Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 2 Seite 1 von 7. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 Seite 1 von 7 Unterlgen für die Lehrkrft Abiturprüfung 2010 Mthemtik, Leistungskurs 1 Aufgbenrt Anlysis 2 Aufgbenstellung siehe Prüfungsufgbe 3 Mterilgrundlge entfällt 4 Bezüge zu den Vorgben Inhltliche Schwerpunkte Untersuchung von gnzrtionlen Funktionen, gebrochen-rtionlen Funktionen einschließlich Funktionenschren, Exponentilfunktionen und Logrithmusfunktionen mit Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) in Schzusmmenhängen Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrte) Flächenberechnung durch Integrtion 2 Medien/Mterilien entfällt 5 Zugelssene Hilfsmittel Wissenschftlicher Tschenrechner (ohne oder mit Grfikfähigkeit) Mthemtische Formelsmmlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

2 Seite 2 von 7 6 Vorgben für die Bewertung der Schülerleistungen 61 Modelllösungen Modelllösung ) f() t 0 t t t t t t t 0t 3t2 0 t 0t t Die Funktion f ht die Nullstellen 0, und 2 [Wegen 0 gilt 0 2] Die positiven Funktionswerte von f 2 für 0 t 2 bedeuten: Zwischen 600 Uhr und 800 Uhr nimmt die Stulänge zu Die negtiven Funktionswerte von f 2 für 2t 4 bedeuten: Zwischen 800 Uhr und 1000 Uhr nimmt die Stulänge b Modelllösung b) Die gesuchten Zeitpunkte sind die Zeiten t mx bzw t min, zu denen die Funktion f ihr [bsolutes] Mximum f ( t mx ) 0 bzw ihr [bsolutes] Minimum f ( t min ) 0 nnimmt Ist f ( t 0 ) 0 und f ( t 0 ) 0 [ f ( t 0 ) 0], dnn ist ( t0 f( t 0)) ein lokler Tiefpunkt [Hochpunkt] des Grphen von f () ; f t t t f() t 0t 1 0,42t 1 1, Die Untersuchung von f oder des Vorzeichenwechsels von f ergibt: Zum Zeitpunkt t wird ein lokles Mximum mit positivem Funktionswert und zum Zeitpunkt 1 t 1 ein lokles Minimum mit negtivem Funktionswert ngenommen, d 0 3 vorusgesetzt ist Wegen f (0) f (2 ) 0 (Rndwerte) sind die loklen Extrem uch die bsoluten Extrem im Zeitintervll [0;2 ] Die Stulänge nimmt um 0,42 Stunden nch 600 Uhr m schnellsten zu, für 2 lso um 651 Uhr, und nimmt um 1,58 Stunden nch 600 Uhr m schnellsten b, für 2 lso um 909 Uhr

3 Seite 3 von 7 Modelllösung c) (1) D f () t die momentne Änderungsrte der Stulänge in Kilometern pro Stunde ngibt und die Stulänge zum Zeitpunkt t 0 lut Aufgbenstellung 0 km beträgt, berechnet sich die Stulänge zum Zeitpunkt t, 0 t 2, durch ds bestimmte Integrl f( u)du t u u ud u t t t F ( t) Um 900 Uhr ( t 3) beträgt die Stulänge für 2 c 1,7 km t 0 (2) F Der gesuchte Wert von ( 0) ist ,75 9 (3) An der Nullstelle t der Ableitungsfunktion f von F wechselt f ds Vorzeichen von + nch (vgl Abbildung 1) Dher ist t die Rndwerte F(0) F(2 ) 0 ht, ist lokle Mximlstelle von F D F F ( ) bsolutes Mximum von Für 2 ist die Stulänge um 800 Uhr ; sie beträgt dnn 3 km F

