. Kein AS - Seite 7 von 4

8 Kaufmännische Berufsmatura 04 Aufgabe 6 Serie a: Lösungen 8 a) Sie möchten ins E-Auto-Business einsteigen und zwei Modelle anbieten: den kompakten und günstigen Amperillo (x) und den luxuriöseren und leistungsfähigeren Ohmo (y). Für das erste Jahr rechnen Sie mit folgenden Rahmenbedingungen: Sie möchten mindestens 0 Wagen einkaufen. Der Amperillo kostet im Ankauf CHF , der Ohmo CHF Ihr Einkaufsbudget liegt bei CHF Im Lager haben Sie Platz für 85 Amperillos oder 5 Ohmos oder eine entsprechende Kombination davon. Die beiden Fahrzeuge benötigen dieselben Akku-Module. Während der Amperillo nur 3 Module benötigt, braucht der Ohmo 8 davon. Der Akku-Lieferant kann im Moment höchstens 380 Stück liefern. Ihr Marketingchef empfiehlt, mindestens halb so viele Ohmos zu bestellen wie Amperillos. Der Amperillo soll für CHF verkauft werden, der Ohmo für CHF Erstellen Sie das lineare Programm und die Zielfunktion für einen maximalen Gewinn (OHNE Grafik). x: Anz. Amperillo y: Anz. Ohmo x + y x y y 5 85 x + 5, y 0.6x + 5 oder x 85 + y 5 3x + 8y 380 x y z max = 3 000x y Seite 8 von 4

9 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen b) Die Kalkulationen eines Beraters ergeben eine andere Konstellation: () y x + 45 () y x + 65 (3) y.5x (4) y.5x + 90 z max = 3 600x y Erstellen Sie ein entsprechendes Planungspolygon mit Zielfunktion für den maximalen Gewinn. z: y = 3 4 x Ger. je Polyg. Z Pmax Anzahl Amperillos in Stk. Keine oder falsche Achsenbeschriftung - c) Ermitteln Sie rechnerisch, wie viele Amperillos und Ohmos Sie für einen maximalen Gewinn bestellen müssen. x + 45 = x + 65 x = 40, y = 5 Ich muss 40 Amperillos und 5 Ohmos bestellen. Kein AS - d) Wie gross ist in diesem Fall der Gewinn? = Der Gewinn beträgt CHF 64' Kein AS - Seite 9 von 4

10 Kaufmännische Berufsmatura 04 Aufgabe 7 Serie a: Lösungen 9 Die Bevölkerung eines Landes beträgt heute 0 Millionen Menschen. Das jährliche Bevölkerungswachstum beträgt %. a) Wie gross war die Bevölkerung vor 5 Jahren? (Auf ganze Personen runden) = Vor 5 Jahren waren es 9'057'308 Menschen. (Auf- und Abrunden akzeptiert) Kein AS - b) Die Bevölkerung des Nachbarlandes beträgt heute 0 Millionen Menschen. Die Bevölkerung nimmt aber jährlich um.8% ab. In welchem Jahr wird die Bevölkerung erstmals unter 6 Millionen Menschen fallen? n = log(6) log(0) log(0.98) 04 + = 06 =,8495 Im Jahre 06 fällt die Bevölkerung unter 6 Mio. Kein AS c) Wie lange dauert es, bis in beiden Ländern gleich viele Menschen leben werden? Lösen Sie die Aufgabe mit einer Gleichung. (Auf zwei Dezimalstellen runden) 0.0 n = n n = log() log( ) = Es dauert 8.6 Jahre. Falsch gerundet Kein AS - - Seite 0 von 4

11 Kaufmännische Berufsmatura 04 Aufgabe 8 Serie a: Lösungen 7 Mircos Sparkonto weist einen aktuellen Stand von CHF auf. Um wie viel Prozent höher muss das Guthaben seiner Schwester Sina, die heute CHF besitzt, verzinst werden, damit die beiden in 0 Jahren gemeinsam CHF auf ihren Konten haben? Der Zinssatz von Mircos Sparkonto beträgt.5%. p= Zinssatz von Sinas Sparkonto in % ( + p 00 )0 = p = ( = 0.05 Es muss um 0.05% höher verzinst werden. ) 00 = Kein AS - Seite von 4

12 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen Aufgabe 9 4 Ein Zoobesuch kostet Herrn und Frau Dachs mit ihren vier Kindern CHF Herr Fuchs bezahlt für sich, seine drei Kinder und drei Patenkinder insgesamt 40 Rappen mehr als Familie Dachs. Wie viel kostet der Zooeintritt für einen Erwachsenen? x: Eintritt Erwachsene in CHF, y: Eintritt Kinder in CHF () x + 4y = 44 () x + 6y = 44.4 x = 0.8 Erwachsene zahlen CHF 0.80 Keine Variablendeklaration Kein AS - - Seite von 4

13 Kaufmännische Berufsmatura 04 Aufgabe 0 Serie a: Lösungen 6 a) Ermitteln Sie die Lösungsmenge (G = R). 3 = 4 x+ x = 0.5 L = {0.5} Keine Lösungsmenge - b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge (G = R). 3 3 = log x 5 x 3 = 8 x = L = {} Keine Lösungsmenge - c) Ermitteln Sie die Lösungsmenge (G = R). 3 3 x = 9 x 3 x = (x ) 0 = 4x 4x 3 x, = 4 ± L = { 3, } x =.5; x = -0.5 Keine Lösungsmenge - Seite 3 von 4

14 Kaufmännische Berufsmatura 04 Serie a: Lösungen d) Vereinfachen Sie so weit wie möglich c 4 c c+ c +c+ 8c 8 (c +)(c ) (c )(c ) (c+)(c+) 8(c+)(c ) (c +)(c+)(c ) (c )(c ) 8(c + ) 8(c+)(c ) (c+)(c+) e) Vereinfachen Sie so weit wie möglich n an a n a n n+ n a n n n a n Seite 4 von 4