4 Seite 4 von 7 Modelllösung d) (1) Der Stu besteht von 600 bis 1000 Uhr, ht lso zu diesen Uhrzeiten jeweils die Länge 0 Der Längenzuwchs entspricht den Flächeninhlten der Flächenstücke oberhlb, die Längenbnhme dem Flächeninhlt des Flächenstücks unterhlb der t-achse Aus der Ttsche, dss ds dritte und letzte zwischen dem Grphen von g und der t-achse eingeschlossene Flächenstück oberhlb der t-achse liegt [erstzweise durch Abschätzen und Vergleichen der Flächeninhlte des ersten und zweiten Flächenstücks], müssten zwischen 800 Uhr und 1000 Uhr negtive Stulängen ufgetreten sein [Zur Informtion: Die Funktion g, deren Grph in Abbildung 2 drgestellt ist, ht die Gleichung 14 gt () t t1 t t4] 5 (2) Eine der folgenden Bedingungen oder eine gleichwertige wird erwrtet: 1 Für jeden Zeitpunkt t * des Zeitintervlls, in dem der Stu besteht, muss gelten t* ht ()dt0 0 2 Es gibt einen Zeitpunkt t 2, 0 t2 4, so dss für lle t [ t2;4] gilt: ht () 0 3 Es gibt einen Zeitpunkt t 1, 0 t1 4, so dss für lle t [0; t1] gilt: ht () 0 [Auch ndere, weniger formle Formulierungen sind möglich] 62 Teilleistungen Kriterien Teilufgbe ) 1 berechnet die Nullstellen von f 1 3 (I) 2 erklärt die Bedeutung positiver und negtiver Funktionswerte von f im Schzusmmenhng Der gewählte Lösungsnstz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Schlich richtige Alterntiven werden n dieser Stelle mit entsprechender bewertet 3 (II) 1 AFB = Anforderungsbereich

5 Seite 5 von 7 Teilufgbe b) 1 erklärt, dss die bsoluten Extremstellen von f zu bestimmen sind 2 bestimmt die bsoluten Extremstellen von f 3 (II) 8 (II) 3 gibt die Uhrzeiten n 3 (I) Der gewählte Lösungsnstz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Schlich richtige Alterntiven werden n dieser Stelle mit entsprechender bewertet Teilufgbe c) 1 (1) bestimmt einen Term für die Stulänge in Abhängigkeit von 4 (II) 2 (1) berechnet die Stulänge um 900 Uhr für 2 4 (I) 3 (2) bestimmt den gesuchten Wert von 4 (II) 4 (3) bestimmt den Zeitpunkt, zu dem die Stulänge ihr Mximum erreicht, in Abhängigkeit von 6 (II) 5 (3) berechnet die e Stulänge für 2 2 (I) Der gewählte Lösungsnstz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Schlich richtige Alterntiven werden n dieser Stelle mit entsprechender bewertet Teilufgbe d) 1 2 (1) begründet, wrum die momentne Änderungsrte der Stulänge nicht durch g modelliert werden knn (2) ermittelt eine notwendige Bedingung, die jede sinnvolle Modellierungsfunktion h erfüllen muss Der gewählte Lösungsnstz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Schlich richtige Alterntiven werden n dieser Stelle mit entsprechender bewertet 5 (II) 5 (III)

6 Seite 6 von 7 7 Bewertungsbogen zur Prüfungsrbeit Nme des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilufgbe ) 1 berechnet die Nullstellen 3 (I) 2 erklärt die Bedeutung 3 (II) schlich richtige Alterntiven: (6) Summe Teilufgbe ) 6 Lösungsqulität EK 2 ZK DK Teilufgbe b) 1 erklärt, dss die 3 (II) 2 bestimmt die bsoluten 8 (II) 3 gibt die Uhrzeiten 3 (I) schlich richtige Alterntiven: (14) Summe Teilufgbe b) 14 Lösungsqulität EK ZK DK 2 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

7 Seite 7 von 7 Teilufgbe c) 1 (1) bestimmt einen Term 4 (II) 2 (1) berechnet die Stulänge 4 (I) 3 (2) bestimmt den gesuchten 4 (II) 4 (3) bestimmt den Zeitpunkt 6 (II) 5 (3) berechnet die e 2 (I) schlich richtige Alterntiven: (20) Summe Teilufgbe c) 20 Lösungsqulität EK ZK DK Teilufgbe d) 1 (1) begründet, wrum die 5 (II) 2 (2) ermittelt eine notwendige 5 (III) schlich richtige Alterntiven: (10) Summe Teilufgbe d) 10 Lösungsqulität EK ZK DK Summe insgesmt 50 Die Festlegung der Gesmtnote der Prüfungsleistung erfolgt uf dem Bewertungsbogen einer Aufgbe us der Aufgbengruppe 2

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